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河北省唐山市开滦第二中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)试卷Word版含解析


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河北开滦二中 2014-2015 学年上学期高二年级期中考试 数学(理)试题
说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 页至第 2 页,第Ⅱ卷第 3 页至第 6 页。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、 选择题: (在每小题给出的四个选项中

, 只有一项是符合题目要求的. 本大题共 12 小题, 每小题 5 分,共 60 分.) 1.在下列命题中,不是公理的是( ) A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】A 【解析】 公理一:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 公理二:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 公理三:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 2.点(1,-1)到直线 3x+4y+3=0 的距离为( ) A.2 B.1 C. 2 5 D. 6 5

【答案】B 【解析】

d?

3 ?1 ? 4 ? ? ?1? ? 3 2

? 1.
?

3.在空间直角坐标系中,已知点 A(1,1,?2), B (1,0,1), 则 AB =( )

A. 2 【答案】C 【解析】

B. 2 2

C. 10

D. 2 10

AB ? ? 0, ?1,3? ,? AB ?

? ?1?

2

? 32 ? 10.


4.过点 A( 3 ,1) 且倾斜角为 60° 的直线方程为( A.y ?

3x ? 2

B.y ?

3x ? 2

C.y ?

3 x?2 3

D.y ?

3 x?2 3

【答案】A

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【解析】 所求直线的斜率为 k ? tan 60? ? 3, 由点斜式得 y ? 1 ? 3 x ? 3 , 即y ? 3 x ? 2. 5. 将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周, 所得几何体的侧面积为 ( ) A. 4? B. 3? C. 2? D. ? 【答案】C 【解析】 将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,得到底面半径为 1,高为 1 的圆 柱体,所以其侧面积为

?

?

S ? 2? .
6.若直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 x ? y ? 2 ? 0 互相垂直,那么 a 的值等于 A.1 【答案】D 【解析】 由题设得, a ? 2 ? 0,? a ? ?2. 7.设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面.下列命题中正确的是( A.若 α⊥ β,m?α,n?β,则 m⊥ n B.若 α∥ β,m?α,n?β,则 m∥ n C.若 m⊥ n,m?α,n?β,则 α⊥ β D.若 m⊥ α,m∥ n,n∥ β,则 α⊥ β 【答案】D 【解析】 ) B. ? ( )

1 3

C. ?

2 3

D. ?2

n / /? , ? 过n作平面? 交? 与l , 则n//l , m / / n, ? l / / m, m ? ?, ?l ? ? , 又l ? ? , ?? ? ? .故D正确.
8. 若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如 下图所示,则此几何体的体积等于( ) A. 30 B. 12 C. 24 D. 4 【答案】C
正视图

4 3 2

3

侧视图

3
俯视图

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【解析】 由三视图知,几何体是底面为边长为 3,4,5 的三角形高为 5 的三棱柱截 得,如图所示,所以,几何体的体积为

1 1 ? 3 ? 4 ? ? 3 ? 4 ? 3 ? 24. 2 3

9.已知正四面体 ABCD 中,E 是 AB 的中点,则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为( ) A.

1 6 1 3

B.

3 6
3 3

C.

D.

【答案】B 【解析】 如图所示,取 AD 的中点 F,连接 EF,CF,则 EF∥ BD,故 EF 与 CE 所成的角即为异 面直线 CE 与 BD 所成的角.设正四面体的棱长为 2,则 CE=CF= 3,EF=1.在△ CEF 中, CE2+EF2-CF2 3+1-3 3 3 cos ∠ CEF= = = , 所以异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为 . 2CE· EF 6 6 2× 3× 1 10.某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )

A.4

B.

20 3

C.

26 2

D.8

【答案】B 【解析】 由三视图知,几何体为四棱锥和三棱锥的组合体,其直观图如图,

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11.若动点 A,B 分别在直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 上移动,则 AB 的中点 M 到 原点的距离的最小值为( ) A.3 2 【答案】A 【解析】 由题意知, M 点的轨迹为平行于直线 l1、 l2 且到 l1、 l2 距离相等的直线 l, 故其方程为 x+y-6=0, ∴ M 到原点的距离的最小值为 d ? B.2 2 C.3 3 D.4 2

6 ?3 2. 2
) D. C.

12.正四面体的外接球和内切球的半径的关系是( A. B.

【答案】D 【解析】 如图所示,设点 O 是内切球的球心,正四面体棱长为 a .由图形的对称性知,点 O 也是外 接球的球心.设内切球半径为 r ,外接球半径为 R .

第Ⅱ 卷(非选择题共 90 分)
二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中的横线上) 13.若直线 a ∥b 且 a ? 平面? ,则 b 与 ? 的关系是__________. 【答案】 b ? ? 【解析】

a ? ?? ? ? b ? ?. a // b ?
14.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,二面角 B ? A1 D1 ? C1 的大小为__________. 【答案】

?
4

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【解析】 二面角 B ? A1 D1 ? C1 的的平面角为 ?BA1C1 ?

?
4

.

15 . 三 棱 锥 P ? ABC 的 四 个 顶 点 均 在 同 一 球 面 上 , 其 中 △ ABC 为 等 边 三 角 形 ,

PA ? 平面ABC , PA ? 2 AB ? 2a ,则该球的体积是
【答案】



32 3 3 a 27

【解析】 由 题 意 画 出 几 何 体 的 图 形 如 图 ,把 A 、 B 、 C 、 P 扩 展 为 三 棱 柱 ,上 下 底 面 中 心 连 线 的 中 点 与 A 的 距 离 为 球 的 半 径 , PA=2AB=2 a , OE= a , △ ABC 是 正 三 角 形 , ∴AB= a , ∴AE=

2 3

a 3 a 2 ? ( )2 = a 2 3
2 3 a 3

? AO= AE 2 ? OE 2 ?

4 2 3 3 32 3 3 ? V球 = ? ( )= ?a . 3 3 27
16 . 当 k > 0 时,两直线 kx-y=0, 2 x+ky-2=0 与 x 轴围成 的三角形面积的最大 值 为 【答案】 【解析】 由两直线 kx-y=0, 2 x+ky-2=0 与 x 轴围成的三角形如图所示, .

2 4

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 。 17. (本题 10 分)已知两条直线 l1 : 3 x ? 4 y ? 2 ? 0 与 l2 : 2 x ? y ? 2 ? 0 的交点 P ,求: (1) 过点 P 且过原点的直线方程; (2)过点 P 且垂直于直线 l3 : x ? 2 y ? 1 ? 0 的直线 l 的方程。

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【解析】

18. (本题 12 分)已知三角形的三个顶点是 A(4,0) ,B(6,6) ,C(0,2) . (1)求 AB 边上的高所在直线的方程; (2)求 AC 边上的中线所在直线的方程. 【解析】

∴ AB 边上的高所在直线的斜率 k=﹣ , ∴ AB 边上的高所在直线的方程为 y﹣2=﹣ (2)∵ AC 边的中点为(2,1) , ∴ AC 边上的中线所在的直线方程为 ,整理,得 5x﹣4y﹣5=0. --------12 分 ,整理,得 x+3y﹣6=0.--------6 分

19. (本题 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 PAD ? 底面 ABCD ,若 E 、 F 分别为 PC 、 BD 的中点. (Ⅰ ) 求证: EF //平面 PAD ; (Ⅱ ) 求证:平面 PDC ? 平面 PAD ;
P E D F A B C

【解析】 证明: (1)取 AD 中点 G,PD 中点 H,连接 FG,GH,HE,由题意:

FG / /

1 1 AB, HE / / CD, 2 2

AB / /CD,? FG / /HE
--------4 分 --------6 分

?四边形EFGH 是平行四边形, ? EF / / GH

又 GH ? 平面PAD, EF ? 平面PAD , EF //平面 PAD (2)

平面 PAD ? 底面 ABCD , 平面PAD ? 平面ABCD ? AD,

CD ? AD, CD ? 平面ABCD ,? CD ? 平面PAD ,--------10 分

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又 CD ? 平面PDC ,? 平面 PDC ? 平面 PAD

--------12 分

20. (本题 12 分)如图,在三棱锥 V ? ABC 中,VC ? 底面 ABC , AC ? BC , D 为 AB 的 中点, AC ? BC ? VC ? a . (1)求证: AB ? 平面 VCD ;(2)求点 C 到平面 VAB 的距离。

【解析】 (1)因为 VC ? 平面 ABC , AB ? 平面 ABC ,所以 VC ? AB 又因为在 ?ABC 中, AC ? BC , D 为 AB 的中点,所以 CD ? AB 又 VC ? 平面 VCD , CD ? 平面 VCD ,且 VC CD ? C ,

--------2 分 --------4 分

所以 AB ? 平面 VCD ------------------------------------------6 分 (2)法一:因为 AB ? 平面 VCD 且 AB ? 平面 VAB ,所以平面 VCD ? 平面 VAB , 又因为平面 VCD 平面 VAB ? VD , 所以点 C 到 VD 的距离 h 即为点 C 到平面 VAB 的距离, --------8 分 在直角三角形 VCD 中,由 VD ? h ? VC ? DC

VC ? DC ? 得 h? VD

a?

