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2010届高三一轮复习学案03 第三编 导数及其应用(共36页)


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第三编 导数及其应用

§3.1

导数的概念及运算

基础自测
1.在曲线 y=x +1 的图象上取一点(1,2)及附近一点(1+Δx,2+Δy) ,则 答案 Δx+2 2.已知 f(x)=sinx(co

sx+1),则 f′(x)= 答案 cos2x+cosx 3.若函数 y=f(x)在 R 上可导且满足不等式 xf′(x)>-f(x)恒成立,且常数 a,b 满足 a>b,则下列不等式不一 定成立的是 ①af(b)>bf(a) ③af(a)<bf(b) 答案 ①③④
π 2 4.(2008辽宁理,6)设 P 为曲线 C:y=x +2x+3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围是 0, , (2008辽宁理, 4
2

y 为 x

.

.

(填序号). ②af(a)>bf(b) ④af(b)<bf(a)

则点 P 横坐标的取值范围为 答案
1 1, 2
ax

.

5.(2008全国Ⅱ理,14)设曲线 y=e 在点(0,1)处的切线与直线 x+2y+1=0 垂直,则 a= (2008全国Ⅱ (2008 14) 答案 2

.

例 1 求函数 y= x 2 + 1 在 x0 到 x0+Δx 之间的平均变化率.
2 解 ∵Δy= ( x 0 + x) 2 + 1 x 0 + 1
2 ( x 0 + x ) 2 + 1 x 0 1 2 ( x 0 + x ) 2 + 1 + x 0 + 1

=

=

2 x 0 x + (x) 2
2 ( x 0 + x) 2 + 1 + x 0 + 1

,

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2 x 0 + x y = . x 2 ( x 0 + x ) 2 + 1 + x 0 + 1

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例 2 求下列各函数的导数: (1)y=

x + x 5 + sin x x2

;

(2)y=(x+1) (x+2) (x+3) ; (3)y=-sin (4)y=
1 1 x

x 2 x (1-2cos ); 2 4 +
1 1+ x
1

.

解 (1)∵y=
3 2

x 2 + x 5 + sin x x2
3 -2

=x



3 2

+x +

3

sin x x2

,

∴y′=(x
5



)′+(x )′+(x sinx)′

=-

3 2 2 -3 -2 x +3x -2x sinx+x cosx. 2
2 3 2

(2)方法一 y=(x +3x+2) 方法一 (x+3) =x +6x +11x+6, ∴y′=3x +12x+11. 方法二 y′=[ (x+1) (x+2) ]′(x+3)+(x+1) (x+2) (x+3)′ =[ (x+1)′(x+2)+(x+1) (x+2)′] (x+3)+(x+1) (x+2) =(x+2+x+1) (x+3)+(x+1) (x+2) =(2x+3) (x+3)+(x+1) (x+2) =3x +12x+11. (3)∵y=-sin ∴y′=( (4)y=
x x 1 (-cos )= sinx, 2 2 2
2 2

1 1 1 sinx) ′= (sinx)′= cosx. 2 2 2 1

1 x

+

1 1+ x

=

1+ x +1 x (1 x )(1 + x )

=

2 , 1 x

∴y′=(

2(1 x) ′ 2 2 )′= = . 2 1 x (1 x) (1 x) 2

例 3 求下列函数的导数: (1)y=
1 (1 3 x) 4
2

;

(2)y=sin (2x+

π
3

);

(3)y=x 1 + x 2 . 解 (1)设 u=1-3x,y=u .
-4

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则 y x′=y u′ux′=-4u (-3)=
-5

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12 (1 3 x) 5

.

(2)设 y=u ,u=sinv,v =2x+

2

π
3

,

则 y x′=y u′u v′v x′=2ucosv2

π π =4sin 2 x + cos 2 x + 3 3
2π =2sin 4 x + . 3 (3)y′=(x 1 + x 2 )′ ( =x′ 1 + x 2 +x 1 + x 2 )′ x2 1 + x2 1 + 2x2 1 + x2 1 3 4 x+ . 3 3

= 1+ x2 +

=

.

例 4 (14 分)已知曲线 y=

(1)求曲线在 x=2 处的切线方程; (2)求曲线过点(2,4)的切线方程. 解 (1)∵y′=x , ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k=y′|x=2=4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2), 即 4x-y-4=0. (2)设曲线 y= A(x0, 1 3 4 x + 与过点 P(2,4)的切线相切于点 3 3 6分 3分
2

1 3 4 x0 + ),则切线的斜率 3 3
2

k=y′| x= x =x0 .
0

8分 1 3 4 2 x0 + )=x0 (x-x0), 3 3 10 分
2

∴切线方程为 y-( 即 y=x0 x2

2 3 4 x0 + . 3 3 2 3 4 x0 + , 3 3

∵点 P(2,4)在切线上,∴4=2x0 即 x0 -3x0 +4=0,∴x0 +x0 -4x0 +4=0, ∴x0 (x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,
2 3 2 3 2 2

∴(x0+1)(x0-2) =0,解得 x0=-1 或 x0=2, 故所求的切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0. 14 分

2

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1.求 y= x 在 x=x0 处的导数. 解
y = x

x0 + x x0 x

=

( x0 + x x0 )( x0 + x + x0 ) x( x0 + x + x0 )

=

1 x0 + x + x0

,

当Δx 无限趋近于 0 时,

1 x0 + x + x0
∴f′(x0)=

无限趋近于 .

1 2 x0

,

1 2 x0

2.求 y=tanx 的导数. ′ sin x (sin x)′ cos x sin x (cos x)′ 解 y′= = cos x cos 2 x =
cos 2 x + sin 2 x cos 2 x

=

1 cos 2 x

.

(0< < π ).若 f(x)+f′(x)是奇函数,则 = 3.设函数 f(x)=cos( 3 x+ ) 答案

.

π
6
3 2

4.若直线 y=kx 与曲线 y=x -3x +2x 相切,则 k= 答案 2 或1 4

.

一,填空题 1.若 f′(x0)=2,则当 k 无限趋近于 0 时
答案 -1 2.(2008全国Ⅰ理,7)设曲线 y= (2008全国Ⅰ 答案 -2 3.若点 P 在曲线 y=x -3x +(3- 3 )x+ 是 答案 .
3 2

f ( x0 k) f ( x0 ) = 2k

.

x +1 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a= x 1

.

3 上移动,经过点 P 的切线的倾斜角为 α ,则角 α 的取值范围 4

π 2π 0, 2 ∪ 3 , π
3 2

4.曲线 y=x -2x -4x+2 在点(1,-3)处的切线方程是

.

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答案 5x+y-2=0
4

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5. 2009 (2009 徐州六县一区联考) 若曲线 f(x)=x -x 在点 P 处的切线平行于直线 3x-y=0,则点 P 的坐标为 徐州六县一区联考) 答案 (1,0) ,则过点 P 可向 S 引切线,其切线共有 6.已知曲线 S:y=3x-x 及点 P(2,2) 答案 3 7.曲线 y=
1 2 和 y=x 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形面积是 x
3

.

条.

.

答案

3 4 .

