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1 导数概念


第二章 导数与微分
微积分学的创始人:

导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出.

英国数学家 Newton
德国数学家 Leibniz 微分学

导数
微分

描述函数变化快慢
描述函数变化程度

都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)

第一节

(derivative)

导数的概念

引例 导数的定义 求导举例 导数的几何意义与物理意义 可导与连续的关系 小结 作业
第二章 导数与微分
2

一、引例
例1 直线运动的瞬时速度问题

导 数 的 概 念

设变速直线运动的路程函数为 s ? s( t ).
试确定t0时的瞬时速度v(t0). 解: 取一邻近于 t 0的时刻t ,
s( t ) ? s( t 0 ) ?s ? 平均速度 v ? t ? t0 ?t

t0
t

?t

当 t ? t 0时,

取极限得

s( t ) ? s( t 0 ) 瞬时速度v ( t0 ) ? lim t ? t0 t ? t0

3

例2 曲线的切线斜率问题 若已知平面曲线 y ? f ( x ),如何作过 曲线上点 M0 ( x0 , f ( x0 )) 的切线呢.
对于一般曲线如何定义其切线呢? 法国 数学家费马在1629年提出了如下的定义和求 法, 从而圆满地解决了这个问题.

导 数 的 概 念

割线的极限位置—— 切线位置.

4

如图, 如果割线MN绕点M

y

y ? f ( x)

导 数 的 概 念

旋转而趋向极限位置MT,
C在点M处的切线———

N T

割线 M N 的极限位置 M T,即 C
MN ? 0,

M
? ?

?

? ? ?.

O

x0

x

x

5

设 M ( x0 , y0 ), N ( x , y ). 割线MN的斜率为

y ? y0 f ( x ) ? f ( x 0 ) ? , tan? ? x ? x0 x ? x0
C N ?沿曲线 ?? ? ?M,

导 数 的 概 念

y

x ? x0 ,
切线MT的斜率为

y ? f ( x)

N T

k ? tan ?
f ( x ) ? f ( x0 ) ? lim x ? x0 x ? x0
O

C

M
? ?

?

x0

x

x
6

瞬时速度v ( t0 ) ? lim
t ? t0

s( t ) ? s( t 0 ) t ? t0

f ( x ? ?x) ? f ( x ) 0 0 切线斜率 ?lim ?x x?0

两个问题的共性: 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 变 化 率 问 题

线密度 是质量增量与长度增量之比的极限
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限

二、导数的定义
定义 设函数 y ? f ( x )在点 x0的某个邻域内

导 数 的 概 念

有定义, 当自变量x在 x 处取得增量?x 0 相应的函数取得增量 ? y ? f ( x 0 ? ? x ) ? f ( x 0 );

如果?y与 ?x之比当 ?x ? 0时的极限存在, 则 称 函 数y ? f ( x )在 点x 0 处可导,
并称此极限为函数y=f (x)在点x0处 的导数, 记为
f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ?y ? lim f ? ( x ) ? lim ?x ? 0 ?x ? 0 ? x 0 ?x (1)

8

f ?( x0 ) ? lim
?x ? 0

f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ?x

(1)

并说f ( x)在x0处可导或有导数. 可用下列记号

导 数 的 概 念

y?

x ? x0 ,

dy , dx x ? x0

df ( x ) f ?( x0 ) 或 dx x ? x0

中的任何一个表示, 如 f ( x0 ? ? x ) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim ?x ? 0 ?x 当极限(1)式不存在时, 就说函数 f (x)在x0 处不可导或导数不存在. 特别当(1)式的极限为

正(负)无穷时, 有时也说在x0处导数是正(负)无
穷大, 但这时导数不存在.
9



导数定义可以写成多种形式: f ( x 0 ? h) ? f ( x 0 ) f ?( x 0 ) ? lim ,
h? 0

导 数 的 概 念

h f ( x0 ? h ) ? f ( x0 ) f ?( x 0 ) ? lim . ? h? 0 ?h

特别是, 如果 x0= 0,可以写成

10

关于导数的说明
(1) 点导数是因变量在点x0处的变化率, 它反映了 因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.

