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新课标2016年高三数学寒假作业2


【KS5U】新课标 2016 年高三数学寒假作业 2

一、选择题. 1.已知命题 p:?x∈R,cosx= ;命题 q:?x∈R,x2﹣x+1>0.则下列结论正确的是( A.命题 p∧q 是真命题 C.命题¬p∧q 是真命题 B.命题 p∧¬q 是真命题 D.命题¬p∨¬q 是假命题 ) )

2.设 ( f x) =|lnx|, 若函数

g (x) =f (x) ﹣ax 在区间 (0, 3]上有三个零点, 则实数 a 的取值范围是( A. (0, ) B. ( ,e) C. (0, ] D.[ , ) )

3.已知等差数列{an}的公差为 d(d≠0) ,且 a3+a6+a10+a13=32,若 am=8,则 m 是( A.8 4.已知 A. B. B.6 C.4 D.2 , C. ,那么 cosα 等于( D. ) )

5.已知向量 ?( +2 )=0,| |=2,| |=2,则向量 , 的夹角为( A. B. C. D.

6.O 是坐标原点,点 A(﹣1,1) ,点 P(x,y)为平面区域 ﹣λ |(λ∈R)的最小值为 M,若 M≤

的一个动点,函数 f(λ)=| )

恒成立,则 k 的取值范围是(

A.k≤1 B.﹣1≤k≤1

C.0≤k≤3 D.k≤1 或≥3 )

7.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸,那么可得这个几何体最长的棱长是(

A.2

B.

C.2

D.2 )

8.执行如图的程序框图,如果输入的 n 是 4,则输出的 p 是(

A.8

B.5

C.3

D.2 上的任意一点, P 点处切线倾斜角为 α, 则角 α 的取值范围是( )

9.设点 P 是曲线 A. B.

C.

D.

10.已知 F1、F2 是双曲线 F2 关于直线 y= A. 二.填空题. 11.

=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点 P 与点 ) D.2

对称,则该双曲线的离心率为( B. C.

展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项等于



12.在一次射击训练中,某战士连续射击了两次.设命题 p 是“第一次射击击中目标”,q 是“第二次射 击击中目标”.则命题“两次都没有击中目标”用 p,q 及逻辑联结词可以表示为 13.已知 x、y 的取值如下表: x y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 .

从散点图分析,y 与 x 线性相关,且回归方程为

,则 为



14.向平面区域{(x,y)||x|≤1,|y|≤1}内随机投入一点,则该点落在区域{(x,y)|x2+y2≤1}内的概 率等于 三、解答题. 15.近日,国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动,大力增产市场适销对路产品的通知,并发 布了当前国内市场 185 种适销工业品和 42 种滞销产品的参考目录.为此,一公司举行某产品的促销 活动,经测算该产品的销售量 P 万件(生产量与销售量相等)与促销费用 x 万元满足 (其 .

中 0≤x≤a,a 为正常数) .已知生产该产品还需投入成本(10+2P)万元(不含促销费用) ,产品的销 售价格定为 元/件.

(1)将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数; (2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大. 16.如图,在四棱柱 ABCD﹣A1 B1C1D1 中,CC1⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为菱形,点 E,F 分别是 AB, B1C1 的中点,且∠DAB=60°,AA1=AB=2. (I)求证:EF∥平面 AB1D1; (II)求三棱锥 A﹣CB1D1 的体积.

17.如图,在△ ABC 中,BC 边上的高所在的直线方程为 x﹣2y+1=0,∠A 的平分线所在的直线方程为 y=0,若点 B 的坐标为(1,2) ,求点 A 和点 C 的坐标.

