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2013版高考数学学案1.1集合


2013 版高考数学一轮复习精品学案:第一章《集合与常用逻辑用语》
〖知识特点〗 1、集合是高中数学的起始章节,主要是强调其工具性和应用性。另外,由于 Venn 图的利用,数形结 合思想的应用也很广泛。 2、常用逻辑用语是认识问题、研究问题不可缺少的工具,以考查四种命题、逻辑联结词和全称命题、 特称命题的否定为主,属容易题目。 3、集合与常用逻辑用语与其他知识的联系也非

常密切,常以本章知识为工具考查函数、方程、三角、 解析几何、立体几何中的知识点。 〖重点关注〗 1、集合的概念、集合间的关系及运算是高考重点考查的内容,正确理解概念是解决此类问题的关键。 2、对命题及充要条件这部分内容,重点关注两个方面内容:一是命题的四种形式及原命题与逆否命 题的等价;二是充要条件的判定。 3、全称命题、特称命题的否定也是高考考查的重点,正确理解两种命题的否定形式是解决此类问题 的关键。 4、本章内容为补集思想、正难则反思想提供了理论依据,同时也应注意这两种思想的应用。 〖地位与作用〗 “集合与常用逻辑用语”这一章主要是讲述集合的初步知识与常用逻辑用语知识两部分,集合的初步 知识是现行高中数学教科书中原来就有的内容。这部分内容主要包括集合的有关概念、集合的表示、集合 的基本关系及集合的基本运算。常用逻辑用语知识则是新增内容,这部分主要是介绍逻辑联结词“或” 、 “且” 、 “非” ,四种命题及其相互关系,全称量词和存在量词及含有它们的命题以及充要条件等有关知识。 集合概念及其基本理论,称为集合论,是近代数学的一个重要基础,一方面,许多重要的学科,如数 学中的数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计等,都建立在集合理论的基础上。另一方面, 集合论及其所反映的数学思想,在越来越广泛的领域中得到应用,因此在历年高考中都有考查集合问题的 题目。一是考查集合的有关概念,集合之间的关系,集合的运算等;二是考查集合的工具性,主要考查集 合语言的应用,集合思想的应用。 逻辑是研究思维形式及规律的一门基础学科,学习数学,需要全面理解概念,正确地进行表述、推理 和判断,这就离不开对逻辑知识的掌握和运用。更广泛地说,在日常生活、学习、工作中,基本的逻辑知 识也是认识问题、研究问题不可缺少的工具,是人们文化素质的组成部分。 常用逻辑用语是每年高考的必考内容,其中量词是新课标新增的内容,是考查的重点。高考对本部分 的考查主要有两个方面:一是全称量词与存在量词、全称命题与特称命题,一般以选择题形式出现,考查
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两种命题的否定命题的写法,是高考的热点;二是充要条件的推理判断以及四种命题的相互关系问题等, 这些内容大多是以其他数学知识为载体,具有较强的综合性。一般在解答题中出现,考查对概念的理解与 应用,难度不会太大。

第一节 【高考新动向】
一、考纲点击 1、了解集合的含义,元素与集合的属于关系;

集 合

2、能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题; 3、理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; 4、在具体情境中,了解全集与空集的含义; 5、理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集; 6、理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; 7、能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算。 二、热点难点提示 1.集合的运算是高考考查的重点. 2.常与函数、方程、不等式交汇,考查学生借助 Venn 图、数轴等工具解决集合的运算问题的能力,要 求学生具备数形结合的思想意识. 3.以选择题、填空题的形式考查,属容易题.