导 数 的 概 念

(2) 如果函数y = f (x)在开区间 I 内的每点处都可
导,就称函数 f (x)在开区间 I 内可导. (3) 对于任一 x ? I , 都对应着 f (x)的一个确定的 导数值. 这个函数叫做原来函数f (x)的 导函数.
dy df ( x ) ? ? y , f ( x ), 或 . 记作 dx

dx

11






f ( x ? ?x ) ? f ( x ) y? ? lim ?x ? 0 ?x f ( x ? h) ? f ( x ) f ?( x ) ? lim . h? 0 h

导 数 的 概 念

f ?( x0 ) ? f ?( x )

x ? x0

?

d f (x ) 0 dx

12

三、求导举例(几个基本初等函数的导数)
(导数的定义不仅给出了导数的概念 1) 求增量 ? y ? f ( x ? ? x ) ? f ( x ); ,
也提供了计算方法 步 ?y . f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ( 2) 算比值 ? ; ?x ?x 骤
?y lim . ( 3) 求极限 y? ? ? x ? 0 ?x

导 数 的 概 念

P77 例1 求函数 f ( x ) ? C (C为常数) 的导数.
f ( x ? h) ? f ( x ) ? lim C ? C ? 0. 解 f ?( x ) ? lim h? 0 h? 0 h h



( C )? ? 0
13

P77例2 求函数 y ? x n (n为正整数) 的导数.

( x ? h) ? x 解 ( x )? ? lim h? 0 h n( n ? 1) n? 2 n ?1 n ?1 n ?1 ? lim[nx ? x h ? ? ? h ] ? nx h?0 2! n n ?1 即 ? ( x ) ? nx
n n n

导 数 的 概 念

? ?1 ? 更一般地 ( x ) ? ? x . ?

(? ? R)



1 1 2 ?1 ( x )? ? x ? 2 2 x

1

( x )? ? (?1) x
?1

? 1? 1

1 ?? 2 x
14

P78 例3 设函数 f ( x) ? sinx, 求(sin x )?及(sin x )? ? . x? 4 sin( x ? h) ? sin x 解 (sin x )? ? lim h? 0 h h h h sin 2cos( x ? ) ? sin h 2 ? cos x. 2 2 ? lim cos( x ? ) ? ? lim h? 0 h? 0 h 2 h 2 即 (sin x )? ? cos x .
? (sin x )?
x?

导 数 的 概 念

?
4

? cos x

x?

?
4

2 ? . 2

同理可得 (cos x )? ? ? sin x .
15

P78 例4 求函数 f ( x ) ? a (a ? 0, a ? 1) 的导数.
x

导 数 的 概 念

?a 解 (a )? ? lim h? 0 h h a ?1 x ? a lim h? 0 h
x

a

x?h

x

pg65例6结果

? a x ln a .


( a )? ? a ln a
x x

( e )? ? e .
x x

16

P78 例5 求函数 y ? log a x(a ? 0, a ? 1) 的导数.
log a ( x ? h) ? log a x 解 y ? ? lim h? 0 h h log a (1 ? ) 1 x ? lim ? h? 0 h x x x 1 ? 1 lim loga (1 ? h ) h? log a e . x h?0 x x

导 数 的 概 念

1 即 (log a x )? ? log a e x

1 (ln x )? ? . x
17

P78 例6 讨论函数 f ( x ) ?| x | 在x ? 0处的可导性.
f ( 0 ? h) ? f ( 0 ) | h | ? , 解? h h
lim f (0 ? h) ? f (0) 不存在。 h h?0
y

导 数 的 概 念

y? x

O

x

f (0 ? h) ? f (0) ? l i m h ? 1, ? lim h? 0 ? h h ?0 ? h

f ( 0 ? h) ? f ( 0 ) ?h ? lim lim ? ?1. ? h ? 0 h? 0 h h
?