【KS5U】新课标 2016 年高三数学寒假作业 2 1.C 【考点】复合命题的真假. 【专题】计算题;综合题. 【分析】根据余弦函数的值域,可知命题 p 是假命题,根据二次函数的图象与性质,得命题 q 是真 命题.由此对照各个选项,可得正确答案. 【解答】解:因为对任意 x∈R,都有 cosx≤1 成立,而 >1,所以命题 p:? x∈R,cosx= 是假命 题; ∵对任意的∈R,x ﹣x+1=(x﹣ ) + >0 ∴命题 q:? x∈R,x ﹣x+1>0,是一个真命题
2 2 2

由此对照各个选项,可知命题¬p∧q 是真命题 故答案为:C 【点评】本题以复合命题真假的判断为载体,考查了余弦函数的值域和一元二次不等式恒成立等知 识,属于基础题. 2.D 【考点】根的存在性及根的个数判断;函数零点的判定定理. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】首先,画出函数 f(x)=|lnx|的图象,然后,借助于图象,结合在区间(0,3]上有三个 零点,进行判断. 【解答】解:函数 f(x)=|lnx|的图象如图示:

当 a≤0 时,显然,不合乎题意,

当 a>0 时,如图示, 当 x∈(0,1]时,存在一个零点, 当 x>1 时,f(x)=lnx, 可得 g(x)=lnx﹣ax, (x∈(1,3]) g′(x)= = ,

若 g′(x)<0,可得 x> ,g(x)为减函数, 若 g′(x)>0,可得 x< ,g(x)为增函数, 此时 f(x)必须在[1,3]上有两个零点,



解得,



在区间(0,3]上有三个零点时, , 故选 D. 【点评】本题重点考查函数的零点,属于中档题,难度中等. 3.A 【考点】等差数列的性质. 【专题】计算题. 【分析】根据等差中项的性质可知 a3+a6+a10+a13=4a8 求得 a8,进而可知 a8=am 求得 m 的值. 【解答】解:a3+a6+a10+a13=4a8=32 ∴a8=8 ∵am=8 ∴m=8 故选 A 【点评】本题主要考查了等差中项的性质.属基础题. 4.B 【考点】两角和与差的余弦函数.

【专题】计算题;函数思想;转化思想;三角函数的求值. 【分析】利用同角三角函数的基本关系式以及两角和与差的余弦函数化简求解即可. 【解答】解: 可得 cosα =cos(α + = 故选:B 【点评】本题考查两角和与差的三角函数,同角三角函数的基本关系式的应用,考查转化思想的应 用. 5.B 【考点】数量积表示两个向量的夹角. 【专题】平面向量及应用. 【分析】由条件可得 的值. 【解答】解:由已知| |=2,| |=2,向量 ?( +2 )=0, 可得 +2 =0,即 4+2×2×2cos< , >=0, +2 =0,求得 cos< , >的值.再由< , >∈,可得< , > ﹣ ) + = = . , = . ,

求得 cos< , >=﹣ . 再由< , >∈,可得< , >= 故选 B. 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义,根据三角函数的值求角,属于中档题. 6.A 【考点】简单线性规划. 【专题】数形结合;分类讨论;转化思想;数形结合法;分类法;函数的性质及应用;不等式的解 法及应用;直线与圆. 【分析】画出满足条件的可行域,分析出函数 f(λ )的最小值为 M≤ 到直线 OA:x+y=0 的最大距离不大于 恒成立表示可行域内的点 ,

,结合可行域的图象,分类讨论,可得答案.

【解答】解:满足约束条件

的可行域如下图所示:

函数 f(λ )=|

﹣λ

|(λ ∈R)表示 P 点到直线 OA 上一点的距离, 恒成立, 即可,

若函数 f(λ )的最小值为 M≤

则仅需可行域内的点到直线 OA:x+y=0 的最大距离不大于 若 k≥2,则不存在满足条件的点, 若 k<2,则存在 B 点( ,

)到直线 OA:x+y=0 的距离最远,

此时 d= 解得:k≤1, 故选:A





【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法及分类讨论的数学思想方法, 关键是对题意的理解,是难题. 7.C 【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】对应思想;数形结合法;空间位置关系与距离. 【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体是底面是等腰三角形,且侧面垂直于底面的三棱锥, 画出图形,结合图形即可求出该三棱锥中最长棱是多少. 【解答】解:根据几何体的三视图,得; 该几何体为底面是等腰三角形,且侧面垂直于底面的三棱锥, 如图所示; 且三棱锥的高为 SD=2,底面三角形边长 BC=2,高 AD=2;

∴该三棱锥的最长棱是 SA= 故选:C.

