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数学文.doc山东聊城


www.ycy.com.cn 山东省聊城市堂邑中学 2013 届高三 10 月月考

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数学(文)试题
考试时间:100 分钟; 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上

第 I 卷(选择题)
一、选择题 1.若一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面互相垂直,则这两个二面角的大小 A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.无法确定 2.设函数 f ? x ? ? 3sin x ? 2cos x ?1 ,若实数 a, b, c 使得 af ? x ? ? bf ? x ? c ? ? 1对任意实数 x 恒成

b cos c 的值等于 a 1 A. ? B. 2
立,则 3.集合 M

1 2

C.

?1

D.1

? {0,1,2,3,4}, N ?{0,2,4}, P ? M ? N ,则 P 的子集共有
B.8 个 C.10 个

2 . 4 . 6

A.6 个

D.12 个

4.下列函数中,即是偶函数又在 (0,??) 单调递增的函数是 A. y 5.函数

? x3

B. y ? ?

x ?3

C. y ? ? x

2

?1

D. y

?2

x

f ( x) ? ( x ? 3)e x 的单调增区间是
B. (0,3) C. (1,4) D. (2, ??)

A. (??,2) 6.下列命题错误的是

A. 命题“若 x ? y ? 0 ,则 x ? y ? 0 ”的逆否命题为“若 x, y 中至少有一个不为 0 ,则
2 2

x 2 ? y 2 ? 0 ”;
2 B. 若命题 p : ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ;

2

C. ?ABC 中, sin A ? sin B 是 A ? B 的充要条件; D. 若 向 量 a, b 满 足 a ? b ? 0 , 则 a 与 b 的 夹 角 为 钝 角 .
1

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7.函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) (其中 | ? |? 把 y ? f (x) 的图象上所有点

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?
2

)的图象如图所示,为了得到 y ? sin ?x 的图象,只需

A.向右平移

? 个单位长度 6 ? 个单位长度 6

B.向右平移

? 个单位长度 12 ? 个单位长度 12
??? ?

C.向左平移

D.向左平移

8.若不重合的四点 P, A, B, C ,满足 PA ? PB ? PC ? 0 , AB ? AC ? mAP ,则实数 m 的值为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

??? ??? ??? ? ? ?

??? ??? ? ?

9.已知集合 A ? ??1,0,1 , B ? ?1,2? ,则 A ? B 等于 ? A. ??1,0,1? B. ?0,1? C. ?1? D. ?1, 2?

2 10.设函数 f ( x) ? cos ( x ?

?

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为

) ? sin 2 ( x ? ), x ? R ,则函数 f ( x) 是 4 4
D.最小正周期为

?

? 的奇函数 2

B.最小正周期为 ? 的偶函数

? 的偶函数 2

11.如图,是一个几何体的正视图(主视图) 、侧视图(左视图) 、俯视图,正视图(主视图) 、侧 视图(左视图)都是矩形,则该几何体的体积是

A.24 12. 函数 y ? A. ?? 1,1?

B.12

C.8

D.4

1 1 cos 2 x - sin x ? 的值域是 2 2
B. ?1, 5 ?
? 4? ? ?

C. ?0,2?

D. ?? 1, 5 ?
? ? 4? ?

2

www.ycy.com.cn 第 II 卷(非选择题)
二、填空题

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13. 若方程 x 4 ? ax ? 4 ? 0 的各个实根 x1 , x2 ,?, xk (k ? 4) 所对应的点 ( xi , 直线 y ? x 的同侧,则实数 a 的取值范围是__________. 14.△ABC 中 B=120°,AC=2 3 ,AB=2,则△ABC 的面积为_________.

4 ) (i ? 1,2,?, k ) 均在 xi

15. 某单位有老年人 27 人,中年人 54 人,青年人 81 人,为调查身体健康状况,需要从中抽取一 个容量为 36 的样本,用分层抽样方法应分别从老年人、中年人、青年人中应各抽取 16.对函数 f ( x) ? x sin x ,现有下列命题: ① 函数 f ( x ) 是偶函数; ② 函数 f ( x ) 的最小正周期是 2? ; ③ (? ,0) 是函数 f ( x ) 的图象的一个对称中心; 点

④ 函数 f ( x ) 在区间 ? 0,

? ?? ? ? ? ? 上单调递增,在区间 ? ? 2 , 0 ? 上单调递减。 ? 2? ? ?