8.若函数 f(x)的导函数为 f′(x)=-x(x+1),则函数 g(x)=f(logax)(0<a<1)的单调递减区间是 答案 1 1, a

二,解答题 9.求下列函数在 x=x0 处的导数. (1)f(x)=cosxsin x+cos x,x0= ex 1 x + ex 1+ x
2 3

π
3

;

(2)f(x)=

,x0=2;

(3)f(x)=

x x 3 + x 2 ln x x2

,x0=1.
2 2

解 (1)∵f′(x)=[cosx(sin x+cos x)]′ =(cosx)′=-sinx, ∴f′(

π
3

)=-

3 . 2


2ex (2)∵f′(x)= 1 x =

(2 e x )′(1 x) 2 e x (1 x)′ (1 x ) 2
2( 2 x) e x (1 x) 2

=

,∴f′(2)=0.
3 2

(3)∵f′(x)=(x ∴f′(1)=3 . 2

3 1 )′-x′+(lnx)′=- x 2 -1+ , 2 x

5

10.求曲线 y=ln(2x-1)上的点到直线 2x-y+3=0 的最短距离.
1 (2 x 1)′ 解 设曲线上过点 P(x0,y0)的切线平行于直线 2x-y+3=0,即斜率是 2,则 y′| x= x0 = 2x 1 x= x0

=

2 2 | x= x0 = =2. 2x 1 2 x0 1 |20+3| 2 2 + (1) 2

解得 x0=1,所以 y0=0,即点 P(1,0) , 点 P 到直线 2x-y+3=0 的距离为
= 5,

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∴曲线 y=ln(2x-1)上的点到直线 2x-y+3=0 的最短距离是 5 . 11.(2008海南,宁夏,21, 1) 3)问)设函数 f(x)=ax+ (2008海南,宁夏,21, (3 (1 ( ( 处的切线方程为 y=3. (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积为定值,并求出此定值. (1)解 f′(x)=a解
1 ( x + b) 2
1 (a,b∈Z) ) Z ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2) x+b

,

1 2a + 2 + b = 3, 于是 1 a = 0. ( 2 + b) 2 9 a = 4 , a = 1 或 解得 b = 1 b = 8 3 因为 a,b∈Z,故 f(x)=x+ Z 1 . x 1 1 ), x0 1

(2)证明 在曲线上任取一点(x0,x0+ 证明 由 f′(x0)=11 ( x0 1) 2

知,过此点的切线方程为

y-

2 x0 x0 + 1 1 = 1 (x-x0). 2 x0 1 ( x0 1)

令 x=1,得 y=

x0 + 1 , x0 1

x +1 切线与直线 x=1 的交点为 1, 0 x 1 ; 0 令 y=x,得 y=2x0-1, 切线与直线 y=x 的交点为(2x0-1,2x0-1); 直线 x=1 与直线 y=x 的交点为(1,1), 从而所围三角形的面积为 1 x0 + 1 1 2 1 |2x0-1-1|= |2x0-2|=2. 2 x0 1 2 x0 1 所以,所围三角形的面积为定值 2. 12.偶函数 f(x)=ax +bx +cx +dx+e 的图象过点 P(0,1) ,且在 x=1 处的切线方程为 y=x-2,求 y=f(x)的 解析式. ,∴e=1. 解 ∵f(x)的图象过点 P(0,1) 又∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x). 故 ax +bx +cx +dx+e=ax -bx +cx -dx+e. ∴b=0,d=0. ∴f(x)=ax +cx +1.
4 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2





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∵函数 f(x)在 x=1 处的切线方程为 y=x-2, ∴可得切点为(1,-1). ∴a+c+1=-1. ∵f′(1)=(4ax +2cx)|x=1=4a+2c, ∴4a+2c=1. 由③④得 a=
5 9 ,c=- . 2 2 5 4 9 2 x - x +1. 2 2
3

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③ ④

∴函数 y=f(x)的解析式为 f(x)=

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§3.2

导数的应用

基础自测
1.函数 y=f(x)的图象过原点且它的导函数 g=f′(x)的图象是如图所示的一条直线, 则 y=f(x)图象的顶点在第 答案 一 2.已知对任意实数 x,有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且 x>0 时, f′(x)>0,g′(x)>0, 则 x<0 时,f′(x) 答案 > <
ax

象限.

0,g′(x)

0.(用">", "=","<"填空) .

3.(2008广东理,7)设 a∈R,若函数 y=e +3x,x∈R 有大于零的极值点,则 a 的取值范围是 (2008广东理, R R 答案 a<-3 4.函数 y=3x -2lnx 的单调增区间为 答案 3 ,+∞ 3 0, 3 3
3 2

,单调减区间为

.

5.(2008江苏,14)f(x)=ax -3x+1 对于 x∈[-1,1]总有 f(x)≥0 成立,则 a= (2008江苏,14) 答案 4

.

例 1 已知 f(x)=e -ax-1. (1)求 f(x)的单调增区间; (2)若 f(x)在定义域 R 内单调递增,求 a 的取值范围; (3)是否存在 a,使 f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增?若存在,求出 a 的值;若 不存在,说明理由. 解 f′(x)= e -a. (1)若 a≤0,f′(x)= e -a≥0 恒成立,即 f(x)在 R 上递增. 若 a>0, e -a≥0,∴e ≥a,x≥lna. ∴f(x)的递增区间为(lna,+∞). (2)∵f(x)在 R 内单调递增,∴f′(x)≥0 在 R 上恒成立. ∴e -a≥0,即 a≤e 在 R 上恒成立. ∴a≤(e )min,又∵e >0,∴a≤0. (3)方法一 由题意知 e -a≤0 在(-∞,0]上恒成立. 方法一 ∴a≥e 在(-∞,0]上恒成立. ∵e 在(-∞,0]上为增函数. ∴x=0 时,e 最大为 1.∴a≥1. 同理可知 e -a≥0 在[0,+∞)上恒成立. ∴a≤e 在[0,+∞)上恒成立.
x x x x x x x x x x x x x x

x

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∴a≤1,∴a=1. 方法二 由题意知,x=0 为 f(x)的极小值点. ∴f′(0)=0,即 e -a=0,∴a=1.
0

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例 2 已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,曲线 y=f(x)在点 x=1 处的切线为 l:3x-y+1=0,若 x= 值. (1)求 a,b,c 的值; (2)求 y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值. 解 (1)由 f(x)=x +ax +bx+c, 得 f′(x)=3x +2ax+b, 当 x=1 时,切线 l 的斜率为 3,可得 2a+b=0 当 x=
2 2 时,y=f(x)有极值,则 f′( )=0, 3 3
2 3 2

3

2

2 时,y=f(x)有极 3



可得 4a+3b+4=0 由①②解得 a=2,b=-4. 由于切点的横坐标为 x=1,∴f(1)=4. ∴1+a+b+c=4.∴c=5. (2)由(1)可得 f(x)=x +2x -4x+5, ∴f′(x)=3x +4x-4, 令 f′(x)=0,得 x=-2,x=
2 . 3
2 3 2



当 x 变化时,y,y′的取值及变化如下表: x
y′

-3

(-3,-2)

-2

(-2,

2 ) 3

2 3

(

2 ,1) 3

1

+ 单调增

0

单调递减

0
95 27

+ 单调递增

y

8



13
95 27

4

∴ y=f(x)在[-3,1]上的最大值为 13,最小值为
2 -ax

例 3 (14 分)已知函数 f(x)=x e (a>0),求函数在[1,2]上的最大值. 解 ∵f(x)=x e (a>0), ∴f′(x)=2xe +x (-a)e =e (-ax +2x). 令 f′(x)>0,即 e (-ax +2x)>0,得 0<x<
2 ∴f(x)在(-∞,0), ,+∞ 上是减函数, a 2 在 0, 上是增函数. a
-ax 2 -ax 2 -ax -ax 2 2 -ax

3分
2 . a

①当 0<

2 <1,即 a>2 时,f(x)在(1,2)上是减函数, a
-a

∴f(x)max=f(1)=e . ②当 1≤
2 ≤2,即 1≤a≤2 时, a

8分

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2 2 )上是增函数,在( ,2)上是减函数, a a 2 -2 -2 )=4a e . a

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f(x)在(1, ∴f(x)max=f( ③当

12 分

2 >2 时,即 0<a<1 时,f(x)在(1,2)上是增函数, a
-2a -2a

∴f(x)max=f(2)=4e . 综上所述,当 0<a<1 时,f(x)的最大值为 4e , 当 1≤a≤2 时,f(x)的最大值为 4a e , 当 a>2 时,f(x)的最大值为 e .
2 -a -2 -2

14 分

例 4 某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交 a 元(3≤a≤5)的 管理费,预计当每件产品的售价为 x 元(9≤x≤11)时,一年的销售量为(12-x) 万件. (1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 Q(a). 解 (1)分公司一年的利润 L(万元)与售价 x 的函数关系式为:L=(x-3-a)(12-x) ,x∈[9,11]. (2)L′(x)=(12-x) -2(x-3-a)(12-x) =(12-x)(18+2a-3x). 令 L′=0 得 x=6+
2 a 或 x=12(不合题意,舍去). 3 2 28 a≤ . 3 3
2 2

∵3≤a≤5,∴8≤6+ 在 x=6+

2 a 两侧 L′的值由正变负. 3 2 9 a<9 即 3≤a< 时, 3 2
2

所以①当 8≤6+

Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9) =9(6-a). ②当 9≤6+ Lmax=L(6+ =4(32 28 9 a≤ 即 ≤a≤5 时, 3 3 2

