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高中数学导数单元测试试题


目录:数学选修 2-2
第一章 第一章 第一章 第二章 第二章 第二章 第三章 第三章 第三章

导数及其应用 [基础训练 A 组] 导数及其应用 [综合训练 B 组] 导数及其应用 [提高训练 C 组]
推理与证明 [基础训练 A 组] 推理与证明 [综合训练 B 组] 推理与证明 [提高训练 C 组] 复数 [基础训练 A 组] 复数 [综合训练 B 组] 复数 [提高训练 C 组]

(数学选修 2-2)第一章
[基础训练 A 组]
一、选择题

导数及其应用
f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) h

1.若函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 内可导,且 x0 ? (a, b) 则 lim
h ?0

的值为( A. f ( x0 )
'

) B. 2 f ' ( x0 )
2

C. ?2 f ' ( x0 )

D. 0

2.一个物体的运动方程为 s ? 1 ? t ? t 其中 s 的单位是米, t 的单位是秒, 那么物体在 3 秒末的瞬时速度是( A. 7 米/秒 C. 5 米/秒 A. (0,??) C. (??,??)
3 2



B. 6 米/秒 D. 8 米/秒 )

3.函数 y = x3 + x 的递增区间是( B. (??,1) D. (1,??)
'

4. f ( x) ? ax ? 3x ? 2 ,若 f (?1) ? 4 ,则 a 的值等于( A.



19 3
13 3

B.

16 3
10 3


C.

D.

5.函数 y ? f (x) 在一点的导数值为 0 是函数 y ? f (x) 在这点取极值的( A.充分条件 C.充要条件
4

6.函数 y ? x ? 4 x ? 3 在区间 ? ?2,3? 上的最小值为( A. 72 C. 12 B. 36 D. 0

B.必要条件 D.必要非充分条件



二、填空题
第 1 页 共 23 页

1.若 f ( x) ? x3 , f ' ( x0 ) ? 3 ,则 x0 的值为_________________; 2.曲线 y ? x 3 ? 4 x 在点 (1, ?3) 处的切线倾斜角为__________; 3.函数 y ?

sin x 的导数为_________________; x

4.曲线 y ? ln x 在点 M (e,1) 处的切线的斜率是_________,切线的方程为_______________; 5.函数 y ? x 3 ? x 2 ? 5x ? 5 的单调递增区间是___________________________。 三、解答题 1.求垂直于直线 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 并且与曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 5 相切的直线方程。

2.求函数 y ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c) 的导数。

3. 求 函 数 f ( x) ? x5 ? 5x4 ? 5x3 ? 1 在 区 间 ?? 1,4? 上 的 最 大 值 与 最 小 值 。

4.已知函数 y ? ax3 ? bx2 ,当 x ? 1 时,有极大值 3 ; (1)求 a , b 的值; (2)求函数 y 的极小值。

思 而 不 学 则 殆 。

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(数学选修 2-2)第一章
[综合训练 B 组] 一、选择题
1.函数 y = x - 3x - 9x (- 2 < x < 2)有( A.极大值 5 ,极小值 ?27 B.极大值 5 ,极小值 ?11 C.极大值 5 ,无极小值 D.极小值 ?27 ,无极大值
第 2 页 共 23 页
3 2

导数及其应用

子 曰 : 学 而 不 思 则 罔 ,



2.若 f ' ( x0 ) ? ?3 ,则 lim
h ?0

A. ?3 C. ?9

B. ?6 D. ?12

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) ?( h



3.曲线 f ( x) = x3 + x - 2 在 p0 处的切线平行于直线 y = 4 x - 1,则 p0 点的坐标为( A. (1, 0) C. (1, 0) 和 (?1, ?4) B. (2,8) D. (2,8) 和 (?1, ?4)



4. f ( x ) 与 g ( x) 是定义在 R 上的两个可导函数,若 f ( x ) , g ( x) 满足 f ' ( x) ? g ' ( x) ,则

f ( x) 与 g ( x) 满足(
A. f ( x) ? g ( x) C. f ( x) ? g ( x) ? 0 5.函数 y ? 4 x ?
2

) B. f ( x) ? g ( x) 为常数函数 D. f ( x) ? g ( x) 为常数函数 )

1 单调递增区间是( x
B. (??,1) ) C. e
2

A. (0,??) 6.函数 y ? A. e
?1

C. ( ,?? )

1 2

D. (1,??)

ln x 的最大值为( x
B. e

D.

10 3

二、填空题
1.函数 y ? x ? 2cos x 在区间 [0,
3

?
2

] 上的最大值是



2.函数 f ( x) ? x ? 4x ? 5 的图像在 x ? 1 处的切线在 x 轴上的截距为________________。 3.函数 y ? x ? x 的单调增区间为
2 3
3 2 3 2 2

,单调减区间为___________________。 。

4.若 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) 在 R 增函数,则 a, b, c 的关系式为是 5.函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a , 在 x ? 1 时有极值 10 ,那么 a, b 的值分别为________。 三、解答题 1. 已知曲线 y ? x 2 ? 1 与 y ? 1 ? x 3 在 x ? x0 处的切线互相垂直,求 x0 的值。

2.如图,一矩形铁皮的长为 8cm,宽为 5cm,在四个角上截去 四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,问小正方形的边长 为多少时,盒子容积最大?

第 3 页 共 23 页

3. 已知 f ( x) ? ax4 ? bx2 ? c 的图象经过点 (0,1) ,且在 x ? 1 处的切线方程是 y ? x ? 2 (1)求 y ? f (x) 的解析式; (2)求 y ? f (x) 的单调递增区间。

4.平面向量 a ? ( 3, ?1), b ? ( ,

?

?

1 3 ) ,若存在不同时为 0 的实数 k 和 t ,使 2 2

? ? ? ? ? ? ? ? x ? a ? (t 2 ? 3)b , y ? ?ka ? tb , 且 x ? y ,试确定函数 k ? f (t ) 的单调区间。

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(数学选修 2-2) 第一章
[提高训练 C 组]
一、选择题 1.若 f ( x) ? sin ? ? cos x ,则 f ' (? ) 等于( A. sin ? B. cos ? ) D. 2 sin ? ) 3 . 已
3

导数及其应用

C. sin ? ? cos ?

2.若函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f ' ( x) 的图象是(




2



f ( x) ? ? x ? ax ? x ? 1 在 (??,??) 上 是单调 函 数,则实数 a 的
取值范围是( A ) .

(??,? 3] ? [ 3,??)
B. [? 3, 3] C. (??,? 3) ? ( 3,??) A. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) C. D. (? 3, 3) ) B. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) D. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) ) C. 4 x ? y ? 3 ? 0 D. x ? 4 y ? 3 ? 0 4.对于 R 上可导的任意函数 f ( x ) ,若满足 ( x ?1) f ' ( x) ? 0 ,则必有(

f (0) ? f (2) ? 2 f (1)
4

5.若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为( A. 4 x ? y ? 3 ? 0 B. x ? 4 y ? 5 ? 0

6.函数 f (x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?(x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示,

第 4 页 共 23 页

y

y ? f ?(x)

b

a
则函数 f (x) 在开区间 ( a, b) 内有极小值点( A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 )

O

x

二、填空题 2 1.若函数 f ( x ) = x ( x - c ) 在 x ? 2 处有极大值,则常数 c 的值为_________;
2.函数 y ? 2 x ? sin x 的单调增区间为 。 3.设函数 f ( x) ? cos( 3x ? ? )(0 ? ? ? ? ) ,若 f ( x) ? f ?( x) 为奇函数,则 ? =__________ 4.设 f ( x) ? x ?
3

1 2 x ? 2 x ? 5 ,当 x ? [?1,2] 时, f ( x) ? m 恒成立,则实数 m 的 2

n

取值范围为

5.对正整数 n ,设曲线 y ? x (1 ? x) 在 x ? 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ,则 数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和的公式是 ? n ? 1?

