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必修1教案2.2.1对数与对数运算(三)


2.2.1 对数与对数运算(三)
(一)教学目标 1.知识与技能: (1)掌握换底公式,会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数,并能进行一些简单 的化简和证明. (2)能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答. 2.过程与方法: (1)结合实例引导学生探究换底公式,并通过换底公式的应用,使学生体会化归与转化的数学 思想. (2)通过师生之间、学生与学生之间互

相交流探讨,培养学生学会共同学习的能力. (3)通过应用对数知识解决实际问题,帮助学生确立科学思想,进一步认识数学在现实生活、 生产中的重要作用. 3.情感、态度与价值观 (1)通过探究换底公式的概念,使学生体会知识之间的有机联系,感受数学的整体性,激发学 生的学习兴趣,培养学生严谨的科学精神. (2)在教学过程中,通过学生的相互交流,培养学生灵活运用换底公式的能力,增强学生数学 交流能力,同时培养学生倾听并接受别人意见的优良品质. (二)教学重点、难点 1.教学重点: (1)换底公式及其应用. (2)对数的应用问题. 2.教学难点: 换底公式的灵活应用. (三)教学方法 启发引导式 通过实例研究引出换底公式,既明确学习换底公式的必要性,同时也在公式推导中应用对数的 概念和对数的运算性质,在教学中可以根据学生的不同基础适当地增加具体实例,便于学生理解换 底公式的本质,培养学生从具体的实例中抽象出一般公式的能力. 利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法,它在求值或恒等变形中起着重 要作用,在解题过程中应注意: (1)针对具体问题,选择恰当的底数; (2)注意换底公式与对数

运算性质结合使用; (3)换底公式的正用与逆用. (四)教学过程 教学 教学内容 师生互动 设计 意图 环节 提出 我们学习了对数运算法则,可以看到对数 的运算法则仅适用于对数的底数相同的情形, 问题 若在解题过程中,遇到对数的底数不相同时怎 么办? 师:从对数的定义可以知道, 任何不等于 1 的正数都可以作为对 数的底.数学史上,人们经过大量的 努力,制作了常用对数、自然对数 表,只要通过查表就能求出任意正 数的常用对数或自然对数.这样,如 果能将其他底的对数转换为以 10 或 e 为底的对数, 就能方便地求出任意 不为 1 的正数为底的对数. 产生 认知 冲 突, 激发 学生 的学 习欲 望.

概念

1. 探求换底公式,明确换底公式的意义和 作用.

师:你能根据对数的定义推导 出下面的换底公式吗? logaN=

推导 换底

形成

logc N (a>0,且 a≠1; 公式 logc a

c>0,且 c≠1;N>0). (师生讨论并完成) 当 a>0,且 a≠1 时, 若 ab=N, 则 logaN=b. 例如,求我国人口达到 18 亿的年份,就是 ① ②

在①的两边取以 c(c>0,且 c≠1)为底的对数, 则 logcab=logcN, 即 blogca=logcN. ∴b=
log a N .③ log c a logc N (c>0, logc a

18 计算 x=log1.01 的值,利用换底公式与对数的 13
运算性质,可得
18 lg 18 13 = lg 18 ? lg 13 ≈ = lg 1.01 lg1.01 13

x=log1.01

1.2553? 1.1139 =32.8837≈33(年). 0.0043

由②③得 logaN=

由此可得,如果人口年增长率控制在 1%, 且 c≠1). 那么从 2000 年初开始,大约经过 33 年,即到 2032 年底我国的人口总数可达到 18 亿. 一般地, aN= log
logc N (a>0, logc a

且 a≠1;c>0,且 c≠1;N>0) ,这 个公式称为换底公式.

应用

(多媒体显示如下例题,生板演,师组织 学生进行课堂评价)

例 1 分析:在利用换底公式进 行化简求值时,一般情况是根据题

掌握 换底 公式 的应 用.