=

=2



【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题,解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特 征,是基础题目. 8.C 【考点】循环结构. 【专题】图表型. 【分析】根据输入的 n 是 4,然后判定 k=1,满足条件 k<4,则执行循环体,依此类推,当 k=4,不 满足条件 k<4,则退出执行循环体,求出此时 p 的值即可. 【解答】解:k=1,满足条件 k<4,则执行循环体,p=0+1=1,s=1,t=1 k=2,满足条件 k<4,则执行循环体,p=1+1=2,s=1,t=2 k=3,满足条件 k<4,则执行循环体,p=1+2=3,s=2,t=3 k=4,不满足条件 k<4,则退出执行循环体,此时 p=3 故选:C 【点评】根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型,处理的步骤一般为:分析流程图, 从流程图中即要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据建立数学模型,根据第一步分析的 结果,选择恰当的数学模型解模. 9.C 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;直线的倾斜角. 【专题】计算题. 【分析】求出曲线解析式的导函数,根据完全平方式大于等于 0 求出导函数的最小值,由曲线在 P 点切线的斜率为导函数的值,且直线的斜率等于其倾斜角的正切值,从而得到 tanα 的范围,由 α 的范围,求出 α 的范围即可. 【解答】解:∵y′=3x2﹣ ≥﹣ ,∴tanα ≥﹣ ,

又∵0≤α ≤π , ∴0≤α < 或 . )∪[ ,π ) .

则角 α 的取值范围是[0, 故选 C.

【点评】考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,会利用切线的斜率与倾斜角之间的 关系 k=tanα 进行求解. 10.B 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】求出过焦点 F2 且垂直渐近线的直线方程,联立渐近线方程,解方程组可得对称中心的点的 坐标,代入方程结合 a +b =c ,解出 e 即得. 【解答】解:过焦点 F2 且垂直渐近线的直线方程为:y﹣0=﹣ (x﹣c) , 联立渐近线方程 y= 解之可得 x= ,y= , ) ,由中点坐标公式可得对称点的坐标为( ﹣c, ) , 与 y﹣0=﹣ (x﹣c) ,
2 2 2

故对称中心的点坐标为(

将其代入双曲线的方程可得

,结合 a2+b2=c2,

化简可得 c2=5a2,故可得 e= = 故选:B.



【点评】本题考查双曲线的简单性质,涉及离心率的求解和对称问题,属中档题. 11.180 考点: 二项式定理. 专题: 计算题. 分析: 如果 n 是奇数,那么是中间两项的二次项系数最大,如果 n 是偶数,那么是最中间那项的二 次项系数最大,由此可确定 n 的值,进而利用展开式,即可求得常数项. 解答: 解:如果 n 是奇数,那么是中间两项的二次项系数最大,如果 n 是偶数,那么是最中间项的 二次项系数最大.

∵ ∴n=10

展开式中只有第六项的二项式系数最大,

∴ 令

展开式的通项为 =0,可得 r=2 =180

=

∴展开式中的常数项等于 故答案为:180

点评: 本题考查二项展开式,考查二项式系数,正确利用二项展开式是关键. 12.¬p∧¬q 【考点】随机事件. 【专题】计算题;转化思想;综合法;简易逻辑. 【分析】根据已知中,命题 p 是“第一次射击击中目标”,命题 q 是“第二次射击击中目标”,进 而可以表示出两次都没有击中目标. 【解答】解:据题,两次都没有击中目标,可以表示为:¬p∧¬q, 故答案为:¬p∧¬q. 【点评】本题重点考查了事件的表示方法,对于逻辑联接词的理解与把握,属于基础题. 13.﹣0.61 考点: 线性回归方程. 专题: 应用题. 分析: 本题考查回归直线方程的求法.依据所给条件可以求得 直线的方程 、 ,因为点( , )满足回归

,所以将点的坐标代入即可得到 a 的值. =3.5, = =4.5,

解答: 解:依题意可得, =

则 a= ﹣1.46 =4.5﹣1.46×3.5=﹣0.61. 故答案为:﹣0.61. 点评: 回归分析部分作为新课改新加内容,在高考中一直受到重视,从山东考题看,一般以选择题 或填空题出现.本题给出了线性回归直线方程考查的常见题型,体现了回归直线方程与样本中心点 的关联.

