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几何选讲难题解析一


几何选讲难题解析一

1、已知:如图,在四边形 ABCD 中,AD =BC,M、N 分别是 AB、CD 的中点,AD、BC 的延长线交 MN 于 E、F. F 求证:∠DEN=∠F.
E N D A C

M

B

2、已知:如图,P 是正方形 ABCD 内点, ∠PAD=∠PDA=150

. 求证:△PBC 是正三角形. A
P

D

B

C

3、已知:如图,O 是半圆的圆心,C、E 是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG ⊥CO. 求证:CD=GF.
C E

G A D O F B

4、如图,已知四边形 ABCD、A1B1C1D1 都是正方形,A2、B2、C2、D2 分别是 AA1、BB1、CC1、DD1 的中点. 求证:四边形 A2B2C2D2 是正方形.
A A2 A1 D1 B1 C1 B2 C2 D2 D

B C 1、已知:如图,在四边形 ABCD 中,AD=BC,M、N 分别是 AB、CD 的中点,AD、 BC 的延长线交 MN 于 E、F. 求证:∠DEN=∠F. 如下图连接 AC 并取其中点 Q, 连接 QN 和 QM, 所以可得∠QMF=∠F, ∠QNM= ∠DEN 和∠QMN=∠QNM,从而得出∠DEN=∠F。

2、已知:如图,P 是正方形 ABCD 内点,∠PAD=∠PDA=150. 求证:△PBC 是正三角形.

如下图做△DGC 使与△ADP 全等,可得△PDG 为等边△,从而可得 △DGC≌△APD≌△CGP,得出 PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG=150 所以∠DCP=300 ,从而得出△PBC 是正三角形

3、已知:如图,O 是半圆的圆心,C、E 是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG ⊥CO. 求证:CD=GF. 如下 图做 GH ⊥ AB, 连 接 EO 。 由 于 GOFE 四点共圆,所以∠GFH=∠OEG,
EO GO 即△ GHF ∽△ OGE, 可得 GF = GH = CO ,又 CD

CO=EO,所以 CD=GF 得证。

4、如图,已知四边形 ABCD、A1B1C1D1 都是正方形,A2、B2、C2、D2 分别是 AA1、 BB1、CC1、DD1 的中点. 求证:四边形 A2B2C2D2 是正方形 如下图连接 BC1 和 AB1 分别找其中点 F,E.连接 C2F 与 A2E 并延长相交于 Q 点, 连接 EB2 并延长交 C2Q 于 H 点,连接 FB2 并延长交 A2Q 于 G 点,

由 A2E= 1 A B = 1 B C = FB2 ,EB2= 1 AB= 1 BC=FC1 ,又∠GFQ+∠Q=900 和 2 1 1 2 1 1 2 2
∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ 又∠B2FC2=∠A2EB2 , 可得△B2FC2≌△A2EB2 ,所以 A2B2=B2C2 , 又∠GFQ+∠HB2F=900 和∠GFQ=∠EB2A2 , 从而可得∠A2B2 C2=900 , 同理可得其他边垂直且相等, 从而得出四边形 A2B2C2D2 是正方形。


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