当前位置:首页 >> 数学 >>

0江苏省苏州市2015届高三上学期期末考试数学试题


苏州市 2015 届上学期高三期末调研考试 数学试题
一、填空题 1.已知集合 A ? {x | ?2 ? x ? 2}, B ? {x | x ? 1} ,则 A 2.已知

B?
.

.

2 ? 3i ? a ? bi (a, b ? R, i 为虚数单位 ) ,则 a ? b ? i

3.已知函数 f ( x) ? sin(kx ?

?

5

) 的最小正周期是

? ,则正数 k 的值为 3

.

4.某课题组进行城市空气质量监测,按地域将 24 个城市分成甲、乙、丙三组,对应区域城市数分别为 4、12、8. 若用分层抽样抽取 6 个城市,则乙组中应该抽取的城市数为 . 5.已知等差数列 {an } 中, a4 ? a6 ? 10 ,若前 5 项的和 S5 ? 5 ,则其公差为 6.运行如图所示的流程图,如果输入 a ? 1, b ? 2 , 则输出的 a 的值为 . 输入 a,b 开始 .

7.以抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为顶点,顶点为中心, 离心率为 2 的双曲线标准方程为 .

8.设 x ?{?1,1}, y ?{?2,0, 2} ,则以 ( x, y ) 为坐标 的点落在不等式 x ? 2 y ? 1 所表示的平面区域内的 概率为 . a

a>8 N a+b

Y

输出 a

a 1 9.已知函数 f ( x) ? lg(1 ? x ) 的定义域是 ( , ??) , 2 2
则实数 a 的值为 . 10.已知一个圆锥的母线长为 2,侧面展开是半圆,则该圆锥的体积为 11.如图,在 ?ABC 中,已知 AB ? 4, AC ? 6, ?BAC ? 60? , 点 D, E 分别在边 AB, AC 上,且 AB ? 2 AD, AC ? 3AE , 点 F 为 DE 中点,则 BF DE 的值为 12.已知函数 f ( x) ? ? 是
2

结束 . A F D B E

.

C

?4,
.

x ? m, 若函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 x 恰有三个不同的零点,则实数 m 的取值范围 ? x ? 4 x ? 3, x ? m.
2
2

13.已知圆 M : ( x ?1) ? ( y ?1) ? 4 ,直线 l : x ? y ? 6 ? 0, A 为直线 l 上一点,若圆 M 上存在两点 B, C ,使得

?BAC ? 60? ,则点 A 的横坐标的取值范围是
14.已知 a , b 为正实数,且 a ? b ? 2 ,则

. .

a 2 ? 2 b2 ? 的最小值为 a b ?1
-1-

二、解答题 15.已知向量 a ? (sin ? , 2), b ? (cos ? ,1) ,且 a , b 共线,其中 ? ? (0, (1)求 tan(? ?

?
2

).

?
4

) 的值;

(2)若 5cos(? ? ? ) ? 3 5 cos ?,0 ? ? ?

?
2

,求 ? 的值.

16.如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, E , F 分别是 AD, DD 1 中点. 求证: (1) EF ∥平面 C1BD ; (2) AC ? 平面 C1BD . 1 A1 D1 B1 C1

D A B

C

-2-

17.如图,某生态园将一三角形地块 ABC 的一角 APQ 开辟为水果园种植桃树,已知角 A 为 120?, AB, AC 的长度 均大于 200 米,现在边界 AP,AQ 处建围墙,在 PQ 处围竹篱笆. (1)若围墙 AP,AQ 总长度为 200 米,如何围可使得三角形地块 APQ 的面积最大? (2)已知 AP 段围墙高 1 米,AQ 段围墙高 1.5 米,造价均为每平方米 100 元.若围围墙用了 20000 元,问如何围 可使竹篱笆用料最省? A Q P B C

18.如图,已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ,点 B 是其下顶点,过点 B 的直线交椭圆 C 于另一点 A(A 点在 x 轴下方) , 12 4

且线段 AB 的中点 E 在直线 y ? x 上. (1)求直线 AB 的方程; (2)若点 P 为椭圆 C 上异于 A、B 的动点,且直线 AP,BP 分别交直线 y ? x 于点 M、N,证明:OM ON 为定 值. y P N A E O B x M

-3-

19.已知函数 f ( x) ? e x ? a( x ?1) ,其中 a ? R, e 为自然对数底数. (1)当 a ? ?1 时,求函数 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)讨论函数 f ( x ) 的单调性,并写出相应的单调区间; (3)已知 b ? R ,若函数 f ( x) ? b 对任意 x ? R 都成立,求 ab 的最大值.