【考纲全景透析】
1.集合:某些指定的对象集在一起成为集合 (1)集合中的对象称元素,若 a 是集合 A 的元素,记作 a ? A ;若 b 不是集合 A 的元素,记作 b ? A (2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性; 确定性:设 A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则或者是 A 的元素,或者不是 A 的元素,两 种情况必有一种且只有一种成立; 互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象) ,因此,同一集合中不 应重复出现同一元素; 无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无关; (3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法; 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内; 描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内 具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,
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在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素 较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。 (4)常用数集及其记法: 非负整数集(或自然数集) ,记作 N; 正整数集,记作 N*或 N+; 整数集,记作 Z; 有理数集,记作 Q; 实数集,记作 R 2.集合的基本关系: (1)集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,则称 A 是 B 的子集(或 B 包含 A) ,记作 A ? B(或

A ? B) ;
集合相等:构成两个集合的元素完全一样。若 A ? B 且 B ? A,则称 A 等于 B,记作 A=B;若 A ? B 且 A≠B,则称 A 是 B 的真子集,记作 A B;

(2)简单性质:1)A ? A;2) ? ? A;3)若 A ? B,B ? C,则 A ? C;4)若集合 A 是 n 个元素的 集合,则集合 A 有 2n 个子集(其中 2n-1 个真子集) ; (3)集合的基本关系以列表的形式表示如下:

3.全集与补集: (1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作 U; (2)若 S 是一个集合,A ? S,则, C S = {x | x ? S且x ? A}称 S 中子集 A 的补集; (3)简单性质:1) C S ( C S )=A;2) C S S= ? , C S ? =S
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4.交集与并集: (1)一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合 A 与 B 的交集。交集

A ? B ? {x | x ? A且x ? B}
(2)一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集。

并集A ? B ? {x | x ? A或x ? B}
注意:①求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键 是“且”与“或” ,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结 合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法 ②集合的基本运算以列表的形式表示如下:

5.集合的简单性质: (1) A ? A ? A, A ? ? ? ?, A ? B ? B ? A; (2) A ? ? ? A, A ? B ? B ? A; (3) ( A ? B) ? ( A ? B); (4) A ? B ? A ? B ? A; A ? B ? A ? B ? B ; (5) C S (A∩B)=( C S A)∪( C S B) , C S (A∪B)=( C S A)∩( C S B) 。

【热点难点全析】
一、集合的基本概念 1、相关链接 (1)由元素与集合的关系,可以分析集合中元素的特征:确定性、互异性和无序性。
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(2)在解决集合的概念的问题时,要注意养成自学使用符号的意识和能力,运用集合的观点分析、 处理实际问题。 (3)集合的表示方法:有列举法、描述法和 Venn 图,在解题时要根据题目选择合适的方法。 注:①要特别注意集合中的元素所代表的特征。 如:A={y|y=x2+2},B={(x,y)|y=x2+2}.其中 A 表示数集,B 表示二次函数 y=x2+2 的图象上所有点组成的 集合,二者不能混淆。 ②注意集合中元素的互异性 对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性. ③常见集合的意义 集合 {x|f(x)=0} {x|f(x)>0} {x|y=f(x)} {y|y=f(x)} {(x,y)|y=f(x)}

集合的 意义

函 数 y=f(x) 方程 f(x)=0 的 不等式 f(x)>0 函 数 y=f(x) 函 数 y=f(x) 的图象上的 解集 的解集 的定义域 的值域 点集

2、例题解析 例 1. (1)设 P、Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若 P={0,2,5},Q={1,2,6},则 P+Q 中元素的个数是( ) (A)9 (B)8 (C)7 (D)6 (2)已知-3∈A={a-2,2a2+5a,12},则 a=______. 【解题指导】(1)从 P+Q 的定义入手,可列表求出 a+b 的值. (2)-3 是 A 中的元素,说明 A 中的三个元素有一个等于-3,可分类讨论. 解析:(1)选 B.根据新定义将 a+b 的值列表如下:

由集合中元素的互异性知 P+Q 中有 8 个元素,故选 B. (2)∵-3∈A,∴a-2=-3 或 2a2+5a=-3, ∴a=-1 或 a ? ? . 当 a=-1 时,a-2=2a2+5a=-3,不合题意; 当 a ? ? . 时,A={ ?

3 2

3 2

7 ,-3,12},符合题意, 2
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故a ? ? . 答案: a ? ? .
2 例 2.集合 A ? ?0, 2, a? , B ? 1, a ,若 A

3 2

3 2

?