三、解答题 1.求函数 y ? (1 ? cos 2 x)3 的导数。

2.求函数 y ? 2x ? 4 ? x ? 3 的值域。

3.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 在 x ? ?
3 2

2 与 x ? 1 时都取得极值 3

(1)求 a , b 的值与函数 f ( x ) 的单调区间 (2)若对 x ? [?1, 2] ,不等式 f ( x) ? c 恒成立,求 c 的取值范围。
2

4.已知 f ( x) ? log 3

x 2 ? ax ? b , x ? (0, ??) ,是否存在实数 a、 b ,使 f (x) 同时满足下列两个条件: (1) f (x) 在 x (0,1) 上是减函数,在 ?1, ?? ? 上是增函数; (2) f (x) 的最小值是 1 ,若存在,求出 a、 b ,若不存在,说明理由.

第 5 页 共 23 页

也 不 之 。 知 乎 为 ! 不 知 知 之 , 为 是 知 知 之 ,
A. 28

子 曰 : 由 ! 诲 女 知

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(数学选修 2-2)第二章
[基础训练 A 组] 一、选择题
) D. 27 ) C. 33

推理与证明

1.数列 2,5,11, 20, x, 47, …中的 x 等于( B. 32 2.设 a, b, c ? (??, 0), 则 a ?

A.都不大于 ?2 C.至少有一个不大于 ?2

1 1 1 ,b ? ,c ? ( b c a

B.都不小于 ?2 D.至少有一个不小于 ?2 )

3.已知正六边形 ABCDEF ,在下列表达式① BC ? CD ? EC ;② 2BC ? DC ; ③ FE ? ED ;④ 2 ED ? FA 中,与 AC 等价的有( A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 4.函数 f ( x) ? 3 sin( 4 x ?

?

)在[0, ] 内( 4 2

?



A.只有最大值 B.只有最小值 C.只有最大值或只有最小值 D.既有最大值又有最小值 5.如果 a1 , a2 ,? ? ?a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d ? 0 ,则( A. a1a8 ? a4 a5 C. a1 ? a8 ? a4 ? a5 A. 123 7.函数 y ? A. B. 105 B. a1a8 ? a4 a5 D. a1a8 ? a4 a5 C. 89 D. 58 ) D. ?



6. 若 log2[log3 (log4 x)] ? log3[log 4 (log 2 x)] ? log 4[log 2 (log3 x)] ? 0 ,则 x ? y ? z ? ( )

1 x

在点 x ? 4 处的导数是 ( B. ?

1 8
2

1 8
2

C.

1 16

1 16

二、填空题
1.从 1 ? 1 ,2 ? 3 ? 4 ? 3 ,3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 5 中得出的一般性结论是_____________。
2
2 2.已知实数 a ? 0 ,且函数 f ( x) ? a( x ? 1) ? (2 x ?

1 ) 有最小值 ?1 ,则 a =__________。 a

3.已知 a, b 是不相等的正数, x ? 4.若正整数 m 满足 10
m?1

a? b 2

, y ? a ? b ,则 x, y 的大小关系是_________。

? 2512 ? 10m ,则 m ? __________ ____.(lg2 ? 0.3010 )

5.若数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? 3 ? 5, a3 ? 7 ? 9 ? 11, a4 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19,... 则 a10 ? ____ 。

三、解答题
第 6 页 共 23 页

1.观察(1) tan100 tan 200 ? tan 200 tan 600 ? tan 600 tan100 ? 1; (2) tan 5 tan10 ? tan10 tan 75 ? tan 75 tan 5 ? 1 由以上两式成立,推广到一般结论,写出你的推论。
0 0 0 0 0 0

2.设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 中, a, b, c 均为整数,且 f (0), f (1) 均为奇数。 求证: f ( x) ? 0 无整数根。

3. ?ABC 的三个内角 A, B, C 成等差数列,求证:

1 1 3 ? ? a?b b?c a?b?c

4.设 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(?? ? ? ? 0), f ( x) 图像的一条对称轴是 x ? (1)求 ? 的值; (2)求 y ? f (x) 的增区间; (3)证明直线 5x ? 2 y ? c ? 0 与函数 y ? f (x) 的图象不相切。

?
8

.

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(数学选修 2-2)第二章
[综合训练 B 组] 一、选择题
?sin ?x 2 ,?1 ? x ? 0; 1.函数 f ( x ) ? ? x ?1 ,若 f (1) ? f (a ) ? 2, ?e , x ? 0 则 a 的所有可能值为( ) 2 2 2 A. 1 B. ? C. 1, 或 ? D. 1, 或 2 2 2 2.函数 y ? x cos x ? sin x 在下列哪个区间内是增函数( ) ? 3? ) A. ( , B. (? ,2? ) 2 2 3? 5? , ) C. ( D. (2? ,3? ) 2 2 2 2 3.设 a, b ? R, a ? 2b ? 6, 则a ? b 的最小值是( )
A. ? 2 2 B. ?

推理与证明

4.下列函数中,在 (0,??) 上为增函数的是 ( A. y ? sin x
2

5 3 3

C.-3 )

D. ?

7 2

B. y ? xe

x

C. y ? x ? x
3

D. y ? ln(1 ? x) ? x
第 7 页 共 23 页

5.设 a, b, c 三数成等比数列,而 x, y 分别为 a, b 和 b, c 的等差中项,则

a c ? ?( x y



A. 1 B. 2 C. 3 D.不确定 6.计算机中常用的十六进制是逢 16 进 1 的计数制,采用数字 0 ? 9 和字母 A ? F 共 16 个计数符号,这些符号与十 进制的数字的对应关系如下表: 0 1 2 3 十六进制 十进制 0 1 2 3 十六进制 8 9 A B 十进制 8 9 10 11 E ? D ? 1B ,则 A ? B ? ( 例如,用十六进制表示 A. 6E B. 72 C. 5F D. B 0 4 4 C 12 ) 5 5 D 13 6 6 E 14 7 7 F 15

二、填空题
1.若等差数列 ?an ? 的前 n 项和公式为 Sn ? pn2 ? ( p ? 1)n ? p ? 3 , 则 p =_______,首项 a1 =_______;公差 d =_______。 2.若 lg x ? lg y ? 2lg( x ? 2 y) ,则 log 3.设 f ( x) ?
2

x ? _____ 。 y

,利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法,可求得 2 ? 2 f (?5) ? f (?4) ? ? ? ? ? f (0) ? ? ? ? ? f (5) ? f (6) 的值是________________。 1 4.设函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且 y ? f (x) 的图像关于直线 x ? 对称,则 2 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ? __________ ____. a b c ? / ? / 5.设 f (x) ? ( x ? a)( x ?b)( x ?c) ( a, b, c 是两两不等的常数),则 / 的值是 ______________. f (a) f (b) f (c)
x

1

三、解答题 1.已知: sin 30 ? sin 90 ? sin 150 ?
2 ? 2 ? 2 ?

3 2 3 sin 2 5 ? ? sin 2 65 ? ? sin 2 125 ? ? 2

通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并给出的证明。

2.计算: 11...1 ? 22...2(n是正整数) ? ?
2n n

3.直角三角形的三边满足 a ? b ? c ,分别以 a, b, c 三边为轴将三角形旋转一周所得旋转体的体积记为 Va ,Vb ,Vc , 请比较 Va ,Vb ,Vc 的大小。

4.已知 a, b, c 均为实数,且 a ? x ? 2 y ?
2

?
2

, b ? y 2 ? 2z ?

?
3

, c ? z 2 ? 2x ?

