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高中数学人教版选修2-1教学设计:第十三章《空间向量与立体几何》课件


第十三章
《空间向量与立体几何》
立体几何中的向量方法(一)
一、复习目标:1、理解直线的方向向量与平
面的法向量并会求直线的方向向量与平面的法向 量。2、理解和掌握向量共线与共面的判断方法。 3、用向量法会熟练判断和证明线面平行与垂直。

二、重难点:概念与方法的运用 三、教学方法:探析归纳,讲练结合。 四、教学过程 (一)、知识梳理,方法定位 1、点、直线、平面的位置的向量表示 ⑴点 在空间中,我们取一定点 O 作

为基点,那么空间中任意一点 P 的位 ??? ? 置就可以用向量 OP 来表示,我们把 ??? ? 向量 OP 称为点 P 的位置向量.

⑵直线
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 。 A 以及一个定方向确定. 上一个定点 对于直线 l 上的 任一点 P ,存在实数 t

??? ? ??? ? 使得 AP ? t AB

P

或 AP ? t a

? a

⑶平面
A



空间中平面 ? 的位置可以由 ? 内两 条相交直线(两个不共线向量 )来确定. 对于平面 ? 上的任

? b

一点 P ,存在有序实数 对 ( x, y ) ,使得

l 2、直线的向量参数方程 空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 P , 上的任一点 个定点 A 以及一个定方向确定.对于直线 l ??? ? ??? ?
a

? O

? a

??? ? ? ? OP ? xa ? yb

A

存在实数 t 使得 AP ? t AB P 此方程称为直线的向量参数方程。这 样点A和向量 不仅可以确定直线 l 的位置,还可以具体写出l上的任意一 点。

3、平面的法向 量

??? ? ??? ? ? OP ? OA ? ta , ??? ? ??? ? ??? ? OP ? xOA ? yOB (x ? y ? 1)

空间中平面 ? 的位置可以由 ? 内两条相 对于平面 ? 上的任一点 P , 交直线来确定.

.

? b

P

存在有序实数对 ( x, y) ,使得

?

?? 这样,点O与向量 a、 b 不仅可以确定平面?的位
置,还可以具体表示出 ? 内的任意一点。

O

? a

??? ? ? ? OP ? xa ? yb

除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向量 (这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.

? 平面的法向量:如果表示向量 n 的有向线段所在 直线垂直于平面 ,则称这个向量垂直于平 ? ? ? ? 面 ? ,记作 n ⊥? ,如果 n⊥? ,那 么 向 量 n 。 叫做平面 ? ? 的法向量. l 给定一点A ?和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是 ?
n
完全确定的.

?

几点注意: 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都 互相平行 ? ; 3.向量 ?? n 是平面的法向量,向 量m 是与平面平行或在平面 ? ?? 内,则有 n ? m ? 0

在空间坐标系中,已知 A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) , 求法:

C (0, 0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. ? ⑴设平面的法向量为 n ? ( x , y , z ) 步骤:
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量 ? ? 的坐标 a ? ( a1 , b1 , c1 ), b ? ( a 2 , b2 , c 2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的 ? ? ? n?a ? 0 方程组 ? ?? ? ? ?n ? b ? 0

⑷ 解方程组 ,取其中的一个解 ,即得法向量 . 4、用方向向量和法向量判定位置关系 ? ?
? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ,

? ? ? ? 线线平行 l ∥ m ? a ∥ b ? a ? kb ;

线面平行 l ∥ ?
面面平行 ? ∥ ?

? ? a ? u ? ? ? ? ?u∥v ?

? ? a?u ? 0; ? ? u ? k v.

注意:这里的线线平行包括线线重合,线 面平行包括线在面内,面面平行包 括面面重合. ? ? ? ?

线线垂直 l ⊥ m ?
线面垂直 l ⊥ ?

面面垂直 ? ⊥ ? ? u ⊥ v ? u ? v ? 0. ? 设直线l的方向向量为a ? ( a1 , b1 , c1 ), 平面?的 ? 法向量为 ?u ? ?( a2 , b2 , c2 ),则 l // ? ? a ? u ? 0 ? a1a2 ? b1b2 ? c1c2 ? 0;

a ⊥b ? a?b ? 0; ? ? ? ? ? a ∥ u ? a ? ku ;

? ? a1 b1 c1 . 当a2 , b2 , c2 ? 0时,a // u ? ? ? a2 b2 c2

? ? 若 , b1, c1 ), u ? (a2 , b2 , c2 ),则 . a ? (a1 ? ? ? ? l ? ? ? a // u ? a ? ku ? a1 ? ka2 , b1 ? kb2 , c1 ? kc2 .

(二)例题探析 例1、用向量法证明:一条直线与一个平面内两条相
交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 已知:直线m,n是平面 ?内的任意两条相交直线, 且 l ? m, l ? n. ? ? ?

解:设直线l , m, n的方向向量分别为 a , b , c . ? ? ? ?? ? ?l ? m, l ? n,?a ? b, a ? b ? 0. 同理a ? c ? 0.

