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1.5对偶与范式new


基本等值公式
设A,B,C是任何的公式,则:

1) E1:A∨(B∨C) ?(A∨B)∨C
E2: A∧(B∧C) ?(A∧B)∧C 2) E3:A∨B ? B∨A E4:A∧B ? B∧A 3) E5:A∨A ? A

(结合律)
(交换律) (幂等律) (吸收律)
1

E6:A∧A ? A
4) E7:A∨(A∧B) ? A

E8:A∧(A∨B) ? A

基本等值公式(续)
5) E9:A∨(B∧C) ?(A∨B)∧(A∨C) ? E10:A∧(B∨C) ?(A∧B)∨(A∧C) 6) E11:A∨0 ? A ? E12:A∧1 ? A (分配律) (同一律)

7) E13:A∨1 ? 1 ? E14:A∧0 ? 0
8) E15:A∨┐A ? 1 9) E16:A∧┐A ? 0

(零律)
(排中律) (矛盾律)

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基本等价公式(续)
10) E17:┐(┐A) ? A
? E19:┐(A∧B) ? ┐A∨┐B

(双重否定律)

11) E18:┐(A∨B) ? ┐A∧┐B (De MoRAan定律)
12) E20: (A?B) ?(A→B)∧(B→A) 13) E21:(A→B) ?(┐A∨B) 14) E22:A →B? ?B→?A 15) E23:A ?B? ?A??B (等价式) (蕴涵式) (假言易位) (等价否定等式)

作用

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请写出等价等值式与蕴涵式等值式 (p?q) ?(p→q)∧(q→p) (p→q) ?(┐p∨q) 等值式有哪些作用? (等价式) (蕴涵式)

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利用基本的等值关系,完成如下工作: (1)判断公式的类型: 证明 ((p∨q)∧? (?p∧(?q∨?r)))∨
(?p∧?q)∨(?p∧?r)是一个永真公式。

(2)证明公式之间的等值关系: 证明p→(q→r) ? (p∧q)→r (3)化简公式: 证明(?p∧(?q∧r))∨((q∧r)∨(p∧r)) ? r
5

证明
(1)((p∨q)∧? (?p∧(?q∨?r)))∨(?p∧?q)∨(?p∧?r) 证明: 原式 ? ((p∨q)∧(p∨(q∧r)))∨? ((p∨q)∧(p∨r)) ? ((p∨q)∧((p∨q)∧(p∨r)))∨? ((p∨q)∧(p∨r)) ? ((p∨q)∧ (p∨r))∨? ((p∨q)∧(p∨r)) ? T
即((p∨q)∧? (?p∧(?q∨?r)))∨(?p∧?q)∨(?p∧?r) 为永真公式;
6

证明(续)
(2) p→(q→r) ?(p∧q)→r 证明: 左边? ? p∨(q→r) ? ? p∨(? q∨r) ? (? p∨ ? q)∨r ? ?(p∧q)∨r ?(p∧q)→r=右边,证毕
(3)(? p∧(? q∧r))∨((q∧r)∨(p∧r))

?r

证明:
左边 ? ((? p∧ ? q)∧r)∨((p∨q)∧r)