?
6



第 8 页 共 23 页

求证: a, b, c 中至少有一个大于 0 。

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(数学选修 2-2)第二章
[提高训练 C 组] 一、选择题
1.若 x, y ? R, 则 " xy ? 1" 是 " x 2 ? y 2 ? 1"的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.如图是函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 的大致图象,则 x12 ? x22 等于( A. )

推理与证明

2 3

B.

4 3

C.

8 3

D.

12 3
O X1 1

X2 2

x

3.设 P ?

,则( ) ? ? ? 11 11 11 11 log2 log3 log4 log5 A. 0 ? P ? 1 B. 1 ? P ? 2 C. 2 ? P ? 3 D. 3 ? P ? 4 4.将函数 y ? 2cos x(0 ? x ? 2? ) 的图象和直线 y ? 2 围成一个封闭的平面图形, 则这个封闭的平面图形的面积是( ) A. 4 B. 8 C. 2? D. 4? 5.若 O 是平面上一定点, A, B, C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足

1

1

1

1

??? ? ???? ??? ??? ? ? AB AC OP ? OA ? ? ( ??? ? ???? ), ? ? ? 0, ?? ? ,则 P 的轨迹一定通过△ ABC 的( ? AB AC
A.外心 C.重心 B.内心 D.垂心



6.设函数 f ( x) ? ?

??1, x ? 0 ( a ? b) ? ( a ? b) f ( a ? b) (a ? b) 的值为( ,则 2 ?1, x ? 0 A. a B. b C. a , b 中较小的数 D. a , b 中较大的数
? x ?2



7.关于 x 的方程 9 A. a ? ?4 C. a ? 0

? 4?3 ? a ? 0 有实根的充要条件是( B. ?4 ? a ? 0 D. ?3 ? a ? 0

? x ?2



二、填空题

1.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? 2, an?2 ? an ? 1 ? (?1) (n ? N ) ,则 S10 ? __________ .
n *

2.过原点作曲线 y ? e 的切线,则切点坐标是______________,切线斜率是_________。
x

3.若关于 x 的不等式 (k ? 2k ? ) ? (k ? 2k ? )
2 x 2

3 2

3 2

1? x

的解集为 ( , ??) ,则 k 的范围是____

1 2

4. f (n) ? 1 ?

1 1 1 ? ? ? ? ? ? (n ? N ? ) , 2 3 n 3 5 7 经计算的 f (2) ? , f (4) ? 2, f (8) ? , f (16) ? 3, f (32) ? , 2 2 2 推测当 n ? 2 时,有__________________________.
第 9 页 共 23 页

5 . 若 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 a n ?

1 (n ? N ? ) , 记 f (n) ? (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ? ? ? (1 ? an ) , 试 通 过 计 算 (n ? 1) 2 f (1), f (2), f (3) 的值,推测出 f (n) ? __________ ______ .
1 1 4 ? ? . a ?b b?c a ?c

三、解答题 1.已知 a ? b ? c, 求证:

2.求证:质数序列 2,3,5,7,11,13,17,19, ……是无限的

3.在 ?ABC 中,猜想 T ? sin A ? sin B ? sin C 的最大值,并证明之。

4.用数学归纳法证明 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
2 2 2 2

n(n ? 1)( 2n ? 1) , (n ? N ? ) 6

以 贯 之 。

与 ? 曰 : 非 也 ! 予 一

与 ? 对 曰 : 然 , 非

为 多 学 而 识 之 者

子 曰 : 赐 也 , 女 以 予

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(数学选修 2-2)第三章
[基础训练 A 组] 一、选择题

复数

1.下面四个命题 (1) 0 比 ?i 大 (2)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数 (3) x ? yi ? 1 ? i 的充要条件为 x ? y ? 1 (4)如果让实数 a 与 ai 对应,那么实数集与纯虚数集一一对应, 其中正确的命题个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. (i ? i ) 的虚部为(
?1 3

) )

A. 8i B. ? 8i C. 8 D. ?8 3.使复数为实数的充分而不必要条件是由 (

第 10 页 共 23 页

A. z ? z C. z 为实数 A. z1 ? z2 C. z1 ? 1 ? z2
20
2

?

B. z ? z D. z ? z 为实数 B. z1 ? ? z2 D.无法确定
20

?

4.设 z1 ? i 4 ? i5 ? i 6 ? ?? i12 , z2 ? i 4 ? i5 ? i 6 ??? i12 , 则 z1 , z2 的关系是( )

5. (1 ? i) ? (1 ? i) 的值是( ) A. ?1024 B. 1024 C. 0
n ?n 2

6.已知 f (n) ? i ? i (i ? ?1, n ? N ) 集合 ? f (n)? 的元素个数是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 无数个

D. 1024

二、填空题
1. 如果 z ? a ? bi (a, b ? R, 且a ? 0) 是虚数,则 z, z, z, z , z , z ? z, z , z , z 中是
2 2 2 ? ? ? ?

虚数的有

_______个,是实数的有
2 2

个,相等的有

组.

2. 如果 3 ? a ? 5 ,复数 z ? (a ? 8a ? 15) ? (a ? 5a ?14)i 在复平面上的 对应点 z 在 象限. 3. 若复数 z ? sin 2a ? i(1 ? cos 2a) 是纯虚数,则 a = . 4. 5. 6. 设 z ? log2 (m2 ? 3m ? 3) ? i? 2 (m ? 3)(m ? R), 若 z 对应的点在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上,则 m 的值是 log 已知 z ? (2 ? i)3, 则 z ?z = 若z ?
?

.

. . .
?

2 100 50 ,那么 z ? z ? 1 的值是 1? i 2 3 2000 ? 7. 计算 i ? 2i ? 3i ? ?? 2000i

三、解答题
1.设复数 z 满足 z ? 1,且 (3 ? 4i)?z 是纯虚数,求 z .

2.已知复数 z 满足: z ? 1 ? 3i ? z, 求

(1 ? i) 2 (3 ? 4i) 2 的值. 2z

(数学选修 2-2)第三章
[综合训练 B 组]

复数
第 11 页 共 23 页

一、选择题
1.若 z1 , z2 ? C , z1 z2 ? z1 z2 是( A.纯虚数
? ?
?

?

?

). C.虚数
? ?

B.实数
?

D.不能确定 D. R? ? ?0?

2.若有 R , R , X 分别表示正实数集,负实数集,纯虚数集,则集合 m m ? X =(
2

?

?

).

A. R 3.

B. R

C. R ? R

(?1 ? 3i)3 ?2 ? i 的值是( ). ? (1 ? i)6 1 ? 2i A. 0 B. 1 C. i D. 2i 2 4.若复数 z 满足 z ? 3(1 ? z)i ? 1 ,则 z ? z 的值等于(
A. 1 B. 0 C. ?1 D. ?

)

1 3 ? i 2 2
)

5.已知 3 ? 3i ? z? ?2 3i) ,那么复数 z 在平面内对应的点位于( ( A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.已知 z1 ? z2 ? z1 ? z2 ? 1,则 z1 ? z2 等于( ) A. 1 7.若 ? ? ? B. 2 C. 3 D. 2 3

1 3 ) ? i ,则等于 ? 4 ? ? 2 ? 1 ? ( 2 2 A. 1 B. 0 C. 3 ? 3i D. ?1 ? 3i
(2)满足 z ? i ? z ? i ? 2 的复数 z 的轨迹是椭圆; (3)若 m ? Z , i ? ?1 ,则 i ? i ? i ? i ? 0; 其中正确命题的序号是( ) A. (1) B. (2)(3) C. (1)(3) D. (1)(4)
2 m m?1 m? 2 m ?3

8.给出下列命题 (1)实数的共轭复数一定是实数;

二、填空题
2 2 1.若 (a ? 2i)i ? b ? i ,其中 a 、 b ? R , i 使虚数单位,则 a ? b ? _________。

2.若 z1 ? a ? 2i , z2 ? 3 ? 4i ,且 3.复数 z ?

z1 为纯虚数,则实数 a 的值为 z2



4.计算 (1 ? i )(1 ? 2i ) ? __________。 1? i 2 3 4 5.复数 z ? i ? i ? i ? i 的值是___________。 6.复数 z ?

