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高中数学知识点整理[1]


高中数学第二 函数 高中数学第二章-函数
考试内容: 考试内容: 映射、函数、函数的单调性、奇偶性. 反函数.互为反函数的函数图像间的关系. 指数概念的扩充.有理指数幂的运算性质.指数函数. 对数.对数的运算性质.对数函数. 函数的应用. 考试要求: 考试要求: (1)了解映射的概念,理解函数的概念. (2)了解函数单调性、奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性、奇

偶性的方法. (3)了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系,会求一些简单函数的反函数. (4)理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图像 和性质. (5)理解对数的概念,掌握对数的运算性质;掌握对数函数的概念、图像和性质. (6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.

§02. 函数 知识要点
一、本章知识网络结构:
定义 F:A→B 反函数 映射 函数 具体函数 一般研究 图像 性质 二次函数 指数 指数函数 对数 对数函数

二、知识回顾: (一) 映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数 函数三要素是定义域, 对应法则和值域,而定义域和对应法则是起决定作用的要素, 因为这二者确定后, 值域也就相应得到确定,因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 3.反函数 反函数的定义 设函数

y = f ( x)( x ∈ A) 的值域是 C, 根据这个函数中 x,y

的关系, y 把 x 表示出, 用 得到 x= ? (y).

若对于 y 在 C 中的任何一个值,通过 x= ? (y),x 在 A 中都有唯一的值和它对应,那么,x= ? (y)就表示 y 是自变量,x 是自变量 y 的函数,这样的函数 x= ? (y) (y ∈ C)叫做函数 记作 x

y = f ( x)( x ∈ A) 的反函数,

= f ?1 ( y) ,习惯上改写成 y = f ?1 ( x)

(二)函数的性质 ⒈函数的单调性
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定义:对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2, ⑴若当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),则说 f(x)在这个区间上是增函数; ⑵若当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数. 若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这 一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性

偶 函 数 的 奇 义 : 如 如 对 如 函 数 f(x)的 奇 义 的 内 的 意 的 几 x,都 都 的 都 f(-x)=f(x),那 那 函 数 f(x)就 就 就 偶 函 数 . 那 就

奇 函 数 的 奇 义 : 如 如 对 如 函 数 f(x)的 奇 义 的 内 的 意 的 几 x,都 都 的 都 f(-x)=-f(x),那 那 函 数 f(x)就 就 就 奇 函 数 . 那 就

正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题: 正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题: (1 )定义域在数轴上关于原点对称是函数 f ( x ) 为奇 函数或偶函数的必要不充分条件; (2 函数或偶函数的必要不充分条件 ; 2) f ( ? x ) = f ( x ) 或 ( f ( ? x ) = ? f ( x ) 是定义域上的恒等式。 是定义域上的恒等式 域上的恒等式。 2.奇函数的图象关于原点成中心对称图形,偶函数 .奇函数的图象关于原点成中心对称图形, 轴成轴对称图形。反之亦真,因此, 的图象关于 y 轴成轴对称图形。反之亦真,因此,也 可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。 可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。 3.奇函数在对称区间同增同减;偶函数在对称区间增 奇函数在对称区间同增同减; 奇函数在对称区间同增同减 减性相反. 减性相反 4. 是偶函数, 反之亦成立。 . 如果 f ( x ) 是偶函数, f ( x ) = f (| x |) , 则 反之亦成立。 f (0) = 0 。 时有意义, 若奇函数在 x = 0 时有意义,则
7. 奇函数,偶函数: ⑴偶函数: f (? x) = f ( x)

设( a, b )为偶函数上一点,则( ?a, b )也是图象上一点. 偶函数的判定:两个条件同时满足 ①定义域一定要关于 y 轴对称,例如: y = x 2 + 1 在 [1,?1) 上不是偶函数. ②满足 f (? x) = f ( x) ,或 f (? x) ? f ( x) = 0 ,若 f ( x) ≠ 0 时, ⑵奇函数: f (? x) = ? f ( x) 设( a, b )为奇函数上一点,则( ?a,?b )也是图象上一点. 奇函数的判定:两个条件同时满足 ①定义域一定要关于原点对称,例如: y = x 3 在 [1,?1) 上不是奇函数. ②满足 f (? x) = ? f ( x) ,或 f (? x) + f ( x) = 0 ,若 f ( x) ≠ 0 时,
f ( x) = ?1 . f (?x) f ( x) = 1. f (?x)

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y轴对称 8. 对称变换:①y = f(x) ?? ? → y = f( ? x) ?

x轴对称 ? ②y =f(x) ?? ? → y = ? f(x)

③y =f(x) ?原点对称 → y = ? f( ? x) ? ?? 9. 判断函数单调性(定义)作差法:对带根号的一定要分子有理化,例如: (x1 ? x 2)x1 + x 2 ) ( 2 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) = x 2 +b 2 ? x 2 +b 2 = 1 2 2 x x + b 2 + x1 + b 2 在进行讨论. 10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如:已知函数 f(x)= 1+

B?A . 系是 解: f (x) 的值域是 f ( f ( x)) 的定义域 B , f ( x) 的值域 ∈ R ,故 B ∈ R ,而 A = {x | x ≠ 1} ,故 B ? A .

x 的定义域为 A,函数 f[f(x)]的定义域是 B,则集合 A 与集合 B 之间的关 1? x

11. 常用变换: ① f ( x + y ) = f ( x) f ( y ) ? f ( x ? y ) = 证: f ( x ? y ) =
f ( x) . f ( y)

f ( y) ? f ( x) = f [( x ? y ) + y ] = f ( x ? y ) f ( y ) f ( x)

x ② f ( ) = f ( x) ? f ( y ) ? f ( x ? y ) = f ( x) + f ( y ) y x x 证: f ( x) = f ( ? y ) = f ( ) + f ( y ) y y

12. ⑴熟悉常用函数图象: 例: y = 2 | x| → | x | 关于 y 轴对称.



?1? y=? ? ?2?
y

| x + 2|

→y=? ? →y=? ?


?1? ? 2?
y

| x|

?1? ?2?

| x + 2|

y

(-2,1)
(0,1)
x

x
x



y =| 2 x 2 + 2 x ? 1 | → | y | 关于 x 轴对称.

y

x

⑵熟悉分式图象: 例: y =
2x + 1 7 ? 定义域 {x | x ≠ 3, x ∈ R} , = 2+ x ?3 x?3


值域 { y | y ≠ 2, y ∈ R} →值域 ≠ x 前的系数之比. (三)指数函数与对数函数

y

2 x 3

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指数函数

y = a x (a > 0且a ≠ 1) 的图象和性质
0<a<1
4.5
4.5

a>1
4

4


3.5 3 2.5 2

3.5

3

2.5

2


1.5

1.5

1

y=1
1 0.5

y=1

0.5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-0.5

-0.5

-1

-1

(1)定义域:R 性 质 (2)值域: (0,+∞) (3)过定点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)x>0 时,y>1;x<0 时,0<y<1 (5)在 R 上是增函数 (4)x>0 时,0<y<1;x<0 时,y>1. (5)在 R 上是减函数

对数函数 y=logax 的图象和性质: 对数运算:

log a ( M ? N ) = log a M + log a N (1) log a M = log a M ? log a N N 1 log a M n logb N logb a

log a M n = n log a (± M )12) log a n M = a log a
N

=N

换底公式: a N = log

推论: a b ? logb c ? log c a = 1 log ? log a1 a2 ? log a 2 a3 ? ... ? log a n ?1 an = log a1 an
(M

f 0, N f 0, a f 0, a ≠ 1, b f 0, b ≠ 1, c f 0, c ≠ 1, a 1 , a 2 ...a n f 0且 ≠ 1 )

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注⑴:当 a, b p 0 时, log( a ? b) = log(?a ) + log( ?b) . ⑵:当 M f 0 时,取“+”,当 n 是偶数时且 M p 0 时, M n f 0 ,而 M p 0 ,故取“—”.
2 例如: log a x ≠ 2 log a x Q (2 log a x 中 x>0 而 log a x 2 中 x∈R).

⑵ y = a x ( a f 0, a ≠ 1 )与 y = log a x 互为反函数. 当 a f 1 时, y = log a x 的 a 值越大,越靠近 x 轴;当 0 p a p 1 时,则相反.

(四)方法总结 ⑴.相同函数的判定方法:定义域相同且对应法则相同. ⑴对数运算:

log a ( M ? N ) = log a M + log a N (1) log a M = log a M ? log a N N 1 log a M n log b N log b a

log a M n = n log a (± M )12) log a n M = a log a
N

=N

换底公式: a N = log

推论: a b ? logb c ? log c a = 1 log ? log a1 a2 ? log a 2 a3 ? ... ? log a n ?1 an = log a1 an
(以上 M f 0, N f 0, a f 0, a ≠ 1, b f 0, b ≠ 1, c f 0, c ≠ 1, a 1 , a 2 ...a n f 0且 ≠ 1 ) 注⑴:当 a, b p 0 时, log(a ? b) = log(?a) + log(?b) . ⑵:当 M f 0 时,取“+”,当 n 是偶数时且 M p 0 时, M n f 0 ,而 M p 0 ,故取“—”. 例如: log a x 2 ≠ 2 log a x Q (2 log a x 中 x>0 而 log a x 2 中 x∈R). ⑵ y = a x ( a f 0, a ≠ 1 )与 y = log a x 互为反函数. 当 a f 1 时, y = log a x 的 a 值越大,越靠近 x 轴;当 0 p a p 1 时,则相反. ⑵.函数表达式的求法:①定义法;②换元法;③待定系数法. ⑶.反函数的求法:先解 x,互换 x、y,注明反函数的定义域(即原函数的值域). ⑷.函数的定义域的求法:布列使函数有意义的自变量的不等关系式,求解即可求得函数的定义域.常涉 及到的依据为①分母不为 0;②偶次根式中被开方数不小于 0;③对数的真数大于 0,底数大于零且不等于 1;④零指数幂的底数不等于零;⑤实际问题要考虑实际意义等. ⑸.函数值域的求法:①配方法(二次或四次);②“判别式法”;③反函数法;④换元法;⑤不等式法; ⑥函数的单调性法. ⑹.单调性的判定法:①设 x 1 ,x 2 是所研究区间内任两个自变量,且 x 1 <x 2 ;②判定 f(x 1 )与 f(x 2 )的
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大小;③作差比较或作商比较. ⑺.奇偶性的判定法: 首先考察定义域是否关于原点对称, 再计算 f(-x)与 f(x)之间的关系: ①f(-x)=f(x) 为偶函数;f(-x)=-f(x)为奇函数;②f(-x)-f(x)=0 为偶;f(x)+f(-x)=0 为奇;③f(-x)/f(x)=1 是偶; f(x)÷f(-x)=-1 为奇函数. ⑻.图象的作法与平移:①据函数表达式,列表、描点、连光滑曲线;②利用熟知函数的图象的平移、 翻转、伸缩变换;③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.

