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湖南师大附中2014-2015学年高一(下)入学数学试卷


湖南师大附中 2014-2015 学年高一(下)入学数学试卷
一、选择题(共 7 小题,每小题 5 分,满分 35 分) 2 1.已知集合 A={x|x ﹣2x=0},B={0,1,2},则 A∩B=( A. {0} B. {0,1} {0,1,2} 考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:解出集合 A,再由交的定义求出两集合的交集. 解答: 解:∵A={x|x ﹣2

x=0}={0,2},B={0,1,2}, ∴A∩B={0,2} 故选 C 点评:本题考查交的运算,理解好交的定义是解答的关键. 2.设 m、n 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,则下列命题正确的是( ) A. 若 m∥α,n∥α,则 m∥n B. 若 m∥α, m∥β,则 α∥β C. 若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α D. 若 m∥α, α⊥β,则 m⊥β 考点:空间中直线与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系;平面与平面 之间的位置关系. 专题:空间位置关系与距离. 分析:用直线与平面平行的性质定理判断 A 的正误;用直线与平面平行的性质定理判断 B 的 正误;用线面垂直的判定定理判断 C 的正误;通过面面垂直的判定定理进行判断 D 的正误. 解答: 解:A、m∥α,n∥α,则 m∥n,m 与 n 可能相交也可能异面,所以 A 不正确; B、m∥α,m∥β,则 α∥β,还有 α 与 β 可能相交,所以 B 不正确; C、m∥n,m⊥α,则 n⊥α,满足直线与平面垂直的性质定理,故 C 正确. D、m∥α,α⊥β,则 m⊥β,也可能 m∥β,也可能 m∩β=A,所以 D 不正确; 故选 C. 点评:本题主要考查线线,线面,面面平行关系及垂直关系的转化,考查空间想象能力能力. 3.圆(x+2) +y =4 与圆(x﹣2) +(y﹣1) =9 的位置关系为( A. 内切 B.相交 相离
2 2 2 2 2

) C. {0,2} D.

) C. 外切 D.

考点:圆与圆的位置关系及其判定. 专题:直线与圆. 分析:求出两圆的圆心和半径,计算两圆的圆心距,将圆心距和两圆的半径之和或半径之差 作对比,判断两圆的位置关系. 2 2 解答: 解:圆(x+2) +y =4 的圆心 C1(﹣2,0) ,半径 r=2. 2 2 圆(x﹣2) +(y﹣1) =9 的圆心 C2(2,1) ,半径 R=3,

两圆的圆心距 d=

=



R+r=5,R﹣r=1, R+r>d>R﹣r, 所以两圆相交, 故选 B. 点评:本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法,关键是求圆心距和两圆的半径.

4.设 A. t=15 a>b>c

,则 a,b,c 的大小关系是( B.c>a>b



C. a<b<c D.

考点:指数函数的单调性与特殊点;不等关系与不等式. 专题:计算题. 分析:直接利用指数函数的单调性判断 a、b 的大小,通过幂函数的单调性判断 b、c 的大小即 可. 解答: 解:因为 y= 是减函数,所以 ,

幂函数 y=

是增函数,所以



∴a<b<c. 故选:C. 点评:本题考查指数函数的单调性幂函数的单调性的应用,考查的比较一般利用函数的单调 性. 5.已知某几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为 24,则正视图中 a 的值为( )

A.

8

B.

6

C.

4

D. 2

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题. 分析:几何体是一个四棱锥,底面是一个边长分别是 a 和 3 的矩形,一条侧棱与底面垂直,且 这条侧棱的长是 4,根据该几何体的体积是 24,列出关于 a 的方程,解方程即可. 解答: 解:由三视图知几何体是一个四棱锥,

底面是一个边长分别是 a 和 3 的矩形, 一条侧棱与底面垂直,且这条侧棱的长是 4, 根据该几何体的体积是 24, 得到 24= ×a×3×4, ∴a=6, 故选 B. 点评:本题考查由三视图求几何体的体积,实际上不是求几何体的体积,而是根据体积的值 和体积的计算公式,写出关于变量的方程,利用方程思想解决问题.

6.函数 f(x)= A. 0

的零点个数为( B. 1

) C. 2 D. 3

考点:根的存在性及根的个数判断. 专题:函数的性质及应用. 分析: 先判断函数的单调性,由于在定义域上两个增函数的和仍为增函数,故函数 f(x) 为单调增函数,而 f(0)<0,f( )>0 由零点存在性定理可判断此函数仅有一个零点 解答: 解:函数 f(x)的定义域为上是减函数,则实数 b 的取值范围是(


2

A. (﹣∞,4] B. (﹣∞,2] C. 上的解析式可以变为 f(x)=x ﹣bx,再由 二次函数的性质结合函数 f(x)=|x|(x﹣b)在上是减函数即可得到关于参数 b 的不等式,解 不等式得到参数的取值范围即可选出正确选项. 解答: 解:∵函数 f(x)=|x|(x﹣b)在上是减函数, 2 ∴函数 f(x)=x ﹣bx 在上是减函数, ∴ ,解得 b≥4

故选 D 点评:本题考查二次函数的性质,解题的关键是熟练掌握二次函数的性质,且能根据题设条 件及二次函数的性质进行等价转化得到参数所满足的不等式. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 8.函数 f(x)=(x+a) (x﹣4)为偶函数,则实数 a=

4 .

考点:函数奇偶性的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据偶函数 f(x)的定义域为 R,则?x∈R,都有 f(﹣x)=f(x) ,建立等式,解之即 可. 解答: 解:因为函数 f(x)=(x+a)?(x﹣4)是偶函数, 所以?x∈R,都有 f(﹣x)=f(x) . 所以?x∈R,都有(﹣x+a)?(﹣x﹣4)=(x+a)?(x﹣4) 2 2 即 x +(4﹣a)x﹣4a=x +(a﹣4)x﹣4a

所以 a=4. 故答案为:4 点评:本题主要考查了函数奇偶性的性质,同时考查了运算求解的能力,属于基础题. 9.已知 4 =2,lgx=a,则 x=
a



考点:对数的运算性质. 专题:计算题. 分析:化指数式为对数式求得 a,代入 lgx=a 后由对数的运算性质求得 x 的值. 解答: 解:由 4 =2,得 再由 lgx=a= , 得 x= . 故答案为: . 点评:本题考查了指数式与对数式的互化,考查了对数的运算性质,是基础题.
a



10. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为

, 则正方体的棱长为



考点:球内接多面体;球的体积和表面积. 专题:空间位置关系与距离;立体几何. 分析:设出正方体棱长,利用正方体的体对角线就是外接球的直径,通过球的体积求出正方 体的棱长. 解答: 解:因为正方体的体对角线就是外接球的直径, 设正方体的棱长为 a,所以正方体的体对角线长为: 球的体积为: , a,正方体的外接球的半径为: ,

解得 a= . 故答案为: . 点评:本题考查正方体与外接球的关系,注意到正方体的体对角线就是球的直径是解题的关 键,考查空间想象能力与计算能力.

11.已知函数 y=

的图象与函数 y=kx﹣2 的图象恰有两个交点,则实数 k 的取值范围

是 (0,1)∪(1,4) . 考点:根的存在性及根的个数判断. 专题:函数的性质及应用.

分析:先化简函数的解析式,在同一个坐标系下画出函数 y= 的图象,结合图象,可得实数 k 的取值范围. 解答: 解:y= = =

的图象与函数 y=kx﹣2

函数 y=kx﹣2 的图象恒过点(0,﹣2) 在同一个坐标系下画出函数 y= 的图象与函数 y=kx﹣2 的图象

结合图象可实数 k 的取值范围是(0,1)∪(1,4) 故答案为: (0,1)∪(1,4) 点评:本题主要考查了根的存在性及根的个数判断,同时考查了作图能力和分类讨论的数学 思想,属于基础题. 三、解答题(共 4 小题,满分 45 分) 12.已知直线 l:x﹣y+m=0 绕其与 x 轴的交点逆时针旋转 90°后过点(2,﹣3) (1)求 m 的值; (2)求经过点 A(1,1)和 B(2,﹣2) ,且圆心在直线 l 上的圆的方程. 考点:圆的标准方程;待定系数法求直线方程. 专题:直线与圆. 分析: (1)通过设直线 l 与 x 轴交点 P(﹣m,0) ,利用旋转前后两直线垂直即斜率乘积为 ﹣1 可得 m=1; (2)通过中点坐标公式可得线段 AB 的中点 C( ,﹣ ) ,利用斜率乘积为﹣1 可得直线 AB 的中垂线的斜率为 ,进而可得直线 AB 的中垂线的方程为:x﹣3y﹣3=0,利用所求圆的圆心 为直线 AB 的中垂线与直线 l 的交点,所求圆的半径为|EB|,计算即得结论.

解答: 解: (1)∵直线 l:x﹣y+m=0, ∴kl=1,直线 l 与 x 轴交点为 P(﹣m,0) , 又∵直线 l 旋转后过点 Q(2,﹣3) , ∴kPQ=﹣1,即 =﹣1,

解得 m=1; (2)∵m=1, ∴直线 l 方程为:x﹣y+1=0, ∵所求圆经过点 A(1,1) 、B(2,﹣2)且圆心在直线 l 上, ∴所求圆的圆心为直线 AB 的中垂线与直线 l 的交点, 记线段 AB 的中点为 C(x,y) , 则 ,

∴C 点坐标为:C( ,﹣ ) , ∵kAB= =﹣3,

∴直线 AB 的中垂线的斜率为 , 又直线 AB 的中垂线过 C( ,﹣ ) , ∴直线 AB 的中垂线的方程为:y+ = (x﹣ ) , 整理得:x﹣3y﹣3=0, 联立 ,

解得



即圆心为 E(﹣3,﹣2) , 半径为|EB|=2+3=5, 2 2 ∴所求圆的方程为: (x+3) +(x+2) =25. 点评:本题是一道直线与圆的综合题,涉及斜率、中垂线、圆的方程等基础知识,注意解题 方法的积累,属于中档题. 13.如图,在 Rt△ AOB 中,∠OAB=30°,斜边 AB=4,Rt△ AOC 可以通过 Rt△ AOB 以直线 AO 为轴旋转得到,且二面角 B﹣AO﹣C 的直二面角,D 是 AB 的中点. (1)求证:平面 COD⊥平面 AOB; (2)求异面直线 AO 与 CD 所成角的正切值.

考点:异面直线及其所成的角;直线与平面垂直的判定. 专题:证明题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)证明平面 COD 中的直线 CO⊥平面 AOB 即可; (2)作出异面直线 AO 与 CD 所成的角,利用直角三角形的边角关系即可 求出异面直线 AO 与 CD 所成角的正切值. 解答: 解: (1)如图所示, Rt△ AOC 是通过 Rt△ AOB 以直线 AO 为轴旋转得到, ∴CO⊥AO,BO⊥AO; 又∵二面角 B﹣AO﹣C 是直二面角, ∴∠BOC 是二面角 B﹣AO﹣C 的平面角, 即∠BOC=90°, ∴CO⊥BO; 又 AO∩BO=O, ∴CO⊥平面 AOB; 又∵CO?面 COD, ∴平面 COD⊥平面 AOB; (2)作 DE⊥OB 于点 E,连接 CE, ∴DE∥AO, ∴∠CDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角; 在 Rt△ COE 中,CO=BO= AB=2,OE= BO=1, ∴CE= 又 DE= AO= ∴tan∠CDE= = , = , . ;

即异面直线 AO 与 CD 所成角的正切值是

点评:本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题,也考查了直角三角形边角关系的应 用问题,是综合性题目. 14.已知圆心为 C 的圆:x +y +2x﹣4y+m=0 与直线 2x+y﹣3=0 相交于 A、B 两点 (1)若△ ABC 为正三角形,求 m 的值; (2)是否存在常数 m,使以 AB 为直径的圆经过坐标原点?若存在,求出 m 的值;若不存在, 请说明理由. 考点:直线和圆的方程的应用. 专题:直线与圆. 分析: (1)求得圆的圆心和半径,由正三角形的性质,可得 C 到 AB 的距离 d= r,计算
2 2

可得 m 的值; (2)假设存在常数 m,使以 AB 为直径的圆经过坐标原点.即有 OA⊥OB,取 AB 的中点 M, 连接 OM,CM,即有 OM= AB=
2 2

,由直线垂直的条件,由直线的交点可得 M 的坐

标,运用两点的距离公式,解方程可得 m,进而判断存在. 解答: 解: (1)圆:x +y +2x﹣4y+m=0 的圆心 C(﹣1,2) , 半径为 r= , r,

由△ ABC 为正三角形,可得 C 到 AB 的距离 d= 即为 解得 m= ; = ? ,

(2)假设存在常数 m,使以 AB 为直径的圆经过坐标原点. 即有 OA⊥OB,取 AB 的中点 M,连接 OM,CM, 即有 OM= AB= ,

由 CM⊥AB,可得 CM 的方程为 y﹣2= (x+1) , 联立直线 2x+y﹣3=0,可得 M( , 即有 = , ) ,

解得 m=﹣

. ,使以 AB 为直径的圆经过坐标原点.

则存在常数 m=﹣

点评:本题考查直线和圆的位置关系,考查弦长公式和正三角形的性质,以及直角三角形的 性质,属于中档题. 15.已知 f(x)=ax +bx+2,x∈R (1)若 b=1,且 3?{y|y=f(x) ,x∈R},求 a 的取值范围 2 (2)若 a=1,且方程 f(x)+|x ﹣1|=2 在(0,2)上有两个解 x1,x2,求 b 的取值范围,并 证明 2 .
2

考点:二次函数的性质. 专题:函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)由 3?{y|y=f(x) ,x∈R},讨论 a 的取值,利用二次函数的最值,求出 a 的取值 范围; (2)把方程 f(x)+|x ﹣1|=2 在(0,2)上有两个解化为函数 g(x)=x +bx+|x ﹣1|在(0,2) 上 有 2 个零点的问题,去掉绝对值,讨论函数的单调函数,求出 g(x)在(0,2)上存在两个 零点时 b 的取值范围,得出所求证明. 解答: 解: (1)∵b=1 时,f(x)=ax +x+2, 又 3?{y|y=f(x) ,x∈R}, ∴a>0 时, >3,
2 2 2 2

解得 a<﹣ ,不合题意,舍去; a=0 时,也不合题意,应舍去; a<0 时, 解得 a<﹣ , ∴a 的取值范围是{a|a<﹣ }; (2)a=1 时,方程 f(x)+|x ﹣1|=2 在(0,2)上有两个解 x1,x2, 2 2 即 x +bx+|x ﹣1|=0 在(0,2)上有两个解 x1,x2; 由题意知 b≠0,不妨设 0<x1<x2<2, 令 g(x)=x +bx+|x ﹣1|= 因为 g(x)在(0,1]上是单调函数,
2 2 2

<3,



所以 g(x)=0 在(0,1]上至多有一个解; 若 x1,x2∈(1,2) ,即 x1、x2 就是 2x +bx﹣1=0 的解, 则 x1x2=﹣ ,这与题设矛盾; 因此,x1∈(0,1],x2∈(1,2) , 由 g(x1)=0 得 b=﹣ 由 g(x2)=0 得 b= ,所以 b≤﹣1; ﹣2x2,所以﹣ <b<﹣1;
2 2

故当﹣ <b<﹣1 时,方程 f(x)+|x ﹣1|=2 在(0,2)上有两个解; 由 b=﹣ 与 b= ﹣2x2,消去 b,得 + <4. + =2x2;

又 x2∈(1,2) ,得 2<

点评:本题考查了二次函数的综合应用问题,构造函数,将绝对值符号去掉进行讨论是解决 本题的关键.


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