? (?(p∨q)∧r)∨((p∨q)∧r) ?((p∨q)∨(q∨p))∧r ? T∧ r ? r

即有: (p∧(q∧r))∨((q∧r)∨(p∧r)) ? r。

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*1.4

联结词的完备集

我们学习了五个联结词,把它们放在一个集合中,称为联结词集 {? ,∨, ∧ ,→, ?}---全功能集

对于一个联结词集来说,如果集中的某个联结词可以 用集中的其他联结词所定义,则称这个联结词是冗余 的联结词。
由于学习了等值公式, ?联结词可以转化为∧ ,→,而→联结
词可以转化为? ,∨。
这样看,全功能集中, →, ?两个联结词是多余的,可有可无的 极小全功能集(全功能完备集):不含冗余联结词的全功能集 {? ,∧}是极小全功能集。 {? , ∨}是极小全功能集。自学
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1.5 对偶与范式
定义 1.5.1 在仅含联结词?、?、 ?的命题公式A 中,将?换成 ?,将?换成 ?,若A中含有0或1,则 将0换成1,将1换成0,所得命题公式称为A的对偶 式。记作A*
写出下列公式的对偶式 1.(p ? ?q) ? r ?0 2. ? (p ? q) ? (?q ? r) 3.(q ? ? p) ? (? r ?s)
定理1.5.1 定理1.5.2 证明略 公式A与A*关系: ?A?A* (? ) 公式A?B ,则A*? B*
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1.5 对偶与范式
在命题逻辑中,要解决以下几个问题: 问题1: 对任何一个命题公式A(p1,p2?pn),我们如 何判断它的类型? 问题2: 若已知一个公式的成真赋值和成假赋值, 能否将它的表达式求出? 问题3: 同一个真值函数可有不同的公式表达式, 给定两个命题公式如何判定它们是等值的?

可用范式的方法解决,范式给各种各样的公式提供 了一个统一的表达形式,从而为我们讨论问题,作 机械的符号处理提供了方便 10

四人比赛,三人估计成绩。甲说:“A第一,B第二”, 乙说:“C第二,D第四”,丙说:“A第二,D第 四”。结果每人都说对了一半,假设无并列名次,问 A、B、C、D实际名次如何?

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1.5 范式
基本概念 (1) 文字——命题变项及其否定的总称
(2) 简单析取式——有限个文字构成的析取式 p, ?q, p??q, p?q?r, … (3) 简单合取式——有限个文字构成的合取式 p, ?q, p??q, p?q?r, … (4) 析取范式——由有限个简单合取式组成的析取式 p, ?p?q, p??q, (p??q)?(?p?q??r)?(q?r) 说明: (5) 合取范式——由有限个简单析取式组成的合取式 ? 单个文字既是简单析取式,又是简单合取式 p, p??q, ?p?q, (p?q ) ??p?(p??q??r) ? 形如 p??q?r, ?p?q??r 的公式既是析取范式,又是合取 (6) 范式——析取范式与合取范式的总称 12 范式

范式的性质
(1) 一个简单析取式是重言式:当且仅当它同时含有某 个命题变项和它的否定式. (2) 一个简单合取式是矛盾式:当且仅当它同时含有某 个命题变项和它的否定式. (3) 一个析取范式是矛盾式:当且仅当它每个简单合 取式都是矛盾式. (4) 一个合取范式是重言式:当且仅当它的每个简单析 取式都是重言式.
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命题公式的范式
定理1.5.3(范式存在定理) 任何命题公式都存在与之等值的析取范式与合取 范式 如何求公式A的析取(合取)范式呢?
公式A的析取(合取)范式??与A等值的析取(合取)范式 求公式A的范式的步骤: (1) 消去A中的?, ?(若存在) A?B??A?B A?B?(?A?B)?(A??B) (2) 否定联结词?的内移或消去 ? ?A? A ?(A?B)??A??B ?(A?B)??A??B

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命题公式的范式
(3) 使用分配律 A?(B?C)?(A?B)?(A?C) A?(B?C)? (A?B)?(A?C) 公式范式的不足??不惟一

求合取范式 求析取范式

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求公式的范式
例 求下列公式的析取范式与合取范式 (1) (p??q)??r (2) (p??q)?r 解: (1) (p??q)??r ? (?p??q)??r (消去?) ? ?p??q??r (结合律) 最后结果既是析取范式(由3个简单合取式组成的析取式), 又是合取范式(由一个简单析取式组成的合取式)

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求公式的范式
(2) (p??q)?r ? (?p??q)?r (消去第一个?) ? ?(?p??q)?r (消去第二个?) ? (p?q)?r (否定号内移——德摩根律) 析取范式 ? (p?r)?(q?r) (?对?分配律) 合取范式

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极小项与极大项
定义1.5.4 极小项:包含A中所有变元或其否定一次且仅一次的简单合取 式,称这样的简单合取式为极小项. 极大项:包含A中所有变元或其否定一次且仅一次的简单析取 式,称这样的简单析取式为极大项 注:极小项和极大项中各文字要求按角标顺序或字典顺序排列 几点说明: ? n个命题变项有2n个极小项和2n个极大项 ? 2n个极小项(极大项)均互不等值 ? 用mi表示第i个极小项,其中i是该极小项成真赋值的十进制 表示. 用Mi表示第i个极大项,其中i是该极大项成假赋值的 十进制表示. mi(Mi)称为极小项(极大项)的名称. 18

