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【高考一本解决方案】2017版高考数学理科新课标版考题训练:专题二十一 数系的扩充与复数的引入.doc




1.(2016· 山东,1,易)若复数 z 满足 2z+z =3-2i,其中 i 为虚数单位,则 z=( A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i 1.B

)

[考向 1]设 z=a+bi,则 2(a+bi)+a-bi=3-2i,即 3a+bi=3-2i,所以 a=1,b=

/>-2,所以 z=1-2i. 2.(2016· 课标Ⅱ,1,易)已知 z=(m+3)+(m-1)i 在复平面内对应的点在第四象限,则实 数 m 的取值范围是( A.(-3,1) C.(1,+∞) 2.A ) B.(-1,3) D.(-∞,-3)

?m+3>0, ? [考向 2]由题意知,? 解得-3<m<1. ?m-1<0, ?

4i 3.(2016· 课标Ⅲ,2,易)若 z=1+2i,则 - =( z·z -1 A.1 B.-1 C.i D.-i

)

- 4i 4i 3.C [考向 1]z· z =(1+2i)(1-2i)=1+4=5,∴ - = =i. 4 z·z -1

4.(2015· 北京,1,易)复数 i(2-i)=(

)

A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i 4.A [考向 1]i(2-i)=2i-i2=1+2i.


z 5.(2015· 山东,2,易)若复数 z 满足 =i.其中 i 为虚数单位,则 z=( 1-i A.1-i C.-1-i B.1+i D.-1+i


)

5.A

- z [考向 1]∵ =i,∴z =i(1-i)=1+i,∴z=1-i.故选 A. 1-i



6.(2015· 广东,2,易)若复数 z=i(3-2i)(i 是虚数单位),则z =( A.2-3i B.2+3i C.3+2i D.3-2i 6.A [考向 1] ∵z=3i-2i2=2+3i,∴z =2-3i. )


)

7.(2014· 重庆,1,易)复平面内表示复数 i(1-2i)的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.A

[考向 2]i(1-2i)=i-2i2=2+i,对应复平面上的点为(2,1),在第一象限. )

(1+i)3 8.(2014· 课标Ⅰ,2,易) =( (1-i)2 A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 8.D

(1+i)3 (1+i)· 2i [考向 1] =-1-i,故选 D. 2= (1-i) -2i
- - -

9.(2014· 江西,1,易)z 是 z 的共轭复数,若 z+z =2,(z-z )i=2(i 为虚数单位),则 z 等于 ( )

A.1+i B.-1-i C.-1+i D.1-i
- -

9.D


[考向 1]方法一:设 z=a+bi,a,b 为实数,则z =a-bi.∵z+z =2a=2,∴a=1.又

(z-z )i=2bi2=-2b=2,∴b=-1.故 z=1-i.

- - 2 方法二:∵(z-z )i=2,∴z- z = =-2i. i - - -

又 z+z =2,∴(z-z )+(z+ z )=-2i+2,∴2z=-2i+2,∴z=1-i. 10.(2013· 课标Ⅰ,2,易)若复数 z 满足(3-4i)z=|4+3i|,则 z 的虚部为( 4 A.-4 B.- 5 4 C.4 D. 5 10.D |4+3i| 42+32 5(3+4i) 3 4 [考向 1,2]∵(3-4i)z=|4+3i|,∴z= = = = + i.∴z 的 25 5 5 3-4i 3-4i )

4 虚部为 . 5 11.(2013· 陕西,6,中)设 z1,z2 是复数,则下列命题中的假命题是(
- -

)

A.若|z1-z2|=0,则z 1= z 2
- -

B.若 z1=z 2,则z 1=z2
- -

C.若|z1|=|z2|,则 z1· z 1=z2· z 2
2 D.若|z1|=|z2|,则 z1 =z2 2

11.D [考向 1,2]设 z1=a+bi,z2=c+di.若|z1-z2|=0,则 z1-z2=(a-c)+(b-d)i=0,a
- - - -

=c,b=d,所以z 1= z 2,故 A 项正确;若 z1=z 2,则 a=c,b=-d,所以z 1=z2,故 B 项
2 2 正确;若|z1|=|z2|,则 a2+b2=c2+d2,所以 z1· z 1=z2· z 2,故 C 项正确;z2 1=(a -b )+2abi, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z2 2=(c -d )+2cdi,在 a +b =c +d 的条件下,不能保证 a -b =c -d ,2ab=2cd,故 D
- -

