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【同步课件】高中数学人教A版选修2-1课件:第二章 圆锥曲线与方程 本章小结


第二章 圆锥曲线与方程 本章小结 知识网络建构 热点专题剖析 一、圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质 椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何 性质是圆锥曲线的重点内容,是历年高考的重点.重 在考查基础知识、基本思想方法,例如数形结合思想 和方程思想等.而该部分在高考中多以选择题、填空 题为主,为中档题目. [例 1] x2 y2 设椭圆 2+ 2= 1(a>b>0)的左、右焦点 a b 分别为 F1、F2,A 是椭圆上的一点,AF2⊥ F1F2,原 1 点 O 到直线 AF1 的距离为 |OF1 |. 3 证明: a= 2b. [证明 ] 由题设 AF2⊥ F1F2 及 F1(- c,0),F2(c,0), 不妨设点 A(c, y),其中 y>0. c2 y2 由于点 A 在椭圆上,有 2+ 2= 1. a b a2- b2 y2 即 2 + 2= 1. a b b2 b2 解得 y= ,从而得 A(c, ). a a b2 直线 AF1 的方程为 y= (x+ c),整理得 2ac b2x- 2acy+ b2c= 0. 1 由题设,原点 O 到直线 AF1 的距离为 |OF1|, 3 c b2c 即 = 4 . 2 2 3 b + 4a c 将 c2= a2-b2 代入上式并化简得 a2= 2b2, 即 a= 2b. x2 y2 [例 2] 求证:双曲线 2- 2= 1(a>0, b>0)上 a b 任何一点到两条渐近线的距离之积为定值. [证明 ] 设 P(x0,y0)是双曲线上任意一点, 由双曲线的两条渐近线方程为 bx+ ay= 0 和 bx- ay= 0, |bx0+ay0| 可得 P 到 bx+ ay= 0 的距离 d1= 2 2 ; a +b |bx0- ay0| P 到 bx- ay= 0 的距离 d2= 2 2 . a +b 2 2 |bx0+ ay0| |bx0- ay0| |b2x2 - a y0| 0 ∴ d1d2= . 2 2 2 2 · 2 2 = a + b a +b a +b x2 y2 0 0 2 又 P 在双曲线上,∴ 2- 2= 1,即 b2x0 - a b 2 2 a2y2 = a b. 0 a2b2 ∴ d1· d2= 2 2,即 P 到两条渐近线的距 a +b 离之积为定值. [评析] 所谓定值,是与P点在曲线上的位置无关, 为了达到目标明确,可先通过特殊的情况,求出一个 常数,猜想其定值. 二、直线与圆锥曲线的位置关系 1.直线与圆锥曲线的位置关系,涉及函数、方程、 不等式、平面几何等诸多方面的知识,形成了求轨迹、 最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题,是 解析几何部分综合性最强的问题,也是以往高考的重 点和热点问题.高考中,大多是以解答题的形式出现 且难度较大,往往成为体现试题区分度的题目. 2.这部分内容考查的重点在直线与椭圆、抛物线 的位置关系和应用数形结合思想解题,降低了对双曲 线的考查要求.预测在今后的高考中,本部分内容因 其知识、方法的综合性强和能力要求高,仍将成为新 高考的重点和热点.特别是与其他知识的交汇更应引 起同学们的注意. x2 2 [例 3] 已知直线 l: y=kx+b 与椭圆 + y =1 2 相交于 A、 B 两点,O 为坐标原点. (1)当 k= 0,0<b<1 时,求△AOB 的面积 S 的最 大值; → → (2)若OA⊥ OB,求证直线 l 与以原点为圆心的 定圆相切,并求该

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