高中数学 第三章 数列
考试内容: 考试内容: 数列. 等差数列及其通项公式.等差数列前 n 项和公式. 等比数列及其通项公式.等比数列前 n 项和公式. 考试要求: 考试要求: (1)理解数列的概念,了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式 写出数列的前几项. (2)理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式,并能解决简单的实际问题. (3)理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式,井能解决简单的实际问题. §03. 数 列 知识要点

数列的定义



数列的有关概念 数列 数列的通项

项数

通项

数列与函数的关系

等比数列的定义 等差数列的定义 等比数列的通项 等差数列的通项 等比数列 等差数列 等比数列的性质 等差数列的性质 等差数列的前 n 项和 等差数列 定义
a n +1 ? a n = d

等比数列的前 n 项和 等比数列
a n +1 = q(q ≠ 0) an

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推公 式 通项公 式 中项

a n = a n ?1 + d

a n = a m ? n + md

a n = a n ?1 q

a n = a m q n?m

1. ⑴等差、 等比数列:

a n = a1 + (n ? 1)d a n?k + a n+ k 2

a n = a1 q n ?1 ( a1 , q ≠ 0 )
G = ± a n ? k a n + k ( a n ? k a n + k f 0)

A=

( n, k ∈ N * , n f k f 0 ) 前 n 项 和
Sn = n (a1 + a n ) 2

( n, k ∈ N * , n f k f 0 )
?na 1 (q = 1) ? S n = ? a1 1 ? q n a ?a q = 1 n ( q ≥ 2) ? 1? q ? 1? q

n(n ? 1) S n = na1 + d 2

(

)

a m + a n = a p + a q ( m , n, p , q ∈ N * , m + n = p + q)

a m ? a n = a p ? a q ( m, n, p , q ∈ N * , m + n = p + q )

等差数列 定义

等比数列

{a n }为A ? P ? a n +1 ? a n = d (常数)

{a n }为G ? P ?

a n+1 an

= q (常数)

通项公 式

a n = a1 + n-1) a k + n-k) dn + a1 -d ( d= ( d=
n(a1 + a n ) n(n ? 1) = na1 + d 2 2 d d = n 2 + (a1 ? )n 2 2 sn =
a+b 2
推广: a n = a n ? m + a n + m 2

a n = a1 q n ?1 = a k q n ? k

求和公 式

(q = 1) ?na1 ? s n = ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q (q ≠ 1 ? 1? q = 1? q ?
G 2 = ab 。推广: a n = a n? m × a n + m
2

中项公 式 性 1 质 2

A=

m+n=p+q

a m + a n = a p + aq
中 k n ∈ N ) {a k n }

m+n=p+q

am an = a p aq 。

{k n }

A.P (

{k n } 等比数列 ( 中 k n ∈ N ) {a k n }
等比数列。

为 A.P。 3 4

s n , s 2 n ? s n , s3n ? s 2 n d=

等差数列。 s n , s 2 n ? s n , s 3 n ? s 2 n

等比数列。

a n ? a1 a m ? a n = ( m ≠ n) n ?1 m?n

q n ?1 =

an a1

q n?m =

an am

( m ≠ n)
5
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⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法: ① a n ? a n ?1 = d (n ≥ 2, d为常数) ②2 a n = a n +1 + a n ?1 ( n ≥ 2 ) ③ a n = kn + b ( n, k 为常数). ⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法: ① a n = a n ?1 q(n ≥ 2, q为常数, 且 ≠ 0)
2 ② a n = a n +1 ? a n ?1 ( n ≥ 2 , a n a n +1 a n ?1 ≠ 0 )


注①:i. b = ac ,是 a、b、c 成等比的双非条件,即 b = ac ii. b = ac (ac>0)→为 a、b、c 等比数列的充分不必要. iii. b = ± ac →为 a、b、c 等比数列的必要不充分. iv. b = ± ac 且 ac f 0 →为 a、b、c 等比数列的充要.

a、b、c 等比数列.

注意:任意两数 a、c 不一定有等比中项,除非有 ac>0,则等比中项一定有两个. ③ a n = cq n ( c, q 为非零常数). ④正数列{ a n }成等比的充要条件是数列{ log x a n }( x f 1 )成等比数列. ⑷数列{ a n }的前 n 项和 S n 与通项 a n 的关系: a n = ?

?s1 = a1 (n = 1) ?s n ? s n ?1 (n ≥ 2)

( (即常数列也是等差数列) [注]: ① a n =a 1 +(n ? 1)d = nd + (a 1 ?d ) d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件 →若 d 不为 0,则是等差数列充分条件). ②等差{ a n }前 n 项和 S n = An 2 + Bn = ? ?n 2 +? a 1 ?
? ?d ? ?2? ? d? ?n 2? d 可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若 2



d 为零,则是等差数列的充分条件;若 d 不为零,则是等差数列的充分条件.

③非零常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能有等比数列) .. 2. ①等差数列依次每 k 项的和仍成等差数列,其公差为原公差的 k2 倍 S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k ... ; ②若等差数列的项数为 2 n n ∈N

(

+

) ,则 S 偶 ? S 奇 = nd, )

S奇 S偶

=

an a n +1


= n n ?1

③若等差数列的项数为 2n ? 1 n ∈N + ,则 S 2 n ?1= (2n ? 1)a n ,且 S 奇 ? S 偶 = a n , S 奇
? 代入n到2n ? 1得到所求项数 .

(

S偶

3. 常用公式:①1+2+3 …+n = ② 12 +2 2 +3 2 + Ln 2 =

n(n + 1) 2

n(n + 1)(2n + 1) 6

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③ 13 +2 3 +3 3 Ln 3 = ?

? n(n + 1) ? ? ? 2 ?

2

[注]:熟悉常用通项:9,99,999,… ? a n = 10 n ? 1 ; 5,55,555,… ? a n =

5 n 10 ? 1 . 9

(

)

4. 等比数列的前 n 项和公式的常见应用题: ⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如,第一年产量为 a ,年增长率为 r ,则每年的产量成等比数列, 公比为 1 + r . 其中第 n 年产量为 a (1 + r ) n ?1 ,且过 n 年后总产量为:
a + a(1 + r ) + a(1 + r ) 2 + ... + a (1 + r ) n ?1 = a[a ? (1 + r ) n ] . 1 ? (1 + r )

⑵银行部门中按复利计算问题. 例如:一年中每月初到银行存 a 元,利息为 r ,每月利息按复利计算,则每 月的 a 元过 n 个月后便成为 a (1 + r ) n 元. 因此,第二年年初可存款:
a (1 + r )12 + a(1 + r )11 + a(1 + r )10 + ... + a(1 + r ) = a(1 + r )[1 ? (1 + r )12 ] . 1 ? (1 + r )

⑶分期付款应用题: a 为分期付款方式贷款为 a 元;m 为 m 个月将款全部付清; r 为年利率.
a(1 + r )m = x(1 + r )m ?1 + x(1 + r )m ? 2 + ......x(1 + r ) + x ? a(1 + r )m = x(1 + r )m ? 1 ar (1 + r )m ?x= r (1 + r )m ? 1

5. 数列常见的几种形式: ⑴ a n + 2 = pa n +1 + qa n (p、q 为二阶常数) → 用特证根方法求解. 具体步骤:①写出特征方程 x 2 = Px + q ( x 2 对应 a n + 2 ,x 对应 a n +1 ),并设二根 x1 , x 2 ②若 x 1 ≠ x 2 可设
a n. =c 1 x n +c 2 x n ,若 x 1 = x 2 可设 a n = (c 1 +c 2 n) x n ;③由初始值 a 1 ,a 2 确定 c 1 ,c 2 . 1 1 2

⑵ a n = Pa n ?1 + r 、 为常数) 用①转化等差, (P r → 等比数列; ②逐项选代; ③消去常数 n 转化为 a n + 2 = Pa n +1 + qa n 的形式,再用特征根方法求 a n ;④ a n =c 1 + c 2 P n ?1 (公式法), c 1 ,c 2 由 a 1 ,a 2 确定. ①转化等差,等比: a n +1 + x = P (a n + x) ? a n +1 = Pa n + Px ? x ? x = ②选代法: a n = Pa n ?1 + r = P( Pa n ? 2 + r ) + r = L ? a n = (a 1 +
= P n ?1a 1 + P n ? 2 ?r + L + Pr + r . a n +1 = Pa n + r ? ? ( ?相减, a n +1 ? a n = Pa n ? Pa n ?1 ? a n +1 = P + 1)a n ? Pa n ?1 . a n = Pa n ?1 + r ? r r r r ,c 2 =a 1 + ,a n =c 2 P n ?1 +c 1 = a 1 + ( )P n ?1 + . 1? P P ?1 P ?1 1? P r . P ?1

r r ) P n ?1 ? = (a 1 + x) P n ?1 ? x P ?1 P ?1

③用特征方程求解:

④由选代法推导结果: c 1 =

6. 几种常见的数列的思想方法: ⑴等差数列的前 n 项和为 S n ,在 d p 0 时,有最大值. 如何确定使 S n 取最大值时的 n 值,有两种方法:
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一是求使 a n ≥ 0, a n +1 p 0 ,成立的 n 值;二是由 S n =

d 2 d n + (a1 ? )n 利用二次函数的性质求 n 的值. 2 2

⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积, 求此数列前 n 项和可依照等比数列前 n 项和的推倒导方法:错位相减求和. 例如: 1 ? ,3 ,...(2n ? 1)
1 2 1 4 1 2n ,...

⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列,此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项, 公差是两个数列公差 d 1,d 2 的最小公倍数.

2. 判 断 和 证 明 数列 是 等差 ( 等 比 ) 数 列常 有 三种 方 法 : (1)定 义 法 :对于 n ≥ 2 的 任 意自 然 数 ,验 证

a n ? a n ?1 (
都成立。

an 2 ) 为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证 2a n +1 = a n + a n ?2 (a n +1 = a n a n + 2 )n ∈ N a n ?1
?a m ≥ 0 的项数 m 使得 s m 取最大 ?a m+1 ≤ 0

3. 在等差数列{ a n }中,有关 Sn 的最值问题:(1)当 a1 >0,d<0 时,满足 ?

值. (2)当 a1 <0,d>0 时,满足 ?

?a m ≤ 0 的项数 m 使得 s m 取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转 ?a m+1 ≥ 0

化思想的应用。 (三)、数列求和的常用方法 1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2.裂项相消法:适用于 ?

?

c ? ? 其中{ a n }是各项不为 0 的等差数列,c 为常数;部分无理数列、含 ? a n a n+1 ?

阶乘的数列等。 3.错位相减法:适用于 {a n bn }其中{ a n }是等差数列, {bn } 是各项不为 0 的等比数列。 4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法. 5.常用结论 1): 1+2+3+...+n =

n(n + 1) 2
2

2) 1+3+5+...+(2n-1) = n
3 3 3

?1 ? 3) 1 + 2 + L + n = ? n( n + 1) ? ?2 ?
4) 1 + 2 + 3 + L + n =
2 2 2 2

2

1 n(n + 1)(2n + 1) 6 1 1 1 1 = ( ? ) n ( n + 2) 2 n n + 2

5)

1 1 1 = ? n(n + 1) n n + 1

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6)

1 1 1 1 = ( ? ) ( p < q) pq q ? p p q

高中数学第四章-三角函数 高中数学第四章 三角函数
考试内容: 考试内容:
角的概念的推广.弧度制. 任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式. 两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切. 正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数 y=Asin(ωx+φ)的图像.正切函数的图像和性质.已 知三角函数值求角. 正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.

考试要求: 考试要求:
(1)理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算. (2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义;了解余切、正割、余割的定义;掌握同角三角函数的基本关 系式;掌握正弦、余弦的诱导公式;了解周期函数与最小正周期的意义. (3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式. (4)能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明. (5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数 y=Asin(ωx+φ)的简图,理解 A.ω、φ的物理意义. (6)会由已知三角函数值求角,并会用符号 arcsinx\arc-cosx\arctanx 表示. (7)掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形. (8)“同角三角函数基本关系式:sin2α+cos2α=1,sinα/cosα=tanα,tanα?cosα=1”.

§04. 三角函数 知识要点
1. ①与 α (0°≤ α <360°)终边相同的角的集合(角 α 与角 β 的终边重合): β | β = k × 360 o + α , k ∈ Z


{

}

②终边在 x 轴上的角的集合: β | β = k ×180 , k ∈ Z
o

{

} } } }
4 cosx cosx 1

y
3 sinx 2 sinx 1 cosx cosx 4 sinx 2 sinx 3

③终边在 y 轴上的角的集合: β | β = k ×180 o + 90 o , k ∈ Z ④终边在坐标轴上的角的集合: β | β = k × 90 o , k ∈ Z

{

x

{

}

⑤终边在 y=x 轴上的角的集合: β | β = k ×180 o + 45 o , k ∈ Z

{

⑥终边在 y = ? x 轴上的角的集合: β | β = k ×180 ? 45 , k ∈ Z
o o

{

SIN\COS三角函数值大小关系图 1、 2、 3、 4表示第一、二、三、 四象限一半所在区域

⑦若角 α 与角 β 的终边关于 x 轴对称,则角 α 与角 β 的关系: α = 360 o k ? β ⑧若角 α 与角 β 的终边关于 y 轴对称,则角 α 与角 β 的关系: α = 360 o k + 180 o ? β ⑨若角 α 与角 β 的终边在一条直线上,则角 α 与角 β 的关系: α = 180 o k + β ⑩角 α 与角 β 的终边互相垂直,则角 α 与角 β 的关系: α = 360 o k + β ± 90 o
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2. 角度与弧度的互换关系:360°=2 π 180°= π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式: 1rad= 180 °≈57.30°=57°18ˊ.
π

1°= π ≈0.01745(rad)
180

3、弧长公式: l

=| α | ?r .

扇形面积公式: s扇形 =

4、三角函数:设 α 是一个任意角,在 α 的终边上任取(异于 (x,y)P 与原点的距离为 r,则
cot α = x; y

1 1 lr = |α | ? r 2 2 2
原点的)一点 P
y a的 的 的
P(x,y) ( r

sin α =

y; r

cos α =

x r



tan α =

y x



sec α =

r r ;. csc α = . x y

o

x

5、三角函数在各象限的符号: (一全二正弦,三切四余
y y

弦)
y P T

+ + o x 正 余 、余 正

- + o - + x
余 余 、正 正

y

- + o x + O

M

Ax

正 正 、余 正

6、三角函数线 正弦线:MP;

16. 几几几要几几 :

余弦线:OM;

正切线:

(1)

y

(2)

y

AT.

|sinx|>|cosx|

7. 三角函数的定义域:

sinx>cosx
O x

|cosx|>|sinx| O

|cosx|>|sinx| x

cosx>sinx |sinx|>|cosx| π (3) 若 o<x< ,则sinx<x<tanx 2

三角函数 f (x) = sinx
f (x) = cosx f (x) = tanx f (x) = cotx f (x) = secx f (x) = cscx

定义域

{x | x ∈ R} {x | x ∈ R}
1 ? ? ? x | x ∈ R且x ≠ kπ + π , k ∈ Z ? 2 ? ? {x | x ∈ R且x ≠ kπ , k ∈ Z } 1 ? ? ? x | x ∈ R且x ≠ kπ + π , k ∈ Z ? 2 ? ? {x | x ∈ R且x ≠ kπ , k ∈ Z }
cos α
cos α = cot α sin α

8、同角三角函数的基本关系式: sin α = tan α
tan α ? cot α = 1 csc α ? sin α = 1
2 2

sec α ? cos α = 1

sin α + cos α = 1 sec 2 α ? tan 2 α = 1 csc 2 α ? cot 2 α = 1

9、诱导公式:
把 kπ ± α的三角函数化为α的三角函数,概括为: 2

第 12 页 共 39 页

“奇变偶不变,符号看象限” 三角函数的公式:(一)基本关系

公式组一 公式组一 sinx·cscx=1 cosx·secx=1 tanx·cotx=1
sin x tanx= cos x

sin2x+cos2x=1 1+tan2 x =sec2x 1+cot2x=csc2x

x=

cos x sin x

公式组二 sin(2kπ + x) = sin x cos(2kπ + x) = cos x tan(2kπ + x) = tan x cot(2kπ + x) = cot x 公式组六
sin(π ? x) = sin x cos(π ? x) = ? cos x tan(π ? x) = ? tan x cot(π ? x) = ? cot x

公式组三 sin(? x) = ? sin x cos(? x) = cos x tan(? x) = ? tan x cot(? x ) = ? cot x

公式组四 sin(π + x) = ? sin x cos(π + x) = ? cos x tan(π + x) = tan x cot(π + x) = cot x

公式组五
sin(2π ? x ) = ? sin x cos(2π ? x) = cos x tan(2π ? x) = ? tan x cot(2π ? x) = ? cot x

(二)角与角之间的互换 公式组一 cos(α + β ) = cos α cos β ? sin α sin β
cos(α ? β ) = cos α cos β + sin α sin β sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β sin(α ? β ) = sin α cos β ? cos α sin β tan(α + β ) = tan(α ? β ) = tan α + tan β 1 ? tan α tan β tan α ? tan β 1 + tan α tan β

公式组二 sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α = 2 cos 2 α ? 1 = 1 ? 2 sin 2 α

tan 2α =
sin

2 tan α 1 ? tan 2 α
1 ? cos α 2 1 + cos α 2

α
2



cos

α
2



tan

α
2



1 ? cos α sin α 1 ? cos α = = 1 + cos α 1 + cos α sin α

公式组三
sin α = 2 tan 1 + tan

α
2
2

α
2

cos α =

1 ? tan 2 1 + tan
2

α α
2 2

tan α =

2 tan

α
2

1 ? tan 2
sin 15 o = cos 75 o =

α
2

1 [sin (α + β ) + sin (α ? β )] 2 1 cos α sin β = [sin (α + β ) ? sin (α ? β )] 2 1 cos α cos β = [cos(α + β ) + cos(α ? β )] 2 1 sin α sin β = ? [cos(α + β ) ? cos(α ? β )] 2 α+β α ?β sin α + sin β = 2 sin cos 2 2 α+β α?β sin α ? sin β = 2 cos sin 2 2 α+β α?β cos α + cos β = 2 cos cos 2 2 α+β α?β cos α ? cos β = ?2 sin sin 2 2 sin α cos β =

公式组四

公式组五

1 cos( π ? α ) = sin α 2 1 sin( π ? α ) = cos α 2 1 tan( π ? α ) = cot α 2 1 cos( π + α ) = ? sin α 2 1 tan( π + α ) = ? cot α 2 1 sin( π + α ) = cos α 2

6? 2, sin 75 o = cos 15 o = 4

6 + 2 , tan 15 o = cot 75 o = 2 ? 3 , tan 75 o = cot 15 o = 2 + 3 . 4

10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:
y = sin x y = cos x

y = tan x

y = cot x
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y = A sin (ωx + ? )

(A、 ω >0) 定义域 值域 R
[?1,+1]

R
[?1,+1]

1 ? ? ? x | x ∈ R且x ≠ k π + π , k ∈ Z ? 2 ? ?