项错误. a 12. (2016· 天津, 9, 易)已知 a, b∈R, i 是虚数单位, 若(1+i)· (1-bi)=a, 则 的值为________. b 12.[考向 1]【解析】 ∵(1+i)(1-bi)=a, ∴1+b+i-bi=a,
? ? ?1+b=a, ?b=1, 即? 解得? ?1-b=0, ?a=2, ? ?

a ∴ =2. b 【答案】 2 13.(2016· 北京,9,易)设 a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则 a

=________. 13.[考向 2]【解析】 因为(1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i,所以要使其在复平面内对应的点 在实轴上,则有 a+1=0,解得 a=-1. 【答案】 -1 14. (2015· 天津, 9, 易)i 是虚数单位, 若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数, 则实数 a 的值为________. 14.[考向 1]【解析】 (1-2i)(a+i)=a+(1-2a)i+2=(a+2)+(1-2a)i,
? ?a+2=0, 由题意得? ∴a=-2. ?1-2a≠0. ?

【答案】 -2

复数的概念及运算是高考的必考内容,主要以选择题、填空题的形式考查,难度为低档题, 分值一般占 5 分. 在复习中弄清复数的概念,如复数的分类、共轭复数、复数的模等是基础,掌握复数代数形 式的运算是关键. 1(1)(2015· 课标Ⅱ,2)若 a 为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则 a=( A.-1 B.0 C.1 D.2 )

(2)(2014· 山东,1)已知 a,b∈R,i 是虚数单位,若 a-i 与 2+bi 互为共轭复数,则(a+bi)2 =( )

A.5-4i B.5+4i C.3-4i D.3+4i (3)(2014· 广东,2)已知复数 z 满足(3+4i)z=25(i 为虚数单位),则 z 等于( A.-3+4i B.-3-4i C.3+4i D.3-4i 【解析】 (1)∵(2+ai)(a-2i)=4a+(a2-4)i=-4i,∴a=0. (2)∵a-i 与 2+bi 互为共轭复数,∴a+i=2+bi,∴a=2,b=1,∴(a+bi)2=(2+i)2=4+ 4i+i2=4+4i-1=3+4i. 25(3-4i) 25 (3)方法一:由(3+4i)z=25,得 z= = =3-4i. 3+4i (3+4i)(3-4i) 方法二:设 z=a+bi(a,b∈R),则(3+4i)(a+bi)=25,即 3a-4b+(4a+3b)i=25,所以 )

?3a-4b=25, ?a=3, ? ? ? 解得? 故 z=3-4i. ? ? ?4a+3b=0, ?b=-4,

【答案】 (1)B (2)D (3)D

复数相等的充要条件是将复数问题代数化的一个重要工具,题(1)通过复数的乘法运算,利 用复数相等可求出参数 a. 明确共轭复数的概念是解题(2)的关键,利用共轭复数的实部、虚部之间的关系求出 a,b 的 值,利用运算法则求解. 题(3)的方法一直接利用复数的除法求解;方法二设出 z 的表达式,利用复数的乘法及复数 相等求解. 1.(2015· 湖北,1)i 为虚数单位,i607 的共轭复数为( A.i B.-i C.1 D.-1 1.A ∵i607=i4
×151+3

)

=i3=-i,∴其共轭复数为 i.


2.(2013· 山东,1)复数 z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位),则 z 的共轭复数 z 为( A.2+i B.2-i C.5+i D.5-i 2.D
- 5(2+i) 5 z= +3= +3=5+i,故z =5-i. 5 2-i

)

- - z 3.(2014· 安徽,1)设 i 是虚数单位,z 表示复数 z 的共轭复数.若 z=1+i,则 +i·z =( i

)

A.-2 B.-2i C.2 D.2i
- - 1+i z 3.C ∵z=1+i,∴z =1-i, +i· z= +i(1-i)=-i+1+i+1=2., i i

复数相关概念与运算的技巧 (1)解决与复数的基本概念和性质有关的问题时,应注意复数和实数的区别与联系,把复数 问题实数化是解决复数问题的关键. (2)复数相等问题一般通过实部与虚部对应相等列出方程或方程组求解. (3)复数的代数运算的基本方法是运用运算法则,但可以通过对代数式结构特征的分析,灵 活运用 i 的幂的性质、运算法则来优化运算过程.