实例
由两个命题变项 p, q 形成的极小项与极大项 极小项 公式 ?p??q ?p?q p??q p?q 成真赋值 名称 0 0 1 1 0 1 0 1 m0 m1 m2 m3 公式 p? q p??q ? p? q ?p??q 极大项 成假赋值 0 0 1 1 0 1 0 1 名称 M0 M1 M2 M3

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实例
由三个命题变项 p, q, r 形成的极小项与极大项. 极小项 极大项 公式 成真赋值 名称 公式 成假赋值 名称

?p ??q ??r ?p ??q ? r ?p ?q ? ?r ?p ?q ? r p ??q ??r p ??q ? r p ?q ? ?r p ?q ? r

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7

p?q?r p ? q ? ?r p ? ?q ? r p ? ?q ??r ?p ? q ? r ?p ? q ? ?r ?p ? ?q ? r ?p ? ?q ??r

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7
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mi与Mi的关系: ?mi ? Mi,

?Mi ? mi ·

主析取范式与主合取范式
定义1.5.5 对于公式A 主析取范式——由极小项构成的析取范式 主合取范式——由极大项构成的合取范式 例如,n=3, 命题变项为 p, q, r 时, (?p??q?r)?(?p?q?r) ? m1?m3 ——主析取范式 (p?q??r)?(?p??q??r) ? M1?M7——主合取范式 公式A的主析取(合取)范式——与A 等值的主析取(合取)范式 定理 (主范式的存在惟一定理) 任何命题公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是惟一的
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求公式主范式的步骤
求公式主析取范式的步骤: 设公式A含命题变项p1,p2,…,pn (1) 求A的析取范式A?=B1? B2? … ? Bs , 其中Bj是简单合 取式 j=1,2, … ,s (2) 若某个Bj既不含pi, 又不含?pi, 则将Bj展开成 Bj ? Bj?(pi??pi) ? (Bj?pi)?(Bj??pi)

重复这个过程, 直到所有简单合取式都是长度为n的 极小项为止
(3) 消去重复出现的极小项, 即用mi代替mi?mi (4) 将极小项按下标从小到大排列
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求公式主范式的步骤
求公式的主合取范式的步骤: 设公式A含命题变项p1,p2,…,pn (1) 求A的合取范式A?=B1?B2? … ?Bs , 其中Bj是简单析取 式 j=1,2, … ,s (2) 若某个Bj既不含pi, 又不含?pi, 则将Bj展开成

Bj ? Bj?(pi??pi) ? (Bj?pi)?(Bj??pi)
重复这个过程, 直到所有简单析取式都是长度为n的极

大项为止
(3) 消去重复出现的极大项, 即用Mi代替Mi?Mi (4) 将极大项按下标从小到大排列
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实例
例6 (1) 求公式 A=(p??q)?r的主析取范式和主合取范式 解 (p??q)?r ? (p?q)?r (析取范式) ① (p?q) ? (p?q)?(?r?r) ? (p?q??r)?(p?q?r) ? m6?m7 ② r ? (?p?p)?(?q?q)?r ? (?p??q?r)?(?p?q?r)?(p??q?r)?(p?q?r) ? m1?m3?m5?m7 ③ ②, ③代入①并排序,得 (p??q)?r ? m1?m3?m5? m6?m7 (主析取范式)
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实例
(p??q)?r ? (p?r)?(q?r) (合取范式) ④ p? r ? p?(q??q)?r ? (p?q?r)?(p??q?r) ? M0?M2 ⑤ q? r ? (p??p)?q?r ? (p?q?r)?(?p?q?r) ? M0?M4 ⑥ ⑤, ⑥代入④ 并排序,得 (p??q)?r ? M0?M2?M4 (主合取范式)
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主范式的应用
1.求公式的成真成假赋值
设公式A含n个命题变项, A的主析取范式有S个极小项, 则A 有S个成真赋值, 它们是极小项下标的二进制表 示, 其余2n-S个赋值都是成假赋值 例如 (p??q)?r ? m1?m3?m5? m6?m7 成真赋值为 001, 011, 101, 110, 111, 成假赋值为 000, 010, 100. 类似地,由主合取范式也立即求出成假赋值和成真赋值.