?

B ? ?0,1,2,4,16? ,则 a 的值
( )

为 A.0 答案 D
2 解析 ∵ A ? ?0, 2, a? , B ? 1, a , A

B.1

C.2

D.4

?

?

? a 2 ? 16 ∴ a ? 4 ,故选 D. B ? ?0,1,2,4,16? ∴ ? ? a?4

例 3.下列集合中表示同一集合的是( C ) A.M = {(3,2)},N = {(2,3)} C.M = {4,5},N = {5,4} 答案:C 解析:由集合中元素的特征(确定性、无序性、唯一性)即得。 二、集合间的基本关系和运算 1、相关链接 (1) 子集与真子集的区别与联系: 集合 A 的真子集一定是其子集, 而集合 A 的子集不一定是其真子集; 若集合 A 有 n 个元素,刚其子集个数为 2n,真子集个数为 2n-1,非空真子集个数为 2n-2. (2)全集是一个相对概念,一个全集又可以是另一个集合的子集或真子集,是我们为研究集合关系临 时选定的一个集合. (3)集合 A 与其补集的区别与联系:两者没有相同的元素,两者的所有元素合在一起,就是全集. (4)集合的基本运算包括交集、并集和补集.在解题时要注意 Venn 图及补集思想的应用。 (5)集合的简单性质: ① A ? A ? A, A ? ? ? ?, A ? B ? B ? A; ② A ? ? ? A, A ? B ? B ? A; , A ? ? ? A , A ? A ? B , B ? A ③ ( A ? B) ? ( A ? B); ④ A ? B ? A ? B ? A; A ? B ? A ? B ? B ; ⑤ C S (A∩B)=( C S A)∪( C S B) , C S (A∪B)=( C S A)∩( C S B) 。 ⑥ 若A ? B, B ? C, 则A ? C ;若 A B,B C,则 A C B.M = {(x,y)|x + y = 1},N = {y|x +y = 1} D.M = {1,2},N = {(1,2)}

B

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(6)方法指导: ①解决集合相等问题的一般思路 若两个集合相等,首先分析已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等,有几种情况等,然后列方程组求 解,要注意挖掘题目中的隐含条件. ②判断两集合关系的常用方法: <1>化简集合,从表达式中寻找两集合间的关系; <2>用列举法表示各集合,从元素中寻找关系. ③集合运算的常用方法 <1>集合元素离散时借助 Venn 图运算; <2>集合元素连续时借助数轴运算,借助数轴运算时应注意端点值的取舍.

2、例题解析 例 1:(1)(2011·山东高考)设集合 M={x|x +x-6<0}, N={x|1≤x≤3},则 M∩N=( (A)[1,2) (B)[1,2] (C)(2,3] (D)[2,3] )
2

)

(2)(2011·湖南高考)设全集 U=M∪N={1,2,3,4,5},M∩ ?U N ={2,4},则 N=( (A){1,2,3} (B){1,3,5} (C){1,4,5} (D){2,3,4}

(3)(2011· 辽宁高考)已知 M, N 为集合 I 的非空真子集, 且 M, N 不相等, 若 N∩ ?I M =?, 则 M∪N=( (A)M (B)N (C)I (D)?

)

【解题指导】(1)化简集合 M,借助数轴求解. (2)借助于 Venn 图知 ?U N ? M, 从而 M (3)借助于 Venn 图寻找集合 M,N 的关系. 解析:(1)选 A.∵M={x|-3<x<2},∴M∩N={x|1≤x<2}. (2)选 B.∵U=M∪N, ?痧 U N ? M,?M 又 N
U

痧 UN ?

U

N.

N ? UN ? ?2, 4?,

?UN ? U, ?N ? ?1, 3, 5?.

(3)选 A.如图,∵N∩ ?I M =?,∴N?M,∴M∪N=M.