2 2 2 2 a)=(6+ a-3-a)[12-(6+ a)] 3 3 3

1 3 a) . 3

9(6 a ), 所以 Q(a)= 4(3 1 a ) 3 , 3 答 若 3≤a<

3≤a<

9 , 2

9 ≤ a ≤ 5. 2

9 ,则当每件售价为 9 元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值 Q(a)=9(6-a)(万元) ;若 2

9 2 1 3 ≤a≤5,则当每件售价为(6+ a)元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值 Q(a)=4(3- a) (万元). 3 3 2

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1.已知函数 f(x)=x -ax-1. (1)若 f(x)在实数集 R 上单调递增,求实数 a 的取值范围;
3

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(2)是否存在实数 a,使 f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由; (3)证明:f(x)=x -ax-1 的图象不可能总在直线 y=a 的上方. (1)解 由已知 f′(x)=3x -a, 解 ∵f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数, ∴f′(x)=3x -a≥0 在(-∞,+∞)上恒成立, 即 a≤3x 对 x∈R 恒成立. R ∵3x ≥0,∴只需 a≤0, 又 a=0 时,f′(x)=3x ≥0, 故 f(x)=x -1 在 R 上是增函数,则 a≤0. (2)解 由 f′(x)=3x -a≤0 在(-1,1)上恒成立, 解 得 a≥3x ,x∈(-1,1)恒成立. ∵-1<x<1,∴3x <3,∴只需 a≥3. 当 a=3 时,f′(x)=3(x -1), 在 x∈(-1,1)上,f′(x)<0, 即 f(x)在(-1,1)上为减函数,∴a≥3. 故存在实数 a≥3,使 f(x)在(-1,1)上单调递减. (3)证明 ∵f(-1)=a-2<a, 证明 ∴f(x)的图象不可能总在直线 y=a 的上方. 2.求函数 y=x -2x +5 在区间[-2,2]上的最大值与最小值. 解 先求导数,得 y′=4x -4x 令 y′=0,即 4x -4x=0. 解得 x1=-1,x2=0,x3=1. 导数 y′的正负以及 f(-2),f(2)如下表:
3 3 4 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3

x
y′

-2

(-2,-1)

-1

(-1,0)

0

(0,1)

1

(1,2)

2

-

0

+

0

-

0

+

y

13

4

5

4

13

从上表知,当 x=±2 时,函数有最大值 13, 当 x=±1 时,函数有最小值 4. 3.(2008山东理,21)已知函数 f(x)= (2008山东理,21) (1)当 n=2 时,求函数 f(x)的极值; (2)当 a=1 时,证明:对任意的正整数 n,当 x≥2 时,有 f(x)≤x-1. (1)解 由已知得函数 f(x)的定义域为{x|x>1}, 解 当 n=2 时,f(x)=
1 (1 x) 2 1 (1 x) n

+aln(x-1),其中 n∈N ,a 为常数. N

*

+aln(x-1),

所以 f′(x)=

2 a (1 x) 2 (1 x) 3

.

①当 a>0 时,由 f′(x)=0,得

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2 2 >1,x2=1<1, a a
a ( x x1 )( x x 2 ) (1 x ) 3

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x1=1+

此时 f′(x)=

.

当 x∈(1,x1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x∈(x1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增. ②当 a≤0 时,f′(x)<0 恒成立,所以 f(x)无极值. 综上所述,n=2 时, 当 a>0 时,f(x)在 x=1+ 极小值为 f(1+

2 处取得极小值, a

2 a 2 )= (1+ln ). 2 a a

当 a≤0 时,f(x)无极值. (2)证明 方法一 因为 a=1, 证明 所以 f(x)=
1 (1 x) n

+ln(x-1).

当 n 为偶数时, 令 g(x)=x-1则 g′(x)=1+ =
1 (1 x) n 1 ( x 1)
n +1

-ln(x-1), 1 x 1

x2 n + >0 (x≥2). x 1 ( x 1) n+1

所以,当 x∈[2,+∞)时,g(x)单调递增,又 g(2)=0, 因此,g(x)=x-11 ( x 1) n

-ln(x-1)≥g(2)=0 恒成立,

所以 f(x)≤x-1 成立. 当 n 为奇数时,要证 f(x)≤x-1,由于 所以只需证 ln(x-1)≤x-1, 令 h(x)=x-1-ln(x-1), 则 h′(x)=11 x2 = ≥0(x≥2), x 1 x 1 1 (1 x) n

<0,

所以,当 x∈[2,+∞)时,h(x)=x-1-ln(x-1)单调递增, 又 h(2)=1>0,所以当 x≥2 时,恒有 h(x)>0, 即 ln(x-1)<x-1 命题成立. 综上所述,结论成立. 方法二 当 a=1 时,f(x)=
1 (1 x) n

+ln(x-1).
1 (1 x) n

当 x≥2 时,对任意的正整数 n,恒有 故只需证明 1+ln(x-1)≤x-1. 令 h(x)=x-1-(1+ln(x-1)) =x-2-ln(x-1),x∈[2,+∞).

≤1,

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1 x2 = , x 1 x 1

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则 h′(x)=1-

当 x≥2 时,h′(x)≥0,故 h(x)在[2,+∞)上单调递增, 因此,当 x≥2 时,h(x)≥h(2)=0, 即 1+ln(x-1)≤x-1 成立. 故当 x≥2 时,有 即 f(x)≤x-1. ,成本 4.某造船公司年造船量是 20 艘,已知造船 x 艘的产值函数为 R(x)=3 700x+45x -10x (单位:万元) 函数为 C(x)=460x+5 000(单位:万元) ,又在经济学中,函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为 Mf(x) =f(x+1)-f(x). (1)求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x)(提示:利润=产值-成本) ; (2)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大? (3)求边际利润函数 MP(x)的单调递减区间,并说明单调递减在本题中的实际意义是什么? 解 (1)P(x)=R(x)-C(x)=-10x +45x +3 240x-5 000(x∈N ,且 1≤x≤20); N MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x +60x+3 275 (x∈N ,且 1≤x≤19). N (2)P′(x)=-30x +90x+3 240=-30(x-12)(x+9), ∵x>0,∴P′(x)=0 时,x=12, ∴当 0<x<12 时,P′(x)>0,当 x>12 时,P′(x)<0, ∴x=12 时,P(x)有最大值. 即年造船量安排 12 艘时,可使公司造船的年利润最大. (3)MP(x)=-30x +60x+3 275=-30(x-1) +3 305. 所以,当 x≥1 时,MP(x)单调递减, 所以单调减区间为[1,19] ,且 x∈N . N MP(x)是减函数的实际意义是:随着产量的增加,每艘利润与前一艘比较,利润在减少.
* 2 2 2 2 * 3 2 * 2 3

1 (1 x) n

+ln(x-1)≤x-1.

一,填空题 1.已知 f(x)的定义域为 R,f(x)的导函数 f′(x)的图象如图所示,则下列说法中错误的有 序号). ①f(x)在 x=1 处取得极小值 ②f(x)在 x=1 处取得极大值 ③f(x)是 R 上的增函数 ④f(x)是(-∞,1)上的减函数, (1,+∞)上的增函数 答案 ①②④ 2.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如 f(x)在开区间(a,b)内极小值点有 答案 1 个. 图所示,则函数 (填

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f ( x) 在区间(1,+∞)上一定是 x

3.函数 f(x)=x -2ax+a 在区间(-∞,1)上有最小值,则函数 g(x)= 数.(用"增""减"填空) , 答案 增

2



4.用边长为 48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后 把四边折起,就能焊接成铁盒,所做的铁盒容积最大时,在四角截去的正方形的边长为 答案 8 5.已知 f(x)=2x -6x +a (a 是常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么在[-2,2]上 f(x)的最小值是 答案 -37 6.已知函数 f(x)= 答案 m≥
3 2
3 3 2

cm. .

1 4 3 x -2x +3m,x∈R,若 f(x)+9≥0 恒成立,则实数 m 的取值范围是 R 2

.

7.已知函数 f(x)=x -12x+8 在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为 M,m,则 M-m= 答案 32

. .

