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2-1第一节 函数及其表示(2015年高考总复习)


第一节

函数及其表示

时间:45 分钟 分值:75 分 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.下列函数中,与函数 y=x 相同的函数是( )

解析

x2 y= x =x(x≠0);

答案

C

x ? ?2 ,x>0, 2.已知函数 f(x)=? 若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值 ?x+1,x≤0. ?

等于(

) B.-1 D.3

A.-3 C.1

解析 依题意,f(a)=-f(1)=-21=-2, ∵2x>0,∴f(a)=a+1=-2,故 a=-3,所以选 A. 答案 A
? ?

1-x2 ?1? 3.若 g(x)=1-2x,f[g(x)]= x2 (x≠0),则 f?2?等于( A.1 C.15 1 1 解析 令 1-2x=2,∴x=4,
1

)

B.3 D.30

?1? f?2?= ? ?

?1? 1-?4?2

? ? =15. ?1?2 ? ? ?4?

答案

C

4.(2014· 安徽名校联考)若函数 f(x)=
? ?log4x ?x>0?, ? ? 1 ?? ? x 则 f?f?16??=( ? ? ?? ?3 ?x≤0?, ?

) 1 B.9 1 D.-9

A.9 C.-9
?1? 1 解析 ∵f?16?=log416=-2, ? ? ? ? 1 ?? 1 ∴f?f?16??=f(-2)=3-2=9,选 B. ?? ??

答案

B

5.(2014· 太原市测评)已知 1 -1)<2,则 m 的取值范围是( 1 A.m>2 1 C.0≤m<2

? 1 ,-1≤x≤0, f(x)=?x+2 ?x2-2x,0<x≤1,
) 1 B.m<2 1 D.2<m≤1

若 f(2m

解析

?-1≤2m-1≤0, 由题得? 1 1 <2, ?2m+1



2

?0<2m-1≤1, ? 1 2 ? 2 m - 1 ? - 2 ? 2 m - 1 ? < ? 2,
答案 D

1 解得2<m≤1,选 D.

6.(2013· 陕西卷)设[x]表示不大于 x 的最大整数,则对任意实数 x,y,有( )

A.[-x]=-[x] B.[2x]=2[x] C.[x+y]≤[x]+[y] D.[x-y]≤[x]-[y] 解析 令 x=1.5,而[-x]=-2,-[x]=-1,故 A 项错.[2x] =3,2[x]=2,则 B 项错.令 x=1.8,y=1.9,则[x+y]=[3.7]=3,而 [x]=1,[y]=1,[x+y]>[x]+[y],故 C 项错,从而选 D. 答案 D

二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.已知 f(2x+1)=3x-2,且 f(a)=4,则 a 的值是________. t-1 3t-3 3 解析 令 2x+1=t,则 x= 2 ,∴f(t)= 2 -2,即 f(x)=2x 7 3 7 -2,又2a-2=4,∴a=5. 答案 5
?1? 8.设函数 f(x)=f?x ?lgx+1,则 f(10)的值为__________. ? ?

1 解析 分别令 x=10,10,

3

?1? ? ?+1, ?f?10?=f? ?10? 得? ?1? ?=-f?10?+1, ? f ?? ?10?

两式相加,得 f(10)=1.

答案 1 9.(2014· 天津一中模拟)已知?x∈R,f(1+x)=f(1-x),当 x≥1 时,f(x)=ln(x+1),则当 x<1 时,f(x)=________. 解析 由 f(1+x)=f(1-x),可知函数关于 x=1 对称当 x<1 时,2 -x>1,∴f(x)=f(2-x)=ln[(2-x)+1]=ln(3-x). 答案 ln(3-x) 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分) 10.下图是一个电子元件在处理数据时的流程图:

(1)试确定 y 与 x 的函数关系式; (2)求 f(-3),f(1)的值; (3)若 f(x)=16,求 x 的值. 解
2 ? ??x+2? ,x≥1, (1)y=? 2 ? ?x +2,x<1.

(2)f(-3)=(-3)2+2=11;f(1)=(1+2)2=9. (3)若 x≥1,则(x+2)2=16. 解得 x=2 或 x=-6(舍去); 若 x<1,则 x2+2=16. 解得 x= 14(舍去)或 x=- 14.

4

综上,可得 x=2 或 x=- 14. 11.函数 f(x)对一切实数 x,y 均有 f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 成 立,且 f(1)=0. (1)求 f(0)的值; (2)求 f(x)的解析式. 解 (1)由已知 f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x.

令 x=1,y=0,得 f(1)-f(0)=2. 又∵f(1)=0,∴f(0)=-2. (2)令 y=0,得 f(x)-f(0)=(x+1)x. ∴f(x)=x2+x-2.
?x-1,x>0, ? 12.已知 f(x)=x2-1,g(x)=? ? ?2-x,x<0.

(1)求 f[g(2)]和 g[f(2)]的值; (2)求 f[g(x)]和 g[f(x)]的表达式. 解 (1)由已知,g(2)=1,f(2)=3,

∴f[g(2)]=f(1)=0,g[f(2)]=g(3)=2. (2)当 x>0 时,g(x)=x-1, 故 f[g(x)]=(x-1)2-1=x2-2x; 当 x<0 时,g(x)=2-x, 故 f[g(x)]=(2-x)2-1=x2-4x+3;
?x2-2x, x>0, ? ∴f[g(x)]=? 2 ? ?x -4x+3, x<0.

当 x>1 或 x<-1 时,f(x)>0, 故 g[f(x)]=f(x)-1=x2-2; 当-1<x<1 时,f(x)<0,

5

故 g[f(x)]=2-f(x)=3-x2.
2 ? ?x -2,x>1或x<-1, ∴g[f(x)]=? 2 ?3-x ,-1<x<1. ?

6


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