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例 2: 已知集合 A={y|y -(a +a+1)y+a(a +1)>0},B={y|y -6y+8≤0},若 A∩B≠φ ,则实数 a 的取值范围 为( ) . 分析:解决数学问题的思维过程,一般总是从正面入手,即从已知条件出发,经过一系列的推理和运 算,最后得到所要求的结论,但有时会遇到从正面不易入手的情况,这时可从反面去考虑.从反面考虑问 题在集合中的运用主要就是运用补集思想.本题若直接求解,情形较复杂,也不容易得到正确结果,若我 们先考虑其反面,再求其补集,就比较容易得到正确的解答. 解:由题知可解得 A={y|y>a +1 或 y<a}, B={y|2≤y≤4},我们不妨先考虑当 A∩B=φ 时 a 的范围.如 图 由?
2

2

2

2

2

?a ? 2 ?a ? 1 ? 4
2

,得 ?

?a ? 2 ?a ? 3或a ? ? 3

a 2

4 a2+1

∴a ? ? 3或 3 ? a ? 2. 即 A∩B=φ 时 a 的范围为 a ? ? 3 或 3 ? a ? 2 .而 A∩B≠φ 时 a 的范围显然是其补集,从而所求范围 为 a | a ? 2或 ? 3 ? a ? 3 . 注: (1)一般地,我们在解时,若正面情形较为复杂,我们就可以先考虑其反面,再利用其补集,求得其解, 这就是“补集思想” . (2)解决含参数问题的集合运算,首先要理清题目要求,看清集合间存在的相互关系,注意分类讨论 思想的应用。空集作为一个特殊集合与非空集合间的关系,在解题中漏掉它极易导致错解。 三、集合与其他知识的综合应用 例 1: (本小题满分 13 分) 已知集合 A ? {a1 , a2 , a3 ,?, an } ,其中 ai ? R(1 ? i ? n, n ? 2) ,l ( A) 表示和 ai ? a j (1 ? i ? j ? n) 中所有不同值的个数. (Ⅰ)设集合 P ? {2,4,6,8} , Q ? {2,4,8,16} ,分别求 l ( P) 和 l (Q) ; (Ⅱ)若集合 A ? {2,4,8,?,2 },求证: l ( A) ?
n

?

?

n(n ? 1) ; 2

(Ⅲ) l ( A) 是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由? 解: (Ⅰ)由 2 ? 4 ? 6,2 ? 6 ? 8,2 ? 8 ? 10,4 ? 6 ? 10,4 ? 8 ? 12,6 ? 8 ? 14, 得 l ( P) ? 5 . 由 2 ? 4 ? 6,2 ? 8 ? 10,2 ? 16 ? 18,4 ? 8 ? 12,4 ? 16 ? 20,8 ? 16 ? 24, 得 l (Q) ? 6 .--------------------5 分
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(Ⅱ)证明:因为 ai ? a j (1 ? i ? j ? n) 最多有 C n ?
2

n(n ? 1) n( n ? 1) . 个值,所以 l ( A) ? 2 2

又集合 A ? {2,4,8,?,2 n }, 任取 ai ? a j , ak ? al (1 ? i ? j ? n,1 ? k ? l ? n), 当 j ? l 时,不妨设 j ? l ,则 ai ? a j ? 2a j ? 2 j ?1 ? al ? ak ? al , 即 ai ? a j ? ak ? al . 当 j ? l , i ? k 时, ai ? a j ? ak ? al . 因此,当且仅当 i ? k , j ? l 时, ai ? a j ? ak ? al . 即所有 ai ? a j (1 ? i ? j ? n) 的值两两不同, 所以 l ( A) ?

n( n ? 1) . 2

---------------9 分

(Ⅲ) l ( A) 存在最小值,且最小值为 2n ? 3 . 不妨设 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an , 可得

a1 ? a2 ? a1 ? a3 ? ? ? a1 ? an ? a2 ? an ? ? ? an?1 ? an ,
所以 ai ? a j (1 ? i ? j ? n) 中至少有 2n ? 3 个不同的数,即 l ( A) ? 2n ? 3. 事实上,设 a1 , a2 , a3 ,?, an 成等差数列, 考虑 ai ? a j (1 ? i ? j ? n) ,根据等差数列的性质, 当 i ? j ? n 时, ai ? a j ? a1 ? ai ? j ?1 ; 当 i ? j ? n 时, ai ? a j ? ai ? j ?n ? an ; 因此每个和 ai ? a j (1 ? i ? j ? n) 等于 a1 ? ak (2 ? k ? n) 中的一个,或者等于 al ? an (2 ? l ? n ? 1) 中的一个. 所以对这样的 A, l ( A) ? 2n ? 3 ,所以 l ( A) 的最小值为 2n ? 3 . ---------------13 分