Pr. 函数在该点 是否有切线?



f ?? (0) ? f ?? (0),
18

?函数y ? f ( x)在x ? 0点不可导.

单侧导数
f ( x) ? f ( x0 ) 左导数 ? f ? ( x0 ) ? lim ? x ? x0 x ? x0 (left derivative)

导 数 的 概 念

f ( x) ? f ( x0 ) 右导数 f ?? ( x0 ) ? lim? x ? x0 x ? x0 (right derivative)

f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ? l im? ; ?x ? 0 ?x

f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ? l i m? . ?x ? 0 ?x

此性质常用于判定分段函数在 分段点 处的可导性.
19

如果 f ( x ) 在开区间 ( a , b ) 内可导,且 f ?? (a )

[a, b]上可导 . 和 f ?? ( b ) 都存在, 就说f ( x )在闭区间

导 数 的 概 念

四、导数的几何意义与物理意义
1.几何意义
y

曲线 y ? f ( x) f ?( x0 )表示 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率 , 即
O

T

x0

x
20

曲线y ? f ( x )在点( x0 , f ( x0 ))处的切线方程为 :

y ? y 0 ? f ?( x 0 )( x ? x 0 ).
曲线y ? f ( x )在点( x0 , f ( x0 ))的法线方程为 :

导 数 的 概 念

1 y ? y0 ? ? ( x ? x0 ) f ?( x 0 )

? f ?( x0 ) ? 0 ?.

21

1? 求等边双曲线 y pg81例8 y ? y0 ? ?

y ? y 0 ? f ?( x 0 )( x ? x 0 )
1

并写出在该点处的切线 方程和法线方程 .

f ?( x 0 x )

在点 ,2 ( x ?( x0 ))处的切线的斜率, 2

1

导 数 的 概 念

解 由导数的几何意义, 得切线斜率为 1 1 k ? y ? 1 ? ( )? 1 ? ? 2 1 ? ?4. x? x x?2 x x?2 2
4 x ? y ? 4 ? 0.

1 所求切线方程为 y ? 2 ? ?4( x ? ), 即 2

1 1 法线方程为 y ? 2 ? ( x ? ), 即 4 2 2 x ? 8 y ? 15 ? 0.
22

2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率. 变速直线运动

导 数 的 概 念

路程对时间的导数为物体的瞬时速度; ? s ds v ( t ) ? lim ? . ?t ? 0 ? t dt 交流电路 电量对时间的导数为电流强度; ? q dq i ( t ) ? lim ? . ?t ? 0 ? t dt 非均匀的物体 质量对长度(面积,体积)的导数
为物体的线(面,体)密度.
23

五、可导与连续的关系
定理 如果函数 f ( x )在点x处可导,则函数在 该点必连续.
?y lim ? f ?( x ) 证 设函数 f ( x )在点 x可导, 即 ? x ? 0 ?x

导 数 的 概 念

函数极限与无穷小的关系 ?y ? f ?( x ) ? ? ? ? 0 ( ?x ? 0 ) ?x lim ?y ? lim [ f ?( x )?x ? ??x ]? 0
?x ? 0 ?x ? 0

所以,函数 f ( x )在点 x连续 .
24

注 该定理的逆定理不一定成立.

, 如, f ( x) ? x 在x ? 0处连续
. 但在x ? 0处不可导 , x ? 0为 f ( x )的角点
y

导 数 的 概 念

y? x

O

x

连续是可导的必要条件,不是可导的充分条件.
如何判断函数在某点 处的可导性 不连续, 一定不可导. 直接用导数定义; 看左右导数是否存在且相等.
25

1 ? ? x sin , x ? 0 , EX 讨论函数 f ( x ) ? ? x ? x?0 ? 0, 在x ? 0处的连续性与可导性 . 1 1 x sin ? 0 解 ? sin 是有界函数 , ? lim x ?0 x x ? f (0) ? lim f ( x ) ? 0 ? f ( x )在x ? 0处连续.
1 (0 ? ?x ) si n ?0 1 ?y 0 ? ?x 在x ? 0处, ? si n , ? ?x ?x ?x
x ?0

导 数 的 概 念

当?x ? 0时,

? f ( x )在x ? 0处不可导.