举例

例 1 计算: (1)log34· 48· 8m=log416, 中所给的对数式的具体特点选择恰 log log 求 m 的值. (2)log89· 2732. log
log 2 (3) (log25+log4125)· 3 . log 3 5

当的底数进行换底,如果所给的对 数式中的底数和真数互不相同,我 们可以选择以 10 为底数进行换底. (1)解:原方程等价于
lg 4 lg 8 lg m × × =2, lg 3 lg 4 lg 8

即 log3m=2,∴m=9. (2)解法一:原式 = . 解法二:原式 = =
log2 9 log2 32 · log2 8 log2 27
lg 9 lg 32 21g 3 51g 2 10 · = · = lg 8 lg 27 31g 2 31g 3 9

2 log2 3 5 10 · = . 3 log2 3 9 3

(3)解:原式=
log 2 (log25+log25 5 )· 3 2 log3 5

=

1 log225 5 · 52 log 2
5

1 = log25 2 · 52 log 2
=

5 5 log25· 52= . log 4 4

小结(1)不同底的对数要尽量

化为同底的对数来计算; (2)在第(3)小题的计算过 程中,用到了性质 log am Mn

n logaM 及换底公式 m logb N logaN= .利用换底公式可以 logb a
= 证明:logab=
1 , logb a

即 logablogba=1.

例 2 解: (1)M=lg20-lg0.001 合作探究:现在我们来用已学过的对数知 =lg 识解决实际问题. 例 2 20 世纪 30 年代, 里克特 (C.F.Richter) 制订了一种表明地震能量大小的尺度,就是使 用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大, 测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我 们常说的里氏震级 M,其计算公式为 M=lgA- lgA0, 其中, 是被测地震的最大振幅, 0 是“标 A A 准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正 测震仪距实际震中的距离造成的偏差). (1) 假设在一次地震中, 一个距离震中 100

20 =lg20000 0.001
4

掌 握利 用对 数知 识解 决实 际问 题.

=lg2+lg10 ≈4.3. 因此,这是一次约为里氏 4.3 级的地震. (2)由 M=lgA-lgA0 可得
A A M=lg =10M ? A0 A0

10 ? A=A0· M. 当 M=7.6 时,地震的最大振幅 为 A1=A0· 7.6; 10 当 M=5 时,地震的最大振幅为

10 千米的测震仪记录的地震最大振幅是 20,此时 A2=A0· 5. 标准地震的振幅是 0.001,计算这次地震的震级 (精确到 0.1) ; (2)5 级地震给人的震感已比较明显,计 算 7.6 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅 的多少倍(精确到 1). 所以,两次地震的最大振幅之 比是
A1 A0 ? 10 7.6 = A2 A0 ? 105

=107.6 5=102.6≈398. 答: 级地震的最大振幅大约 7.6 是 5 级地震的最大振幅的 398 倍. 合作探究:可以看到,虽然 7.6



级地震和 5 级地震仅相差 2.6 级, 但 7.6 级地震的最大振幅却是 5 级地震 最大振幅的 398 倍.所以, 级地震 7.6 的破坏性远远大于 5 级地震的破坏 性.

例 3 科学研究表明,宇宙射线在大气中能 够产生放射性碳 14.碳 14 的衰变极有规律,其 精确性可以称为自然界的“标准时钟”.动植物在 生长过程中衰变的碳 14,可以通过与大气的相 互作用得到补充,所以活着的动植物每克组织 中的碳 14 含量保持不变.死亡后的动植物, 停止 了与外界环境的相互作用,机体中原有的碳 14 按确定的规律衰减,我们已经知道其“半衰期” 为 5730 年. 湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳 14 的残 余量约占原始含量的 76.7%, 试推算马王堆古墓 的年代.