?1 ? an ? n (n为奇数) 20.已知数列 {an } 中 a1 ? 1, an ?1 ? ? 3 . ( n 为偶数) ? ?an ? 3n
(1)是否存在实数 ? ,使数列 {a2n -?} 是等比数列?若存在,求 ? 的值;若不存在,请说明理由; (2)若 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,求满足 Sn ? 0 的所有正整数 n .

-4-

数学Ⅱ 附加题部分
注意事项
1.本试卷共 2 页,均为解答题(第 21 题~第 23 题,共 4 题) .本卷满分为 40 分,考试时间为 30 分钟。考试结 束后,请将本试卷和答题卡一并交回. 2.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其它位置作答一律无效. 21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题 ,并在相应的答题区域内作答 .若多做,则按作 ....... ............ 答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4-1:几何证明选讲 (本小题满分 10 分)如图,过圆 O 外一点 P 作圆 O 的切线 PA,切点为 A,连结 OP 与圆 O 交于点 C,过 C 作 AP 的算线,垂足为 D,若 PA=12cm,PC=6cm,求 CD 的长。 B.选修 4-2:矩阵与变换 (本小题满分 10 分)

?1 已知矩阵, A ? ? ?1

2? ? 2? ,向量 ? ? ? ? ,求向量 ? ,使得 A2 ? ? ? . ? 1? ?1 ?

C.选修 4-4:坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分) 在极坐标系中,已知圆 ? ? 3cos? 与直线 2 ? cos? ? 4 ? sin ? ? a ? 0 相切,求实数 a 的值.

D.选修 4-5:不等式选讲 (本小题满分 10 分)设实数 x,y,z 满足 值。 ,的最小值,并求此时 x,y,z 的

-5-

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、 ....... 证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直, AB ? 2, AF ? 1 . (1)求二面角 A-DF-B 的大小; (2)试在线段 AC 上确定一点 P,使 PF 与 BC 所成角为 60? .

23、 (10 分)某公司有 10 万元资金用于投资,如果投资甲项目,根据市场分析知道:一年后可能获利 10%,可 能损失 10%,可能不陪不赚,这三种情况发生的概率分别为 , , ;如果投资乙项目,一年后可能获利 20%, 可能损失 20%,这两种情况发生的概率分别为α 和β (α +β =1). (1)如果把 10 万元投资甲项目,用 X 表示投资收益(收益=回收资金-投资资金) ,求 X 的概率分布列及数学期 望 E(X). (2)若 10 万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益,求α 的取值范围.

1 1 1 2 4 4

-6-

苏州市 2015 届高三调研测试 数学Ⅰ试题 2015.1

参考答案与评分标准
1.(-2,1] 6.9 2.1 7. x 2 ? 3.6 4.3 9. 2 14. 5.2 10.
3 π 3

y ?1 3

2

8.

1 2

11.4

12. ?1,2?

13.[1,5]

3? 2 2 3

15.解 (1)∵a∥b,∴ sin ? ? 2 cos ? ? 0 ,即 tan ? ? 2 . ????????????4 分 ∴ tan(? ?

π 1 ? tan ? 1 ? 2 )? ? ? ?3 . 4 1 ? tan ? 1 ? 2

??????????????????7 分

(2)由(1)知 tan ? ? 2 ,又 ? ? (0, ) ,∴ sin ? ? ∴ 5cos(? ? ? ) ? 3 5 cos ? ,

π 2

2 5 5 , ????9 分 , cos ? ? 5 5

∴ 5(cos? cos ? ? sin ? sin ? ) ? 3 5 cos ? ,即 5 cos ? ? 2 5 sin ? ? 3 5 cos ? , ∴ cos ? ? sin ? ,即 tan ? ? 1 , 又0 ?? ? ?????????????????????12 分

?
2

,∴ ? ?