其中是真命题的是 三、解答题 17. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? ?2 ? 10 cost , ? ( t 为参数) ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? y ? 10 sin t ?

? ? 2 cos? ? 6 sin ? .
(Ⅰ)将曲线 C1 的参数方程化为普通方程,将曲线 C 2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)曲线 C1 , C 2 是否相交,若相交请求出公共弦的长,若不相交,请说明理由.

? ?? 0 18.已知平面上三个向量 a, b, c, 的模均为 1,它们相互之间的夹角均为120 。
(I)求证: ( a ? b ) ? c ; (II)若

?

?

?

? ? ? ka ? b ? c ? 1 (k ? R) ,求 k 的取值范围。

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19. (本题满分 14 分) 如图所示,在正三棱柱 ABC -A1B1C1 中,底面边长和侧棱长都是 2,D 是侧棱 CC1 上任意一点, E 是 A1B1 的中点。

(I)求证:A1B1//平面 ABD; (II)求证:AB⊥CE; (III)求三棱锥 C-ABE 的体积。 20. (本题满分 14 分)

x 2 y2 5 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 3. a b 3
(1)求椭圆 C 的方程; (2)过椭圆 C 上的动点 P 引圆 O:x2+y2=b2 的两条切线 PA、PB,A、B 分别为切点,试探究 椭圆 C 上是否存在点 P,由点 P 向圆 O 所引的两条切线互相垂直?若存在,请求出点 P 的 坐标;若不存在,请说明理由. 21. (本题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x 3 ? 2 x 2 ? x ? 4, g ( x) ? ax2 ? x ? 8 (1)求函数 f (x) 极值; (2)当 x ? [0,??)时, 不等式f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

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参考答案
1.D 【解析】解:如果两个二面角的半平面分别对应垂直,那么这两个二面角角相等或互补”(面与 二面角的性质)但是这个命题不一定正确,如下图就是一个反例.

正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 二面角 D-AA1-F 与二面角 D1-DC-A 的两个半平面就是分别对应垂 直的,但是这两个二面角既不相等,也不互补.故选: D. 2.C 【解析】解:令 c=π,则对任意的 x∈ R,都有 f(x)+f(x-c)=2,于是取 a=b= 任意的 x∈ R,f(x)+f(x-c)=1,由此得 3. B 【 解 析 】 P ? M ? N? {0, 2, 4} ,所以 P 的子集共有 8 个 4. D 【 解 析 】 偶 函 数 是 A , B, C。 因 为 当 x ? ( 0 ,? ? ) 时, y 5. D 【解析】 6. D
? 【 解 析 】 a 与 b 的 夹 角 为 180 时 , a ? b ? 0 , 但 a 与 b 的 夹 角 不 是 钝 角 ,所 以 D 错 。

1 ,c=π,则对 2

b cos c =-1,选 C a

?2

x

是增函数

x x x f ?( x) ? e ? ( x ? 3)e ? e ( x? 2 )? 0,x ?,应选 D 2

7. A 【解析】 T ? 4(

7? ? 7? 3? ? ? )? ? ?? ? 2 因 为 2 ? , ?? ? ,?? ? , ,又 12 3 12 2 3

5

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2 所 以 f ( x) ? s i n ( x?
8. B 【 解 析 】 ? P B? P C ?

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?
3

) , 因 而 只 需 将 f( x) 的 图 像 向 右 平 移

? 个单位长度 6

??? ??? ? ?

??? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ??? ? , A P ? AB ? AC ? mAP,? PB ? PA ? PC ? PA ? mAP ,

??? ??? ? ? ??? ? PB ? PC ? (m ? 2) AP ,所以 m-2=1,所以 m=3
9.C 【解析】集合 A ? ??1,0,1?, B ? ? ? ,则 1 是它们的公共元素,因此 A ? B 等于 ?1? ,选 C 1,2 10.A 【解析】因为原函数可以化为单一函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?
2

) ? ? sin 2 x ,因此可知是奇函数,

并且周期是 ? ,故选 A 11.B 【解析】因为由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个直三棱柱,其底面为俯视图,高 为 3,其体积等于长方体体积减去直三棱柱体积.长方体体积等于 3× 4=24,挖去的直三棱柱 2× 体积等于

1 × 2× 3× 4=12 所求的体积为 24-12=12,故选 B 2

12.D 【解析】因为函数

1 1 1 1 cos 2x-sin x ? ? (1 ? 2sin 2 x) ? sin x ? ? ? sin 2 x ? sin x ? 1 2 2 2 2 1 2 1 ? ?(sin x ? ) ? 2 4 y?
因此可知利用

5 ?1 ? sin x ? 1 ,结合二次函数性质可知,函数的值域为 [ ?1, ] ,选 D 4

13. ?? ?,?6? ? ?6,??? 【解析】解:方程的根显然 x≠0,原方程等价于 x3+a= y=

4 ,原方程的实根是曲线 y=x3+a 与曲线 x

4 的交点的横坐标,而曲线 y=x3+a 是由曲线 y=x3 向上或向下平移|a|个单位而得到的,若交 x

点(xi,

4 ) (i=1,2,…,k)均在直线 y=x 的同侧, xi

6

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因直线 y=x 与 y=

4 x

交点为: (-2,-2)(2,2) , ;所以结合图象可得 a>0 且 x3+a>-2 且 x<-2 或者 a<0 且 x3+a<2 且 x>2,解得 a 的范围是 ?? ?,?6? ? ?6,??? 14.

3
2

2 【 解 析 】 ( 2 3 2 ? 2 ?a )

? 2 2a ? c o s ?1 2 0a , ? ? ? ?

2,

1 ? S ? ? 2 ? 2 ? sin120? ? 3 2
15.6 人、12 人、18 人; 【解析】解:∵ 总体的个数是 162 人,要抽一个 36 人的样本, ∴ 每个个体被抽到的概率是

2 2 2 2 ∴ 27× =6, 54× =12,81× =18 9 9 9 9

故答案为:6、12、18. 16.① ④ 【解析】解:对于① ,由于 f(-x)=-xsin(-x)=xsinx=f(x) ,故函数 f(x)是偶函数① 正确; 对于② ,由于 f(x+2π)=(x+2π)sinx≠f(x) ,故函数 f(x)的最小正周期是 2π,② 不正确; 对于③ ,由于 f(

? 3? ? 3? )+f( )= =-π≠0 故点(π,0)不是函数 f(x)的图象的一个对 2 2 2 2

称中心,故③ 不正确; 对于④ ,由于 f'(x)=sinx+xcosx,在区间[0,

? ? ]上 f'(x)>0,在区间[- ,0]上 f'(x)<0, 2 2 ? ? 由此知函数 f(x)在区间[0, ]上单调递增,在区间[- ,0]上单调递减,故④ 正确. 2 2

故答案为:① ④
2 2 【答案】 (I) ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 10 ; (II)公共弦长为 22 。

【解析】本题主要考查了圆的参数方程,以及简单曲线的极坐标方程,属于基础题. (1)根据同角三角函数关系消去参数 θ,即可求出曲线 C1 的普通方程,曲线 C2 的极坐标方程 两边同乘 ρ,根据极坐标公式进行化简就可求出直角坐标方程;
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(2)先求出两个圆心之间的距离与两半径和进行比较,设相交弦长为 d,因为两圆半径相等, 所以公共弦平分线段 C1C2,建立等量关系,解之即可. 解: (I)由 ?

? x ? ?2 ? 10 cost , ? 得 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 10 , ? y ? 10 sin t ?

∴曲线 C1 的普通方程为 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 10 ---------------------2 分 ∵ ? ? 2 cos? ? 6 sin ? ,∴ ? 2 ? 2? cos? ? 6? sin ? , ∵ ? 2 ? x 2 ? y 2 , x ? ? cos? , y ? ? sin ? ,∴ x 2 ? y 2 ? 2x ? 6 y , 即 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 10 , ∴曲线 C 2 的直角坐标方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 10 -------------------5 分 (II)∵圆 C1 的圆心为 (?2,0) ,圆 C 2 的圆心为 (1,3) , ∴ C1C 2 ?