2 a 2 ? 3a 3 6 a 2
3 a . 3
--------12 分

所以点 C 到平面 VAB 的距离为

法二:设点 C 到平面 VAB 的距离为 h , 据 VV-ABC 即 ?

? VC-VAB

--------8 分

1 1 1 3 a?a?a ? ? 3 2 3 4

?

2a h ,得 h ? 3 a . 3

?

2

3 a 3
--------12 分

所以点 C 到平面 VAB 的距离为

21. (本题 12 分)如图,在直三棱柱中 A1 B1C1 -ABC 中,AB ? AC, AB=AC=2, AA1 =4,点 D 是 BC 的中点.

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(1)求异面直线 A1 B 与 C1 D 所成角的余弦值; (2)求平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正 弦值. 【解析】 (1)以 { AB, AC , AA1 } 为单位正交基底建立空间直角坐标系 A ? xyz , 则 A(0,0,0) , B (2,0,0) , C (0,2,0) , A1 (0,0,4) , D (1,1,0) , C1 (0,2,4) .
? ? ?

------1 分

? A1 B ? (2,0,?4) , C1 D ? (1,?1,?4)
A B? C1 D ? cos ? A1 B, C1 D ?? 1 ? A1 B C1 D
? ? ? ?

?

?

--------3 分

18 20 18

?

3 10 10

--------5 分

? 异面直线 A1 B 与 C1 D 所成角的余弦值为

3 10 . --------6 分 10

(2) AC ? (0, 2, 0) 是平面 ABA1 的的一个法向量,设平面 ADC1 的法 向量为 m ? ( x, y, z ) ,
?

? AD ? (1,1,0) , AC1 ? (0,2,4) ,
由 m ? AD , m ? AC1 得 ?
? ?

?

?

?

?

?x ? y ? 0 ,取 z ? 1 ,得 y ? ?2 , x ? 2 , ?2 y ? 4 z ? 0
--------9 分

所以平面 ADC1 的法向量为 m ? (2,?2,1) . 设平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角为 ? .
?

?

? cos ? ? cos ? AC , m ??

?

AC ? m AC m
?

?

?4 2 ? , --------11 分 2?3 3

得 sin ? ?

5 5 .所以平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值为 . 3 3

--------12 分

22. (本题 12 分)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为正方形, ?ABE 为等腰直角三 角形, ?BAE ? 90? ,且 AD ? AE . (1)证明:平面 AEC ? 平面 BED . (2)求直线 EC 与平面 BED 所成角的正弦值.

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【解析】 解法一: (1)由已知有 AE⊥ AB,又 AE⊥ AD, 所以 AE⊥ 平面 ABCD,所以 AE⊥ DB, 又 ABCD 为正方形,所以 DB⊥ AC, 所以 DB⊥ 平面 AEC, --------3 分 而 BD ? 平面 BED 故有平面 AEC⊥ 平面 BED. --------5 分 (2) 设 AC 与 BD 交点为 O, 所以 OE 为两平面 AEC 和 BED 的交线. 过 C 作平面 BED 的垂线,其垂足必在直线 EO 上, 即∠ OEC 为 EC 与平面 BED 所成的角. --------8 分 设正方形边长为 2 a ,则 OA= 2a ,AE=2 a , 所以 OE= 6a ,EC= 2 3a ,

D O

C

A E 图1

B

所以在三角形 OEC 中,由余弦定理得 cos∠ OEC= 分 故所求为 sin∠ OEC=

2 2 , 3

---11 z

1 3

D --------12 分

C

解法二:以 A 为原点,AE、AB、AD 分别为 x,y,z 轴建立空间直 角坐标系. --------1 分 (1)设正方形边长为 2,则 E(2,0,0),B(0,2,0),C(0,2,2),D(0,0,2)

A E x 图2

B

y

AC ? (0,2,2), BD =(0,-2,2), AE =(2,0,0), ED =(-2,0,2),
从而有 BD ? AC ? 0 , BD ? AE ? 0 , 即 BD⊥ AC,BD⊥ AE, 故平面 BED⊥ 平面 AEC. --------3 分

所以 BD⊥ 平面 AEC, --------5 分

(2)设平面 BED 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , 由?

? ?n ? ED ? 0 ? ?n ? BD ? 0

,得 ?

?z ? x ,故取 n ? (1,1,1) ?y ? z

--------9 分

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而 EC =(-2,2,2),所以 cos ? n, EC ??

n ? EC | n || EC |

?

1 3

-------11 分

设直线 EC 与平面 BED 所成的角为 ? , 则有 sin ? ?| cos ? n, EC ?|?

| n ? EC | 1 ? | n || EC | 3

--------12 分


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