1 的共轭复数是_________。 1? i

?1? i ? 1. 在复平面内, z 所对应的点在第________象限。 1? i 7.已知复数 z0 ? 3 ? 2i, 复数 z满足z ? z0 ? 3z ? z0 , 则复数 z ? __________. 1? i 1? i 8.计算 ? ? ______________。 2 2 ?1 ? i ? ?1 ? i ?
9.若复数 a ? 3i ( a ? R , i 为虚数单位位)是纯虚数,则实数 a 的值为___________。
1 ? 2i
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10.设复数 z1 ? 1 ? i, z2 ? x ? 2i( x ? R), 若 z1 z2 为实数,则 x ? _____________

新课程高中数学训练题组参考答案
(数学选修 2-2)第一章
一、选择题 1.B

导数及其应用 [基础训练 A 组]

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) ? lim 2[ ] h ?0 h ?0 h 2h f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) ? 2 lim ? 2 f ' ( x0 ) h ?0 2h ' ' 2.C s (t ) ? 2t ?1, s (3) ? 2 ? 3 ?1 ? 5 lim
3.C 4.D

y ' = 3x2 + 1 > 0 对于任何实数都恒成立
f ' ( x) ? 3ax 2 ? 6 x, f ' ( ?1) ? 3a ? 6 ? 4, a ? 10 3

5.D 对于 f ( x) ? x3 , f ' ( x) ? 3x2 , f ' (0) ? 0, 不能推出 f ( x ) 在 x ? 0 取极值,反之成立 6.D

y' ? 4x3 ? 4, 令y' ? 0, 4x3 ? 4 ? 0, x ? 1,当x ? 1时, y' ? 0;当x ? 1时, y' ? 0 得 y极小值 ? y |x?1 ? 0, 而端点的函数值 y |x??2 ? 27, y |x?3 ? 72 ,得 ymin ? 0

二、填空题 1. ?1 2.

f ' ( x0 ) ? 3x02 ? 3, x0 ? ?1

3 3 y ' ? 3 x 2 ? 4 , k ? y' x ?|1 ? ?1 , t a n ? ? 1 , ?? ? ? ? 4 4 ' ' x cos x ? sin x (sin x) x ? sin x ? ( x) x cos x ? sin x y' ? ? 3. 2 x x2 x2 1 1 1 1 1 ' ' 4. , x ? ey ? 0 y ? , k ? y |x ?e ? , y ? 1 ? ( x ? e), y ? x e x e e e 5 5 ' 2 5. (??, ? ), (1, ??) 令y ? 3 x ? 2 x ? 5 ? 0, 得x ? ? , 或x ? 1 3 3
三、解答题 1.解:设切点为 P (a, b) ,函数 y ? x ? 3x ? 5 的导数为 y ? 3x ? 6x
3 2 ' 2

切线的斜率 k ? y |x?a ? 3a ? 6a ? ?3 ,得 a ? ?1 ,代入到 y ? x ? 3x ? 5
' 2
3 2

得 b ? ?3 ,即 P(?1, ?3) , y ? 3 ? ?3( x ? 1),3x ? y ? 6 ? 0 。 2.解: y ? ( x ? a) ( x ? b)( x ? c) ? ( x ? a)( x ? b) ( x ? c) ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c)
' ' ' '

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? ( x ? b)( x ? c) ? ( x ? a)( x ? c) ? ( x ? a)( x ? b)
3.解: f ?( x) ? 5x 4 ? 20x 3 ? 15x 2 ? 5x 2 ( x ? 3)(x ? 1) , 当 f ?( x) ? 0 得 x ? 0 ,或 x ? ?1 ,或 x ? ?3 , ∵ 0 ?[?1, 4] , ?1?[?1, 4] , ?3 ?[?1,4] 列表:

x
f ' ( x)
f ( x)

?1

(?1, 0)
+ ↗

0

(0, 4)
+ ↗

0
0

0
1

又 f (0) ? 0, f (?1) ? 0 ;右端点处 f (4) ? 2625 ; ∴函数 y ? x 5 ? 5x 4 ? 5x 3 ? 1 在区间 [?1, 4] 上的最大值为 2625 ,最小值为 0 。 4.解: (1) y ? 3ax ? 2bx, 当 x ? 1 时, y' |x?1 ? 3a ? 2b ? 0, y |x?1 ? a ? b ? 3 ,
' 2

即?

?3a ? 2b ? 0 , a ? ?6, b ? 9 ?a ? b ? 3

(2) y ? ?6x3 ? 9x2 , y' ? ?18x2 ? 18x ,令 y' ? 0 ,得 x ? 0, 或x ? 1

? y极小值 ? y |x?0 ? 0

(数学选修 2-2)第一章
一、选择题 1.C

导数及其应用 [综合训练 B 组]

y' ? 3x2 ? 6x ? 9 ? 0, x ? ?1, 得x ? 3 ,当 x ? ?1 时, y' ? 0 ;当 x ? ?1 时, y' ? 0 当 x ? ?1 时, y极大值 ? 5 ; x 取不到 3 ,无极小值
f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) ? 4 lim ? 4 f ' ( x0 ) ? ?12 h ?0 h 4h ' 2 ' 设切点为 P (a, b) , f ( x) ? 3x ? 1, k ? f (a) ? 3a2 ? 1 ? 4, a ? ?1 , 0 lim
h ?0

2.D 3.C

3 3 把 a ? ?1 ,代入到 f ( x) = x + x - 2 得 b ? ?4 ;把 a ? 1 ,代入到 f ( x) = x + x - 2 得 b ? 0 ,所以 P (1, 0) 和 0

(?1, ?4)
4.B 5.C 6. A

f ( x) , g ( x) 的常数项可以任意

1 8 x3 ? 1 1 ? ? 0, (2 x ? 1)(4 x 2 ? 2 x ? 1) ? 0, x ? 2 2 x x 2 ' ' 1 (ln x) x ? ln x ? x 1 ? ln x ' ? ? 0, x ? e , x ? e 时,y' ? 0 ; x ? e 时,y' ? 0 ,y极大值 ? f (e) ? , 令y ? 当 当 2 2 e x x 1 在定义域内只有一个极值,所以 ymax ? e
令 y ? 8x ?
'

二、填空题

y ' ? 1 ? 2 s i x ? 0 , ? ,比较 0, , 处的函数值,得 ymax ? ? 3 n x 6 6 6 2 6 3 3 f ' ( x)? 3x2 ? 4 , f ' ( 1 ) 7 , ? 1 ) y1 0 , ? 1 x ? 7 (y时 1 ) , x ? 0 , ? f ( ? 0 ? ? 2. ? 7 7 2 2 2 ' 2 3. (0, ) ( ??, 0), ( , ??) y ? ?3 x ? 2 x ? 0, x ? 0, 或x ? 3 3 3 2 ' 2 4. a ? 0, 且b ? 3ac f ( x) ? 3ax ? 2bx ? c ? 0 恒成立,
1.
第 14 页 共 23 页

?

? 3

?

? ?

?

?? ? 4b ? 12ac ? 0 5. 4, ?11 f ( x)? 3x ? 2a x b ' f ( 1 ) 2 b 3 0 ,f ( 1 ) a ? a b ? 1 0 ? , ? a ? ? ? ?2 ? ? 1 ?2a ? b ? ?3 ?a ? ?3 ?a ? 4 ,当 a ? ?3 时, x ? 1 不是极值点 ,? ,或 ? ? 2 ?b ? ?11 ?a ? a ? b ? 9 ?b ? 3
2
' 2

则?