8.已知函数 f(x)的导数 f′(x)=a(x+1)(x-a),若 f(x)在 x=a 处取到极大值,则 a 的取值范围是 答案 (-1,0) 二,解答题 9.设 a>0,函数 f(x)=

ax + b x2 +1

,b 为常数.

(1)证明:函数 f(x)的极大值点和极小值点各有一个; (2)若函数 f(x)的极大值为 1,极小值为-1,试求 a 的值. (1)证明 f′(x)= 证明
2

ax 2 2bx + a ( x 2 + 1) 2

, (*)

令 f′(x)=0,得 ax +2bx-a=0 ∵Δ=4b +4a >0, ∴方程(*)有两个不相等的实根,记为 x1,x2(x1<x2), 则 f′(x)=
a ( x x1 )( x x 2 ) ( x 2 + 1) 2
2 2

,

当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表:

x
f ′(x)

(-∞,x1)

x1

(x1 ,x2)

x2

(x2 ,+ ∞)

-

0

+

0

-

f (x)

极小植

极大值

可见,f(x)的极大值点和极小值点各有一个.

ax1 + b = 1 f ( x1 ) = 2 x1 + 1 (2)解 由(1)得 解 f ( x ) = ax 2 + b = 1 2 2 x2 + 1

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2 ax1 + b = x1 1 即 2 ax 2 + b = x 2 + 1

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① ②

2 两式相加,得 a(x1+x2)+2b=x 2 -x 1 . 2

∵x1+x2=-

2b 2 ,∴x 2 -x 1 =0, 2 a

即(x2+x1)(x2-x1)=0, 又 x1<x2,∴x1+x2=0,从而 b=0, ∴a(x -1)=0,得 x1=-1,x2=1, 由②得 a=2. 10.(2009徐州模拟)已知函数 f(x)= (2009徐州模拟) (1)求 f(x)的值域; (2) a≠0,函数 g(x)= 设 求实数 a 的取值范围. 解 (1)方法一 对函数 f(x)求导,f′(x)= 方法一 令 f′(x)=0,得 x=1 或 x=-1. 当 x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)在(0,1)上单调递增; 当 x∈(1,2)时,f′(x)<0,f(x)在(1,2)上单调递减.又 f(0)=0,f(1)=
2 ∴当 x∈[0,2]时,f(x)的值域是 0, . 3
1 3 2 ax -a x,x∈ [0, .若对任意 x1∈ 2] [0, , 2] 总存在 x2∈ [0, , f(x1)-g(x2)=0. 2] 使 3
2

4x 3x 2 + 3

,x∈[0,2].

1 x2 4 2 . 3 ( x + 1) 2

2 8 ,f(2)= , 3 15

方法二 当 x=0 时,f(x)=0; 当 x∈(0,2]时,f(x)>0 且 f(x)=
4 3

1 1 x+ x



4 3

1 2 x 1 x

=

2 , 3

当且仅当 x=

1 ,即 x=1 时, "="成立. x

2 ∴当 x∈[0,2]时,f(x)的值域是 0, . 3

(2)设函数 g(x)在[0,2]上的值域是 A. ∵对任意 x1∈[0,2] ,总存在 x0∈[0,2] ,
2 使 f(x1)-g(x0)=0,∴ 0, A. 3

对函数 g(x)求导,g′(x)=ax -a . ①当 x∈(0,2),a<0 时,g′(x)<0, ∴函数 g(x)在(0,2)上单调递减. ∵g(0)=0,g(2)=
8 2 a-2a <0, 3

2

2

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2 ∴当 x∈[0,2]时,不满足 0, A; 3

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②当 a>0 时,g′(x)=a(x- a )(x+ a ). 令 g′(x)=0,得 x= a 或 x=- a (舍去). (ⅰ)当 x∈[0,2] ,0< a <2 时,列表: x
g ′(x)

0

(0, a ) -

a

( a ,2) +

2

0
2 2 a a 3

g(x)

0

8 a 2a 2 3

∵g(0)=0,g( a )<0,
8 2 2 又∵ 0, A,∴g(2)= a 2a 2 ≥ . 3 3 3

解得

1 ≤a≤1. 3

(ⅱ)当 x∈(0,2), a ≥2 时,g′(x)<0, ∴函数在(0,2)上单调递减,
8 ∵g(0)=0,g(2)= a 2a 2 <0, 3

2 ∴当 x∈[0,2]时,不满足 0, A. 3 1 综上,实数 a 的取值范围是 ,1 . 3

11.已知函数 f(x)=x -ax -3x. (1)若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x=1 是 f(x)的极值点,求 f(x)在[1,a]上的最大值; 3

3

2

(3)在(2)的条件下,是否存在实数 b,使得函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x)的图象恰有 3 个交点, 若存在,请求出实数 b 的取值范围;若不存在,试说明理由. 解 (1)f′(x)=3x -2ax-3 ∵f(x)在[1,+∞)上是增函数, ∴f′(x)在[1,+∞)上恒有 f′(x)≥0, 即 3x -2ax-3≥0 在[1,+∞)上恒成立 则必有
a ≤1 且 f′(1)=-2a≥0,∴a≤0. 3 1 1 2 )=0,即 + a-3=0 3 3 3
2 2 2

(2)依题意,f′(3

∴a=4,∴f(x)=x -4x -3x

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令 f′(x)=3x -8x-3=0, 得 x1=1 ,x2=3.则 3
2

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当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x
f ′(x )

1

(1,3)

3

(3,4)

4

-

0

+

f (x)

-6

-18

-12

∴f(x)在[1,4]上的最大值是 f(1)=-6. (3)函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x)的图象恰有 3 个交点,即方程 x -4x -3x=bx 恰有 3 个不等实根 ∴x -4x -3x-bx=0, ∴x=0 是其中一个根, ∴方程 x -4x-3-b=0 有两个非零不等实根,
2 3 2 3 2

= 16 + 4(3 + b) > 0 ∴ ,∴b>-7 且 b≠-3. 3 b ≠ 0
∴存在符合条件的实数 b,b 的范围为 b>-7 且 b≠- 3. 12.(2008安徽理,20)设函数 f(x)= (2008安徽理,20) (2008 (1)求函数 f(x)的单调区间;
1

1 (x>0 且 x≠1). x ln x

(2)已知 2 x >x 对任意 x∈(0,1)成立,求实数 a 的取值范围. 解 (1)f′(x)=列表如下: (0,
1 ) e 1 e

a

ln x + 1 x 2 ln 2 x

,若 f′(x)=0,则 x=

1 . e

x

(

1 ,1) e

(1,+ ∞ )

f ′( x )

+

0

-

-

极大值 f (x) 单调增 f(
1 ) e

单调减

单调减

所以 f(x)的单调增区间为(0, 单调减区间为(
1

1 ) , e

1 ,1)和(1,+∞). e 1 ln2>alnx. x

(2)在 2 x >x 两边取对数,得 由于 x∈(0,1),所以

a

1 a > . ln 2 x ln x



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由(1)的结果知, 当 x∈(0,1)时,f(x)≤f(
1 )=-e. e a >-e, ln 2

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为使①式对所有 x∈(0,1)成立,当且仅当 即 a>-eln2.

§3.3

定积分

基础自测

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1.当 n 无限趋近于+∞时, 答案 2. ∫1 1dx= 0 答案 1
1

1 π 2π (n 1)π (sin +sin +…+sin )写成定积分的形式,可记为 n n n n

.

π

∫ π sinxdx 0
.

3.由曲线 y=e ,x=0,y=2 所围成的曲边梯形的面积为 答案
2 ∫1 lnydy 或 ∫ ln 2 (2-e )dx 0
x

x

(用定积分表示).

4.已知 f(x)为偶函数且 ∫ 6 f(x)dx=8,则 ∫ 6 6 f(x)dx= 0 答案 16

.