?
4



???????????????????????14 分

16.证明: (1)连结 A1D, ∵ E,F 分别是 AD 和 DD1 的中点,∴ EF∥AD 1. ?????????????2 分 ∵ 正方体 ABCD-A1B1C1D1, ∴ AB∥D1C1,AB=D1C1. ∴ 四边形 ABC1D1 为平行四边形,即有 A1D∥BC1 ???????????????4 分 ∴ EF∥BC1. D1 C1 又 EF ? 平面 C1BD,BC1 ? 平面 C1BD, B1 A1 ∴ EF∥平面 AB1D1. ??????????????7 分 (2)连结 AC,则 AC⊥BD. F ∵ 正方体 ABCD-A1B1C1D1,∴AA1⊥平面 ABCD, ∴ AA1⊥BD. 又 AA1 I AC ? A ,∴BD⊥平面 AA1C, ∴ A1C⊥BD. ?????????????????11 分 同理可证 A1C⊥BC1. 又 BD I BC1 ? B ,∴A1C⊥平面 C1BD. ?????????????????? 14 分 17.解 设 AP ? x 米, AQ ? y 米.
-7E A D C B

(1)则 x ? y ? 200 , ?APQ 的面积

S?

1 2

xy sin120? ?

3 4

xy .

??????????????????????3 分

∴S ≤

3 x? y 2 ( ) ? 2500 3 . 4 2

当且仅当 x ? y ? 100 时取“=”. ??????????????????????6 分 (注:不写“=”成立条件扣 1 分) (2)由题意得 100 ? (1? x ? 1.5 ? y) ? 20000 ,即 x ? 1.5 y ? 200 . ???????8 分 要使竹篱笆用料最省,只需其长度 PQ 最短,所以

PQ2 ? x2 ? y 2 ? 2xy cos120? ? x2 ? y 2 ? xy

? (200 ?1.5 y)2 ? y 2 ? (200 ?1.5 y) y ? 1.75 y 2 ? 400 y ? 40000 ( 0 ? y ?
当y?

400 ) 3

???????????????11 分

800 200 200 21 时, PQ 有最小值 ,此时 x ? . 7 7 7

??????????13 分

答: (1)当 AP ? AQ ? 100 米时,三角形地块 APQ 的面积最大为 2500 3 平方米; (2)当 AP ?

200 800 米 , AQ ? 米时,可使竹篱笆用料最省.????????? 14 分 7 7

18.解: (1)设点 E(m,m) ,由 B(0,-2)得 A(2m,2m+2) . 代入椭圆方程得 解得 m ? ?
4m 2 (2m ? 2) 2 m2 ? ? 1 ,即 ? ( m ? 1) 2 ? 1 , 12 4 3

3 或 m ? 0 (舍) . 2 所以 A( ?3 , ?1 ) ,
故直线 AB 的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 . (2)设 P( x0 , y0 ) ,则

??????????????????3 分

???????????????????6 分

x0 2 y0 2 x2 ? ? 1 ,即 y0 2 ? 4 ? 0 . 3 12 4

设 M ( xM , yM ) ,由 A,P,M 三点共线,即 AP P AM , ∴ ( x0 ? 3)( yM ? 1) ? ( y0 ? 1)( xM ? 3) , 又点 M 在直线 y=x 上,解得 M 点的横坐标 xM ?

uu u r

uuur

3 y0 ? x0 ,???????????9 分 x0 ? y0 ? 2

设 N ( xN , yN ) ,由 B,P,N 三点共线,即 BP P BN ,
-8-

uur

uuu r

∴ x0 ( yN ? 2) ? ( y0 ? 2) xN , 点 N 在直线 y=x 上, ,解得 N 点的横坐标 xN ?

