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高中数列求和方法大全习题(较难)


数列的求和
一、教学目标:1.熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式;
2.能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算; 3.熟记一些常用的数列的和的公式. 二、教学重点:特殊数列求和的方法.

三、教学过程:
(一)主要知识: 1.直接法:即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 (1)等差数列的求和公式: S

n ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

?na1 (q ? 1) ? n (2)等比数列的求和公式 S n ? ? a1 (1 ? q ) (切记:公比含字母时一定要讨论) (q ? 1) ? ? 1? q
2.公式法:

?k
k ?1
n

n

2

2 2 ? 1 2 ? 2 2? 3 ? ?? n ?

n( n? 1 ) ( 2 n ? 6
2

1)

? n(n ? 1) ? k ? 1 ? 2 ? 3 ?? ? n ? ? ? ? 2 ? ? k ?1
3 3 3 3 3

3.错位相减法:比如 ?an ?等差, ?bn ?等比, 求a1b1 ? a2 b2 ? ? ? an bn的和. 4.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常 见 拆 项 公 式 :

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1



1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2

1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

n ? n!? (n ? 1)!?n!

5.分组求和法:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和。 6.合并求和法:如求 100 2 ? 99 2 ? 98 2 ? 97 2 ? ? ? 2 2 ? 12 的和。 7.倒序相加法: 8.其它求和法:如归纳猜想法,奇偶法等 (二)主要方法: 1.求数列的和注意方法的选取:关键是看数列的通项公式; 2.求和过程中注意分类讨论思想的运用; 3.转化思想的运用; (三)例题分析: 例 1.求和:① S n ? 1 ? 11 ? 111 ? ? ? 11 ? 1 ? ? ?
n个

② Sn ? (x ?

1 2 1 1 ) ? (x 2 ? 2 )2 ? ? ? (x n ? n )2 x x x
1

2.错位相减法求和 例 2.已知数列 1,3a,5a ,?, (2n ? 1)a
2 n ?1

(a ? 0) ,求前 n 项和。

3.裂项相消法求和

22 42 ( 2n) 2 ? ??? 例 3.求和 S n ? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)( 2n ? 1)
4.倒序相加法求和
0 1 2 n 例 4 求证: C n ? 3C n ? 5C n ? ? ? (2n ? 1)C n ? (n ? 1)2 n

5.其它求和方法 还可用归纳猜想法,奇偶法等方法求和。 例 5.已知数列 ?a n ?, a n ? ?2[n ? (?1) n ], 求S n 。

预备:已知 f ( x) ? a1 x ? a 2 x 2 ? ? ? a n x n , 且a1 , a 2 , a3 ,? a n 成等差数列,n 为正偶数, 又 f (1) ? n , f (?1) ? n ,试比较 f ( ) 与 3 的大小。
2

1 2

巩固练习
1.求下列数列的前 n 项和 S n : (1)5,55,555,5555,…, (10n ? 1) ,…; (2) (3) an ?

5 9

1 1 1 1 , , ,? , ,? ; 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2)

2 3 n ; (4)0 a, 2a ,3a ,?, na ,? ; 、 n ? n ?1 (5) 1? 3, 2 ? 4,3 ? 5,?, n(n ? 2),? ; (6) sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ?? ? sin 2 89? .

1

2.已知数列 {an } 的通项 an ? ?

?6n ? 5 ( n为奇数) ?2
n

(n为偶数)

,求其前 n 项和 S n .

2


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