?a ? 0

, a ? 0, 且b2 ? 3ac

三、解答题 1.解: y' ? 2x, k1 ? y' |x? x0 ? 2x0 ; y' ? 3x2 , k2 ? y' |x?x0 ? 3x02

k1k2 ? ?1, 6 x03 ? ?1, x0 ? ?

3

2.解:设小正方形的边长为 x 厘米,则盒子底面长为 8 ? 2x ,宽为 5 ? 2x

36 。 6

V ? (8 ? 2x)(5 ? 2x) x ? 4x3 ? 26x2 ? 40x
V ' ? 12 x 2 ? 52 x ? 40, 令V ' ? 0, 得x ? 1, 或x ? 10 10 ,x? (舍去) 3 3

V极大值 ? V (1) ? 18 ,在定义域内仅有一个极大值,

?V最大值 ? 18
3.解: (1) f ( x) ? ax4 ? bx2 ? c 的图象经过点 (0,1) ,则 c ? 1 ,

f ' ( x) ? 4ax3 ? 2bx, k ? f ' (1) ? 4a ? 2b ? 1, 切点为 (1, ?1) ,则 f ( x) ? ax4 ? bx2 ? c 的图象经过点 (1, ?1) 5 9 得 a ? b ? c ? ?1, 得a ? , b ? ? 2 2 5 4 9 2 f ( x) ? x ? x ? 1 2 2 3 10 3 10 ' 3 (2) f ( x) ? 10 x ? 9 x ? 0, ? ? x ? 0, 或x ? 10 10 3 10 3 10 单调递增区间为 (? , 0), ( , ??) 10 10 ? ? 1 3 ? ? ? ? b 4.解:由 a ? ( 3, ?1), b ? ( , ) 得 a ? ? 0, a ? 2, b ? 1 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 [a ? (t ? 3)b ]? ?ka ? tb ) ? 0, ?ka 2 ? ta? ? k (t 2 ? 3)a? ? t (t 2 ? 3)b 2 ? 0 ( b b 1 1 ?4k ? t 3 ? 3t ? 0, k ? (t 3 ? 3t ), f (t ) ? (t 3 ? 3t ) 4 4 3 3 3 3 f ' (t ) ? t 2 ? ? 0, 得t ? ?1, 或t ? 1; t 2 ? ? 0, 得 ? 1 ? t ? 1 4 4 4 4 所以增区间为 (??, ?1), (1, ??) ;减区间为 (?1,1) 。

(数学选修 2-2)第一章
一、选择题 1.A

导数及其应用 [提高训练 C 组]

f ' ( x) ? sin x, f ' (? ) ? sin ? b ' 2.A 对称轴 ? ? 0, b ? 0, f ( x) ? 2 x ? b ,直线过第一、三、四象限 2 2 ' 2 3.B f ( x) ? ?3x ? 2ax ?1 ? 0 在 (??,??) 恒成立, ? ? 4a ?12 ? 0 ? ? 3 ? a ? 3 ' ' 4.C 当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 (1, ??) 上是增函数;当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 , f ( x ) 在 (??,1) 上是减 函数,故 f ( x ) 当 x ? 1 时取得最小值,即有
第 15 页 共 23 页

5.A

f (0) ? f (1), f (2) ? f (1), 得 f (0) ? f (2) ? 2 f (1) 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直的直线 l 为 4 x ? y ? m ? 0 ,即 y ? x4 在某一点的导数为 4 ,而 y? ? 4 x3 ,所以

6.A 二、填空题 1. 6

y ? x4 在 (1,1) 处导数为 4 ,此点的切线为 4 x ? y ? 3 ? 0 极小值点应有先减后增的特点,即 f ' ( x) ? 0 ? f ' ( x) ? 0 ? f ' ( x) ? 0

2 f ' ( x)? 3x ? 4c x 2c , 'f ( 2? 2c? 8? 1? 0c, , c ? 2 时取极小值 ? ) c 2 ? 2, 6 或 ' 2. (??, ??) y ? 2 ? c o x ? 对于任何实数都成立 s 0 ? 3. f ' ( x) ? ? sin( 3x ? ?)( 3x ? ?)' ? ? 3sin( 3x ? ?) 6 ? f ( x) ? f ?( x) ? 2 cos( 3 x ? ? ? ) 3 ? ? 要使 f ( x) ? f ?( x) 为奇函数,需且仅需 ? ? ? k? ? , k ? Z , 3 2 ? ? 即: ? ? k? ? , k ? Z 。又 0 ? ? ? ? ,所以 k 只能取 0 ,从而 ? ? 。 6 6 4. (7, ??) x ? [?1,2] 时, f ( x)max ? 7

5. 2

n?1

?2

y/

x?2

? ?2n ? 1? n? 2? 切线方程为 :y , ?

n

2 ? ?

? 1 n

2? n ?

?

2 ?( ,2 ) x

令 x ? 0 ,求出切线与 y 轴交点的纵坐标为 y0 ? ? n ? 1? 2n ,所以 和 Sn ? 三、解答题 1.解: y ? (1 ? cos 2 x)3 ? (2cos2 x)3 ? 8cos6 x

2 ?1 ? 2n ? 1? 2

an ? a ? ? 2n ,则数列 ? n ? 的前 n 项 n ?1 ? n ? 1?

? 2n?1 ? 2

y' ? 48cos5 x ? (cos x)' ? 48cos5 x ? (? sin x) ? ?48sin x cos5 x 。 1 1 1 1 ' ? ? ? 2.解:函数的定义域为 [?2, ??) , y ? 2x ? 4 2 x ? 3 2x ? 4 4 x ? 12 ' 当 x ? ?2 时, y ? 0 ,即 [?2, ??) 是函数的递增区间,当 x ? ?2 时, ymin ? ?1 所以值域为 [?1, ??) 。
3.解: (1) f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c, f ' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? b 由 f (? ) ?
'

2 12 4 1 ? a ? b ? 0 , f ' (1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 得 a ? ? , b ? ?2 3 9 3 2 ' 2 f ( x) ? 3x ? x ? 2 ? (3x ? 2)( x ?1) ,函数 f ( x) 的单调区间如下表: 2 2 2 (??, ? ) ? ( ? ,1) 1 x (1, ??) 3 3 3 ? ? ? 0 0 f ' ( x)

f ( x)

?

极大值

?

极小值

?

2 ,1) ; 3 1 2 2 2 22 3 ?c (2) f ( x) ? x ? x ? 2 x ? c, x ? [ ?1, 2] ,当 x ? ? 时, f ( ? ) ? 2 3 3 27 2 为极大值,而 f (2) ? 2 ? c ,则 f (2) ? 2 ? c 为最大值,要使 f ( x) ? c , x ?[?1, 2]
所以函数 f ( x ) 的递增区间是 (??, ? ) 与 (1, ??) ,递减区间是 ( ?
第 16 页 共 23 页

2 3

恒成立,则只需要 c2 ? f (2) ? 2 ? c ,得 c ? ?1, 或c ? 2 。 4.解:设 g ( x) ?

∵ f ( x ) 在 (0,1) 上是减函数,在 [1, ??) 上是增函数 ∴ g ( x) 在 (0,1) 上是减函数,在 [1, ??) 上是增函数. ∴?

x 2 ? ax ? b x

? g ' (1) ? 0 ? g (1) ? 3

?b ? 1 ? 0 ?a ? 1 解得 ? ?a ? b ? 1 ? 3 ?b ? 1 经检验, a ? 1, b ? 1 时, f ( x ) 满足题设的两个条件.
∴?