? m, n ? ? , 且m , n 相交, ? ? ??内任一向量 ? ? ? p可以表示为如下形式: ? yc, ? x, R. 。 ?p ? ? ?? xb ?? ? ?y? ? ?
? a ? p ? a ? ( xb ? yc) ? xa ? b ? ya ? c ? 0, ?l与?内的任一直线垂直.即l ? ? .
例2、已知点P是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,如 ???? ??? ? ??? ? 果 AB ? (2, ?1,4) , AD ? (4,2,0) , AP ? (?1, 2, ?1) ??? ? (1)求证: AP 是平面 ABCD 的法向量; (2)求平行四边形 ABCD 的面积. ??? ? ???? ??? ? ??? ? (1)证明:∵ AP ? AB ? (?1,2, ?1) ? (2, ?1, ?4) ? 0 ,AP ? AD ? (?1,2, ?1) ? (4,2,0) ? 0 , AP ? AD ,又 AB ? AD ? A , AP ? ∴ AP ? AB , 平面 , ABCD ? 是平面 ∴ ??? 的法向量.

AP

ABCD

??? ? ???? 。AB ? AD ? (2, ?1, ?4) ? (4,2,0) ? 6

???? ??? ? 2 2 2 2 2 2 | AD | ? 4 ? 2 ? 0 ?2 5 | AB |? (2) ? ( ?1) ? (?4) ? 21 。

??? ? ???? 6 3 105 sin ?BAD ? 1 ? 9 ? 32 cos( AB, AD) ? ? 105 35 21 ? 2 5 105 ??? ? ???? S? ABCD ?| AB | ? | AD | sin ?BAD ? 8 6
P

例3:如图在四棱锥P—ABCD中 底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥ 底面ABCD,PD=DC,E是PC的 中点,作EF⊥PB交PB于点F。 (1)求证PA∥平面EDB (2)求证PB⊥平面EFD (3)求二面角C---PB---D的大小

F

E

D

C G

A B

.解:如图建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1 (1)证明:连结AC,AC交BD . 于点G,连结EG依题意得A(1,0,0)P(0,0,1)E 1 1 ( 0, , ), 因为底面ABCD是正方形,所以点G是此正 2 2 方形的中心, 1 1 故点G的坐标为( , ,0 )且

PA ? ?1,0,?1?



2 2 1? ?1 EG ? ? ,0,? ? ,所以 PA ? 2EG, 及PA// EG 2? ?2

而EG ? 平面EDB,且PA

? 平面EDB,因此PA//平面

EDB。 (2)证明;依题意得 1 1 ? 1 1 ? ,故 PB ? DE ? 0 ? ? ? 0 0, , ? B(1,1,0)PB ? ?1,1,?1?, 又DE ? ? 2 2 ? 2 2? 所以 PB ? DE PB ? EF,且EF ? DE ? E PB ? 平面EFD

(3)解:已知 PB ? EF , 由(2)可知 PB ? DF ,故 ? EFD 是二面角C-PB-D的平面角。 设点F的坐标为( x,y,z ),则 PF ? ?x, y, z ? 1? ,因 为 PF ? k PB所以 ?x, y, z ? 1? ? k ?1,1 ? 1? ? ?k , k ,?k ? , , k,1 ? k ? ? k ? k ? 1 ? k ? 3k ? 1 ? 0 所 因为 PB ? DF ? 0 所以 ?1,1,?1? ? ?k? 。 1 1 2? 1 , , ? ? k ? 3 以 ,点F的坐标为 ? 3 3 ? ,又点E的 3 1 1 1 1 1? ? ? ? FE ? ? ? , ,? ? 坐标为 ? 0, , ? 所以 3 6 6 ? 因为 ?
1? ? 1 1 2? 1 ? ? , ,? ? ? ? ? ,? ,? ? FE ? FD ? 3 6 6 ? ? 3 3 3 ? 6 1 cos?EFD ? ? ? ? 1 2 6 6 FE FD ? 3 6 3

?

2 2? ? 1 1

所以 ?EFD ? 60?, 即二面角C-PB-D的大小 为 60 ? 。

(三)、强化巩固训练 1、设直线l,m的方向向量分别为 列条件判断l,m的位置关系: ?

? . (1)a ? (2,?1,?2), b ? (6,?3,?6) ? ? (2)a ? (1,2,?2),? b ? (?2,3,2)
? ( 3)a ? (0,0,1), b ? (0,0,?3)

? ,? ,根据下 a b

? ? 2、设平面 ?, ,根据下 ? 的法向量分别为 u, v 列条件判断? , 的位置关系: ? ? ?
? ? ( 3)u ? ( 2,?3,5), v ? ( ?3,1,?4)

(1)u ? ( ?2,2,5), v ? (6,?4,4) ? ? ( 2)u ? (1,2,?2), v ? ( ?2,?4,4)

3、棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,在棱 DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC? 解:以D为原点建立如图所示的坐标系, 设存在点 P(0,0 ,z? ), 。??? ???? ? ??? ? AP =(-a,0,z), DB AC =(-a,a,0), 1 =(a,a,a), ∵B1D⊥面PAC,∴ DB1 ? AP ? 0,DB1 ? AC ? 0 ∴-a2+az=0∴z=a,即点P与D1重合 ∴点P与D1重合时,DB1⊥面PAC (四)、小结:本课主要探析了1、
直线的方向向量与平面的法向量 的概念与 求法;2、用方向向量和法向量判定线面位 置关系的方法。要求大家理解和掌握并会 熟练运用。

(五)、作业布置:复资P132中2、4、
5、6题。

五、教学反思
.


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