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主范式的应用
2. 判断公式的类型 设A含n个命题变项. A为重言式 ? A的主析取范式含全部2n个极小项 A为矛盾式 ? A的主合析取范式含全部2n个极大项

A为非重言式的可满足式 ? A的主析取范式中至少含一个、但不是全 部极小项 ? A的主合取范式中至少含一个、但不是全 部极大项.
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主范式的应用
例7 用主析取范式判断公式的类型: (1) A? ?(p?q)?q (2) B? p?(p?q) (3) C? (p?q)?r 解 (1) A ? ?(? p?q)?q ? ( p??q)?q ? 0 (2) B ? ? p?(p?q) ? 1 ? m0?m1?m2?m3 矛盾式 重言式

(3) C ? ?(p?q)?r ? (?p??q)?r
? (?p??q??r) ? (?p??q?r) ?(?p??q?r) ?(?p?q?r)?(p??q?r)?(p?q?r) ? m0?m1?m3? m5?m7 非重言式的可满足式
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主范式的应用
3. 判断两个公式是否等值 例8 用主析取范式判以下每一组公式是否等值 ⑴ p?(q?r) 与 (p?q)?r ⑵ p?(q?r) 与 (p?q)?r 解 p?(q?r) = m0?m1?m2?m3? m4?m5? m7 (p?q)?r = m0?m1?m2?m3? m4?m5? m7 (p?q)?r = m1?m3? m4?m5? m7 显见,⑴中的两公式等值,而⑵的不等值.
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主范式的应用
4. 解实际问题 例9 某单位要从A,B,C三人中选派若干人出国考察, 需满 足下述条件: (1) 若A去, 则C必须去; (2) 若B去, 则C不能去; (3) A和B必须去一人且只能去一人. 问有几种可能的选派方案?
解 记 p:派A去, q:派B去, r:派C去 (1) p?r, (2) q??r, (3) (p??q)?(?p?q) 求下式的成真赋值 A=(p?r)?(q??r)?((p??q)?(?p?q))

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主范式的应用
求A的主析取范式 A=(p?r)?(q??r)?((p??q)?(?p?q)) ? (?p?r)?(?q??r)?((p??q)?(?p?q)) ? ((?p??q)?(?p??r)?(r??q)?(r??r)) ?((p??q)?(?p?q)) ? ((?p??q)?(p??q))?((?p??r)?(p??q)) ?((r??q)?(p??q))?((?p??q)?(?p?q)) ?((?p??r)?(?p?q))?((r??q)?(?p?q)) ? (p??q?r)?(?p?q??r) 成真赋值:101,010 结论: 方案1 派A与C去, 方案2 派B去

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用成真赋值和成假赋值确定主范式
由主析取范式确定主合取范式 例10 设A有3个命题变项, 且已知A= m1?m3?m7, 求A的主 合取范式. 解 A的成真赋值是1,3,7的二进制表示, 成假赋值是在主 析取范式中没有出现的极小项的下角标0,2,4,5,6的二 进制表示, 它们恰好是A的主合取范式的极大项的下 角标, 故 A ? M0?M2?M4?M5?M6
由主合取范式确定主析取范式 用真值表确定主范式
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作业:课后习题

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2.3 联结词的完备集
定义2.6 称F:{0,1}n? {0,1} 为n元真值函数. {0,1}n={00…0, 00…1, …, 11…1},包含 2 个长为n的0,1符号串. n 共有 2 2 个n元真值函数. 1元真值函数 p 0 1
2n

F0(1)
0 0

F1(1)
0 1

F2(1)
1 0

F3(1)
1 1

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真值函数
2元真值函数

p q 0 0 1 1 p 0 1 0 1 q

F0( 2)

F1( 2)

F2( 2)

F3( 2)

F4( 2)

F5( 2)

F6( 2)

F7( 2)

0 0 0 0
F8( 2)

0 0 0 1
F9( 2)