{x | x ∈ R且x ≠ kπ , k ∈ Z }
R
π

R

R
π

[? A, A]


周期性





ω

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

奇函数

[?

π
2

+ 2kπ ,

[(2k ? 1)π , π ? π ? ; ? ? + kπ , + kπ ? 2 2kπ ] ? 2 ?

(kπ , (k + 1)π ) 上为减函
数( k ∈ Z )

当 ? ≠ 0, 非奇非偶 当 ? = 0, 奇函数
? ? 2kπ ? ? ? ? 2kπ ? ? ? ? 2 ( A), ? ω ? ? 1 + π ?? ? 2 (? A)? ω ? ? ??

π

π
2

+ 2kπ ]

上为增函 数 ; 单调性
[

上为增函 数 [2kπ , (2k + 1)π ] 上为减函 数 (k∈Z )

上 为 增 函 数 (k∈Z )

π

2 3π + 2kπ ] 2

+ 2kπ ,

上为增函数; π ? ? 2kπ + ? ?
2

上为减函 数 k∈Z ) (

? ? ( A), ? ? ω ? ? ? ? 3 ? ? 2kπ + 2 π ? ? (? A)? ? ω ? ?

上 为 减 函 数 (k∈Z ) 注意:① y = ? sin x 与 y = sin x 的单调性正好相反; y = ? cos x 与 y = cos x 的单调性也同样相反.一般地,若 y = f ( x ) 在 [a, b] 上递增(减),则 y = ? f ( x) 在 [a, b] 上递减(增).


② y = sin x 与 y = cos x 的周期是 π . ③ y = sin(ωx + ? ) 或 y = cos(ωx + ? ) ( ω ≠ 0 )的周期 T =
y = tan

y



ω

.
O

x

x 的周期为 2 π ( π T= ? T = 2π ,如图,翻折无效). 2 ω

④ y = sin(ωx + ? ) 的对称轴方程是 x = kπ +

π
2

( k ∈ Z ),对称中心( kπ ,0 ); y = cos(ωx + ? ) 的对称轴方程是

x = kπ ( k ∈ Z ),对称中心( kπ + 1 π ,0 ); y
2

= tan(ωx + ? ) 的对称中心(
π
2

kπ ,0 ). 2

y = cos 2 x ?? ? → y = ? cos( ?2 x ) = ? cos 2 x ?
原点对称

⑤当 tan α · tan β = 1, α + β = kπ +

π
2

(k ∈ Z ) ; tan α · tan β = ?1, α ? β = kπ +

(k ∈ Z ) .

⑥ y = cos x 与 y = sin ? x + π + 2kπ ? 是同一函数,而 y = (ωx + ? ) 是偶函数,则 ? ? 2 ? ?
1 y = (ωx + ? ) = sin(ωx + kπ + π ) = ± cos(ωx) . 2

⑦函数 y = tan x 在 R 上为增函数.(×) [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域, y = tan x 为增 函数,同样也是错误的].
第 14 页 共 39 页

⑧定义域关于原点对称是 f (x ) 具有奇偶性的必要不充分条件. 奇偶性的两个条件: ( 一是定义域关于原点对 称(奇偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数: f (? x ) = f ( x) ,奇函数: f ( ? x ) = ? f ( x ) ) 奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如: y = tan x 是奇函数, y = tan( x + 1 π ) 是非奇非偶.(定义域不关于原点 3 对称) 奇函数特有性质:若 0 ∈ x 的定义域,则 f (x ) 一定有 f (0) = 0 .( 0 ? x 的定义域,则无此性质)


⑨ y = sin x 不是周期函数; y = sin x 为周期函数( T = π );
y = cos x 是周期函数(如图); y = cos x 为周期函数( T = π );

y



y

x

1/2 x

y=cos|x|图象

1 y = cos 2 x + 的周期为 π (如图),并非所有周期函数都有最小正周期,例如: 2

y=|cos2x+1/2|图象

y = f ( x) = 5 = f ( x + k ), k ∈ R .

⑩ y = a cos α + b sin β = a 2 +b 2 sin(α + ? ) + cos ? =

b 有 a 2 +b 2 ≥ y . a

11、三角函数图象的作法:
1)、几何法: 2)、描点法及其特例——五点作图法(正、余弦曲线),三点二线作图法(正、余切曲线). 3)、利用图象变换作三角函数图象. 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等. 函数 y=Asin(ωx+φ)的振幅|A|,周期 T = 2π ,频率 f = 1 = | ω | ,相位 ω x + ? ; 初相 ? (即当 x=0
|ω |

T



时的相位).(当 A>0,ω>0 时以上公式可去绝对值符号), 由 y=sinx 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当 0<|A|<1)到原来的 |A|倍,得到 y=Asinx 的图象,叫做振幅变换 振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换.(用 y/A 替换 y) 振幅变换 由 y=sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0<|ω|<1)或缩短(|ω|>1)到原来的 | 1 |
ω

倍,得到 y=sinω x 的图象,叫做周期变换 周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换.(用ωx 替换 x) 周期变换 由 y=sinx 的图象上所有的点向左(当 φ>0)或向右(当 φ<0)平行移动|φ|个单位,得到 y=sin (x+φ)的图象,叫做相位变换 相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移.(用 x+φ 替换 x) 相位变换 由 y=sinx 的图象上所有的点向上(当 b>0)或向下(当 b<0)平行移动|b|个单位,得到 y=sinx +b 的图象叫做沿 y 轴方向的平移.(用 y+(-b)替换 y) 由 y=sinx 的图象利用图象变换作函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)(x∈R)的图象,要特别 注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延 x 轴量伸缩量的区别。 反三角函数: 4、反三角函数: 函数 y=sinx, x ∈ ?? π , ? ? 的反函数叫做反正弦函数 记作 y=arcsinx, 反正弦函数, 它的定义域是 [-1, ] 值域是 ?- π , ? . 1 , ? π 反正弦函数 π ? ?
? ? ? 2 2 ?? ? ??
? ? 2 2? ?

函数 y=cosx,(x∈[0,π])的反应函数叫做反余弦函数 反余弦函数,记作 y=arccosx,它的定义域是[-1, 反余弦函数 1],值域是[0,π]. 函数 y=tanx, ? x ∈ ? ? π , ? ? 的反函数叫做反正切函数 反正切函数,记作 y=arctanx,它的定义域是(-∞,+∞), 反正切函数 π ? ?
? ? ? ?? ? 2 2 ??

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值域是 ? ? π , ? . π
? ? ? 2 2?

函数 y=ctgx,[x∈(0,π)]的反函数叫做反余切函数 反余切函数,记作 y=arcctgx,它的定义域是(-∞,+ 反余切函数 ∞),值域是(0,π).

高中数学第五 平面向量 高中数学第五章-平面向量
考试内容: 考试内容: 向量. 向量的加法与减法. 实数与向量的积. 平面向量的坐标表示. 线段的定比分点. 平面向量的数量积. 平 面两点间的距离、平移. 考试要求: 考试要求: (1)理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问 题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式,以及线段的定比分点和中点坐标公式,并且能熟练运用掌握平移公式.

§05. 平面向量 知识要点
1.本章知识网络结构

?
2.向量的概念? (1)向量的基本要素:大小和方向.?(2)向量的表示:几何表示法 AB ;字母表示:a; 坐标表示法 a=xi+yj=(x,y).? i j (3)向量的长度:即向量的大小,记作|a|.? (4)特殊的向量:零向量 a=O ? |a|=O.? O O 单位向量 aO 为单位向量 ? |aO|=1.? (5)相等的向量:大小相等,方向相同?(x1,y1)=(x2,y2) ? ?

? x1 = x 2 ? y1 = y 2

(6) 相反向量:a=-b ? b=-a ? a+b=0 (7)平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量,称为平行向量.记作 a∥b.平行向量也称为共线向量.? 3.向量的运算? 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质

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r r r r a+b = b+a
向量的 加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则

r r a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 )

r r r r r r (a + b) + c = a + (b + c)

AB + BC = AC r r a ? b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )
r r r r a ? b = a + (?b)
uuu r uuu r AB = ? BA , OB? OA= AB

向量的 减法

三角形法则

1.