对复数的几何意义的考查,多以选择题、填空题形式考查,难度多为中低档;复数的模在高 考中考查频率较低,一般结合复数运算综合求解,以选择题或填空题的形式出现,难度为中 低档. 在复习中理清复数与复平面内的点以及复平面内以原点为起点的向量的一一对应关系, 记对 并准确应用复数的模的计算公式. 2i 2(1)(2015· 安徽,1,易)设 i 是虚数单位,则复数 在复平面内所对应的点位 1-i 于( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)(2014· 课标Ⅱ, 2)设复数 z1, z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称, z1=2+i, 则 z1z2=( A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i (3)(2015· 江苏,3)设复数 z 满足 z2=3+4i(i 是虚数单位),则 z 的模为________. 【解析】 (1+i)× 2i 2i+2i2 2i-2 2i (1) = = 2 2= =-1+i,所对应的点为(-1,1), 2 1-i (1+i)(1-i) 1 -i )

在第二象限. (2)因为 z1=2+i, 所以 z1 在复平面内对应点的坐标为(2, 1), 该点关于虚轴的对称点为(-2, 1),所以 z2=-2+i,z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-1-4=-5. (3)∵z2=3+4i,∴|z2|= 32+42=5=|z|2,∴|z|= 5. 【答案】 (1)B (2)A (3) 5

解题(1)(2)的关键是准确利用复数的运算求出复数的实部与虚部,理解复数与复平面内点的 一一对应关系;解题(3)时可先求出复数 z2 的模,再求复数 z 的模. 1+ z 1.(2015· 课标Ⅰ,1)设复数 z 满足 =i,则|z|=( 1- z A.1 B. 2 C. 3 C.2 )

1+z -1+i -(1-i)2 1.A 由 =i,得 z= = =i,∴|z|=1. 2 1-z 1+i 2.(2016· 山东济宁二模,12)已知复数 z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上 → → → 对应的点分别为 A,B,C,若OC=λOA+μOB,(λ,μ∈R),则 λ+μ 的值是________. → → → 2. 【解析】 由条件得OC=(3,-4),OA=(-1,2),OB=(1,-1), → → → 根据OC=λOA+μOB得

(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ),
?-λ+μ=3, ?λ=-1, ? ? ∴? 解得? ∴λ+μ=1. ? ? ?2λ -μ=-4, ?μ =2.

【答案】 1,

与复数几何意义、模有关的解题技巧 → (1)只要把复数 z=a+bi(a,b∈R)与向量OZ对应起来,就可以根据平面向量的知识理解复数 的模、加法、减法的几何意义,并根据这些几何意义解决问题. (2)有关模的运算要注意灵活运用模的运算性质.

1.(2016· 广东中山一模,3)已知 z=1+i,则(z )2=( A.2 B.-2 C.2i D.-2i 1.D



)

[考向 1] ∵z=1+i,∴z =1-i,(z )2=-2i,故选 D. )





a+3i 2.(2016· 浙江温州质检,1)已知复数 是纯虚数,则实数 a=( 1-2i A.-2 B.4 C.-6 D.6 2.D a+3i a-6+(2a+3)i [考向 1] = , 5 1-2i

a+3i ∵复数 为纯虚数, 1-2i ∴a=6. → → 3.(2016· 河南郑州一模,3)如图,在复平面内,复数 z1,z2 对应的向量分别是OA,OB,则 |z1+z2|=( )

A.2 B.3 C.2 2 D.3 3 3.A [考向 2]由题图可知,z1=-2-i,z2=i,则 z1+z2=-2,∴|z1+z2|=2,故选 A.