(数学选修 2-2)第二章

推理与证明 [基础训练 A 组]

一、选择题 1.B 5 ? 2 ? 3,11 ? 5 ? 6, 20 ? 11 ? 9, 推出 x ? 20 ? 12, x ? 32

1 1 1 a ? ? b ? ? c ? ? ?6 ,三者不能都小于 ?2 b c a ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ???? ???? ??? ? ? 3.D ① BC ? CD ? EC ? BD ? EC ? AE ? EC ? AC ;② 2BC ? DC ? AD ? DC ? AC ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ③ FE ? ED ? FD ? AC ;④ 2ED ? FA ? FC ? FA ? AC ,都是对的 2? ? ? T? ? , [0, ] 已经历一个完整的周期,所以有最大、小值 4.D 4 2 2 5.B 由 a1 ? a8 ? a4 ? a5 知道 C 不对,举例 an ? n, a1 ? 1, a8 ? 8, a4 ? 4, a5 ? 5
2.D 6.C

log2[log3 (log4 x)] ? 0,log3 (log4 x) ? 1,log4 x ? 3, x ? 43 ? 64 log3[log4 (log2 x)] ? 0,log4 (log2 x) ? 1,log2 x ? 4, x ? 24 ? 16 log4[log2 (log3 x)] ? 0,log2 (log3 x) ? 1,log3 x ? 2, x ? 9 x ? y ? z ? 89

7.D

y?

1 ? 1 1 ?3 1 1 1 ? x 2 , y' ? ? x 2 ? ? , y '(4) ? ? ?? 2 16 x 2x x 2? 4 4

二、填空题
1. n ? n ? 1 ? ... ? 2n ?1 ? 2n ? ... ? 3n ? 2 ? (2n ?1) , n ? N
2 *

注意左边共有 2n ? 1 项

1 1 1 有最小值,则 a ? 0 ,对称轴 x ? , f ( x) min ? f ( ) ? ?1 a a a 1 1 2 1 1 2 2 即 f ( ) ? a ? ( ) ? 2 ? ? a ? ? 0, a ? ? ?1, a ? a ? 2 ? 0, (a ? 0) ? a ? 1 a a a a a 2(a ? b) ( a ? b )2 2 2 x? y 3. y ? ( a ? b) ? a ? b ? ? ? x2 2 2 4. 155 512lg 2 ? m ? 512lg 2 ? 1,154.112 ? m ? 155.112, m ? N * , m ? 155 5. 1000 前 10 项共使用了 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ...? 10? 55 个奇数, a10 由第 46 个到第 55 个奇数的和组成,即 10(91 ? 109) a10 ? (2 ? 46 ? 1) ? (2 ? 47 ? 1) ? ... ? (2 ? 55 ? 1) ? ? 1000 2
2. 1

f ( x) ? ax 2 ? 2 x ? a ?

三、解答题
0 1. 若 ? , ? , ? 都不是 90 ,且 ? ? ? ? ? ? 90 ,则 tan ? tan ? ? tan ? tan ? ? tan ? tan ? ? 1
0

2 2.证明:假设 f ( x) ? 0 有整数根 n ,则 an ? bn ? c ? 0,(n ? Z )

而 f (0), f (1) 均为奇数,即 c 为奇数, a ? b 为偶数,则 a, b, c 同时为奇数‘ 或 a , b 同时为偶数, c 为奇数,当 n 为奇数时, an ? bn 为偶数;当 n 为偶数时, an ? bn 也为偶数,
2 2

即 an ? bn ? c 为奇数,与 an ? bn ? c ? 0 矛盾。
2 2

第 17 页 共 23 页

? f ( x) ? 0 无整数根。 a?b?c a ?b?c c a ? ? 3,即 ? ?1 3.证明:要证原式,只要证 a?b b?c a?b b?c bc ? c 2 ? a 2 ? ab ? 1, 而 A ? C ? 2B, B ? 600 , b2 ? a2 ? c2 ? ac 即只要证 2 ab ? b ? ac ? bc 2 bc ? c ? a 2 ? ab bc ? c 2 ? a 2 ? ab bc ? c 2 ? a 2 ? ab ? ? ? ?1 ab ? b2 ? ac ? bc ab ? a 2 ? c 2 ? ac ? ac ? bc ab ? a 2 ? c 2 ? bc ? ? ? ? ? 4.解: (1)由对称轴是 x ? ,得 sin( ? ? ) ? ?1, ? ? ? k? ? , ? ? k? ? , 4 4 2 4 8 3 而 ?? ? ? ? 0 ,所以 ? ? ? ? 4 3 ? 3 ? (2) f ( x) ? sin(2 x ? ? ), 2k? ? ? 2 x ? ? ? 2k? ? 4 2 4 2 ? 5? ? 5? k? ? ? x ? k? ? ], (k ? Z ) ,增区间为 [k? ? , k? ? 8 8 8 8 3 3 ' (3) f ( x) ? sin(2 x ? ? ), f ( x) ? 2 cos(2 x ? ? ) ? 2 ,即曲线的切线的斜率不大于 2 , 4 4 5 而直线 5x ? 2 y ? c ? 0 的斜率 ? 2 ,即直线 5x ? 2 y ? c ? 0 不是函数 y ? f (x) 的切线。 2

(数学选修 2-2)第二章
一、选择题 1.C

推理与证明 [综合训练 B 组]

f (1) ? e0 ? 1, f (a) ? 1 ,当 a ? 0 时, f (a) ? ea?1 ? 1 ? a ? 1 ;
1 2 ,a ? ? 2 2 ' ' 令 y ? x cos x ? x(? sin x) ? cos x ? ? x sin x ? 0 , 由选项知 x ? 0,?sin x ? 0, ? ? x ? 2?
当 ?1 ? a ? 0 时, f (a) ? sin ? a ? 1 ? a ?
2 2

2.B 3.C 4.B 5.B

令 a ? 6 cos? , b ? 3sin ? , a ? b ? 3sin(? ? ? ) ? ?3

6.A

x ? (0, ??) ,B 中的 y' ? ex ? xex ? 0 恒成立 a c a c 2a 2c ac ? b2 , a ? b ? 2x, b ? c ? 2 y , ? ? ? ? ? x y a?b b?c a?b b?c 2 2 2ab ? 4ac ? 2bc 2ab ? 4ac ? 2bc ? ? ?2 ab ? b 2 ? bc ? ac ab ? ac ? bc ? ac A ? B ? 10 ?11 ? 110 ? 16 ? 6 ? 14 ? 6 E

二、填空题
n(n ? 1)d d 2 d ? n ? (a1 ? )n ,其常数项为 0 ,即 p ? 3 ? 0, 2 2 2 d d d d p ? ?3 , Sn ? ?3n 2 ? 2n ? n 2 ? (a1 ? )n, ? ?3, d ? ?6, a1 ? ? ?2, a1 ? ?5 2 2 2 2 2 2 2 2 2. 4 lg( xy) ? lg( x ? 2 y) , xy ? ( x ? 2 y) , x ? 5xy ? 4 y ? 0, x ? y, 或x ? 4 y 而 x ? 2 y ? 0,? x ? 4 y,log 2 4 ? 4
1. ?3, ?5, ?6 S n ? na1 ? 3. 3 2

f ( x) ? f (1 ? x) ?

1 1 1 2x ? 1? x ? x ? 2x ? 2 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 x
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2 2x 2 ? 2x 2 ? ? ? x x x 2 2 ?2 ? 2 2? 2 ?2 2? 2 ?2 f (?5) ? f (?4) ? ??? ? f (0) ? ??? ? f (5) ? f (6) ? [ f (?5) ? f (6)] ? [ f (?4) ? f (5)] ? ... ? [ f (0) ? f (1)] ?
?
4. 0 5. 0

2 ?6 ? 3 2 2 f (0) ? 0, f (1) ? f (0) ? 0, f (2) ? f (?1) ? 0, f (3) ? f (?2) ? 0 f (4) ? f (?3) ? 0, f (5) ? f (?4) ? 0 ,都是 0

f ' ( x) ? ( x ? b)( x ? c) ? ( x ? a)( x ? c) ? ( x ? a)( x ? b), f ' (a) ? (a ? b)(a ? c) , f ' (b) ? (b ? a)(b ? c), f ' (c) ? (c ? a)(c ? b) , a b c a b c ? / ? / ? ? ? / f (a) f (b) f (c) (a ? b)(a ? c) (b ? a)(b ? c) (c ? a)(c ? b) a(b ? c) ? b(a ? c) ? c(a ? b) ? ?0 (a ? b)(a ? c)(b ? c)
3 2 0 1 ? cos(2? ? 120 ) 1 ? cos 2? 1 ? cos(2? ? 1200 ) ? ? 证明:左边 ? 2 2 2 3 ? ? [cos(2? ? 1200 ) ? cos 2? ? cos(2? ? 120 0 )] 2 3 ? 2
2 ? 2 2 ?