2 2 例 2: (本小题满分 12 分)已知集合 A ? x x ? x ? 12 ? 0 ,集合 B ? x x ? 2x ? 8 ? 0 ,集合

?

?

?

?

C ? ? x x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0, a ? 0? ,
(Ⅰ)求 A

(CR B) ;

(Ⅱ)若 C ? ( A ? B) ,试确定实数 a 的取值范围.
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解答: (Ⅰ)依题意得: A ? ?x ? 3 ? x ? 4?, B ? ?x x ? ?4 或 x ? 2? , A (CR B) ? (?3, 2] (Ⅱ)∴ A B ? ?x 2 ? x ? 4? ①若 a ? 0 ,则 C ? ?x x2 ? 0? ? ? 不满足 C ? ( A B) ②若 a ? 0 ,则 C ? ?x a ? x ? 3 a? ,由 C ? ( A B) 得 ? ③若 a ? 0 ,则 C ? ?x 3a ? x ? a? ,由 C ? ( A B) 得 ? 综上,实数 a 的取值范围为 ? a ? 2
4 3

???4 分 ?6 分

∴a?0

?a ? 2 4 ? ?a?2 ?3a ? 4 3

????????8 分 ???????10 分 ??????12 分

?3a ? 2 ? a ?? ?a ? 4

【高考零距离】
1. (2012·湖南高考理科·T1)设集合 M={-1,0,1},N={x|x2≤x},则 M∩N= A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,1} 【解题指南】 求出集合函数 N 中所含有的元素,再与集合 M 求交集。
2 2 x 1} x 1 所以 N= { x 0剟 【解析】选 B. 由 x ? x 得 x - x ? 0 , x (x - 1)? 0 , 0剟 ,所以 M I N={0,1}

故选 B 2. (2012·北京高考理科·T1)已知集合 A={x∈R|3x+2>0} ,B={x∈R|(x+1)(x-3)>0}, 则 A∩B= ( ) (A) (- ? ,-1)

2 (B) (-1,- 3 )

2 (C ) (- 3 ,3)

(D) (3,+ ? )

【解题指南】通过解不等式先求出 A、B 两个集合,再取交集。

2 {x | x ? ? } 3 , B ? {x | x ? ?1或x ? 3} ,所以 A B ? {x | x ? 3}。 【解析】选 D 集合 A=
3. (2012·广东高考理科·T2)设集合 U={1,2,3,4,5,6}, M={1,2,4 } 则 A.U B.{1,3,5} C.{3,5,6} D.{2,4,6}

CU M ?

【解题指南】掌握补集的定义: 【解析】选 C.

? U M ? {x | x ?U , 且x ? M } 本题易解。

? U M ? {3,5,6} .

4. (2012·江苏高考数学科·T1)已知集合

A ? ?1,2,4?, B ? ?2,4,6?

,则 A

B?

【解题指南】从集合的并集的概念角度处理。 【解析】 A

B ? {1, 2, 4, 6}

答案: {1, 2, 4,6} ( 2011· 新课标全国文科 · T 1 )已知集合 5. ( ) B.4 个 C.6 个 D.8 个
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M ? ?0,1, 2, 3, 4 5P , ?M ? ,N ? ? 1, 3,?

N , P 则 的子集共有

A.2 个

【思路点拨】确定 M

N 的元素个数 n ,子集个数为 2n .

【精讲精析】选 B 由已知得 P ? M

N= {1,3} ,? P 的子集有 22=4 个.