0 0 1 0
( 2) F10

0 0 1 1
( 2) F11

0 1 0 0
( 2) F12

0 1 0 1
( 2) F13

0 1 1 0
( 2) F14 ( 2) F15

0 1 1 1

0 0 1 1

0 1 0 1

1 0 0 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 0 1

1 1 1 0

1 1 1 1

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公式与真值函数
任何一个含n个命题变项的命题公式A都对应惟一的一个n元 真值函数 F , F 恰好为A的真值表. 等值的公式对应的真值函数相同. ( 2) 例如:p?q, ?p?q 都对应 F13

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联结词完备集
定义2.7 设S是一个联结词集合,如果任何n(n?1) 元真值 函 数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表示,则称S是 联结 词完备集 若S是联结词完备集, 则任何命题公式都可由S中的联结词 表示 定理2.6 S = {?, ?, ?}是联结词完备集 证明 由范式存在定理可证

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联结词完备集
推论 以下都是联结词完备集 (1) S1 = {?, ?, ?, ?} (2) S2 = {?, ?, ?, ?, ?} (3) S3 = {?, ?} (4) S4 = {?, ?} (5) S5 = {?, ?}

证明 (1),(2) 在联结词完备集中加入新的联结词后仍为完备集 (3) A?B ? ?(?A??B) (4) A?B ? ?(?A??B) (5) A?B??A?B
{?,?,?,?}不是联结词完备集, 0不能用它表示 它的子集{?},{?},{?},{?},{?,?},{?,?,?}等都不是
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复合联结词
定义2.8 设 p, q 为两个命题, ?(p?q)称作p与q的与非式, 记作 p?q, 即 p?q ? ?(p?q), ?称为与非联结词 ?(p?q) 称作 p 与 q 的或非式, 记作 p?q, 即 p?q ? ?(p?q), ? 称为或非联结词 定理2.7 {?}与{?}为联结词完备集. 证明 {?, ?, ?}为完备集 ?p ? ?p??p ? ?(p?p) ? p?p p?q ? ?(?p??q) ? ?p??q ? (p?p)?(q?q) p?q ? ??(p?q) ? ?(p?q) ? (p?q)?(p?q)

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第二章 习题课
主要内容 ?等值式与等值演算 ?基本等值式(16组,24个公式) ?主析取范式与主合取范式 ?联结词完备集 ?消解法

40

基本要求
? ? ? ? ? ? ? 深刻理解等值式的概念 牢记基本等值式的名称及它们的内容 熟练地应用基本等值式及置换规则进行等值演算 理解文字、简单析取式、简单合取式、析取范式、合取范 式的概念 深刻理解极小项、极大项的概念、名称及下角标与成真、 成假赋值的关系,并理解简单析取式与极小项的关系 熟练掌握求主范式的方法(等值演算、真值表等) 会用主范式求公式的成真赋值、成假赋值、判断公式的类 型、判断两个公式是否等值 会将公式等值地化成指定联结词完备集中的公式 会用命题逻辑的概念及运算解决简单的应用问题 掌握消解规则及其性质 会用消解算法判断公式的可满足性 41

? ? ? ?

练习1:概念
1. 设A与B为含n个命题变项的公式,判断下列命题是否为 真? 真
假 (1) A?B当且仅当A与B有相同的主析取范式 假 (2) 若A为重言式,则A的主合取范式为0 假 (3) 若A为矛盾式,则A的主析取范式为1 (4) 任何公式都能等值地化成{?, ?}中的公式 真 (5) 任何公式都能等值地化成{?, ?, ?}中的公式 说明: (2) 重言式的主合取范式不含任何极大项,为1. (3) 矛盾式的主合析范式不含任何极小项, 为0. (4) {?, ?}不是完备集,如矛盾式不能写成{?, ?}中的公式. (5) {?, ?}是完备集.