λa 是 一 个 向 量 , 满
r r

r

足: | λ a |=| λ || a | 数 乘 向 量 2. λ >0 时,

λ ( ? a) = (λ? )a λ a = (λ x, λ y )
r r r r (λ + ? ) a = λ a + ? a

r

r

λ a与a 同向;

r

r

r r λ <0 时, λ a与a 异向;

λ ( a + b) = λ a + λ b
r r r r a // b ? a = λ b r r r r a ?b = b?a
r r r r r r (λa) ? b = a ? (λb) = λ(a ? b)

r r

r

r

r r λ =0 时, λ a = 0 . r r a ? b 是一个数
向 量 的 数 量 积

r r r r 1. a = 0或b = 0 时, r r a ?b = 0 . r r r r a ≠ 0且b ≠ 0时, 2. r r r r a ?b =| a || b | cos(a, b)

r r a ? b = x1 x2 + y1 y2

r r r r r r r ( a + b) ? c = a ? c + b ? c
r2 r u r a =| a |2 即|a|= x 2 + y 2 r r r r | a ? b |≤| a || b |

4.重要定理、公式 (1)平面向量基本定理? e1,e2 是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任一向量,有且仅有一对实数λ1, λ2,使 a=λ1e1+λ2e2.? (2)两个向量平行的充要条件? a∥b ? a=λb(b≠0) ? x1y2-x2y1=O.? (3)两个向量垂直的充要条件? a⊥b ? a·b=O ? x1x2+y1y2=O.? (4)线段的定比分点公式? 设点 P 分有向线段 P1 P2 所成的比为λ,即 P P =λ PP2 ,则? 1

OP =

1 1 OP1 + OP2 (线段的定比分点的向量公式)? 1+ λ 1+ λ

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? ?x = ? ? ?y = ? ?

x1 + λx 2 , 1+ λ (线段定比分点的坐标公式)? y1 + λy 2 . 1+ λ

当λ=1 时,得中点公式:?

x1 + x 2 ? ?x = 2 , 1 ? OP = ( OP1 + OP2 )或 ? 2 ? y = y1 + y 2 . ? 2 ?
(5)平移公式 设点 P(x,y)按向量 a=(h,k)平移后得到点 P′(x′,y′) , 则 OP ′ = OP +a 或 ?

? x ′ = x + h, ? y′ = y + k.

曲线 y=f(x)按向量 a=(h,k)平移后所得的曲线的函数解析式为: y-k=f(x-h) (6)正、余弦定理? 正弦定理:

a b c = = = 2 R. sin A sin B sin C
2 2 2

余弦定理:a =b +c -2bccosA,? 2 2 2 b =c +a -2cacosB,? 2 2 2 c =a +b -2abcosC.?

(7)三角形面积计算公式: 设△ABC 的三边为 a,b,c,其高分别为 ha,hb,hc,半周长为 P,外接圆、内切圆的半径为 R,r. ②S△=Pr ③S△=abc/4R ①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△= P (P ? a )(P ? b )(P ? c ) [海伦公式]

⑥S△=1/2(b+c-a)ra[如下图]=1/2(b+a-c)rc=1/2(a+c-b)rb [注]:到三角形三边的距离相等的点有 4 个,一个是内心,其余 3 个是旁心.A 如图: A
A

E
b

F

A cD I B aE C
ra

c a E D ra ra I

c b O
B
F

F b

B

C N

C

C

a

B

1图

图2

图3

图4

图 1 中的 I 为 S△ABC 的内心, S△=Pr 图 2 中的 I 为 S△ABC 的一个旁心,S△=1/2(b+c-a)ra

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附:三角形的五个“心”; 重心:三角形三条中线交点. 外心:三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心:三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心:三角形三边上的高相交于一点. 旁心:三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点. ⑸已知⊙O 是△ABC 的内切圆,若 BC=a,AC=b,AB=c [注:s 为△ABC 的半周长,即 则:①AE= s ? a =1/2(b+c-a) ②BN= s ? b =1/2(a+c-b) ③FC= s ? c =1/2(a+b-c) 综合上述:由已知得,一个角的邻边的切线长,等于半周长减去对边(如图 4). 特例:已知在 Rt△ABC,c 为斜边,则内切圆半径 r=
a+b?c ab = (如图 3). 2 a+b+c
tan A + tan B = ? tan C ,∴ 结论! 1 ? tan A tan B

a+b+c ] 2

⑹在△ABC 中,有下列等式成立 tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C . 证明:因为 A + B = π ? C , 所以 tan ( A + B ) = tan (π ? C ) ,所以 ⑺在△ABC 中,D 是 BC 上任意一点,则 AD 2 =

AC 2 BD + AB 2 BC ? BD ? DC . BC

证明:在△ABCD 中,由余弦定理,有 AD 2 = AB 2 + BD 2 ?2 ? AB ? BD cos B L ① 在△ABC 中,由余弦定理有 cos B = 可得, AD 2 =
AB 2 + BC 2 ? AC 2 L ②,②代入①,化简 2 AB ? BC
A

AC 2 BD + AB 2 BC ? BD ? DC (斯德瓦定理) BC
1 2b 2 + 2c 2 ? a 2 ; 2
D

图5

①若 AD 是 BC 上的中线, m a = ②若 AD 是∠A 的平分线, t a = ③若 AD 是 BC 上的高, ha = ⑻△ABC 的判定:
2 a

2 B bc ? p( p ? a ) ,其中 p 为半周长; b+c

C

p( p ? a )( p ? b )( p ? c ) ,其中 p 为半周长.

c 2 = a 2 +b 2 ? △ABC 为直角△ ? ∠A + ∠B = π
2

c 2 < a 2 +b 2 ? △ABC 为钝角△ ? ∠A + ∠B< c 2 > a 2 +b 2 ? △ABC 为锐角△ ? ∠A + ∠B>
2 2 2

π
2

π
2

附:证明: cos C = a +b ?c ,得在钝角△ABC 中, cos C p 0 ? a 2 +b 2 ?c 2 p 0, ? a 2 +b 2 pc 2
2ab

⑼平行四边形对角线定理:对角线的平方和等于四边的平方和.
a + b 2 + a ? b 2 = 2( a 2 + b 2 )

空间向量

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1.空间向量的概念: 空间向量的概念: 具有大小和方向的量叫做向量 注:⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2.空间向量的运算 定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、 定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下
新疆 王新敞
奎屯

新疆 王新敞 奎屯

新疆 王新敞 奎屯

新疆 王新敞 奎屯

新疆 王新敞 奎屯

r v OB = OA + AB = a + b r r BA = OA ? OB = a ? b

r OP = λa (λ ∈ R)
运算律: 加法交换律: 运算律:⑴加法交换律: a + b = b + a

r

v

v

v

⑵加法结合律: (a + b ) + c = a + (b + c ) 加法结合律: ⑶数乘分配律: λ ( a + b ) = λa + λb 数乘分配律:
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3 共线向量 r 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量. a 平行 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量.

r

于 b 记作 a // b . 当我们说向量 a 、 b 共线(或 a // b )时,表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是同一直线,也可 共线( 的有向线段所在的直线可能是同一直线, 能是平行直线. 能是平行直线. 共线向量定理及其推论: 4.共线向量定理及其推论: 共线向量定理: 共线向量定理:空间任意两个向量 a 、 b ( b ≠ 0 ), a // b 的充要条件是存在实数 λ,使 a =λ b . , 推论: 的直线, 推论:如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,那么对于任意一点 O,点 P 在直线 l 上 , 的充要条件是存在实数 t 满足等式

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r OP = OA + t a .
的方向向量. 其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量. 向量与平面平行: 5.向量与平面平行: 平行于平面 作 如果直线 OA 平行于 α 或在 α 内, 那么我们说向量 a 平行于平面 α , 已知平面 α 和向量 a , OA = a , 记作: 记作: a // α . 通常我们把平行于同一平面的向量, 通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量 说明: 说明:空间任意的两向量都是共面的 共面向量定理: 6.共面向量定理:
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r

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不共线, 如果两个向量 a , b 不共线, p 与向量 a , b 共面的充要条件是存在实数 x, y 使 p = xa + yb

r r

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推论: 空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对 x, y , MP = xMA + yMB 或 使 推论:
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对空间任一点 O ,有 OP = OM + xMA + yMB ①式叫做平面 MAB 的向量表达式
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空间向量基本定理: 7 空间向量基本定理:
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如 果 三个 向 量 a , b , c 不 共 面 , 那 么 对空 间 任一 向 量 p , 存 在 一个 唯 一的 有 序实数 组 x, y , z , 使

r r r

r

r r r r p = xa + yb + zc

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推论: 是不共面的四点, 推论:设 O, A, B, C 是不共面的四点,则对空间任一点 P ,都存在唯一的三个 有序实数 x, y , z ,使 OP = xOA + yOB + zOC 空间向量的夹角及其表示: 8 空间向量的夹角及其表示:
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的夹角, 已知两非零向量 a , b ,在空间任取一点 O ,作 OA = a , OB = b ,则 ∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角,记 作 < a , b > ;且规定 0 ≤< a , b >≤ π ,显然有 < a , b >=< b , a > ;若 < a , b >=

r r

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r r uuu
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r r

π
2

互相垂直, ,则称 a 与 b 互相垂直,

r

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r r 记作: 记作: a ⊥ b .
9.向量的模: 向量的模: 的长度或模,记作: 设 OA = a ,则有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模,记作: | a | . 10.向量的数量积: 10.向量的数量积: a ? b = | a | ? | b | ? cos < a, b > . 同方向的单位向量, 已知向量 AB = a 和轴 l , e 是 l 上与 l 同方向的单位向量,作点 A 在 l 上的射影 A′ ,作点 B 在 l 上的 上的正射影. 射影 B′ ,则 A′B′ 叫做向量 AB 在轴 l 上或在 e 上的正射影. 可以证明 A′B′ 的长度 | A′B′ |=| AB | cos < a , e >=| a ? e | . 11.空间向量数量积的性质: 11.空间向量数量积的性质:
2 .(2 .(3 (1) a ? e =| a | cos < a , e > .(2) a ⊥ b ? a ? b = 0 .(3) | a | = a ? a .

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12.空间向量数量积运算律: 12.空间向量数量积运算律: .(2 交换律)( )(3 分配律). (1) (λ a ) ? b = λ ( a ? b ) = a ? (λ b ) .(2) a ? b = b ? a (交换律)(3) a ? (b + c ) = a ? b + a ? c (分配律).

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r

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高中数学第六章高中数学第六章-不等式
考试内容: 考试内容: 不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含绝对值的不等式. 考试要求: 考试要求: (1)理解不等式的性质及其证明.

