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高中数学 必修四 三角函数与向量综合题 (1)



题型一 三角函数平移与向量平移的综合 三角函数与平面向量中都涉及到平移问题,虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同, 但它们实质是一样的,它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问题主 要注意两个方面的确定:(1)平移的方向;(2)平移的单位.这两个方面就是体现为在平移过程 中对应的向量坐标. ? 【例 1】 把函数 y=sin2x 的图象按向量→ a =(- ,-3)平移后,得到函数 y=Asin(ωx 6 ? +?)(A>0,ω>0,|?|= )的图象,则 ? 和 B 的值依次为 2 ? A. ,-3 12 ? B. ,3 3 ? C. ,-3 3 ? D.- ,3 12 6,再代入已知解析式可得.还可以 ( )

【分析】 根据向量的坐标确定平行公式为?

? x=x?+? ? y=y?+3

由向量的坐标得图象的两个平移过程, 由此确定平移后的函数解析式, 经对照即可作出选择. 【解析 1】 由平移向量知向量平移公式?

? x?=x-?

? x=x?+? 6,即? 6,代入 y=sin2x 得 ? y?=y-3 ? y=y?+3

π ? ? y?+3=sin2(x?+ ),即到 y=sin(2x+ )-3,由此知 ?= ,B=-3,故选 C. 6 3 3 ? 【解析 2】 由向量→ a =(- ,-3),知图象平移的两个过程,即将原函数的图象整体 6 ? ? 向左平移 个单位,再向下平移 3 个单位,由此可得函数的图象为 y=sin2(x+ )-3,即 y 6 6 π ? =sin(2x+ )-3,由此知 ?= ,B=-3,故选 C. 3 3 【点评】 此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起, 主要考查分析问题、 解决问题的综合应用能力,同时考查方程的思想及转化的思想.本题解答的关键,也是易出 错的地方是确定平移的方向及平移的大小. 题型二 三角函数与平面向量平行(共线)的综合 此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手,将向量问题转化为三角问题,然后再 利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简,或结合三角函数的图象与民性质进行求解. 此类试题综合性相对较强,有利于考查学生的基础掌握情况,因此在高考中常有考查. 【例 2】 已知 A、B、C 为三个锐角,且 A+B+C=π.若向量→ p =(2-2sinA,cosA+ sinA)与向量→ q =(cosA-sinA,1+sinA)是共线向量. (Ⅰ)求角 A; C-3B (Ⅱ)求函数 y=2sin2B+cos 的最大值. 2 【分析】 首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式,由于可求得 A 角的正弦 值,再根据角的范围即可解决第(Ⅰ)小题;而第(Ⅱ)小题根据第(Ⅰ)小题的结果及 A、B、C 三个角的关系,结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角 B 的表达式,再根据 B 的范

围求最值. 【解】 (Ⅰ)∵→ p 、→ q 共线,∴(2-2sinA)(1+sinA)=(cosA+sinA)(cosA-sinA),则 3 sin2A= , 4 又 A 为锐角,所以 sinA= 3 ? ,则 A= . 2 3

? (π- -B)-3B 3 C - 3B (Ⅱ)y=2sin2B+cos =2sin2B+cos 2 2 1 3 ? =2sin2B+cos( -2B)=1-cos2B+ cos2B+ sin2B 3 2 2 3 1 ? = sin2B- cos2B+1=sin(2B- )+1. 2 2 6 ? ? ? 5? ? ? ? ∵B∈(0, ),∴2B- ∈(- , ),∴2B- = ,解得 B= ,ymax=2. 2 6 6 6 6 2 3 【点评】 本题主要考查向量共线(平行)的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的 有界性.本题解答有两个关键: (1)利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问 题; (2)根据条件确定 B 角的范围.一般地,由于在三角函数中角是自变量,因此解决三角 函数问题确定角的范围就显得至关重要了.

题型三 三角函数与平面向量垂直的综合 此题型在高考中是一个热点问题, 解答时与题型二的解法差不多, 也是首先利用向量垂 直的充要条件将向量问题转化为三角问题,再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型 解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等. 3? 【例 3】 已知向量→ a =(3sinα,cosα),→ b =(2sinα,5sinα-4cosα),α∈( ,2π),且→ a⊥ 2 → b. (Ⅰ)求 tanα 的值; α ? (Ⅱ)求 cos( + )的值. 2 3 【分析】 第(Ⅰ)小题从向量垂直条件入手,建立关于 α 的三角方程,再利用同角三角 函数的基本关系可求得 tanα 的值;第(Ⅱ)小题根据所求得的 tanα 的结果,利用二倍角公式 α 求得 tan 的值,再利用两角和与差的三角公式求得最后的结果. 2 → → 【解】 (Ⅰ) ∵→ a ⊥→ b, ∴→ a· b =0. 而→ a= (3sinα, cosα) , b =(2sinα, 5sinα-4cosα), → 故→ a· b =6sin2α+5sinαcosα-4cos2α=0. 4 1 由于 cosα≠0,∴6tan2α+5tanα-4=0.解之,得 tanα=- ,或 tanα= . 3 2 3? 1 4 ∵α∈( ,2π) ,tanα<0,故 tanα= (舍去) .∴tanα=- . 2 2 3 3? α 3? (Ⅱ)∵α∈( ,2π) ,∴ ∈( ,π) . 2 2 4