(?2 ? 1) 2 ? (0 ? 3) 2 ? 3 2 ? 2 10 ,∴两圆相交------------------8 分

设相交弦长为 d ,因为两圆半径相等,所以公共弦平分线段 C1C 2 , ∴ ( )2 ? (

d 2

3 2 2 ) ? ( 10) 2 ,∴ d ? 22 ,所以公共弦长为 22 --------------10 分 2

18. )证明略 (Ⅰ

? ? ? ? ? ?2 ( II ) ka ? b ? c ? 1 ? ka ? b ? c ? 1 ? 2 ?2 ?2 ? ? ? ? ? ? ? k 2 a ? b ? c ? 2ka ? b ? 2ka ? c ? 2b ? c ? 1

? ? ? ??? ? a ? b ? c ? 1, 且a, , ,的夹角均为120?, bc ? 2 ? 2 ?2 ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? c ? 1, a ? b ? b ? c ? a ? c ? ? 1 , 2 2 ? k ? 2k ? 0,? k ? 2或k ? 0.
【 解 析 】 I) 根 据 向 量 垂 直 的 条 件 可 证 ?(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c ? 0 即可. ( (II) 不等式 ka ? b ? c ? 1 ? ka ? b ? c ? 1

? ?

?

? ? ? ?

? ? ?

? ? ?2

? 2 ? 2 ?2 ? ? ? ? ? ? ? k 2 a ? b ? c ? 2ka ? b ? 2ka ? c ? 2b ? c ? 1
然后再把给的数据代入即可得到关于 k 的不等式求出 k 的取值范围

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19. (Ⅰ)证明:见解析; (Ⅱ)见解析; (Ⅲ) Vc ? ABE ? VE ? ABC ?

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1 1 1 3 2 3 ? EG ? S?ABC ? ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 。 ? 3 3 2 2 3

【解析】本题给出所有棱长都相等的正三棱柱,求证线面平行并求三棱锥的体积,着重考查了 线面垂直的判定与性质、线面平行的判定和柱体锥体的体积公式等知识,属于中档题. (I)根据三棱柱的侧面 ABB1A1 是平行四边形,得 A1B1∥ AB,再结合线面平行的判定定理, 可得 A1B1∥ 平面 ABD; (II)取 AB 中点 F,连接 EF、CF.根据线面垂直的性质证出 EF⊥ AB,结合正△ABC 中,中 线 CF⊥ AB,所以 AB⊥ 平面 CEF,从而可得 AB⊥ CE; (III)由三棱锥 E-ABC 与三棱柱 ABC-A1B1C1 同底等高,得三棱锥 E-ABC 的体积等于正三棱 柱 ABC-A1B1C1 体积的

1 ,求出正三棱柱 ABC-A1B1C1 体积,从而得出三棱锥 E-ABC 的 3

体积,即得三棱锥 C-ABE 的体积. 解: (Ⅰ)证明:由正三木棱住的性质知 A1 B1 ∥AB, 因为 AB ? 平面ABD,A1 B1 ? 平面ABD , 所以 A1 B1 ∥平面 AB D.……………………………………4 分 (Ⅱ)设 AB 中点为 G,连结 GE,GC。

? ?ABC为正三角形,且 为中心, AB ? GC G ?
又 EG∥ AA 1 , AA1 ? AB,? AB ? GE 又 CG ? GE ? G, 所以AB ? 平面GEC 而 CE ? 平面GEC,所以AB ? CE …………………………9分 (Ⅲ)由题意可知: Vc ? ABE ? VE ? ABC ?