例 3 解: 我们先推算生物死亡 t 年后每克组织中的碳 14 含量.设生 物体死亡时,体内每克组织中的碳 14 的含量为 1, 年后的残留量为 x, 1 由于死亡机体中原有的碳 14 按确定 的规律衰减,所以生物体的死亡年 数 t 与其体内每克组织的碳 14 含量 P 有如下关系:
死亡年数 t 碳 14 含量 P 1 x 2 x2

3 x3

… …

t xt

… …

因此,生物死亡 t 年后体内碳 14 的含量 P=xt. 由于大约每过 5730 年, 死亡生 物体的碳 14 含量衰减为原来的一 半, 所以

1 5730 =x , 2 1 1 =( ) 5730 , 2 2
1

于是 x= 5730

这样生物死亡 t 年后体内碳 14

1 的含量 P=( ) 5730 . 2

t

由对数与指数的关系,指数式 P= ( t=log
5730

1 ) 2
1 2

t 5730

可写成对数式

P.

湖南长沙马王堆汉墓女尸出土 时碳 14 的残余量约占原始含量的 76.7% , 即 t=log
5730

P=0.767 , 那 么

1 2

0.767,

由计算器可得 t≈2193. 所以, 马王堆古墓是近 2200 年 前的遗址.

课堂练习 1.课本 P79 练习第 4 题. 2.在
lg a 1 , ,log n b n a ,log b n an , logb a lg b

课堂练习答案 1.(1)1; (2)1; (3) 2. A 3.

5 . 4

1 ? logab a (a>0, a≠1, b>0, b≠1, ab≠1, n∈N) 1 ? logab b

3.
a?b . 2

中和 logab 相等的有 A.2 个 C.4 个 B.3 个 D.1 个

4. (1) (2)

4(3 ? a) . 3? a

3.若 log34· 48· 8m=log42,求 m. log log 4.(1)已知 log53=a,log54=b,试用 a、b 表示 log2512; (2)已知 log1227=a,求 log616.

归纳 总结

1.换底公式及其应用条件(注意字母的范 围). 2.解决实际问题的一般步骤:

学生先自回顾反思, 教师点评完善. 形 成 知识 体系.

课后 作业

作业:2.2 第三课时 习案

学生独立完成

巩固 新知 提升 能力

备选例题
例 1 已知 log189 = a,18b = 5,求 log3645. 【解析】方法一:∵ 189 = a,18b = 5, log ∴ 185 = b, log 于是 log36 45 ? = =
log18 45 log18 (9 ? 5) ? log18 36 log18 (18? 2) log18 9 ? log18 5 1 ? log18 2

a?b 18 1 ? log18 9

?

a?b . 2?a

方法二:∵ 189 = a,18b = 5, log ∴ = alg18,lg5 = blg8, lg9 ∴log36 45 ?
lg 45 lg(9 ? 5) lg 9 ? lg 5 ? ? 2 lg 36 2 lg18 ? lg 9 18 lg 9

=

a lg18 ? b lg18 a ? b ? . 2 lg18 ? a lg18 2 ? a

【小结】 (1)利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数,进一步应用对数运算 的性质; (2)题目中有指数式和对数式时,要注意指数与对数互化,统一成一种形式. 例 2 我们都处于有声世界里,不同场合,人们对音量会有不同的要求,音量大小的单位是分 贝(dB),对于一个强度为 I 的声波,分贝的定义是:y = 10lg 声波强度,I0 = 10
-12

I . 这里 I0 是人耳能听到的声音的最低 I0

w/m2,当 I = I0 时,y = 0,即 dB = 0.

(1)如果 I = 1w/m2,求相应的分贝值; (2)70dB 时声音强度 I 是 60dB 时声音强度 I′的多少倍?

【解析】 (1)∵ I=1w/m2, ∴ =10lg y

I 1 ? 10lg ?12 I0 10

? 10lg1012 ? 10 ?12lg10 ? 120(dB)
(2)由 70 = 10lg 又 60 = 10lg
I I I ,即 lg ? 7 ,∴ ? 107 , I0 I0 I0

I? I? I? ,即 lg =6,∴ =106. I0 I0 I0

I I I 107 ∴ ? 0 ? 6 =10,即 I = 10I′ I ? I ? 10 I0

答: (1)I = 1w/m2,相应的分贝值为 120(dB) ; (2)70dB 时声音强度 I 是 60dB 时声音强度 I′的 10 倍


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