6. (2011· 福建卷文科· T12)在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”,记为[k],即 [k]={5n+k 丨 n∈Z},k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论: ①2 011∈[1] ②-3∈[3]; ③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]; ④“整数 a,b 属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”. 其中,正确结论的个数是( (A).1 (B).2 ) (C).3 (D).4

【思路点拨】根据题目中所给的“类”的概念,对逐个选项进行判断,从中找出正确的. 【精讲精析】选 C. 对于①: 2011 ? 5 ? 402 ? 1 ,? 2011? [1], 故①正确;

(-1 ) +2 ,?-3 ?[2] ,故②不正确; 对于②: -3=5 ?
对于③: 整数集 Z

被5除,所得余数共分为五类. ?Z ? ?0?

?1? ?2? ?3? ?4?

,故③正确;对于④:若整数 a , b 属于同一类,则

a ? 5n1 ? k , b ? 5n2 ? k ,?a ? b ? 5n1 ? k ? (5n2 ? k ) ? 5(n1 ? n2 ) ? 5n ,
?a ? b ??0?
,若 a ? b ? [0], 则a - b ? 5n,即a ? b ? 5n, 故a与b被5除的余数为同一个数

? a与b属于同一类 , 所以"整数a, b属于同一类"的充要条件是 “ a ? b ??0?" ,故④正确,? 正确结论的个
数是 3. (2011· 福建卷文科· T1)若集合 M={-1,0,1} ,N={0,1,2} ,则 M∩N 等于( 7. (A).{0,1} (C).{0,1,2} (B).{-1,0,1} (D).{-1,0,1,2} )

【思路点拨】直接取集合 M 和集合 N 的公共元素,即可得 M 【精讲精析】选 A.

N.

M= {-1,0,1},N= {0,1,2}, ?M

N= {0,1}.

【考点提升训练】
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一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.(预测题)设全集 U=R,A={x|x(x-2)<0},B={x|y=ln(1-x)},则 A∩( ? UB)是( (A)(-2,1) (C)(-2,1] (B)(1,2) (D)[1,2)
1

)

2.(2012?龙岩模拟)集合 A={ x | y ? x 2 },B={y|y=log2x,x>0},则 A∩B 等于( (A)R (B)? (C)[0,+∞) (D)(0,+∞)



3.(2012·蚌埠模拟)已知集合 M={x|y= 2 ? x },集合 N={y|y=x2-2x+1,x∈R},则 M∩N=( (A){x|x≤2} (C){x|0≤x≤2} (B){x|x≥2} (D)? )

)

4.设集合 A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R}.若 A∩B=?,则实数 a 的取值范围是( (A){a|0≤a≤6} (C){a|a≤0 或 a≥6} (B){a|a≤2 或 a≥4} (D){a|2≤a≤4}

5.(2012·三明模拟)已知集合 A={x|(x2+ax+b)(x-1)=0},集合 B 满足条件 A∩B={1,2},若 U=R 且 A∩ ( ? UB)={3},则 a+b=( (A)-1 (B)1 ) (C)3 (D)11 )

6.集合 S?{1,2,3,4,5},且满足“若 a∈S,则 6-a∈S” ,这样的非空集合 S 共有 ( (A)5 个 (B)7 个 (C)15 个 (D)31 个

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.(2012·安庆模拟)设集合 A={5,log2(a+3)},集合 B={a,b},若 A∩B={2},则 A∪B=_______. 8.已知集合 A={x|x≤a},B={x|1≤x≤2},且 A∪ ? RB=R,则实数 a 的取值范围是________. 9.已知集合 A={a,b,2},B={2,b2,2a},且 A∩B=A∪B,则 a=_______. 三、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 10.(易错题)已知集合 A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},分别求适合下列条件的 a 的值. (1)9∈(A∩B); (2){9}=A∩B. 11.(2012·天水模拟)已知集合 A={x|a-1<x<2a+1},B={x|0<x<1},若 A∩B=?,求实数 a 的取值范围. 【探究创新】 (16 分)设集合 A={x|-1≤x≤2},B={x|x2-(2m+1)x+2m<0}. (1)当 m<

1 时,化简集合 B; 2
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(2)若 A∪B=A,求实数 m 的取值范围;

(3)若 ? RA∩B 中只有一个整数,求实数 m 的取值范围.