5.已知-1≤a≤1,f(a)= ∫1 (2ax -a x)dx,求 f(a)的值域. 0
2 2

解 f(a)= ∫1 (2ax -a x)dx 0
2 2

=( =-

2a 3 a 2 2 1 x x )| 0 3 2

a 2 2a 1 2 2 2 + =- (a- ) + . 2 2 3 9 3 7 2 ≤f(a)≤ , 6 9

∵-1≤a≤1,∴-

7 2 故 f(a)的值域为 , 6 9

例 1 计算下列定积分
2 (1) ∫ 0 x(x+1)dx;

2 (2) ∫1 (e +
2x

1 )dx; x

(3) ∫ π sin xdx. 0
2

解 (1)∵x(x+1)=x +x 且(
2 2 ∴ ∫ 0 x(x+1)dx= ∫ 0 (x +x)dx
2

2

1 3 1 2 2 x )′=x ,( x )′=x, 3 2

2 2 = ∫ 0 x dx+ ∫ 0 xdx=
2

1 3 2 1 2 2 x |0 + x|0 3 2

=(

1 1 14 3 2 ×2 -0)+( ×2 -0)= . 3 2 3

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1 2x 2x 2x ,(e )′=e (2x)′=2e , x

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(2)∵(lnx)′= 得 e =(
2x

1 2x e )′ 2
2x

2 所以 ∫1 (e +

1 1 2x 2 2 2x 2 1 2 )dx= ∫1 e dx+ ∫1 dx= e | 1 +lnx| 1 x x 2

=

1 4 1 2 1 4 1 2 e - e +ln2-ln1= e - e +ln2. 2 2 2 2

(3)由(sin2x)′=cos2x(2x)′=2cos2x,得 cos2x=(
1 sin2x)′, 2
2

所以 ∫ π sin xdx= ∫ π ( 0 0 = ∫π 0 =

1 1 - cos2x)dx 2 2

1 1 dx- ∫ π cos2xdx 0 2 2

1 π 1 1 x| 0 - ( sin2x)| π 0 2 2 2

=(

π
2

-0)-

1 1 1 π ( sin2 π - sin0)= . 2 2 2 2

例 2 计算下列定积分
2 2 (1) ∫ 0π |sinx|dx;(2) ∫ 0 |x -1|dx.
2

解 (1)∵(-cosx)′=sinx,
2 2 ∴ ∫ 0π |sinx|dx= ∫ π |sinx|dx+ ∫ ππ |sinx|dx 0 2 2 = ∫ π sinxdx- ∫ ππ sinxdx=-cosx| π +cosx| ππ 0 0

=-(cos π -cos0)+(cos2 π -cos π )=4.
x 2 1(1 < x ≤ 2) 2 (2)∵0≤x≤2,于是|x -1|= 1 x 2 (0 ≤ x ≤ 1)
2 2 ∴ ∫ 0 |x -1|dx= ∫1 (1-x )dx+ ∫1 (x -1)dx 0
2 2 2

1 1 3 2 = x x 3 | 1 +( x -x)| 1 0 3 3

=(1-

1 1 1 3 )+( ×2 -2)-( -1)=2. 3 3 3

x3 例 3 求函数 f(x)= x 2 x 2
解 由积分性质知

x ∈ [0,1] x ∈ (1,2] 在区间[0,3]上的积分. x ∈ (2,3]

2 ∫ 3 f(x)dx= ∫1 f(x)dx+ ∫1 f(x)dx+ ∫ 3 f(x)dx 0 0 2

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2 = ∫1 x dx+ ∫1 x dx+ ∫ 3 2 dx 0 2
3 2 x

= = =

x4 1 1 3 2 2x 3 | 0 + x |1 + |2 4 3 ln 2
1 8 1 8 4 + - + 4 3 3 ln 2 ln 2 4 31 + . ln 2 12

例 4 (14 分)求定积分 ∫ 3 2 16 + 6 x x 2 dx. 解 设 y= 16 + 6 x x 2 , 即(x-3) +y =25 (y≥0). ∵ ∫ 3 2 16 + 6 x x 2 dx 表示以 5 为半径的圆的四分之一面积. ∴ ∫ 3 2 16 + 6 x x 2 dx= 25 π. 4
2 2

5分 10 分 14 分

1. 求 ∫ 0π (cosx+e )dx.
x



∫ 0π (cosx+e )dx= ∫ 0π cosxdx+ ∫ 0π e dx
x x x

=sinx| 0π +e | 0π =1

1 eπ

.

4 2.求 ∫ 0 (|x-1|+|x-3|)dx.

2 x + 4 解 设 y=|x-1|+|x-3|= 2 2 x 4
4 ∴ ∫ 0 (|x-1|+|x-3|)dx

( x ≤ 1) (1 < x < 3) ( x ≥ 3)

3 4 = ∫1 (-2x+4)dx+ ∫1 2dx+ ∫ 3 (2x-4)dx 0

3 4 =(-x +4x)| 1 +2x| 1 +(x -4x)| 3 0
2 2

=-1+4+6-2+16-16-9+12=10.

2( x + 1) 1 3.已知函数:f(x)= x x 1 ( 2 )
求 ∫ 3 f(x)dx. 0

(0 ≤ x < 1) (1 ≤ x < 2) ( 2 ≤ x ≤ 3)

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2 ∫ 3 f(x)dx= ∫1 2(x+1) dx+ ∫1 0 0
-1

x dx+ ∫ 3 ( 2 ) dx 2
x-1

=2ln(x+1)| 1 + 0 =2ln2+

2 3

2 x3 | 1 +

1 ln 2

( 2 ) x1 |3 2

2 1 (2 2 -1)+ (2 2 ) . 3 ln 2

4. ∫1 ( 1 ( x 1) 2 -x)dx= 0 答案

.

π 2
4

一,填空题

1.定积分 ∫ 3π 0 答案 6 2

1 cos x dx=

.

2.若 y=f(x)与 y=g(x)是[a,b]上的两条光滑曲线的方程,则这两条曲线及直线 x=a,x=b 所围成的平面区域 的面积 为 答案 a 答案 ∫ b |f(x)-g(x)|dx 3.定积分 ∫1 (3 +3 x )dx= 0
2x

(用定积分表示).

.

答案

4 +2 ln 3

x 2 + 1,0 ≤ x ≤ 1, 2 4.设函数 f(x)= 则 ∫ 0 f(x)dx= 3 x,1 < x ≤ 2,

.

答案

17 6
3 5

5.定积分 ∫ 2 2 2(x +5x )dx= 答案 0

.

2 6.根据 ∫ 0π sinxdx=0 推断,直线 x=0,x=2 π ,y=0 和正弦曲线 y=sinx 所围成的曲边梯形的面积时,曲边梯形

在 x 轴上方的面积 答案 等于

在 x 轴下方的面积.(用"大于","小于","等于"填空)

2 2 7.若 ∫1 f(x)dx=1, ∫ 0 f(x)dx=-1,则 ∫1 f(x)dx= 0

.

答案 -2

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8.定积分 ∫1 0 答案

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x 1+ x2

dx 的值是

.

1 ln2 2

二,解答题 9.求下列定积分的值 (1) ∫ 3 0 9 x 2 dx;
1≤ x ≤ 0 ,求 ∫1 1 f(x)dx 的值. 0 < x <1

x 2 (2)已知 f(x)= 1

解 (1) ∫ 3 0
2

9 x 2 dx 表示以 y= 9 x 2 与 x=0,x=3 所围成图形的面积,而 y= 9 x 2 与 x=0,x=3 围成
2

的图形为圆 x +y =9 在第一象限内的部分,因此所求的面积为
x 2 (2)∵f(x)= 1
2

9 π. 4

1≤ x ≤ 0 0 < x <1

∴ ∫1 1 f(x)dx= ∫ 01 x dx+ ∫1 1dx 0 =
1 3 0 1 4 x | 1 +x| 1 = +1= . 0 3 3 3
2

10.已知 f(x)=ax +bx+c,且 f(-1)=2,f′(0)=0, ∫1 f(x)dx=-2,求 a,b,c 的值. 0 解 由 f(-1)=2,得 a-b+c=2, 又 f′(x)=2ax+b, 由 f′(0)=0 得 b=0, ② ①