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(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用. (3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式. (4)掌握简单不等式的解法. (5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ §06. 不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 (1) 不等(等)号的定义: a ? b > 0 ? a > b; a ? b = 0 ? a = b; a ? b < 0 ? a < b. (2) 不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式. (3) 同向不等式与异向不等式. (4) 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 (1) a > b ? b < a (对称性) (2) a > b, b > c ? a > c (传递性) (3) a > b ? a + c > b + c (加法单调性) (4) a > b, c > d ? a + c > b + d (同向不等式相加) (5) a > b, c < d ? a ? c > b ? d (异向不等式相减) (6) a. > b, c > 0 ? ac > bc (7) a > b, c < 0 ? ac < bc (乘法单调性) (8) a > b > 0, c > d > 0 ? ac > bd (同向不等式相乘)
(9) a > b > 0, 0 < c < d ? a b (异向不等式相除) > c d

(10) a > b, ab > 0 ?

1 1 (倒数关系) < a b

(11) a > b > 0 ? a n > b n (n ∈ Z , 且n > 1) (平方法则) (12) a > b > 0 ? n a > n b (n ∈ Z , 且n > 1) (开方法则) 3.几个重要不等式 (1) 若a ∈ R, 则 | a |≥ 0, a 2 ≥ 0 (2) 若a、b ∈ R + , 则a 2 + b 2 ≥ 2ab(或a 2 + b 2 ≥ 2 | ab |≥ 2ab) (当仅当 a=b 时取等号) (3)如果 a,b 都是正数,那么
ab ≤ a + b (当仅当 a=b 时取等号) . 2

极值定理:若 x, y ∈ R + , x + y = S , xy = P, 则: 1 ○如果 P 是定值, 那么当 x=y 时,S 的值最小; 2 ○如果 S 是定值, 那么当 x=y 时,P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等.
(4)若a、b、c ∈ R + , 则 a+b+c 3 ≥ abc (当仅当 a=b=c 时取等号) 3

b a (5) 若ab > 0, 则 + ≥ 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b

(6)a > 0时,x |> a ? x 2 > a 2 ? x < ?a 或 x > a; |

| x |< a ? x 2 < a 2 ? ?a < x < a

(7) 若a、b ∈ R, 则 || a | ? | b ||≤| a ± b |≤| a | + | b | 4.几个著名不等式 (1)平均不等式: 如果 a,b 都是正数,那么
2 a+b a 2 + b 2 (当仅当 ≤ ab ≤ ≤ . 1 1 2 2 + a b

a=b 时取等号)即:平

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方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b 为正数):
2 2 2 2 特别地, ab ≤ ( a + b ) 2 ≤ a +b (当 a = b 时, ( a + b ) 2 = a +b = ab ) 2 2 2 2

a 2 + b 2 + c 2 ? a + +b + c ? ≥? ? (a, b, c ∈ R, a = b = c时取等) 3 3 ? ?
2

2 2 ? 幂平均不等式: a12 + a 2 + ... + a n ≥

1 (a1 + a 2 + ... + a n ) 2 n

注:例如: (ac + bd ) 2 ≤ ( a 2 +b 2 )(c 2 + d 2 ) .

1 1 1 1 1 1 1 常用不等式的放缩法:① ? = p 2p = ? (n ≥ 2) n n + 1 n(n + 1) n n(n ? 1) n ? 1 n
② n +1 ? n =

1 n + n +1

p

1 2 n

p

1 n + n ?1

= n ? n ? 1(n ≥ 1)

(2)柯西不等式: 若a1 , a 2 , a3 ,L, a n ∈ R, b1 , b2 , b3 L , bn ∈ R; 则

2 2 2 2 2 2 2 (a1b1 + a 2 b2 + a3b3 + L + a n bn ) 2 ≤ (a1 + a 2 + a3 + L + a n )(b12 + b2 + b3 + Lbn ) a1 a 2 a3 an 当且仅当 = = = L = 时取等号 b1 b2 b3 bn

(3)琴生不等式(特例)与凸函数、凹函数 若定义在某区间上的函数 f(x),对于定义域中任意两点 x1 , x2 ( x1 ≠ x2 ), 有
f( x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) )≤ 或 2 2 f( x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) )≥ . 2 2

则称 f(x)为凸(或凹)函数. 5.不等式证明的几种常用方法 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 6.不等式的解法 (1)整式不等式的解法(根轴法). 步骤:正化,求根,标轴,穿线(偶重根打结),定解. 特例① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论; 2 ②一元二次不等式 ax +bx+c>0(a≠0)解的讨论. (2)分式不等式的解法:先移项通分标准化,则

f ( x) > 0 ? f ( x ) g ( x) > 0; g ( x)

? f ( x ) g ( x) ≥ 0 f ( x) ≥0?? g ( x) ? g ( x) ≠ 0

(3)无理不等式:转化为有理不等式求解 1 ○ f ( x) > g ( x ) ? ? g ( x) ≥ 0 ? ? 定义域 ? ?
? f ( x) > g ( x) ? ? f ( x) ≥ 0 ? f ( x) ≥ 0?

2 ○ f ( x) > g ( x) ? ? g ( x) ≥ 0 ?

或? f ( x) ≥ 0 ? g ( x) < 0 ? f ( x) > [ g ( x)] 2 ? ?

3 ○

? f ( x) ≥ 0 ? f ( x) < g ( x ) ? ? g ( x) ≥ 0 ? f ( x) < [ g ( x)]2 ?

(4).指数不等式:转化为代数不等式

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a f ( x ) > a g ( x ) (a > 1) ? f ( x) > g ( x);

a f ( x ) > a g ( x ) (0 < a < 1) ? f ( x) < g ( x)

a f ( x ) > b(a > 0, b > 0) ? f ( x) ? lg a > lg b

(5)对数不等式:转化为代数不等式
? f ( x) > 0 ? log a f ( x) > log a g ( x)(a > 1) ? ? g ( x) > 0 ; ? f ( x) > g ( x) ? ? f ( x) > 0 ? log a f ( x) > log a g ( x)(0 < a < 1) ? ? g ( x) > 0 ? f ( x) < g ( x) ?

(6)含绝对值不等式 1 ○应用分类讨论思想去绝对值; 3 ○应用化归思想等价转化

2 ○应用数形思想;

| f ( x) |< g ( x) ? ? g ( x ) > 0 ?? g ( x ) < f ( x ) < g ( x ) ? | f ( x) |> g ( x ) ? g ( x ) ≤ 0( f ( x ), g ( x )不同时为0)或? g ( x ) > 0 ? f ( x ) < ? g ( x)或f ( x ) > g ( x) ?

注:常用不等式的解法举例(x 为正数): ① x(1 ? x ) 2 =

1 1 2 4 ? 2 x(1 ? x )(1 ? x) ≤ ( ) 3 = 2 2 3 27
2 x 2 (1 ? x 2 )(1 ? x 2 ) 1 2 3 4 2 3 ≤ ( ) = ?y≤ 2 2 3 27 9

② y = x(1 ? x 2 ) ? y 2 =

类似于 y = sin x cos 2 x = sin x(1 ? sin 2 x) ,③ | x + 1 |=| x | + | 1 | ( x与 1 同号,故取等) ≥ 2 x x x

高中数学第七章-直线和圆的方程 高中数学第七章考试内容: 考试内容: 直线的倾斜角和斜率,直线方程的点斜式和两点式.直线方程的一般式. 两条直线平行与垂直的条件.两条直线的交角.点到直线的距离. 用二元一次不等式表示平面区域.简单的线性规划问题. 曲线与方程的概念.由已知条件列出曲线方程. 圆的标准方程和一般方程.圆的参数方程. 考试要求: 考试要求: (1)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握直线方程的点斜式、两点式、 一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程. (2)掌握两条直线平行与垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断 两条直线的位置关系. (3)了解二元一次不等式表示平面区域. (4)了解线性规划的意义,并会简单的应用. (5)了解解析几何的基本思想,了解坐标法. (6)掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念。理解圆的参数方程.

§07. 直线和圆的方程 知识要点
一、直线方程. 直线方程. 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角,其中直线与 x 1. 直线的倾斜角:一条直线向上的方向与 x
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轴平行或重合时,其倾斜角为 0,故直线倾斜角的范围是 0 o ≤ α p 180 o (0 ≤ α p π ) . 注:①当 α = 90 o 或 x 2 = x 1 时,直线 l 垂直于 x 轴,它的斜率不存在. ②每一条直线都存在惟一的倾斜角,除与 x 轴垂直的直线不存在斜率外,其余每一条直线都有惟一的斜率, 并且当直线的斜率一定时,其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式:点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地,当直线经过两点 (a,0), (0, b) ,即直线在 x 轴, y 轴上的截距分别为 a, b(a ≠ 0, b ≠ 0) 时,直线方程是:
x y + = 1. a b

注:若 y = ?