14. 【考点】几何概型. 【专题】转化思想;数形结合法;概率与统计. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,求出对应的几何面积,利用几何概型的概率公式进行求解 即可. 【解答】解:平面区域{(x,y)||x|≤1,|y|≤1}对应的区域为正方形 ABCD,对应的面积 S=2×2=4, 区域{(x,y)|x2+y2≤1}对应的区域为单位圆,对应的面积 S=π , 则对应的概率 P= 故答案为: ,

【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算,求出对应区域的面积是解决本题的关键. 15. 【考点】基本不等式在最值问题中的应用. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】 (1)根据产品的利润=销售额﹣产品的成本建立函数关系; (2)利用基本不等式可求出该函数的最值,注意等号成立的条件. 【解答】解: (1)由题意知, 将 (2) 当且仅当 ,即 x=1 时,上式取等号.? 代入化简得: (0≤x≤a) .? , ,

当 a≥1 时,促销费用投入 1 万元时,厂家的利润最大;

当 a<1 时,

在[0,a]上单调递增,

所以 x=a 时,函数有最大值.即促销费用投入 a 万元时,厂家的利润最大. 综上,当 a≥1 时,促销费用投入 1 万元,厂家的利润最大; 当 a<1 时,促销费用投入 a 万元,厂家的利润最大.? 【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用,以及基本不等式在最值问题中的应用,同时考查 了计算能力,属于中档题. 16.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 【专题】转化思想;分割补形法;空间位置关系与距离. 【分析】 (I)如图,连接 A1C1 交 B1D1 于 O 点,连接 OF,OA.利用三角形的中位线定理、平行四边形 的判定可得 AOFE 是平行四边形,再利用线面平行的判定定理即可证明. (II) 连接 AC 交 BD 于点 M,连接 D1M,B1M.可得 = + = ,

, 由于四边形 BACD 是菱形, BB1⊥平面 ABCD, 可得平面 BDD1B1⊥ = .

平面 ABCD,AM⊥平面 BDD1B1,即可得出

【解答】证明: (I)如图,连接 A1C1 交 B1D1 于 O 点,连接 OF,OA. ∵ ∴ . , ,

∴AOFE 是平行四边形, ∴EF∥OA,而 EF?平面 AB1D1,OA? 平面 AB1D1; ∴EF∥平面 AB1D1. (II) 连接 AC 交 BD 于点 M,连接 D1M,B1M. 则 = = + , =2 ,

∵四边形 BACD 是菱形, ∴AC⊥BD. ∵BB1⊥平面 ABCD, ∴平面 BDD1B1⊥平面 ABCD, ∴AM⊥平面 BDD1B1,

∴ ∴

= = .

=

×

2×2=



【点评】本题考查了空间线面位置关系及其判定、三棱锥的体积计算公式,考查了推理能力与计算 能力,属于中档题. 17.【考点】两条直线的交点坐标. 【专题】计算题. 【分析】根据三角形的性质解 A 点,再解出 AC 的方程,进而求出 BC 方程,解出 C 点坐标.逐步解 答. 【解答】解:点 A 为 y=0 与 x﹣2y+1=0 两直线的交点, ∴点 A 的坐标为(﹣1,0) . ∴kAB= =1.

又∵∠A 的平分线所在直线的方程是 y=0, ∴kAC=﹣1. ∴直线 AC 的方程是 y=﹣x﹣1. 而 BC 与 x﹣2y+1=0 垂直,∴kBC=﹣2. ∴直线 BC 的方程是 y﹣2=﹣2(x﹣1) . 由 y=﹣x﹣1,y=﹣2x+4, 解得 C(5,﹣6) . ∴点 A 和点 C 的坐标分别为(﹣1,0)和(5,﹣6) 【点评】本题可以借助图形帮助理解题意,将条件逐一转化求解,这是上策.


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