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练习2: 判断公式类型
2. 判断下列公式的类型: (1) (p?q)?(?q??p)

解 用等值演算法求主范式 (p?q)?(?q??p) ? ?(?p?q)?(q??p) ? (p??q)?(q??p) ? (p??q)?(?p?q)?(p?q)?(?p??q) ? m2 ? m1 ? m 3 ? m0 ? m0 ? m1 ? m 2 ? m3 主析取范式 ?1 主合取范式
重言式
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练习题2(续)
(2) ?(p?q)?q

解 用等值演算法求公式的主范式 ?(p?q)?q ? ?(?p?q)?q ? p??q?q ?0 ? M0 ? M 1 ? M 2 ? M 3
矛盾式
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主析取范式 主合取范式

练习2(续)
(3) (p?q)??p

解 用等值演算法求公式的主范式 (p?q)??p ? (?p?q)??p ? ?p ? (?p??q)?(?p?q) ? m 0 ? m1 主析取范式 ? M 2 ? M3 主合取范式
非重言式的可满足式
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练习3:求公式的主范式
3.已知命题公式A中含3个命题变项p, q, r,并知道它的 成真 赋值为001, 010, 111, 求A的主析取范式和主合取范式, 及A对A的主析取范式为m1 ? m2 ? m7 应的真值函数. A的主合取范式为M0 ? M3 ? M4 ? M5 ? M6



pqr 000 001 010 011

F 0 1 1 0

pqr 100 101 110 111

F 0 0 0 1
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练习4:联结词完备集
4.将A = (p??q)?r改写成下述各联结词集中的公式: (1) {?, ?, ?} (2) {?, ?} (3) {?, ?} (4) {?, ?} (5) {?} (6) {?}

解 (1) (p??q)?r ? (?p??q)?r (2) (p??q)?r ? ?(p?q)?r (3) (p??q)?r ? (?p??q)?r ? ?(?(?p??q)??r)

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练习4 解答
(4) (p??q)?r ? ?(?(p??q)??r) ? ?((p??q)??r) (5) (p??q)?r ? ?(p?q)?r ? (p?q)?r ? ? ?((p?q)?r) ? ((p?q)?r)?((p?q)?r) (6) (p??q)?r ?(?p??q)?r ? ?(?(?p??q)??r) ? (?p??q)??r ? ((p?p)?(q?q)?(r?r) 说明:答案不惟一

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练习5:应用题
5. 某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生 中选 派一些人出国学习. 选派必须满足以下条件: (1) 若赵去,钱也去. (2) 李、周两人中至少有一人去 (3) 钱、孙两人中去且仅去一人. (4) 孙、李两人同去或同不去. (5) 若周去,则赵、钱也去. 用等值演算法分析该公司如何选派他们出国?

49

练习5解答
解此类问题的步骤: 1.设简单命题并符号化 2. 用复合命题描述各条件 3. 写出由复合命题组成的合取式 4. 将合取式成析取式(最好是主析取范式) 5. 求成真赋值, 并做出解释和结论

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练习5解答
解 1. 设简单命题并符号化 设 p: 派赵去,q: 派钱去,r: 派孙去,s: 派李去,u: 派 周去 2. 写出复合命题 (1) 若赵去,钱也去 (2) 李、周两人中至少有一人去 (3) 钱、孙两人中去且仅去一人 (4) 孙、李两人同去或同不去 (5) 若周去,则赵、钱也去

p? q s?u (q??r)?(?q?r) (r?s)?(?r??s) u?(p?q) 51

练习5解答
3. 设(1)—(5)构成的合取式为A A = (p?q)?(s?u)?((q??r)?(?q?r))? ((r?s)?(?r??s))?(u?(p?q))
4. 化成析取式 A ? (?p??q?r?s??u)?(p?q??r??s?u) 结论:由上述析取式可知,A的成真赋值为00110与 11001, 派孙、李去(赵、钱、周不去) 派赵、钱、周去(孙、李不去)

52

练习5解答
A ? (?p?q)?((q??r)?(?q?r))? (s?u)?(?u?(p?q))? ((r?s)?(?r??s)) B1=(?p?q)?((q??r)?(?q?r)) ? ((?p?q??r)?(?p??q?r)?(q??r)) (分配律) B2=(s?u)?(?u?(p?q)) ? ((s??u)?(p?q?s)?(p?q?u)) (分配律) B1?B2 ? (?p?q??r?s??u)?(?p??q?r?s??u) ?(q??r?s??u)?(p?q??r?s)?(p?q??r?u) 再令 ((r?s)?(?r??s))=B3,则 B1?B2?B3 ? (?p??q?r?s??u)?(p?q??r??s?u)
53


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