∫1 f(x)dx= ∫1 (ax +bx+c)dx 0 0
2

=( =

1 3 b 2 ax + x +cx)| 1 0 3 2

1 1 a+ b+c. 3 2 1 1 a+ b+c=-2, 3 2





由①②③得:a=6,b=0,c=-4. 11.已知 f(a)= ∫1 (2ax -a x)dx,求 f(a)的最大值. 0
2 2



∫1 (2ax -a x)dx=( 0
2 2

2 3 1 2 2 1 2 1 2 ax - a x )| 0 = a - a 3 2 3 2

即 f(a)= =-

2 1 2 1 4 4 2 2 a- a =- (a - a+ )+ 3 2 2 3 9 9

1 2 2 2 (a- ) + . 2 3 9

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2 2 时,f(a)有最大值 . 3 9
3 2

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所以当 a=

12.(2009青岛模拟)对于函数 f(x)=bx +ax -3x. (2009青岛模拟) (2009 ( 1 ) 若 f(x) 在 x=1 和 x=3 处 取 得 极 值 , 且 f(x) 的 图 象 上 每 一 点 的 切 线 的 斜 率 均 不 超 过 2sintcost-2 3 cos t+ 3 ,试求实数 t 的取值范围; (2)若 f(x)为实数集 R 上的单调函数,且 b≥-1,设点 P 的坐标为(a,b),试求出点 P 的轨迹所围成的图 形的面积 S. 解 (1)由 f(x)=bx +ax -3x, 则 f′(x)=3bx +2ax-3, ∵f(x)在 x=1 和 x=3 处取得极值, ∴x=1 和 x=3 是 f′(x)=0 的两个根且 b≠0. 2a a = 2 1 + 3 = 3b 1. 3 b = 3 1 × 3 = 3b ∴f′(x)=-x +4x-3. ∵f(x)的图象上每一点的切线的斜率不超过 2sintcost-2 3 cos t+ 3 , ∴f′(x)≤2sintcost-2 3 cos t+ 3 对 x∈R 恒成立, R 而 f′(x)=-(x-2) +1,其最大值为 1. 故 2sintcost-2 3 cos t+ 3 ≥1
2sin(2t kπ +
2 2 2 2 2 2 3 2 2

π
3

)≥1 2k π +

π
6

≤2t-

π
3

≤2k π +

5 π ,k∈Z Z 6

π
4

≤t≤k π +

7π ,k∈Z. Z 12

(2)当 b=0 时,由 f(x)在 R 上单调,知 a=0. 当 b≠0 时,由 f(x)在 R 上单调
f′(x)≥0 恒成立,或者 f′(x)≤0 恒成立.

∵f′(x)=3bx +2ax-3, ∴Δ=4a +36b≤0 可得 b≤2

2

1 2 a. 9 1 2 a 与直线 b=-1 9

从而知满足条件的点 P a,b)在直角坐标平面 aOb 上形成的轨迹所围成的图形是由曲线 b=( 所围成的封闭图形, 其面积为 S= ∫ 3 3 (1
1 2 a )da=4. 9

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§3.4

定积分的简单应用

基础自测
1.将由 y=cosx,x=0,x= π ,y=0 所围图形的面积写成定积分形式为 答案
2 ∫ 0 cosxdx+| ∫ π cosxdx| π
2

.

π

2.一物体沿直线以 v=3t+2 (t 单位:s,v 单位:m/s)的速度运动,则该物体在 3 s~6 s 间的运动路程为 m. 答案 46.5 3.用力把弹簧从平衡位置拉长 10 cm,此时用的力是 200 N,变力 F 做的功 W 为 答案 10 J.

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3π )与坐标轴所围成的面积是 2
3

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4.曲线 y=cosx( 0≤x≤ 答案 3

.

5.有一质量非均匀分布的细棒,已知其线密度为 ρ (x)=x (取细棒的一端为原点,所在直线为 x 轴) ,棒长 为 1,则棒的质量 M 为 答案
1 4

.

例 1 求抛物线 y =2x 与直线 y=4-x 围成的平面图形的面积.
y 2 = 2x 解出抛物线和直线的交点为(2,2)及(8,-4). 解 由方程组 y = 4 x

2

方法一 选 x 作为积分变量,由图可看出 S=A1+A2 在 A1 部分:由于抛物线的上半支方程为 y= 2 x , 下半支方程为 y=- 2 x,所以
2 2 S A1 = ∫ 0 [ 2 x -(- 2 x )]dx=2 2 ∫ 0 x
1 2

dx

=2 2

2 x 3

3 2

2 |0 =

16 , 3

S A2 = ∫ 8 [4-x-(- 2 x )]dx 2 =(4x1 2 2 2 x+ x 2 3
3 2

)| 8 = 2

38 , 3

于是:S=

16 38 + =18. 3 3

方法二 选 y 作积分变量, 将曲线方程写为 x= S= ∫ 2 4 [(4-y) =30-12=18. 例 2 (14 分)如图所示,直线 y=kx 分抛物线 y=x-x 与 x 轴所围图形为面积相等的两部分,求 k 的值.
2

y2 及 x=4-y. 2

y 2 y3 y2 ]dy=(4y)| 2 4 2 6 2

解 抛物线 y=x-x 与 x 轴两交点的横坐标 x1=0,x2=1,所以抛物线与 x 轴所围图形的面积 S= ∫1 (x-x )dx=( 0
2

2

x 2 x3 )| 1 0 2 3 6分

=

1 1 1 - = . 2 3 6

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抛物线 y=x-x 与 y=kx 两交点的横坐标为 x1′=0,x2′=1-k, 所以
S 1k 2 = ∫ 0 (x-x -kx)dx 2
2

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9分

1 k 2 x 3 1k |0 = x 2 3 = 1 (1-k) 3 , 6 1 1 ,所以(1-k) 3 = , 6 2
3 1 4 =1. 2 2

12 分

又知 S=

于是 k=1- 3

14 分

例 3 一辆汽车的速度—时间曲线如图所示,求此汽车在这 1 min 内所行驶的路程.

解 由速度—时间曲线易知,
3t v(t)= 30 1.5t + 90 t ∈ [0,10) t ∈ [10,40) t ∈ [40,60]

由变速直线运动的路程公式可得
40 s= ∫10 3tdt+ ∫10 30dt+ ∫ 60 (-1.5t+90)dt 0 40

=

3 2 10 3 2 40 t | 0 +30t| 10 +(- t +90t)| 60 40 2 4

=1 350 (m). 答 此汽车在这 1 min 内所行驶的路程是 1 350 m.

1.求抛物线 y =x 与直线 x-2y-3=0 所围成的平面图形的面积 S.
y2 = x 得抛物线与直线的交点为 P(1,-1) ,Q(9,3) (如图). 解 方法一 由 x 2 y 3 = 0
9 ∴S= ∫1 [ x -(- x )]dx+ ∫1 ( x 0

2

x 3 )dx 2

=2 ∫1 0

9 x dx+ ∫1 ( x -

x 3 + )dx 2 2

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4 3 2 x 3
3 2

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=

x3

| 1 +( 0

-

x2 3 9 4 28 32 + x |1 = + = . 4 2 3 3 3
2

方法二 若选取积分变量为 y,则两个函数分别为 x=y ,x=2y+3.由方法一知上限为 3,下限为-1. ∴S= ∫ 31 (2y+3-y )dy=(y +3y
2 2

1 3 3 y )| 1 3

=(9+9-9)-(1-3+

1 32 )= . 3 3

2.如图所示,阴影部分的面积是

.

答案

32 3
3

3.一物体按规律 x=bt 做直线运动,式中 x 为时间 t 内通过的距离,媒质的阻力与速度的平方成正比,试求物 体由 x=0 运动到 x=a 时,阻力做的功. 解 物体的速度 v=x′(t)=(bt )′=3bt , (3bt ) =9kb t .(其中 k 为比例常数,k>0) 媒质阻力 f 阻=kv =k
1
2 2 2 2 4 3 2

a 3 当 x=0 时,t=0,当 x=a 时,t=t1= , b
∴阻力做的功是:
a 1 W 阻= ∫ 0 f 阻 dx= ∫ 0 kv vdt
2

t

1 1 =k ∫ 0 v dt=k ∫ 0 (3bt ) dt

t

3

t

2

3

=

27 3 7 27 3 7 2 27 2 3 2 kb t1 = k a b = ka ab . 7 7 7

一,填空题 1.如图所示,阴影部分面积为 .

答案

∫ c [g(x)-f(x)]dx+ ∫ b [f(x)-g(x)]dx a c

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x 2 , 2.设 f(x)= 2 x ,

x ∈ [0,1], 2 则 ∫ 0 f(x)dx= x ∈ (1,2],

.