三、解答题
1.解: 一般性的命题为 sin (? ? 60 ) ? sin ? ? sin (? ? 60 ) ?

所以左边等于右边 2.解: 11...1 ? 22...2 ? 11...1 ?10 ?11...1 ?22...2 ? ? ? ? ?
n 2n n n n n

? 11...1?10n ? 11...1 ? 11...1? (10 n ? 1) ? ? ?
n n n

? 11...1? 9 ?11...1 ? 3?11...1 ? 33...3 ? ? ? ?
n n n n

1 2 1 1 1 ? b a ? ? ab ? b,Vb ? ? a 2b ? ? ab ? a, 3 3 3 3 1 ab 1 ab ab Vc ? ? ( ) 2 c ? ? ab ? , 因为 a ? b ? c ,则 ?a?b 3 c 3 c c ?Vc ? Vb ? Va 4.证明:假设 a, b, c 都不大于 0 ,即 a ? 0, b ? 0, c ? 0 ,得 a ? b ? c ? 0 ,
3.解: Va ? 而 a ? b ? c ? ( x ?1) ? ( y ?1) ? ( z ?1) ? ? ? 3 ? ? ? 3 ? 0 ,
2 2 2

即 a ? b ? c ? 0 ,与 a ? b ? c ? 0 矛盾, ? a, b, c 中至少有一个大于 0 。

(数学选修 2-2)第二章
一、选择题 1.B

推理与证明 [提高训练 C 组]
2 2

令 x ? 10, y ? ?10 , " xy ? 1" 不能推出 " x ? y ? 1";

第 19 页 共 23 页

1 ?1 2 2.C 函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 图象过点 (0,0),(1,0),(2,0) ,得 d ? 0, b ? c ? 1 ? 0, 4b ? 2c ? 8 ? 0 ,则 b ? ?3, c ? 2 , f ' ( x) ? 3x2 ? 2bx ? c ? 3x2 ? 6 x ? 2 ,且 x1 , x2 是
反之 x ? y ? 1 ? 1 ? x ? y ? 2 xy ? xy ?
2 2 2 2

函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 的两个极值点,即 x1 , x2 是方程 3x ? 6 x ? 2 ? 0 的实根
2

x12 ? x2 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ? 4 ?
3.B 4.D 5.B

4 8 ? 3 3 P ? log11 2 ? log11 3 ? log11 4 ? log11 5 ? log11 120 , 1 ? log11 11 ? log11 120 ? log11 121 ? 2 ,即 1 ? P ? 2

画出图象,把 x 轴下方的部分补足给上方就构成一个完整的矩形

??? ? ???? ??? ? ???? ??? ??? ? ? ? ?? ?? ? AB AC ??? AB AC OP ? OA ? ? ( ??? ? ???? ), AP ? ? ( ??? ? ???? ) ? ? (e1 ? e2 ) ? ? AB AC AB AC
AP 是 ? A 的内角平分线

6.D

7.D 方程 9

? (a ? b) ? (a ? b)(?1) ? a, ( a ? b) ( a ? b) ? ( a ? b) f ( a ? b) ? ? 2 ?? 2 ? (a ? b) ? (a ? b) ? b, (a ? b) ? ? 2 ? x ?2 令3 ? t,(0 ? t ? 1) ,则原方程变为 t 2 ? 4t ? a ? 0 ,
? x ?2

? a ? 0 有实根的充要条件是方程 t 2 ? 4t ? a ? 0 在 t ? (0,1] 上有实根 2 再令 f (t ) ? t 2 ? 4t ? a ,其对称轴 t ? 2 ? 1 ,则方程 t ? 4t ? a ? 0 在 t ? (0,1] 上有一实根, ? f (0) ? 0 ??a ? 0 另一根在 t ? (0,1] 以外,因而舍去,即 ? ?? ? ?3 ? a ? 0 ? f (1) ? 0 ??3 ? a ? 0

? 4?3

? x ?2

二、填空题
1. 35

a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? a1 ? 0, a3 ? 1, a4 ? 4, a5 ? 1, a6 ? 6,..., a9 ? 1, a10 ? 10 S10 ? 1 ? 2 ? 1 ? 4 ?1 ? 6 ?1 ? 8 ? 1 ? 10 ? 35
设切点 (t , e ) ,函数 y ? e 的导数 y ? e ,切线的斜率
t

2. (1, e), e

x

'

x

k ? y ' | x ?t ? et ?

et ? t ? 1, k ? e, 切点 (1, e) t

3 ? 2 k ? 2k ? ? 1 ? 3 2 2 ? 2 3. (1 ? ,1 ? ) ? x ? 1 ? x,? 0 ? k 2 ? 2k ? ? 1 ,即 ? 2 2 2 ? k 2 ? 2k ? 3 ? 0 ? ? 2 1 ? 2 ?k ? 2k ? 2 ? 0 ?1 ? 2 ? k ? 1 ? 2 2 2 ? ? ?? ?? ? k ? 1? 2 2 ,?1 ? 2 2 ? k 2 ? 2k ? 3 ? 0 ? k ? R ? ? ? 2 n?2 n 4. f (2 ) ? 2 n?2 1 1 1 f (n) ? (1 ? 2 )(1 ? 2 ) ??? [1 ? ] 5. f ( n) ? 2n ? 2 2 3 (n ? 1) 2

第 20 页 共 23 页

1 1 1 1 1 1 ? (1 ? )(1 ? )(1 ? )(1 ? ) ??? (1 ? )(1 ? ) 2 2 3 3 n ?1 n ?1 1 3 2 4 3 n n?2 n?2 ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? 2 2 3 3 4 n ? 1 n ? 1 2n ? 2

三、解答题
1.证明:?

a ?c a ?c a ?b?b?c a ?b?b?c ? ? ? a ?b b?c a ?b b?c b ?c a ?b b ?c a ?b ? 2? ? ? 2?2 ? ? 4 , (a ? b ? c) a ?b b ?c a ?b b ?c a?c a?c 1 1 4 ? ? ? 4,? ? ? . a ?b b?c a ?b b?c a ?c
再构造一个整数 N ? 2 ? 3 ? 5 ? 7 ?11? ... ? P ? 1 , 显然 N 不能被 2 整除, N 不能被 3 整除,…… N 不能被 P 整除, 即 N 不能被 2,3,5,7,11,13,17,19,..., P 中的任何一个整除, 所以 N 是个质数,而且是个大于 P 的质数,与最大质数为 P 矛盾, 即质数序列 2,3,5,7,11,13,17,19, ……是无限的

2.证明:假设质数序列是有限的,序列的最后一个也就是最大质数为 P ,全部序列 为 2,3,5,7,11,13,17,19,..., P

3.证明: sin A ? sin B ? sin C ? sin

A? B A? B C ? C ? cos ? 2sin( ? ) cos( ? ) 3 2 2 2 6 2 6 A? B C ? A? B ?C ? A? B ?C ? ? 2sin ? 2sin( ? ) ? 4sin( ? ) cos( ? ) 2 2 6 4 12 4 12 A? B ?C ? ? 4sin( ? ) 4 12 ? 2sin

?

