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排列、组合中的分组分配问题


排列、组合中的分组分配问题 在排列、组合的学习中分组分配问题经常遇到,本文谈 一谈几种常见问题。 实例:6 本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分法 (1) 分成三堆,一堆一本,一堆两本,一堆三本; (2) 平均分成三堆; (3) 分成三堆,一堆四本,另两堆各一本; (4) 分成四堆,两堆各一本,另两堆各两本; (5) 分给甲、乙、丙三个人 ,甲得一本,乙得两本,丙得 三本; (6) 分给甲、乙、丙三个人 ,一人得一本,一人得两本, 一人得三本; (7) 平均分给甲、乙、丙三个人; (8) 分给甲、乙、丙三个人 ,甲得四本,乙、丙各得一本; (9) 分给甲、乙、丙三个人 ,一人得四本,另两人各得一 本; (10) 分给甲、乙、丙、丁四个人 ,甲、乙各得一本,丙、

丁各得两本;
(11) 分给甲、乙、丙、丁四个人

,两人各得一本,另两人

各得两本;
分析: 在排列、组合中分组分配问题一般按照“先分组再分配” 的原则,但不排除其他途径。 在分组时要区分是均分还是非均分或部分均分,在分配时要区分是定向分配还是非定向分 配。 (1)非均匀分组,分步产生每一组不会造成重复:
2 3 C1 6 C5 C3

(2) 均匀分组,分步产生每一组会造成重复,应消去步骤造成的重复计数:

2 2 2 C6 C4 C2

A3 3
(3)部分均匀分组,应消去均匀分组时步骤上造成的重复计数: C 6 C 2 C1

4 1

1

A2 2
(4)同(3) :

1 2 2 C1 6 C5 C 4 C 2 2 A2 2A2

(5)非均匀定向分配,等同于非均匀分组: 1 6 (6)非均匀不定向分配,分组后再分配: 1

2 3 C C5 C3

亦可理解为甲、乙、丙依次选择。

2 3 3 C 6 C5 C3 A 3

( 7 )均匀分配,分组后再分配:

2 2 2 C6 C4C2

A3 3
择:

A3

3 亦可理解为甲、乙、丙依次选

C6 C4C2

2

2

2

(8)部分非均匀定向分配,均匀部分要分配: C 6 C 2 C1

4 1

1

A2 2
依次选择:

A2

2 亦可理解为甲、乙、丙

C 6 C 2 C1

4

1

1

(9)部分非均匀不定向分配,分组后再分配:

4 1 1 C6 C 2 C1

A2 2
(10) 同 (8) : :

A3

3

1 2 2 C1 6 C5 C 4 C 2 2 A2 2A2

1 1 2 2 2 亦可理解为甲、 乙、 丙依次选择: C C C C A2A2 6 5 4 2

2

(11)同(9)

1 2 2 C1 6 C5 C 4 C 2 2 A2 A 2 2

A4

4

小结: (1)分组时应注意消去均匀部分的重复计数。 (2)分组分配时为使思路明了,一般按照“先分组再分配”的原则。 (3)定向分配时可理解为依次选择。


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