答案解析
1.【解析】选 D.由 x(x-2)<0 得 0<x<2, ?A={x|0<x<2}, 由 1-x>0 得 x<1,?B={x|x<1}, ? ? UB={x|x≥1}, ?A∩( ? UB)={x|1≤x<2}. 2.【解析】选 C.A={ x | y ? x
1 2

}={x|x≥0}=[0,+≦),B={y|y=log2x,x∈(0,+≦)}=R,?A∩B=[0,+≦).

3.【解析】选 C.由 2-x≥0 得 x≤2,?M={x|x≤2}, 2 2 ≧y=x -2x+1=(x-1) ≥0. ?N={y|y≥0},?M∩N={x|0≤x≤2}. 4.【解析】选 C.由|x-a|<1 得 a-1<x<a+1,又 A∩B=?,所以 a+1≤1 或 a-1≥5,解得 a≤0 或 a≥6. 5.【解析】选 B.由题意知 A={1,2,3},即 2,3 是方程 x +ax+b=0 的两根, ?b=2×3=6,a=-(2+3)=-5,?a+b=1. 6.【解析】选 B.若满足条件,则单元素的集合为{3};两个元素的集合为{1,5},{2,4};三个元素的集合为 {1,3,5},{2,3,4};四个元素的集合为{1,2,4,5};五个元素的集合为{1,2,3,4,5},共有 7 个. 7.【解析】≧A∩B={2},?2∈A,则 log2(a+3)=2. ?a=1,?b=2.?A={5,2},B={1,2}. ?A∪B={1,2,5}. 答案:{1,2,5} 8.【解析】≧ ? RB=(-≦,1)∪(2,+≦)且 A∪ ? RB=R,?{x|1≤x≤2}?A, ?a≥2. 答案: [2,+≦) 9.【解题指南】解答本题有两个关键点:一是 A∩B=A∪B?A=B;二是由 A=B,列方程组求 a,b 的值.
2

?a ? 2a ?a ? b 2 ? ? 2 【解析】由 A∩B=A∪B 知 A=B,? ? b ? b 或 ? b ? 2a ?a ? b ?a ? b ? ?

1 ? a? ? ?a ? 0 ? 1 4 解得 ? 或? ,?a=0 或 a= . 4 ?b ? 1 ? b ? 1 ? ? 2
答案:0 或

1 4

10.【解析】(1)≧9∈(A∩B),?9∈A 且 9∈B, 2 ?2a-1=9 或 a =9, ?a=5 或 a=-3 或 a=3, 经检验 a=5 或 a=-3 符合题意. ?a=5 或 a=-3. (2)≧{9}=A∩B,?9∈A 且 9∈B,
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由(1)知 a=5 或 a=-3 当 a=-3 时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9}, 此时 A∩B={9}, 当 a=5 时,A={-4,9,25},B={0,-4,9}, 此时 A∩B={-4,9},不合题意. 综上知 a=-3. 【变式备选】已知全集 S={1,3,x +3x +2x},A={1,|2x-1|},如果 ? SA={0},则这样的实数 x 是否存在?若 存在,求出 x,若不存在,请说明理由.
3 2

【解析】≧ ? SA={0},?0∈S,0 ? A, 3 2 ?x +3x +2x=0, 解得 x=0 或 x=-1,或 x=-2. 当 x=0 时,|2x-1|=1 不合题意; 当 x=-1 时,|2x-1|=3∈S,符合题意; 当 x=-2 时,|2x-1|=5 ? S,不合题意. 综上知,存在实数 x=-1 符合题意. 11.【解析】≧A∩B=?, (1)当 A=? 时,有 2a+1≤a-1?a≤-2; (2)当 A≠? 时,有 2a+1>a-1?a>-2. 又≧A∩B=?,则有 2a+1≤0 或 a-1≥1?