? 4sin( ? ) ? 4sin 4 12 3 A? B ? ? ?cos 2 ? 1 ?A ? B ? ? C ? ? ? ? 当且仅当 ?cos( ? ) ? 1 时等号成立,即 ?C ? 2 6 3 ? ? A? B ?C ? ? ? ? ? ) ?1 ?cos( ?A ? B ? C ? 3 4 12 ? ? ? ? ? 所以当且仅当 A ? B ? C ? 时, T ? sin 的最大值为 4 sin 3 3 3 ? 3 3 所以 Tmax ? 3sin ? 3 2 (1 ? 1)(2 ? 1) 0 ? 1 ,即原式成立 4.证明: 1 当 n ? 1 时,左边 ? 1 ,右边 ? 6 k (k ? 1)(2k ? 1) 20 假设当 n ? k 时,原式成立,即 12 ? 22 ? 32 ? ? ? k 2 ? 6 k (k ? 1)(2k ? 1) 2 2 2 2 2 ? ( k ? 1) 2 当 n ? k ? 1 时, 1 ? 2 ? 3 ? ? ? k ? ( k ? 1) ? 6

?

?

?

第 21 页 共 23 页

k (k ? 1)(2k ? 1) ? 6(k ? 1) 2 (k ? 1)(2k 2 ? 7 k ? 6) ? 6 6 (k ? 1)(k ? 2)(2k ? 3) ? 6 ?
即原式成立

?12 ? 22 ? 32 ? ? ? n 2 ?

n(n ? 1)(2n ? 1) , 6

(数学选修 2-2)第三章

复数 [基础训练 A 组]

一、选择题 1.A (1) 0 比 ?i 大,实数与虚数不能比较大小; (2)两个复数互为共轭复数时其和为实数,但是两个复数的和为实数不一定是共轭复数; (3) x ? yi ? 1 ? i 的充要条件为 x ? y ? 1 是错误的,因为没有表明 x, y 是否是实数; (4)当 a ? 0 时,没有纯虚数和它对应 2.D 3.B

1 i2 ?1 3 ?2 (i ? i ?1 )3 ? (i ? )3 ? ( ) ? ( )3 ? (2i)3 ? ?8i ,虚部为 ?8 i i i
z ? z ? z ? R ; z ? z ? z ? R ,反之不行,例如 z ? ?2 ; z 2 为实数不能推出
z ? R ,例如 z ? i ;对于任何 z , z ? z 都是实数 i 4 (1 ? i 9 ) i 4 (1 ? i) 4 z1 ? ? ? i ? 1, z2 ? i 4?5?6?7?...?12 ? i 72 ? 1 1? i 1? i
?
?

4.A 5.C 6.B

(1 ? i)20 ? (1 ? i)20 ? [(1 ? i)2 ]10 ? [(1 ? i)2 ]10 ? (2i)10 ? (?2i)10 ? (2i)10 ? (2i)10 ? 0 1 f (0) ? i 0 ? i 0 ? 0, f (1) ? i ? i ?1 ? i ? ? 2i, f (2) ? i 2 ? i ?2 ? 0, f (3) ? i 3 ? i ?3 ? ?2i i
z , z , z , z 2 四个为虚数; z , z , z ? z, z , z 2 五个为实数;
2
? ?

二、填空题
? ?

1. 4, 5, 3

z ? z, z ? z , z ? z ? z 三组相等
2

?

?

?

2.三 3. k? ? 4. 15

3 ? a ? 5 , a2 ? 8a ?15 ? (a ? 3)(a ? 5) ? 0, a2 ? 5a ?14 ? (a ? 2)(a ? 7) ? 0
?
2 ,k ?Z sin 2? ? 0,1 ? cos 2? ? 0, 2? ? 2k? ? ? , ? ? k? ?

?
2

,k ?Z

log 2 (m2 ? 3m ? 3) ? 2log 2 (m ? 3) ? 1 ? 0,log 2

m2 ? 3m ? 3 ? ?1 (m ? 3)2

m2 ? 3m ? 3 1 ? , m ? ? 15, 而m ? 3, m ? ? 15 (m ? 3)2 2
5. 125 6. i

z ? z ? z ? (2 ? i)3 ? ( 5)6 ? 125
2

?

2

2 1 ? i 100 50 1 ? i 100 1 ? i 50 ? , z ? z ?1 ? ( ) ?( ) ?1 1? i 2 2 2 2i 2i ? ( )50 ? ( ) 25 ? 1 ? i 50 ? i 25 ? 1 ? i 2 ? i ? 1 ? i 2 2 2 3 2000 7. 1000 ? 1000i 记 S ? i ? 2i ? 3i ? ? ? 2000i iS ? i 2 ? 2i3 ? 3i 4 ? ? ? 1999i 2000 ? 2000i 2001 z?
第 22 页 共 23 页

(1 ? i) S ? i ? i ? i ? i ? ? ? i
2 3 4

2000

? 2000i

2001

S?

?2000i ? 1000 ? 1000i 1? i

i(1 ? i 2000 ) ? ? 2000i 2001 ? ?2000i 1? i

三、解答题
1.解:设 z ? a ? bi,(a, b ? R) ,由 z ? 1得 a2 ? b2 ? 1 ;

(3 ? 4i)?z ? (3 ? 4i)(a ? bi) ? 3a ? 4b ? (4a ? 3b)i 是纯虚数,则 3a ? 4b ? 0

4 4 ? ? ? ?a ? ? 5 ? 4 3 ? a 2 ? b 2 ? 1 ?a ? 5 4 3 ? ? ?? ,或 ? , z ? ? i, 或 ? ? i ? 5 5 5 5 ?3a ? 4b ? 0 ?b ? 3 ?b ? ? 3 ? ? ? 5 5 ? ?
2.解:设 z ? a ? bi,(a, b ? R) ,而 z ? 1 ? 3i ? z, 即 a2 ? b2 ?1 ? 3i ? a ? bi ? 0 则?

? a 2 ? b 2 ? a ? 1 ? 0 ?a ? ?4 ? ?? , z ? ?4 ? 3i ?b ? 3 ?b ? 3 ? 0 ?

(1 ? i)2 (3 ? 4i)2 2i(?7 ? 24i) 24 ? 7i ? ? ? 3 ? 4i 2z 2(?4 ? 3i) 4?i

(数学选修 2-2)第三章
一、选择题 1.B 2.B 3.D

复数 [综合训练 B 组]
? ?

?m

z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di,(a, b, c, d ? R), z1 z2 ? z1 z2 ? (a ? bi )(c ? di ) ? (a ? bi )(c ? di ) ? 2ac ? 2bd ? R
2

m ? X ? ? ?(bi)2 ? ? ??b2 ? (b ? R, 且b ? 0)

4.C 5.A 6.C

(?1 ? 3i)3 ?2 ? i ?1 ? 3i 3 (?2 ? i)(1 ? 2i) ?1 ? 3i 3 1 3 5i ? ?( ) ? ?( )( ) ? 6 (1 ? i) 1 ? 2i 2i 5 2 i 5 ? i ? i ? 2i 1 ? 3i 1 3 z ? 3i ? 3zi ? 1 ? 0, z ? ?? ? i ? ? , z ? z 2 ? ? ? ? 2 ? ?1 2 2 1 ? 3i 3 ? 3i 3i ? 3 1 3 z? ? ? ? i 2 2 ?2 3i 2 3
z1 ? z2 ? 2( z1 ? z2 ) ? z1 ? z2 ? 3, z1 ? z2 ? 3
2 2 2 2

? ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? 0 7.B 8.C 二、填空题
4 2 2

1. 5 2.

8 3

3. 1 ? i

4. 2 ? i

5. 0

6.二 7. 1 ?

3 i 2

8. ?1

9. ?6 10. ?2

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