?2 x0 . x0 ? y0 ? 2

??????????12 分

所以 OM·ON= 2 | xM ? 0 | ? 2 | xN ? 0 | = 2 | xM | ? | xN | =2 |

3 y0 ? x0 ?2 x0 | ?| | x0 ? y0 ? 2 x0 ? y0 ? 2

2 x0 2 ? 6 x0 y0 x0 2 ? 3x0 y0 2 x0 2 ? 6 x0 y0 2 | | 2 | | |= =2| = 6 .???????? 16 分 x0 2 = x0 2 2 2 x0 ? 2 x0 y0 ? ? x0 y0 ( x0 ? y0 ) ? 4 3 3
19.解: (1)当 a ? ?1 时, f ' ? x ? ? e ? 1, f ' ?1? ? e ? 1, f ?1? ? e ,
x

??????2 分

∴函数 f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程为 y ? e ? ? e ?1?? x ?1? , 即 y ? ? e ?1? x ?1. (2)∵ f ' ? x ? ? e ? a ,
x

?

?

??????????????????????????4 分

①当 a ≤ 0 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 在 R 上单调递增;????????????6 分 ②当 a ? 0 时,由 f ' ? x ? ? e ? a ? 0 得 x ? ln a ,
x

∴ x ? ? ??,ln a ? 时, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递减; x ? ? ln a, ??? 时, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增. 综上,当 a ≤ 0 时,函数 f ? x ? 的单调递增区间为 (??, ??) ;当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 的单调递增区间为

? ln a, ??? ,单调递减区间为 ? ??,ln a ? .

??????????????9 分

(3)由(2)知,当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 在 R 上单调递增, ∴ f ? x ? ≥ b 不可能恒成立; ????????????????????????10 分 当 a ? 0 时, b ≤ 0 ,此时 ab ? 0 ; ?????????????????????11 分 当 a ? 0 时,由函数 f ? x ? ≥ b 对任意 x ? R 都成立,得 b ≤ f min ? x ? , ∵ fmin ? x ? ? f ? ln a ? ? 2a ? a ln a ,∴ b ≤ 2a ? a ln a ∴ ab ≤ 2a 2 ? a 2 ln a , 设 g ? a ? ? 2a ? a ln a ? a ? 0? ,∴ g ' ? a ? ? 4a ? ? 2a ln a ? a ? ? 3a ? 2a ln a ,
2 2

????????????13 分

由于 a ? 0 ,令 g ' ? a ? ? 0 ,得 ln a ?

3 3 , a ? e2 , 2

-9-

? 3 ? ? 3 ? 2 当 a ? ? 0, e ? 时, g ' ? a ? ? 0 , g ? a ? 单调递增; a ? ? e 2 , ?? ? 时, g ' ? a ? ? 0 , g ? a ? 单调递减. ? ? ? ?
∴ g max ? a ? ?
3

e3 e3 ,即 ab 的最大值为 , 2 2

此时 a ? e 2 , b ?

1 3 e2 . 2

????????????????????????? 16 分

20.解: (1)设 bn ? a2n ? ? ,

因为 bn ?1

bn 1 ?3

?

a2 n ? 2 ? ? a2 n ? ?

1 ?3

a2 n ?1 ? ? 2n ? 1? ? ? a2 n ? ? 1 ?3 a2 n ? 1 ? ? a2 n ? ? 1 a2 n ? 1 ? ? a2 n ? ?

? a2 n ? 6n ? ? ? 2n ? 1? ? ?
a2 n ? ?

. ?????????????2 分

若数列 ?a2 n ? ?? 是等比数列,则必须有 3

, ? q (常数)

1 ? q? ? 1 ? ? q ? 0 ? ? 3 ? ?? 即 ? ? q ? a2 n ? ? q ? 1? ? ? 1 ? 0 ,即 ? 3 , 3 ?3 ? ? ? q ? 1 ? ? 1 ? 0 ? ? ? ? ? ? ? 2

?1

???????5 分

3 1 3 1 ? a1 ? 1 ? ? ? ? 0 , 2 3 2 6 3 所以存在实数 ? ? ,使数列 ?a2 n ? ?? 是等比数列???????????????6 分 2 (注:利用前几项,求出 ? 的值,并证明不扣分)
此时 b1 ? a2 ? (2)由(1)得 ?bn ? 是以 ? 故 bn ? a2 n ?

1 1 为首项, 为公比的等比数列, 6 3

3 1 ?1? ? ? ?? ? 2 6 ? 3?

n ?1

1 ?1? 1 ?1? 3 ? ? ? ? ? ,即 a2 n ? ? ? ? ? ? ,???????8 分 2 ? 3? 2 ? 3? 2
n ?1

n

n

由 a2 n ?