1 ? EG ? S?ABC 3

1 1 3 2 3 ………………………14分 ? ? 2? ? 2? 2? ? 3 2 2 3

x 2 y2 ? ? 1 . (2)椭圆 C 上存在四个点 20. (1) 9 4
21. (1)f 极大=f(—1)=—4. f 极小=f(—

1 112 )= ? ; (2)a 的范围为 (??,5] 。 3 27

【解析】本题考查利用导数研究函数的极值以及由函数恒成立的问题求参数的取值范围,求解 本题关键是记忆好求导的公式以及极值的定义,对于函数的恒成立的问题求参数,要注意正确 转化,恰当的转化可以大大降低解题难度. (Ⅰ )先求出函数的导数,再令导数大于 0 求出单调增区间,导数小于 0 求出函数的减区间, 再由极值的定义判断出极值即可; (2)设 F(x)=f(x)—g(x)=x3+(2—a)x2+4 利用不等式恒成立构造新函数,求解函数的最值得到结论。 解: (1)∵f(x)=x3+2x2+x—4
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∴ f ?(x) =3x2+4x+1,…………………………2 分 令 f ?(x) =0,得 x1= —1,x2= —

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1 . 3
(-1,- —

x

(-∞,-1) -1 + 0 极大 f 极小=f(—

1 1 ) - 3 3
0 极小

(- +

1 ,+∞) 3

f ?(x)

f (x)
∴f 极大=f(—1)=—4.

1 112 )= ? …………………………6 分 3 27

(2)设 F(x)=f(x)—g(x)=x3+(2—a)x2+4

? F ( x) ? 0在[0,??)上恒成立, ? F ( x) min ? 0在x ? [0,??)上恒成立 若2 ? a ? 0显然F ( x) min ? 4 ? 0 ?????????????8分

2 ?4 若2 ? a ? 0 ? F ?( x) ? 3 x 2a? 2(2 ? a ) x 令F ?( x) ? 0解得x1 ? 0, x 2 ? 2a ? 4 令F ?( x) ? 0解得x1 ? 0, x 2 ? 3 2a3 4 ? 2a ? 4 令F ?( x) ? 2a ? 4 x1 ? 0, x 2 ? 0解得 令 当0 ? x ? 2a ? 4 时, F ?( x) ? 0 a3 4 ?( x) ? 0解得x1 ? 0, x 2 ? 3 2 ? F 令F ? ? 3 x1 F ? , 2 ? 当0 ?( x)? 0解得时,? 0( x) ? 0 3 2a ? 4 2 ? 3 时, F ?( x) ? 0 当0 ? x ? 2a ? 4 时, F ?( x) ? 0 当0 ? x a ? 4 ?( x) ? 0 当x ? 2a ? 43 4F 2a 时, ? 3 时F( ) 当0 ? x ?3 时, F ?(,x) ??x0 ? 0 x? 2a3 43 ? 2a ? 4 2a ? 4 时 当x ? 时, F ?( x) ? 0 当x ) 2 [3 4 ? ?当x ?a0,??)时F ( x) min ? F ( 2a ? 4? ? 0即可 , F ?( x) ? 0 3 当x x 时, F ? ?当? ? [0,??)时F?( x) min0? F ( 3 ) ? 0即可 3 2a3 4 ? 2a ? , 3 ?当x ? [04??)时F ( x) min 2a F (4 ?? 4x ? [0即可 时F ( x) min ? F ( 2a ? 4 ) ? 0即可 ? ? 2 2 当) ? 即 : ( 2a ? 4 ) 3 ? (a ? 2) ? ( 2a ? 4 )a3? 4 ? 00,??) 3 ?当x ?3 0,??? (a ? x))min ? 3 ( ) 2 ? 4)? 00即可 ? 即 : ( [ ) )时F ( 2 ? ( F 3 2a ? 4 2a3 4 ? 2a3 4 2 ? 即 : ( 2a ? 4 ) 3 ? (a ? 2) ? ( 2a ? 4 )即 : 4 ? 0 ) 3 ? (a ? 2) ? ( 2a ? 4 ) 2 ? 4 ? 0 ?( 3 3 ) ? (a ? 2) ? ( 3 ) 2 ? 4 ? 3 3 即: ( 0 3 3
解得 a≤5 ∴2<a≤5………10 分,当 x=0 时,F(x)=4

∴a 的范围为 (??,5] …………14分

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