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圆锥曲线基础测试题及答案


圆锥曲线基础测试
1. 已知椭圆
x
2

?

y

2

? 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 ,则 P 到另一焦点距离为 (



25

16

A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 2.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 1 8 ,焦距为 6 ,则椭圆的方程为 A.
x
2





?

y

2

?1

B.

x

2

?

y

2

?1

C.

x

2

?

y

2

? 1或

x

2

?

y

2

?1

D.以上都不对 ( )

9

16

25

16

25

16

16

25

3.动点 P 到点 M (1, 0 ) 及点 N ( 3 , 0 ) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是

A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线 4.设双曲线的半焦距为 c ,两条准线间的距离为 d ,且 c ? d ,那么双曲线的离心率 e 等于( A. 2 5.抛物线 y A.
5 2
2

) )

B. 3
2

C. 2
15 2

D. 3 (

? 10 x 的焦点到准线的距离是

B. 5

C.

D. 10 ( D. ( ? 7 , ? 2 1 4 ) )

6.若抛物线 y ? 8 x 上一点 P 到其焦点的距离为 9 ,则点 P 的坐标为 A. ( 7 , ? 1 4 )
2 2

B. (1 4 , ? 1 4 )
3 2

C. ( 7 , ? 2 1 4 )

7.若椭圆 x ? m y ? 1 的离心率为

,则它的长半轴长为_______________.

8.双曲线的渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,焦距为 1 0 ,这双曲线的方程为_______________。 9.若曲线
x
2

4? k
2

?

y

2

1? k

? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是



10.抛物线 y ? 6 x 的准线方程为 11.椭圆 5 x ? ky
2 2
2

. 。
2

? 5 的一个焦点是 ( 0 , 2 ) ,那么 k ?

12. k 为何值时,直线 y ? k x ? 2 和曲线 2 x ? 3 y ? 6 有两个公共点?有一个公共点?没有公共点? 13.在抛物线 y ? 4 x 上求一点,使这点到直线 y ? 4 x ? 5 的距离最短。
2

14.双曲线与椭圆有共同的焦点 F1 ( 0 , ? 5 ) , F 2 ( 0 , 5 ) ,点 P (3, 4 ) 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点, 求渐近线与椭圆的方程。 15.若动点 P ( x , y ) 在曲线
x
2

?

y b

2 2

? 1( b ? 0 ) 上变化,则 x ? 2 y 的最大值为多少?
2

4

-1-

参考答案
1.D 点 P 到椭圆的两个焦点的距离之和为 2 a 2.C
2 a ? 2 b ? 1 8 , a ? b ? 9 , 2 c ? 6 , c ? 3, c
2 2
2 2

? 1 0 ,1 0 ? 3 ? 7
2

? a ?b
2

? 9, a ? b ? 1

得a 3.D 4.C 5.B

? 5, b ? 4

,?

x

?

y

? 1或

x

2

?

y

?1

25

16

16

25

P M ? P N ? 2, 而 M N ? 2
2 2 2

,?

P

在线段 M N 的延长线上

2a c

? c, c

2

? 2a ,e
2

2

?

c a

? 2, e ?

2

2 p ? 10, p ? 5

,而焦点到准线的距离是 p
? ? 2 的距离,得 x P ? 7 , y p ? ? 2 1 4

6.C 点 P 到其焦点的距离等于点 P 到其准线 x 7. 1, 或 2 当m
? 1 时,
x
2

?

y

2

1

1 m

? 1, a ? 1



当0 ?

m ? 1 时,

y

2

1 m

?

x

2

? 1, e

2

?

a ?b
2

2

1

a

2

?1? m ?

3 4

,m ?

1 4

,a

2

?

1 m

? 4, a ? 2

8.

x

2

?

y

2

? ?1

设双曲线的方程为 x 2
2 2

? 4y

2

? ? , (? ? 0)

,焦距 2 c

? 10, c

2

? 25

20

5

当?

? 0

时,

x

?

?

y

?
4

? 1, ? ?

?
4

? 2 5, ? ? 2 0



当?

? 0

时,

y ?

2

?
4

?

x

2

??

? 1, ? ? ? ( ?

?
4

) ? 2 5, ? ? ? 2 0

9. ( ? ? , ? 4 ) ? (1, ? ? ) 10. x 11. 1
? ? 3 2

( 4 ? k )(1 ? k ) ? 0 , ( k ? 4 )( k ? 1) ? 0 , k ? 1, 或 k ? ? 4

2 p ? 6 , p ? 3, x ? ?
2

p 2

? ?

3 2

焦点在 y 轴上,则

y

5 k

?

x

2

? 1, c

2

?

5 k

? 1 ? 4, k ? 1

1

12.解:由 ?

? y ? kx ? 2 ?2x ? 3 y
2
2

2

? 6

,得 2 x 2
2

? 3(kx ? 2 ) ? 6
2

,即 ( 2 ? 3 k 2 ) x 2

? 12 kx ? 6 ? 0

? ? 144k

? 24(2 ? 3k ) ? 72 k

2

? 48

-2-

当?

? 72k

2

? 48 ? 0

,即 k

?

6 3 6 3 6

,或 k ? ?

6 3 6 3

时,直线和曲线有两个公共点;

当?

? 72k

2

? 48 ? 0

,即 k

?

,或 k ? ?

时,直线和曲线有一个公共点;

当?

? 72k

2

? 48 ? 0

,即 ?

? k ?

6 3

时,直线和曲线没有公共点。
4t ? 4t ? 5
2

3

13.解:设点 P ( t , 4 t 当t
? 1 2

2

) ,距离为 d

,d

?

4t ? 4t ? 5
2

?

17

17

时, d 取得最小值,此时 P (

1 2

, 1) 为所求的点。
2 2 2

14.解:由共同的焦点 F1 ( 0 , ? 5 ) , F 2 ( 0 , 5 ) ,可设椭圆方程为
y b
2 2

y a

?

x
2

a ? 25

?1



双曲线方程为

?

x

2 2

25 ? b

? 1 ,点 P (3, 4 )

在椭圆上,

16 a
2

?

9 a ? 25
2

? 1, a

2

? 40

双曲线的过点 P (3, 4 ) 的渐近线为 y

?

b 25 ? b
2

x

,即 4

?

b 25 ? b
2

? 3, b

2

? 16

所以椭圆方程为

y

2

?

x

2

? 1 ;双曲线方程为

y

2

?

x

2

?1

40

15

16
2

9
2

15.解:设点 P ( 2 c o s ? , b s in ? ) , x 2 令T 当
b 4
? x ? 2 y , s in ? ? t , ( ? 1 ? t ? 1)
2

? 2 y ? 4 c o s ? ? 2 b s in ? ? ? 4 s in ? ? 2 b s in ? ? 4 ? ? 4 t ? 2 b t ? 4 , ( b ? 0 ) ,对称轴 t ?
2

,T

b 4

? 1, 即 b ? 4

时, T m a x
b
2

? T |t ? 1 ? 2 b

;当 0

?
2

b 4

? 1, 即 0 ? b ? 4

时,

Tm ax ? T |

t?

b 4

?

? 4

4

? ( x ? 2y m )
2

a

?b ? 4 , 0 b ? ? ? ? ? 4 x ? 2 b ,b ? 4 ?

4

-3-


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