?y 在 ? 1和1之间振荡而极限不存在. ?x
26

? x , 当 x ? x0 , 设f ( x ) ? ? ?ax ? b, 当x ? x0 .
2

导 数 的 概 念

为了使 f(x) 在x0处可导, 应如何选取a,b ?
解 首先函数必须在x0处连续.由于
x ? x0

2 lim f ( x ) ? ax ? b , x f ( x ) ? x , lim f ( x ) ? 0 0. 0 0 ? ?
x ? x0

2

2 故应有 ax0 ? b ? x0 . 又因 f ( x ) ? f ( x0 ) f ??( x0 ) ? lim x ? x0 ? x ? x0

x ? x0 ? lim ? 2 x0 x ? x0 ? x ? x 0
2
27

2

? x2, 当x ? x0 , 设f ( x ) ? ? ?ax ? b, 当x ? x0 .

为了使 f(x) 在x0处可导, 应如何选取a,b?

导 数 的 概 念

(ax ? b) ? x0 f ( x ) ? f ( x0 ) ? lim f ?? ( x0 ) ?xlim x ? x0 ? ?x ? x ? x0 x ? x0 2 (ax ? b) ? (ax0 ? b) ax ? b ? x 0 0 ? lim x ? x0 ? x ? x0 ax ? ax0 ? lim ? a ? 2 x 0 ? f ??( x0 ) x ? x0 ? x ? x 0
0

2

2 从而, 当 a ? 2 x0 , b ? ? x0 , f(x) 在x0处可导.

28

六、小结
导数的实质: 增量比的极限; f ?( x0 ) ? a ? f ?? ( x0 ) ? f ?? ( x0 ) ? a; 导数的几何意义: 切线的斜率; 函数可导一定连续,但连续不一定可导; 求导数最基本的方法: 由定义求导数.

导 数 的 概 念

不连续,一定不可导.
判断可导性 连续 直接用定义;

看左右导数是否存在且相等.
29

作业
P83 5 , 13, 16(2) , 17 , 18

第二节

习题2-1
1 求下列函数的导数: 1 x2 3 x2 (1) y ? 2 ; ( 2) y ? 5 x x
[解答]

2 在抛物线y ? x 2 上取横坐标为x1 ? 1及x 2 ? 5的 两点, 作过这两点的割线 , 求该抛物线上平行于 这条割线的切线方程 .

[解答]

1 ? 2 ? x sin , 3 讨论函数f ( x ) ? ? x ? ? 0, 连续性与可导性 .

x?0 在x ? 0处的 x?0 [解答]
31

? x2, x ? 1 . 问a , b, 取何值时, 4 设函数f ( x ) ? ? ?ax ? b, x ? 0 f ( x )在x ? 1处连续且可导 . [解答]

? sinx, x ? 0 5 已知f ( x ) ? ? , 求f ?( x ). x?0 ? x,

[解答]

6 证明 : 双曲线xy ? a 2上任一点处的切线与两 坐 标轴构成的三角形的面 积都等于2a 2 .

[解答]

32

习题解答

1 求下列函数的导数: 1 x2 3 x2 (1) y ? 2 ; ( 2) y ? x x5
? 2 ?1 ?3 ?2 ? ? ? ? 2 x ? ? 2 x ( 1 ) y ? ( x ) 解

( 2 ) 由于 y ? x

2 5 2? ? 3 2 1 6

?x

1 6
1 ?1 6 5 6

1 ? ? 所以 y ? ( x ) ? x 6

1 ? x 6

?