2 2 2 x ? 2 是一直线的方程,则这条直线的方程是 y = ? x ? 2 ,但若 y = ? x ? 2( x ≥ 0) 则不是这条 3 3 3

线. 附: 直线系: 对于直线的斜截式方程 y = kx + b , k, b 均为确定的数值时, 当 它表示一条确定的直线, 如果 k, b 变化时,对应的直线也会变化.①当 b 为定植, k 变化时,它们表示过定点(0, b )的直线束.②当 k 为定值, b 变化时,它们表示一组平行直线. 3. ⑴两条直线平行: l 1 ∥ l 2 ? k 1=k 2 两条直线平行的条件是:① l 1 和 l 2 是两条不重合的直线. ②在 l 1 和 l 2 的斜率都存在的前提下 得到的. 因此,应特别注意,抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误. (一般的结论是:对于两条直线 l 1 ,l 2 ,它们在 y 轴上的纵截距是 b1 ,b 2 ,则 l 1 ∥ l 2 ? k 1=k 2 ,且 b1 ≠b 2 或 l 1 ,l 2 的斜率均不存在,即 A1 B 2 = B 1 A 2 是平行的必要不充分条件,且 C 1 ≠C 2 ) 推论:如果两条直线 l 1 ,l 2 的倾斜角为 α 1,α 2 则 l 1 ∥ l 2 ?α 1=α 2 . ⑵两条直线垂直: 两条直线垂直的条件:①设两条直线 l 1 和 l 2 的斜率分别为 k 1 和 k 2 ,则有 l 1 ⊥l 2 ? k 1k 2 = ?1 这里的前提是 l 1 ,l 2 的斜率都存在. ② l 1 ⊥l 2 ? k 1= 0 ,且 l 2 的斜率不存在或 k 2 = 0 ,且 l 1 的斜率不存在. (即 A1 B 2 + A 2 B 1 = 0 是垂 直的充要条件) 4. 直线的交角: ⑴直线 l 1 到 l 2 的角(方向角);直线 l 1 到 l 2 的角,是指直线 l 1 绕交点依逆时针方向旋转到与 l 2 重合时所转 动的角 θ ,它的范围是 (0, π ) ,当 θ ≠ 90 o 时 tan θ =
k 2 ?k 1 . 1 + k 1k 2

⑵两条相交直线 l 1 与 l 2 的夹角:两条相交直线 l 1 与 l 2 的夹角,是指由 l 1 与 l 2 相交所成的四个角中最小的正
k ?k ? π? 角 θ ,又称为 l 1 和 l 2 所成的角,它的取值范围是 ? 0, ? ,当 θ ≠ 90 o ,则有 tan θ = 2 1 . ? 2 1 + k 1k 2 ? ?

5. 过 两 直 线 ?

?l 1 : A1 x + B 1 y +C 1 = 0 的 交 点 的 直 线 系 方 程 A1 x + B 1 y + C 1 + λ ( A 2 x + B 2 y + C 2 ) = 0 ( λ 为 参 数 , ?l 2 : A 2 x + B 2 y +C 2 = 0

A 2 x + B 2 y +C 2 = 0 不包括在内)

6. 点到直线的距离: ⑴点到直线的距离公式:设点 P( x 0 , y 0 ) ,直线 l : Ax + By + C = 0, P 到 l 的距离为 d ,则有 d =
Ax 0 + By 0 +C A2 +B 2

.

注: 1. 两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式: | P1 P2 |= ( x 2 ? x1 ) 2 + ( y 2 ? y1 ) 2 .
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特例:点 P(x,y)到原点 O 的距离: | OP |= 2.

x2 + y2
uuu r uuur

定 比 分 点 坐 标 分 式 。 若 点 P(x,y) 分 有 向 线 段 P1P2所成的比为λ即PP = λ PP2 , 其 中 P1(x1,y1),P2(x2,y2). 则 1

x1 + λx 2 y + λy 2 ,y= 1 1+ λ 1+ λ 特例,中点坐标公式;重要结论,三角形重心坐标公式。 3. 直线的倾斜角(0°≤ α <180°)、斜率: k = tan α x=
4. 过两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y 2 )的直线的斜率公式:k = 1

y 2 ? y1 . x2 ? x1

( x1 ≠ x2 )

当 x1

= x 2 , y1 ≠ y 2 (即直线和 x 轴垂直)时,直线的倾斜角 α = 90° ,没有斜率

王新敞
学案

新疆

⑵两条平行线间的距离公式:设两条平行直线 l 1 : Ax + By +C 1 = 0,l 2 : Ax + By +C 2 = 0(C 1 ≠C 2 ) ,它们之间的距离 为 d ,则有 d =
C 1 ?C 2 A2 +B 2

.

注;直线系方程
1. 与直线:Ax+By+C= 0 平行的直线系方程是:Ax+By+m=0.( m?R, C≠m). 2. 与直线:Ax+By+C= 0 垂直的直线系方程是:Bx-Ay+m=0.( m?R) 3. 过定点(x1,y1)的直线系方程是: A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B 不全为 0) 4. 过直线 l1、l2 交点的直线系方程:(A1x+B1y+C1)+λ( A2x+B2y+C2)=0 (λ?R)

注:该直线系不含 l2.

7. 关于点对称和关于某直线对称: ⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线,且这个点到两直线的距离相等. ⑵关于某直线对称的两条直线性质:若两条直线平行,则对称直线也平行,且两直线到对称直线距离相等. 若两条直线不平行,则对称直线必过两条直线的交点,且对称直线为两直线夹角的角平分线. ⑶点关于某一条直线对称,用中点表示两对称点,则中点在对称直线上(方程①),过两对称点的直线方 程与对称直线方程垂直(方程②)①②可解得所求对称点. 注:①曲线、直线关于一直线( y = ± x + b )对称的解法:y 换 x,x 换 y. 例:曲线 f(x ,y)=0 关于直线 y=x–2 对称曲线方程是 f(y+2 ,x –2)=0. ②曲线 C: f(x ,y)=0 关于点(a ,b)的对称曲线方程是 f(a – x, 2b – y)=0. 圆的方程. 二、圆的方程. 1. ⑴曲线与方程: 在直角坐标系中, 如果某曲线 C 上的 与一个二元方程 f ( x, y ) = 0 的实数建立了如下关系: ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解. ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线方程;这条曲线叫做方程的曲线(图形). ⑵曲线和方程的关系,实质上是曲线上任一点 M ( x, y ) 其坐标与方程 f ( x, y ) = 0 的一种关系,曲线上任一点 ( x, y ) 是方程 f ( x, y ) = 0 的解;反过来,满足方程 f ( x, y ) = 0 的解所对应的点是曲线上的点. 注:如果曲线 C 的方程是 f(x ,y)=0,那么点 P0(x0 ,y)线 C 上的充要条件是 f(x0 ,y0)=0 2. 圆的标准方程:以点 C (a, b) 为圆心, r 为半径的圆的标准方程是 ( x ? a) 2 +( y ? b) 2 =r 2 . 特例:圆心在坐标原点,半径为 r 的圆的方程是: x 2 + y 2 =r 2 .
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注:特殊圆的方程:①与 x轴相切的圆方程 ( x ? a) 2 +( y ± b) 2 =b 2 ②与 y 轴相切的圆方程 ( x ± a ) 2 + ( y ? b) 2 =a 2 ③与 x轴 y 轴都相切的圆方程 ( x ± a) 2 +( y ± a) 2 =a 2 3. 圆的一般方程: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 .

[r = b , 圆心(a, b)或( a,?b)]

[r = a , 圆心(a, b)或(?a, b)]

[r = a , 圆心(± a,± a)]

当 D 2 + E 2 ?4 F f 0 时,方程表示一个圆,其中圆心 C ? ? 当 D 2 + E 2 ?4 F = 0 时,方程表示一个点 ? ?
? D E? ,? ? . 2? ? 2

? D E? ,? ? ,半径 r = 2? ? 2

D 2 + E 2 ?4 F . 2

当 D 2 + E 2 ?4 F p 0 时,方程无图形(称虚圆). ? x = a + r cos θ ( θ 为参数). 注:①圆的参数方程: ? ? y = b + r sin θ ②方程 Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 表示圆的充要条件是: B = 0 且 A = C ≠ 0 且 D 2 + E 2 ?4 AF f 0 . ③圆的直径或方程:已知 A( x 1 , y 1 ) B( x 2 , y 2 ) ? ( x ? x 1 )( x ? x 2 ) + ( y ? y 1 )( y ? y 2 ) = 0 (用向量可征). 4. 点和圆的位置关系:给定点 M ( x 0 , y 0 ) 及圆 C : ( x ? a) 2 +( y ? b) 2 =r 2 . ① M 在圆 C 内 ? ( x 0 ?a) 2 +( y 0 ?b) 2 pr 2 ② M 在圆 C 上 ? x 0 ? a) 2 +( y 0 ?b) 2 =r 2 ( ③ M 在圆 C 外 ? ( x 0 ?a) 2 +( y 0 ?b) 2 f r 2 5. 直线和圆的位置关系: 设圆圆 C : ( x ? a) 2 +( y ? b) 2 =r 2 (r f 0) ; 圆心 C (a, b) 到直线 l 的距离 d = ① d = r 时, l 与 C 相切; 附:若两圆相切,则 ?
? x 2 + y 2 + D 1 x + E 1 y + F 1= 0 ? ?x 2 + y 2 + D 2 x + E 2 y + F 2= 0 ? ? 相减为公切线方程.
Aa + Bb + C A2 +B 2

直线 l : Ax + By + C = 0( A 2 + B 2 ≠ 0) ;

.

② d p r 时, l 与 C 相交; 附:公共弦方程:设:x 2 + y 2 + D1 x + E 1y + F 1= 0 C1
C 2 :x 2 + y 2 + D 2 x + E 2 y + F 2 = 0

有两个交点,则其公共弦方程为 ( D 1 ? D 2 ) x + ( E 1 ? E 2 ) y + ( F 1? F 2 ) = 0 . ③ d f r 时, l 与 C 相离. 附:若两圆相离,则 ?
? x 2 + y 2 + D 1 x + E 1 y + F 1= 0 ? ?x 2 + y 2 + D 2 x + E 2 y + F 2= 0 ? ? 相减为圆心 O 1 O 2 的连线的中与线方程.

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由代数特征判断:方程组 ? 为 ? ,则: ? = 0 ? l 与 C 相切; ? f 0 ? l 与 C 相交; ? p 0 ? l 与 C 相离.

?( x ? a) 2 +( y ? b) 2 =r 2 ? 用代入法,得关于 x (或 y )的一元二次方程,其判别式 ? Ax + Bx + C = 0 ?

注:若两圆为同心圆则 x 2 + y 2 + D 1 x + E 1 y + F 1= 0 , x 2 + y 2 + D 2 x + E 2 y + F 2 = 0 相减,不表示直线. 6. 圆的切线方程:圆 x 2 + y 2 =r 2 的斜率为 k 的切线方程是 y = kx ± 1+ k 2 r 过圆 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 上一点 P( x 0 , y 0 ) 的切线方程为: x 0 x + y 0 y + D
x +x0 y +y0 +E +F =0. 2 2

则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地, 过圆 x 2 + y 2 =r 2 上一点 P( x 0 , y 0 ) 的 ①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上, A 切线方程为 x 0 x + y 0 y =r 2 .
? y1 ? y 0 = k ( x1 ? x 0 ) ? b ? y 1 ? k (a ? x 1 ) ,联立求出 k ? 切线方程. B ②若点(x0 ,y0)不在圆上,圆心为(a,b)则 ? R= ? R 2 +1 ?