1 1 或 a≥2,?-2<a≤或 a≥2, 2 2 1 由以上可知 a≤或 a≥2. 2
a≤【方法技巧】集合问题求解技巧 (1)解答集合问题,首先要正确理解集合的有关概念,特别是集合中元素的三个特性,对于用描述法给出的 集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素 x 以及它所具有的性质 P;要重视图示法的作用,通过数形结 合直观解决问题. (2)注意 ? 的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,如 A?B,则有 A=? 或 A≠? 两种可能,此时应分类讨论. 【探究创新】 2 【解析】≧不等式 x -(2m+1)x+2m<0?(x-1)(x-2m)<0. (1)当 m<

1 时,2m<1,?集合 B={x|2m<x<1}. 2

(2)若 A∪B=A,则 B?A,≧A={x|-1≤x≤2},

1 时,B={x|2m<x<1},此时-1≤2m<1? 2 1 1 - ≤m< ; 2 2 1 ②当 m= 时,B=?,有 B?A 成立; 2 1 ③当 m> 时,B={x|1<x<2m},此时 1<2m≤2? 2 1 <m≤1; 2
①当 m<
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综上所述,所求 m 的取值范围是(3)≧A={x|-1≤x≤2}, ? ? RA={x|x<-1 或 x>2}, ①当 m< -

1 ≤m≤1. 2

1 时,B={x|2m<x<1},若 ? RA∩B 中只有一个整数,则-3≤2m<-2? 2

3 ≤m<-1; 2 1 ②当 m= 时,不符合题意; 2 1 3 ③当 m> 时,B={x|1<x<2m},若 ? RA∩B 中只有一个整数,则 3<2m≤4,? <m≤2. 2 2 3 3 综上知,m 的取值范围是- ≤m<-1 或 <m≤2. 2 2

【思维总结】
集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言,并用集合语言表达数学问题,运用集合 观点去研究和解决数学问题。 1.学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素,熟练运用集合的各种符号,如 ? 、? 、 ? 、 、=、

CR A 、∪,∩等等;
2.强化对集合与集合关系题目的训练,理解集合中代表元素的真正意义,注意利用几何直观性研究 问题,注意运用 Venn 图解题方法的训练,加强两种集合表示方法转换和化简训练;解决集合有关问题的 关键是准确理解集合所描述的具体内容 (即读懂问题中的集合) 以及各个集合之间的关系, 常常根据 “Venn 图”来加深对集合的理解,一个集合能化简(或求解) ,一般应考虑先化简(或求解) ; 3.确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容,解决问题时应根据 问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。 ① 区别∈与 、 与 ? 、a 与{a}、φ 与{φ }、{(1,2)}与{1,2}; ② A ? B 时,A 有两种情况:A=φ 与 A≠φ ③若集合 A 中有 n (n ? N ) 个元素, 则集合 A 的所有不同的子集个数为 2 , 所有真子集的个数是 2 -
n n

1, 所有非空真子集的个数是 2 ? 2
n

④区分集合中元素的形式: 如 A ? {x | y ? x 2 ? 2x ? 1} ;
B ? { y | y ? x 2 ? 2x ? 1} ;

C ? {( x, y) | y ? x 2 ? 2x ? 1} ;
D ? {x | x ? x 2 ? 2x ? 1} ;
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E ? {( x, y) | y ? x 2 ? 2x ? 1, x ? Z , y ? Z} ;

F ? {( x, y' ) | y ? x 2 ? 2x ? 1} ;
y G ? {z | y ? x 2 ? 2 x ? 1, z ? } x
⑤空集是指不含任何元素的集合。{0} 、? 和 {? } 的区别; 0 与三者间的关系。 空集是任何集合的子集, 是任何非空集合的真子集。条件为 A ? B ,在讨论的时候不要遗忘了 A ? ? 的情况。 ⑥符号 “ ?, ? ” 是表示元素与集合之间关系的, 立体几何中的体现点与直线 (面) 的关系 ; 符号 “ ?, ? ” 是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现面与直线(面)的关系。

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