[返回习题]
33

习题解答

2 的抛物线y ? x 2 上取横坐标为x1 ? 1及x 2 ? 3的两点, 作过这两点的割线 , 求该抛物线上平行于这 条割线 的切线方程. 解 当x ? 1,3时分别求得y1 ? 1, y2 ? 9,
y 2 ? y1 9 ? 1 ?4 ? 于是 k 割 ? x 2 ? x1 3 ? 1 而 k切 ? ( x 2 )? ? 2 x

要 k割 ? k切 , 则x ? 2, 于是 y ? 4,
故所求切线 y ? 4 ? 4( x ? 2), 即 4 x ? y ? 4 ? 0.
[返回习题]
34

习题解答

3 讨论函数f ( x ) ? 在x ? 0处的连续性与可导性.
1 解 lim f ( x ) ? lim x sin ? 0 ? f ( x ), x ?0 x ?0 x
2

故f ( x )在x ? 0处连续.

1 x sin ? 0 f ( x ) ? f ( 0) x 又 f ?(0) ? lim ? lim x ?0 x ?0 x?0 x 1 ? lim x sin ? 0, x ?0 x
2

故 f ( x )在x ? 0处可导.
[返回习题]
35

? 习题解答 ? x2, x ?1 ? 4 设函数f (x) ? ? . ,问a,b取何值时, f (x)在x ?1处连续 ? ? ?ax ? b, x ? 0 且可导.

解 依题得 f (1 ? 0) ? f (1 ? 0) ? f (1), f ?? (1) ? f ?? (1), ? a ? b, 而 f (1 ? 0) ? lim f ( x ) ? lim ( ax ? b ) ?0 ?
x ?1 x ?1 2 ?1

? f (1) ? lim x f (1 ? 0) ? lim f ( x ) ? x ?1 x ?1? f ( x ) ? f (1) ax ? b ? 1 f ?? (1) ? lim ? lim ? x ?1 x ?1? x ?1 x ?1 ax ? (1 ? a ) ? 1 ? a, ? lim ? x ?1 x ?1 x 2 ? 1 ? lim ( x ? 1) f ( x ) ? f (1) ? lim ? 2, f ?? (1) ? lim ? ? ? x ?1 x ?1 x ? 1 x ?1 x ?1 从而 a ? 2, b ? 1 ? 2 ? ?1. [返回习题]
36

习题解答

? sinx, x ? 0 5 已知f ( x ) ? ? , 求f ?( x ). x?0 ? x,

解 当x ? 0时, f ?( x ) ? (sin x )? ? cos x;

当x ? 0时, f ?( x ) ? ( x )? ? 1; f ( x ) ? f ( 0) x?0 当x ? 0时, f ?? (0) ? lim? ? lim? ? 1, x ?0 x ?0 x ? 0 x?0 f ( x ) ? f ( 0) sin x ? 0 f ?? (0) ? lim? ? lim ? 1, x ? 0? x ?0 x?0 x?0 故 f ?(0) ? 1.
?cos x, x ? 0 于是 f ?( x) ? ? . x?0 ?1,
[返回习题]
37

习题解答

6 证明 : 双曲线xy ? a 2 上任一点处的切线与两 坐标轴 构成的三角形的面积都 等于2a 2 .

证 设( x0 , y0 )是xy ? a 2上任一点, 由于y ?

于是 y?

x ? x0

a2 过( x0, y0 )的切线方程 y ? y0 ? ? 2 ( x ? x0 ) x 2 y0 x 令 y ? 0及X ? x0 ? 2 ? 2 x0 , a 2 2 2a a . x ? 0及Y ? y0 ? 2 ? x0 x 故切线与两坐标轴所围 成的三角形的面积 [返回习题] 1 2 A ? XY ? 2a . 2
38

a2 ?? 2 x

a2 x ? x0 ? ? 2 . x

a , x

2


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