2i 4.(2016· 山东青岛调考,3)在复平面内,复数 z 和 表示的点关于虚轴对称,则复数 z= 2-i ( )

2 4 2 4 A. + i B. - i 5 5 5 5 2 4 2 4 C.- + i D.- - i 5 5 5 5 4.A 2 4? 2i 2 4 [考向 2]由 =- + i 可知复数 z 对应的点为? ?-5,5?,其关于虚轴的对称点为 5 5 2-i

?2,4?,故复数 z=2+4i,故选 A. ?5 5? 5 5
2-bi 5.(2015· 四川德阳二模,2)如果复数 (其中 i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为 1+2i 相反数,那么 b 等于( 2 A. 2 B. 3 )

2 C.- D.2 3

2-bi (2-bi)(1-2i) (2-2b) 4+b 5.C [考向 1] = = - i. 5 5 5 1+2i 2-2b 4+b 2 由 = ,得 b=- . 5 5 3
- -

6.(2016· 河北唐山一中质检,3)设 i 是虚数单位,z 是复数 z 的共轭复数.若 z· z i+2=2z, 则 z=( )

A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 6.A [考向 1]令 z=a+bi,则z =a-bi,代入 z· z i+2=2z,得:(a2+b2)i+2=2a+2bi,得
- -

a2+b2=2b 且 2a=2,解得 a=1,b=1,则 z=1+i,故选 A. 7.(2016· 陕西西安一模,2)在复平面内,复数 3-4i,i(2+i)对应的点分别是 A,B,则线段 AB 的中点 C 对应的复数为( A.-2+2i B.2-2i C.-1+i D.1-i 7.D [考向 2]∵i(2+i)=-1+2i,∴复数 3-4i,i(2+i)对应的点 A,B 的坐标分别为 A(3, -4),B(-1,2).∴线段 AB 的中点 C 的坐标为(1,-1),则线段 AB 的中点 C 对应的复数 为 1-i.故选 D. m+i 1 8.(2016· 云南曲靖质检,13)已知 m∈R,复数 - 的实部和虚部相等,则 m=________. 1+i 2 8.[考向 1]【解析】 m+i 1 (m+i)(1-i) 1 - = - 1+i 2 (1+i)(1-i) 2 )

(m+1)+(1-m)i 1 = - 2 2 m+(1-m)i = , 2

由已知得 m=1-m, 1 则 m= . 2 【答案】 1 2 4+2i -4i2 014=________. 1-2i

9.(2015· 安徽合肥模拟,11)设 i 是虚数单位,则复数(1-i)2-

(4+2i)(1+2i) 10i 9.[考向 1]【解析】 原式=-2i- +4=-2i- +4=-2i-2i+4=4 5 (1-2i)(1+2i) -4i. 【答案】 4-4i y 10.(2016· 安徽六安质检,12)已知复数 z=x+yi,且|z-2|= 3,则 的最大值为________. x 10.[考向 2]【解析】 ∵|z-2|= (x-2)2+y2= 3,∴(x-2)2+y2=3. y? 由图可知? ?x? max = 3 = 3. 1

【答案】

3

1.复数的相关概念 (1)对于复数 a+bi(a,b∈R),当且仅当 b=0 时, 是实数;当 b≠0 时,是虚数; 当 a=0 且 b≠0 时,是纯虚数. (2)复数相等:如果 a,b,c,d 都是实数,那么 a+bi=c+di? a=c 且 b=d;a+bi=0? a=0 且 b=0. (3)共轭复数:a+bi(a,b∈R)与 c+di(c,d∈R)互为共轭复数? a=c,b=-d. 2.复数的运算法则 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R). 运算法则 加法 减法 乘法 运算形式 z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i z1·z2=(a+bi)· (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

除法

z1 a+bi (a+bi)(c-di) ac+bd (bc-ad) = = = + i z2 c+di (c+di)(c-di) c2+d2 c2+d2 (c2+d2≠0)

3.常用结论 (1)i4n=1,i4n 1=i,i4n 2=-1,i4n 3=-i,n∈N*.
+ + +

(2)(1± i)2=± 2i,(a+bi)(a-bi)=a2+b2.

不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如,若 z1,z2∈C,z2 1+ z2 2=0,并不能推出 z1=z2=0. 4.复数的几何意义

(1)复数加法的几何意义:复数的加法即向量的加法,满足平行四边形法则; (2)复数减法的几何意义:复数减法即向量的减法,满足三角形法则. 5.复数的模 → 向量OZ的长度叫作复数 z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|,即|z|=|a+bi|= a2+b2. 6.模的运算性质 (1)|z|2=|z |2=z· z; (2)|z1·z2|=|z1||z2|; z1? |z1| (3)? ?z2?=|z2|.
- -


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