答案

5 6

x 3.设 f(x)= ∫ 0 sintdt,则 f(f(

π
2

) )=

.

答案 1-cos1

10 4.一物体在力 F(x)= 3 x + 4
答案 46

(0 ≤ x ≤ 2) ( x > 2)

(单位:N)的作用下沿与力 F 相同的方向,从 x=0 处运动到 x=4 J.

(单位:m)处,则力 F(x)做的功为
2

5.一物体在变力 F(x)=5-x (力单位:N,位移单位:m)作用下,沿与 F(x)成 30°方向作直线运动,则由 x=1 运动到 x=2 时 F(x)做的功为 答案
4 3 3

J.

x 6.函数 F(x)= ∫ 0 t(t-4)dt 在[-1,5]上的最大值为

,最小值为

.

答案 0 -

32 3

7.汽车以 v=3t+2 (单位:m/s)作变速直线运动时,在第 1 s 至第 2 s 间的 1 s 内经过的路程是 答案 6.5 8.若 f(x)是一次函数,且 ∫1 f(x)dx=5, ∫1 xf(x)dx= 0 0 答案 f(x)=4x+3 二,解答题 9.证明:把质量为 m(单位:kg)的物体从地球的表面升高 h(单位:m)处所做的功 W=G 地球引力常数,M 是地球的质量,k 是地球的半径.
17 ,那么函数 f(x)的解析式是 6

m.

.

Mmh ,其中 G 是 k (k + h )

证明 根据万有引力定律:知道对于两个距离为 r,质量分别为 m1,m2 的质点,它们之间的引力为 f(r) =G

m1m2 r2

,其中 G 为引力常数.
Mm (k + x) 2 .

则当质量为 m 的物体距地面高度为 x(0≤x≤h)时,地心对它的引力 f(x)=G
故该物体从地面升到 h 高处所做的功为
h h W= ∫ 0 f(x)dx= ∫ 0 G

Mm (k + x) 2

dx

h =GMm ∫ 0

1 (k + x) 2

d(k+x)

1 h =GMm |0 k+x 1 1 =GMm + k+h k

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Mmh . k (k + h )
3 2

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=G

10.设函数 f(x)=x +ax +bx 在点 x=1 处有极值-2. (1)求常数 a,b 的值; (2)求曲线 y=f(x)与 x 轴所围成的图形的面积. 解 (1)由题意知 f′(x)=3x +2ax+b, f(1)=-2 且 f′(1)=0,
2

1 + a + b = 2 即 ,解得 a=0,b=-3, 3 + 2a + b = 0
即 f(x)=x -3x. (2)作出曲线 y=x -3x 的草图,所求面积为阴影部分的面积,由 x -3x=0 得曲线 y=x -3x 与 x 轴的交点坐标 是(- 3 ,0),(0,0)和( 3 ,0),而 y=x -3x 是 R 上的奇函数,函数图象关于原 点中心对称. 所以(- 3 ,0)的阴影面积与(0, 所以所求图形的面积为 S=2 ∫ 0 3 [0-(x -3x)]dx
3 3 3 3 3 3

3 )的阴影面积相等.

=-2(

1 4 3 2 9 x - x )| 0 3 = . 4 2 2
2

11.如图所示,抛物线 y=4-x 与直线 y=3x 的两交点为 A,B,点 P 在抛物线上从 A 向 B 运动. (1)求使△PAB 的面积最大的 P 点的坐标(a,b); (2)证明由抛物线与线段 AB 围成的图形,被直线 x=a 分为面积相等的两部分.
y = 4 x2 (1)解 解方程组 解 ,得 x1=1,x2=-4. y = 3x

∴抛物线 y=4-x 与直线 y=3x 的交点为 A(1,3) ,B(-4,-12) , ∴P 点的横坐标 a∈(-4,1). 点 P(a,b)到直线 y=3x 的距离为 d=
3a b 12 + 3 2

2

,

∵P 点在抛物线上,∴b=4-a ,

2

′ da =
∴a=-

1 10

(4-3a-a )′=

2

1 10

(-2a-3)=0,

3 3 ,即当 a=- 时,d 最大, 2 2 9 7 = , 4 4 3 7 , )时,△PAB 的面积最大. 2 4

这时 b=4-

∴P 点的坐标为(-

(2)证明 设上述抛物线与直线所围成图形的面积为 S, 证明

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3 右侧的面积为 S1. 2
2

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位于 x=-

S= ∫1 4 (4-x -3x)dx=
2

125 , 6 125 , 12

S1= ∫1 3 (4-x -3x)dx=
2

∴S=2S1,即直线 x=-

3 平分抛物线与线段 AB 围成的图形的面积. 2
2 2 2

12.在区间[0,1]上给定曲线 y=x ,试在此区间内确定点 t 的值,使图中阴影部分的面积 S1 与 S2 之和最小. 解 S1 面积等于边长为 t 与 t 的矩形面积去掉曲线 y=x 与 x 轴,直线 x=t 所围成的面积,即 S1=tt - ∫ t x dx= 0
2 2

2 3 t. 3
2 2

S2 的面积等于曲线 y=x 与 x 轴,x=t,x=1 围成的面积减去矩形面积, (1-t) ,即 矩形边长分别为 t , S2= ∫1 x dx-t (1-t)= t
2 2

2 3 2 1 t -t + . 3 3

所以阴影部分的面积 S 为 S=S1+S2=
4 3 2 1 t -t + (0≤t≤1). 3 3
2

∵S′(t)=4t -2t=4t(t当 t=

1 1 )=0 时,得 t=0,t= . 2 2

1 1 1 时,S 最小,∴最小值为 S( )= . 2 2 4

单元检测三
一,填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 填空题 1.由三条直线 x=0,x=2,y=x 和 y=0 所围成的图形的面积为 答案 4 2.(2008福建文,11)如果函数 y=f(x)的图象如图所示,那么导函数 y=f′(x)的图象可能是 (2008福建文,11) .
3

.

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答案 ① 3.设 f(x)=x (2-x),则 f(x)的单调增区间是 答案
4 0, 3
x 2

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.

4.(2008广东文)设 a∈R,若函数 y=e +ax,x∈R 有大于零的极值点,则 a 的取值范围为 (2008广东文) R R 答案 a<-1 5.已知函数 y=f(x)=x +px +qx 的图象与 x 轴切于非原点的一点, y 极小值=-4, 且 那么 p, 的值分别为 q 答案 6,9 6.已知 x≥0,y≥0,x+3y=9,则 x y 的最大值为 答案 36 7.下列关于函数 f(x)=(2x-x )e 的判断正确的是 ①f(x)>0 的解集是{x|0<x<2}; ②f(- 2 )是极小值,f( 2 )是极大值; ③f(x)没有最小值,也没有最大值. 答案 ①② 8.函数 f(x)的图象如图所示,则 0,f(3)-f(2),f′(2),f′(3)的大小顺序为 .
2 x 2 3 2

. .

. (填序号).

答案 0<f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2) 9.设 f(x)=

x e
2

+x

2

,g(x)=

f ( x1 ) g ( x2 ) ex ,对任意 x1,x2∈(0,+∞),若有 ≤ 恒成立,则正数 k 的取值范围 x k k +1



.
f′(x)

答案 [1,+∞) 10.定义在 R 上的可导函数 f(x),已知 y=e 的图象如图所示,则 y=f(x)的增区间是 .

答案 (-∞,2) 11.在弹性限度内,弹簧所受的压缩力 F 与缩短的距离 l 按胡克定律 F=kl 计算.今有一弹簧原长 90 cm,每压 缩 1 cm 需 0.049 N 的压缩力,若把这根弹簧从 80 cm 压缩至 60 cm(在弹性限度内) ,则外力克服弹簧的弹力所做的 功为 J.
2

答案 0.686 12.如图所示,曲线 y=x -1 及 x 轴围成图形的面积 S 为 .

答案

4 3

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4x x +1
2

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13.若函数 f(x)=

在区间(m,2m+1)上是单调递增函数,则实数 m 的取值范围是

.

答案 (-1,0] 14.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=3x +2xf′(2),则 f′(5)= 答案 6 二,解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 解答题 15.(14 分)已知函数 f(x)=x 3 2

.

1 2 x +bx+c. 2
2

(1)若 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,求 b 的取值范围; (2)若 f(x)在 x=1 处取得极值,且 x∈[-1,2]时,f(x)<c 恒成立,求 c 的取值范围. 解 (1)f′(x)=3x -x+b,因 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,则 f′(x)≥0.即 3x -x+b≥0, ∴b≥x-3x 在(-∞,+∞)恒成立.设 g(x)=x-3x . 当 x=
1 1 1 时,g(x)max= ,∴b≥ . 6 12 12
2 2 2 2 2 2

(2)由题意知 f′(1)=0,即 3-1+b=0,∴b=-2. x∈[-1,2]时,f(x)<c 恒成立,只需 f(x)在[-1,2]上的最大值小于 c 即可. 因 f′(x)=3x -x-2,令 f′(x)=0,得 x=1 或 x=f(
2 22 1 )= +c,f(-1)= +c,f(2)=2+c. 3 27 2
2 2

2 3 .∵f(1)=- +c, 3 2

∴f(x)max=f(2)=2+c,∴2+c<c .解得 c>2 或 c<-1,所以 c 的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞).
x 16.(14 分)设 p:y=(x -4)(x-a)在(-∞,-2)和(2,+∞)上是单调增函数;q:不等式 ∫ 0 (2t-2)dt>a 的解集为
2

R. 如果 p 与 q 有且只有一个正确,求 a 的取值范围. 解 命题 p:由原式得 y=x -ax -4x+4a, ∴y′=3x -2ax-4,y′的图象为开口向上且过点(0,-4)的抛物线. 由条件得 f′(-2)≥0 且 f′(2)≥0,
2 3 2

4a + 8 ≥ 0 即 .∴-2≤a≤2. 8 4a ≥ 0
x x 命题 q: ∫ 0 (2t-2)dt=(t -2t)| 0
2

=x -2x=(x-1) -1>a, ∵该不等式的解集为 R,∴a<-1. 当 p 正确 q 不正确时,-1≤a≤2; 当 p 不正确 q 正确时,a<-2. ∴a 的取值范围是(-∞,-2)∪[-1,2]. 17. (14 分) 一列火车在平直的铁轨上匀速行驶, 由于遇到紧急情况, 火车以速度 v(t)=5-t+ 紧急刹车至停止.求: (1)从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间; (2)紧急刹车后火车运行的路程比正常运行的路程少了多少米? 解 (1)当火车的速度 v=0 时火车完全停止,
55 (单位: m/s) 1+ t

2

2

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55 =0, 1+ t

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即 5-t+
2

∴t -4t-60=0,解得 t=10 或 t=-6(舍去). 即从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间为 10 s. (2)由(1)知,从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间为 10 s,又由火车的速度 v(t)=5-t+ 得 火车正常行驶的速度 v=v(0)=60 (m/s). ∴火车正常运行的路程与紧急刹车后火车运行的路程之差为 60×10- ∫10 (5-t+ 0 =600-[5tt2 +55ln(t+1)]| 10 =600-55ln11, 0 2
2

55 , 1+ t

55 )dt 1+ t

即紧急刹车后火车运行的路程比正常运行的路程少了(600-55 ln11)米. 18.(16 分)已知 A(-1,2)为抛物线 C:y=2x 上的点,直线 l1 过点 A 且与抛物线 C 相切,直线 l2:x=a(a< -1)交抛物线 C 于点 B,交直线 l1 于点 D. (1)求直线 l1 的方程; (2)求△ABD 的面积 S1; (3)求由抛物线 C 及直线 l1 和直线 l2 所围成的图形面积 S2. 解 (1)由条件知点 A(-1,2)为直线 l1 与抛物线 C 的切点,∵y′=4x,∴直线 l1 的斜率 k=-4,

∴直线 l1 的方程为 y-2=-4(x+1),即 4x+y+2=0. (2)点 A 的坐标为(-1,2) , 由条件可得点 B 的坐标为(a,2a ) , 点 D 的坐标为(a,-4a-2) , ∴△ABD 的面积 S1 为 S 1=
1 2 ×|2a -(-4a-2)|×|-1-a| 2
3 3 2

=|(a+1) |=-(a+1) . (3)直线 l1 的方程可化为 y=-4x-2, S2= ∫ 1 [2x -(-4x-2)]dx= ∫ 1 (2x +4x+2)dx a a
2 2

=[2( =-

1 3 2 2 1 3 2 x +x +x)]| 1 =- -2( a +a +a) a 3 3 3

2 3 2 2 a -2a -2a- . 3 3 1 2 x 上一点,直线 l 过点 P 并与抛物线 C 在点 P 的切线垂直,l 与 2

19.(16 分)如图所示,P 是抛物线 C:y= 抛物线 C 相交

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于另一点 Q,当点 P 在抛物线 C 上移动时,求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程,并求点 M 到 x 轴的最短距离.

,则 y0= 解 设 P(x0,y0) ∴过点 P 的切线斜率 k=x0,

1 2 x0 , 2

当 x0=0 时不合题意,∴x0≠0. ∴直线 l 的斜率 kl=∴直线 l 的方程为 y1 1 =, k x0

1 2 1 x 0 =(x-x0). 2 x0

此式与 y=

1 2 x 联立消去 y 得 2

x+

2

2 2 x- x 0 -2=0. x0

设 Q(x1,y1),M(x,y).∵M 是 PQ 的中点,

x 0 + x1 1 = x = 2 x0 ∴ , 2 y = 1 ( 1 x ) + 1 x 2 = 1 + x 0 + 1 0 0 2 x0 x0 2 2 x0
消去 x0,得 y=x +
2

1 2x
2

+1(x≠0)就是所求的轨迹方程.由 x≠0 知 x >0,

2

∴y = x +

2

1 2x
2

+1≥2 x 2
2

1 2x2

+1= 2 +1.

上式等号仅当 x =

1 2x
2

,即 x=± 4

1 时成立, 2
2

所以点 M 到 x 轴的最短距离是 2 +1. 20.(16 分)已知函数 f(x)=(1+x) -aln(1+x) 在(-2,-1)上是增函数,在(-∞,-2)上为减函数. (1)求 f(x)的表达式;
2

1 (2)若当 x∈ 1, e 1 时,不等式 f(x)<m 恒成立,求实数 m 的值; e
(3)是否存在实数 b 使得关于 x 的方程 f(x)=x +x+b 在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根,若存在, 求实数 b 的取值范围. 解 (1)∵f′(x)=2(1+x)2

2a x +1

=2

x 2 + 2x + 1 a , 1+ x

依题意 f(x)在(-2,-1)上是增函数,在(-∞,-2)上为减函数.∴x=-2 时,f(x)有极小值,∴f′(-2)=0. 代入方程解得 a=1, 故 f(x)=(1+x) -ln(1+x) .
2 2

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2 2 x ( x + 2) = , x +1 1+ x

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(2)由于 f′(x)=2(1+x)-

令 f′(x)=0,得 x1=0,x2=-2.
1 , (由于 x∈ 1, e 1 ,故 x2=-2 舍去) e

1 易证函数在 1,0 上单调递减, e 在[0,e-1]上单调递增, 且 f( 1 1 1 2 1 )= +2,f(e-1)=e -2> +2, e e2 e2

1 2 故当 x∈ 1, e 1 时,f(x)max=e -2, e 因此若使原不等式恒成立只需 m>e -2 即可. (3)若存在实数 b 使得条件成立, 方程 f(x)=x +x+b 即为 x-b+1-ln(1+x) =0, 令 g(x)=x-b+1-ln(1+x) , 则 g′(x)=12 x 1 = , x +1 x +1
2 2 2 2

令 g′(x)>0,得 x<-1 或 x>1, 令 g′(x)<0,得-1<x<1, 故 g(x)在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,要使方程 f(x)=x +x+b 在区间[0,2]上恰好有
g (0) ≥ 0 两个相异的实根,只需 g(x)=0 在区间[0,1]和[1,2]上各有一个实根,于是有 g (1) < 0 2-2ln2< g (2) ≥ 0
2

b≤3-2ln3, 故存在这样的实数 b,当 2-2ln2<b≤3-2ln3 时满足条件.

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