4 α 1 α α 5 α 2 5 由 tanα=- ,求得 tan =- ,tan =2(舍去) .∴sin = ,cos =- , 3 2 2 2 2 5 2 5 2 5+ 15 α ? α ? α ? 2 5 1 5 3 ∴cos( + )=cos cos -sin sin =- × - × =- 2 3 2 3 2 3 5 2 5 2 10 【点评】 本题主要考查向量垂直的充要条件、同角三角函数的基本关系、二倍角公式 及两角和与差的三角函数.同时本题两个小题的解答都涉及到角的范围的确定,再一次说明 了在解答三角函数问题中确定角的范围的重要性.同时还可以看到第(Ⅰ)小题的解答中用 到“弦化切”的思想方法, 这是解决在一道试题中同时出现“切函数与弦函数”关系问题常用方 法. 题型四 三角函数与平面向量的模的综合 此类题型主要是利用向量模的性质|→ a |2=→ a 2,如果涉及到向量的坐标解答时可利用两 种方法: (1)先进行向量运算,再代入向量的坐标进行求解; (2)先将向量的坐标代入向量 的坐标,再利用向量的坐标运算进行求解. 【例 3】 2 已知向量→ a =(cosα,sinα),→ b =(cosβ,sinβ),|→ a -→ b |= 5.(Ⅰ)求 cos(α-β) 5

5 ? ? 的值;(Ⅱ)若- <β<0<α< ,且 sinβ=- ,求 sinα 的值. 2 2 13 【分析】 利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第(Ⅰ)小题;而第(Ⅱ)小题 则可变角 α=(α-β)+β,然后就须求 sin(α-β)与 cosβ 即可. 【解】 2 4 → (Ⅰ)∵|→ a -→ b |= 5,∴→ a 2-2→ a· b +→ b 2= , 5 5

将向量→ a =(cosα,sinα),→ b =(cosβ,sinβ)代入上式得 4 3 12-2(cosαcosβ+sinαsinβ)+12= ,∴cos(α-β)=- . 5 5 ? ? (Ⅱ)∵- <β<0<α< ,∴0<α-β<π, 2 2 3 4 由 cos(α-β)=- ,得 sin(α-β)= , 5 5 5 12 又 sinβ=- ,∴cosβ= , 13 13 2 0 33 ∴sinα=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ= . 65 0 9 点评:本题主要考查向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、同角三角函数的基本关 0 → → →2 → → 2 系.本题解答中要注意两点:(1)化|→ a- 3 b |为向量运算| a - b | =( a - b ) ;(2)注意解 α-β 1 的范围.整个解答过程体现方程的思想及转化的思想 . 8 题型五 三角函数与平面向量数量积的综合 此类题型主要表现为两种综合方式:(1)三角函数与向量的积直接联系;(2)利用三角函 数与向量的夹角交汇,达到与数量积的综合.解答时也主要是利用向量首先进行转化,再利 用三角函数知识求解. ? → 【例 5】 设函数 f(x)=→ a· b .其中向量→ a =(m,cosx),→ b =(1+sinx,1),x∈R,且 f( ) 2

=2.(Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的最小值. 分析: 利用向量内积公式的坐标形式, 将题设条件中所涉及的向量内积转化为三角函数 ? 中的“数量关系”,从而,建立函数 f(x)关系式,第(Ⅰ)小题直接利用条件 f( )=2 可以求 2 得,而第(Ⅱ)小题利用三角函数函数的有界性就可以求解. → 解: (Ⅰ)f(x)=→ a· b =m(1+sinx)+cosx, ? ? ? 由 f( )=2,得 m(1+sin )+cos =2,解得 m=1. 2 2 2 ? (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f(x)=sinx+cosx+1= 2sin(x+ )+1, 4 ? 当 sin(x+ )=-1 时,f(x)的最小值为 1- 2. 4 点评:平面向量与三角函数交汇点较多,向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可 以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题,其解法都差不多,首 先都是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”, 再利用三角函数的相关知识 进行求解. 是?2 3,4?. [点评] 本题解答主要考查平面向量的数量积、三角恒等变换及三角形中的正弦定理、 余弦定理、面积公式、三角形内角和定理等.解答本题主要有两处要注意:第(Ⅰ)小题中求 b +c 没有利用分别求出 b、c 的值为解,而是利用整体的思想,使问题得到简捷的解答;(2) 第(Ⅱ)小题的求解中特别要注意确定角 B 的范围.


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