1 1 1? a2 n ?1 ? ? 2n ? 1? ,得 a2n?1 ? 3a2n ? 3 ? 2n ? 1? ? ? ? ? ? ? 3 2 ? 3?

? 6n ?

15 ,??10 分 2

n ?1 n n 1 ?? 1 ? ?1? ? ?1? a ? a ? ? ? ? ? 6 n ? 9 ? ? 2 ? 所以 2 n ?1 ?? ? 2n ? ? ? ? ? ? 6n ? 9 , 2 ? 3 3 ? ? ? ? ?3? ? ? ?

- 10 -

S2n ? ? a1 ? a2 ? ? ? a3 ? a4 ? ? L ? ? a2n?1 ? a2n ?

n ? 1 ? 1?2 ? 1 ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? L ? ? ? ? ? 6? 1 ? ? 2 L ? n ? ? n9 ? 3 ? ? ? 3 ? 3? ? ?

n 1? ?1? ? n n ?1 ? ? ? ? 2 3? ?1? ?1? 2 n(n ? 1) ? ?3? ? ? ? ?2 ? ? 6? ? 9n ? ? ? ? 1 ? 3n ? 6n ? ? ? ? 3 ? n ? 1? ? 2 ,??????????? ? 3? ? 3? 1 2 1? 3

?????????????12 分 显然当 n ? N * 时, ?S2 n ? 单调递减, 又当 n ? 1 时, S 2 ?

7 8 ? 0 ,当 n ? 2 时, S 4 ? ? ? 0 ,所以当 n≥ 2 时, S2 n ? 0 ; 3 9
n

3 ?1? 5 S2n?1 ? S2n ? a2n ? ? ? ? ? ? 3n2 ? 6n , 2 ? 3? 2
同理,当且仅当 n ? 1 时, S2 n?1 ? 0 . 综上,满足 Sn ? 0 的所有正整数 n 为 1 和 2.????????????????? 16 分

- 11 -

- 12 -


相关文章:
江苏省苏州市2015届高三上学期期末考试数学试卷
暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档江苏省苏州市2015届高三上学期期末考试数学试卷_高三数学_数学_高中教育_教育专区。苏州市 2015 届上学期高三期末调研考试 数学...
江苏省苏州市2015届高三上学期期末考试数学试卷及答案
暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 江苏省苏州市2015届高三上学期期末考试数学试卷及答案_数学_高中教育_教育专区。苏州市 2015 届上学期高三期末调研考试 数学试...
江苏省苏州市2015届高三上学期期末考试数学试题 Word版...
暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 江苏省苏州市2015届高三上学期期末考试数学试题 Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。苏州市 2015 届上学期高三期...
江苏省无锡市2015届高三上学期期末考试数学试题
暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 江苏省无锡市2015届高三上学期期末考试数学试题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。江苏省无锡市 2015 届高三上学期期末考试数...
江苏省南通市2015届高三上学期期末考试数学试题
暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 江苏省南通市2015届高三上学期期末考试数学试题_数学_高中教育_教育专区。南通市 2015 届高三上学期期末考试数学试题 数 学I...
江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编:...
江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编...0 时, ? ? f ( x) = log 2 (2 - x) ,...2 ? ?2 2 为 11 、(苏州市 2015 届高三上...
江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编:...
江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编:平面向量_高三数学_数学_高中...? (0 , ) ,求 ? 的值. 2 2、 (苏州市 2015 届高三上期末)已知向量 ...
江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编:...
江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编...6、(苏州市 2015 届高三上期末)如图,在正方体 ...由题意,知 D(0,0,0) , A?(2,0,1) , B...
苏州市2015届高三上学期期中测试数学试题(含附加题)
暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档苏州市2015届高三上学期期中测试数学试题(含附加题)_数学_高中教育_教育专区。2014—2015 学年第一学期高中调研测试试卷 数学 ...
0江苏省常州市2015届高三上学期期末考试数学试题
0江苏省常州市2015届高三上学期期末考试数学试题_数学_高中教育_教育专区。精编版常州市 2015 届高三第一学期期末调研测试 数学Ⅰ试题一、填空题:本大题共 14 小...
更多相关标签: