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【世纪金榜】(教师用书)2014高中数学 4.1.2 利用二分法求方程的近似解同步课时训练 北师大版必修1


【世纪金榜】 (教师用书)2014 高中数学 4.1.2 利用二分法求方程的近似解同 步课时训练 北师大版必修 1
(30 分钟 50 分) 一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.用二分法求如图所示函数 f(x)的零点时,不可能求出的零点是( )

(A)x1

(B)x2

(C)x3

(D)x4

2.(2012·龙岩高一检测)已知 f(x)唯一的零点在区间(1,3) 、 (1,4) 、 (1,5)内,那么下列说法错误 的是( )

(A)函数 f(x)在(1,2)或[2,3)内有零点 (B)函数 f(x)在(3,5)内无零点 (C)函数 f(x)在(2,5)内有零点 (D)函数 f(x)在(2,4)内不一定有零点 3.(2012·张家界高一检测)设 f(x)=3 +3x-8,用二分法求方程 3 +3x-8=0 在 x∈(1,2)内近似解的过程中得 f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间( (A)(1,1.25) (C)(1.5,2) 4.(易错题)已知 f(x)= (B)(1.25,1.5) (D)不能确定 )
x x

1 -lnx 在区间(1,2)内有一个零点 x0,若用二分法求 x0 的近似值(精度为 0.1), x
) (C)5 (D)6

则一般需要将区间等分的次数为( (A)3 (B)4

二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 5.用二分法求方程 x -2x-5=0 在区间[2,3]内的实根,取区间中点 x0=2.5,那么下一个有根区间是 ___________. 6.(2012· 杭州高一检测) 某同学在借助计算器求 “方程 lgx=2-x 的近似解 (精度为 0.1) ” 时, 设 f(x)=lgx+x-2, 算得 f(1)<0,f(2)>0.在以下过程中,使用“二分法”又取了 4 个 x 的值,计算了其函数值的正负,并得出
-13

判断:方程的近似解为 x=1.8,那么他所取的 x 的 4 个值中最后一个值是__________. 三、解答题(每小题 8 分,共 16 分) 7.求函数 f(x)=x -5 的负零点的近似值(精度为 0.1). 8.在 16 枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币(真币重量大于假币重量),现在只有一台 天平,请问:如何才能发现这枚假币? 【挑战能力】 (10 分)有一块边长为 30 cm 的正方形铁皮,将其四个角各截去一个边长为 x cm 的小正方形,然后折成一 个无盖的盒子,如果要做成一个容积是 1 200 cm 的无盖盒子,那么截去的小正方形的边长 x 是多少 cm(精 度为 0.1 cm)?
3 2

答案解析 1.【解析】选 C.函数 f(x)在 x3 处的零点其左右两侧的函数值的符号相同,故选 C. 2.【解析】选 C.由二分法及零点存在性定理可知,f(x)在(1,3)内必存在零点,但(2,5)内不一定有 零点, 结合 A、B、C、D 四个选项可知 C 错误. 3.【解析】选 B.由 f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0 及二分法的原理,可知第 1 次零点落在区间(1,1.5)内, 第 2 次零点落在区间(1.25,1.5)内. 4.【解题指南】只要满足

2 ?1 <0.1 便可. 2n

【解析】选 B.由求解方程近似解的步骤可知需将区间等分 4 次. 【误区警示】本题在求解过程中常常因不理解二分法的优越性(每次减小一半区间) ,而无从下手,导致 不会解答此题. 5.【解析】设 f(x)=x -2x-5,由计算器可算得 f(2)=-1,f(3)=16,f(2.5)=5.625,f(2)·f(2.5)<0,所以 下一个有根区间是[2,2.5]. 答案: [2,2.5] 6.【解析】已知 f(1)<0,f(2)>0,经计算 f(
3

3 7 15 )<0,f( )<0,f( )>0, 2 4 8
-2-

7 15 ? 4 8 = 29 =1.812 5. ∴四个值中的最后一个值为 16 2
答案:1.812 5 7.【解析】由于 f(-2)=-1<0, f(-3)=4>0, 故取区间[-3,-2]作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,列表如下:

由于|-2.25-(-2.187 5)|=0.062 5<0.1, 所以函数的一个负零点的近似值可取-2.2. 【举一反三】借助计算器或计算机,用二分法求方程 2 -x =0 在区间(-1,0)内的实数解(精度为 0.01). 【解析】令 f(x)=2 -x ,∵f(-1)=2 -(-1) =- 内有一个零点. 取区间(-1,0)的中点 x1=-0.5,用计算器可算得 f(-0.5)≈0.46>0.因为 f(-1)·f(-0.5)<0,所以 x0∈(-1,-0.5). 再取(-1,-0.5)的中点 x2=-0.75,用计算器可算得 f(-0.75)≈0.03>0.因为 f(-1)·f(-0.75)<0, 所以 x0∈(-1,-0.75). 同理,可得 x0∈(-0.875,-0.75),x0∈(-0.812 5,-0.75),x0∈ (-0.781 25,-0.75),x0∈(-0.781 25,-0.765 625),x0∈(-0.773 437 5, -0.765 625). 由于|(-0.765 625)-(-0.773 437 5)|<0.01,所以可取-0.77 作为方程 2 -x =0 在区间(-1,0)内的
-3x 2 x 2 -1 2 x 2

1 <0,f(0)=1>0,∴方程 f(x)=0 在区间(-1,0) 2

精度为 0.01 的近似解. 8.【解题指南】等分金币于两个托盘中,较轻的一端含有假币,以此类推,直至找到假币为止. 【解析】可用二分法,第一次把 16 枚金币分成两组,每组 8 枚,称重后确定出假币所在的那一组(较轻的一 组),再把较轻的一组的 8 枚金币分成两组,每组 4 枚,称重后确定假币在哪一组(较轻的一组),依次下去,即 可发现这枚假币.(答案不唯一) 【挑战能力】 【解题指南】先依据题意建立函数模型,并注明定义域,在此基础上借助二分法探求函数的零点. 【解析】盒子的体积 y 关于自变量 x 的函数解析式为 y=(30-2x) x,0<x<15. 由容积是 1 200 cm ,则(30-2x) x=1 200,下面用二分法来求方程在(0,15)内的近似解. 令 f(x)=(30-2x) x-1 200, 借助计算机画出函数图像.由图像可以看到,函数 f(x)分别在区间(1,2)和(9,10) 内各有一个零点,即方程(30-2x) x=1 200 分别在区间(1,2)和(9,10)内各有一个解. 取区间(1,2)的中点 x1=1.5,用计算器算得 f(1.5)=-106.5<0. 因为 f(1.5)· f(2)<0,所以 x0∈(1.5,2).同理可得 x0∈(1.5,1.75),x0∈(1.625,1.75),x0∈(1.687 5,1.75). 由于|1.75-1.687 5|=0.062 5<0.1,所以,我们可取 1.7 作为方程(30-2x) x=1 200 在区间(1,2)内精度为 0.1 的近似解. 同理我们可取 9.35 作为方程(30-2x) x=1 200 在区间(9,10)内精度为 0.1 的近似解. 所以,如果要做成一个容积是 1 200 cm 的无盖盒子时,截去的小正方形的边长大约是 1.7 cm 或 9.35 cm.
3 2 2 2 2 3 2 2

-4-


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