C D (a,b)

7. 求切点弦方程:方法是构造图,则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图:ABCD 四类共圆. 已知 ΘO 的 方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 …① 又以 ABCD 为圆为方程为 ( x ? x A )( x ? a) + ( y ? y A )( x ? b) =k 2 …②
R2= ( x A ? a ) 2 + ( y A ?b ) 2 …③,所以 BC 的方程即③代②,①②相切即为所求. 4

三、曲线和方程 1.曲线与方程:在直角坐标系中,如果曲线 C 和方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系: 1) 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解(纯粹性); 2) 方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上(完备性)。则称方程 f(x,y)=0 为曲线 C 的方程,曲线 C 叫做方程 f(x,y)=0 的曲线。 2.求曲线方程的方法:. 1)直接法:建系设点,列式表标,简化检验; 2)参数法; 3)定义法, 4)待定系数法.

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高中数学第八章高中数学第八章-圆锥曲线方程
考试内容: 考试内容: 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质. 考试要求: 考试要求: (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭圆的参数方程. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. (4)了解圆锥曲线的初步应用.

§08. 圆锥曲线方程 知识要点
一、椭圆方程. 椭圆方程 1. 椭圆方程的第一定义:
PF1 + PF 2 = 2a f F 1F 2 方程为椭圆 , PF1 + PF 2 = 2a p F 1F 2 无轨迹, PF1 + PF 2 = 2a = F 1F 2 以F 1, F 2为端点的线段

⑴①椭圆的标准方程: i. 中心在原点,焦点在 x 轴上: x
a
2 2

+

y2 b
2

= 1(a f b f 0) .

ii. 中心在原点,焦点在 y 轴上: y
a

2 2

+

x2 b2

= 1(a f b f 0) .

②一般方程: Ax 2 + By 2 = 1( A f 0, B f 0) .③椭圆的标准参数方程: 限 θ 应是属于 0 p θ p

x2 a
2

+

y2 b
2

? x = a cos θ = 1 的参数方程为 ? (一象 ? y = b sin θ

π
).

2 ⑵①顶点:(± a,0)(0,±b) 或 (0,± a)(±b,0) .②轴:对称轴:x 轴, y 轴;长轴长 2a ,短轴长 2b .③焦点:(?c,0)(c,0)
c a2 a2 或y=± .⑥离心率: e = (0 p e p 1) .⑦ c c a

或 (0,?c)(0, c) .④焦距: F 1F 2 = 2c, c = a 2 ?b 2 .⑤准线: x = ± 焦点半径: i. 设 P( x 0 , y 0 ) 为椭圆
x2 a
2

+

y2 b2 y2 a2

PF 1 = = 1(a f b f 0) 上的一点, F 1,F 2 为左、右焦点,则a + ex 0 , PF 2 = a ? ex 0 ?

由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设 P( x 0 , y 0 ) 为椭圆
x2 b2 +
PF 1 = 1(a f b f 0) 上的一点, F 1,F 2 为上、下焦点,则= a + ey 0 , PF 2 = a ? ey 0 ?

由椭圆方程的第二定义可以推出. 由椭圆第二定义可知: pF 1 = e( x 0 + a ) = a + ex0 ( x 0 p 0), pF 2 = e( a ? x 0 ) = ex0 ?a( x 0 f 0) 归结起来为“左加右减”.
c c
2 2

注意:椭圆参数方程的推导:得 N (a cos θ , b sin θ ) → 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径:垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标: d =
x
2

2b 2 a2

( ?c ,

b2 b2 ) 和 ( c, ) a a c x2 y2 ( c = a 2 ?b 2 ) , 方程 2 + 2 = t (t 是 a a b

⑶共离心率的椭圆系的方程: 椭圆

a2

+

y

2

b2

= 1(a f b f 0) 的离心率是 e =

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大于 0 的参数, a f b f 0) 的离心率也是 e = ⑸若 P 是椭圆:
x2 a
2

c 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. a

+

y2 b
2

= 1 上的点. F 1,F 2 为焦点,若 ∠F 1PF 2 = θ ,则 ?PF 1F 2 的面积为 b 2 tan

θ
(用余弦定
2

理与 PF 1 + PF 2 = 2a 可得). 若是双曲线,则面积为 b 2 ? cot 二、双曲线方程. 双曲线方程 1. 双曲线的第一定义:
PF 1 ? PF 2 = 2a p F 1F 2 方程为双曲线 PF 1 ? PF 2 = 2a f F 1F 2 无轨迹 PF 1 ? PF 2 = 2a = F 1F 2 以F 1, F 2 的一个端点的一条射线

θ
2

.
▲y

( bcosα , bsinα ) ( acosα , asinα ) Nx

N的轨迹是椭圆

x2

⑴①双曲线标准方程: ⑵①i. 焦点在 x 轴上: 顶点: (a,0), (?a,0)

a2

?

y2 b2

= 1(a, b f 0),

y2 a2

?

x2 b2

= 1(a, b f 0) . 一般方程: Ax 2 +Cy 2 = 1( AC p 0) .

焦点: (c,0), (?c,0)

准线方程 x = ±

a2 x y x2 y2 渐近线方程: ± = 0 或 2 ? 2 = 0 c a b a b a2 . c

ii. 焦点在 y 轴上:顶点: (0,?a ), (0, a ) . 焦点: (0, c), (0,?c) . 准线方程: y = ±
y2 ?
? x = a sec θ ? x = b tan θ = 0 ,参数方程: ? 或? . b ? y = b tan θ ? y = a sec θ

渐近线方程: ±

y a

x =0 b

x2
2


a

2

②轴 x, y 为对称轴, 实轴长为 2a, 虚轴长为 2b, 焦距 2c. ③离心率 e = 通径
2b 2 . a

c . a

④准线距
x2 ? y2 b2

2a 2 (两准线的距离) ; c

⑤参数关系 c 2 =a 2 +b 2 , e =

c . a

⑥焦点半径公式:对于双曲线方程

a2

= 1( F 1, F 2 分别为双

曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点) “长加短减”原则:
MF 1 = ex 0 + a MF 2 = ex 0 ?a

构成满足 MF 1 ? MF 2 = 2a

M ′F 1 = ?ex 0 ?a M ′F 2 = ?ex 0 + a


(与椭圆焦半径不同, 椭圆焦半径要带符号计算,

而双曲线不带符号)
MF 1 = ey 0 ?a MF 2 = ey 0 + a M ′F 1 = ?ey 0 + a M ′F 2 = ?ey 0 ?a ′ ′
F1 M'

y



y F1 M x F2 M' F2 x

M

⑶等轴双曲线:双曲线 x 2 ? y 2 = ± a 2 称为等轴双曲线,其渐近线方程为 y = ± x ,离心率 e = 2 . ⑷ 共 轭 双 曲 线 : 以 已 知双 曲 线 的 虚 轴 为 实 轴 ,实 轴 为 虚 轴 的 双 曲 线 ,叫 做 已 知 双 曲 线 的 共 轭双 曲 线.
x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? 2 = λ 与 2 ? 2 = ?λ 互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线: 2 ? 2 = 0 . 2 a b a b a b x2 a2 ? y2 b2 = λ (λ ≠ 0) 的渐近线 方程为 x2 a2 ? y2 b2 = 0 如果 双曲线的渐 近线为


⑸共 渐近线的双 曲线系方程 :

y

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4

3

2 1
x

F1

53
F2

x2 y2 x y ± = 0 时,它的双曲线方程可设为 2 ? 2 = λ (λ ≠ 0) . a b a b

例如:若双曲线一条渐近线为 y =

1 1 x 且过 p(3,? ) ,求双曲线的方程? 2 2

解:令双曲线的方程为:

x2 1 x2 y2 ? y 2 = λ (λ ≠ 0) ,代入 (3,? ) 得 ? = 1. 4 2 8 2

⑹直线与双曲线的位置关系: 区域①:无切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 2 条; 区域②:即定点在双曲线上,1 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 3 条; 区域③:2 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 4 条; 区域④:即定点在渐近线上且非原点,1 条切线,1 条与渐近线平行的直线,合计 2 条; 区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线. 小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有 0、2、3、4 条. (2)若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入 ” “? 法与渐近线求交和两根 之和与两根之积同号. ⑺若 P 在双曲线
x2 a2 ? y2 b2 = 1 ,则常用结论 1:P 到焦点的距离为 m = n,则 P 到两准线的距离比为 m︰n.

PF 1

简证:

d1 = e d2 PF 2 e

=

m . n

常用结论 2:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b. 抛物线方程. 三、抛物线方程 3. 设 p f 0 ,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:
y 2 = 2 px
y 2 = ?2 px


x 2 = 2 py
y


x 2 = ?2 py

图形



y

y



y

x O

x O

x O
O

x

焦点
F(

p ,0 ) 2

F (? x=

p ,0 ) 2

F (0, y=?

p ) 2

F (0,? y=

p ) 2

准线

范围 对称轴 顶点 离心率 焦点

p 2 x ≥ 0, y ∈ R x=?

p 2 x ≤ 0, y ∈ R
x轴

p 2 x ∈ R, y ≥ 0

p 2 x ∈ R, y ≤ 0 y轴

(0,0)
e =1 PF = p + x1 2 PF = p + x1 2 PF = p + y1 2 PF = p + y1 2

注:① ay 2 +by + c = x 顶点 (

4ac ?b 2 b ? ). 4a 2a

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② y 2 = 2 px( p ≠ 0) 则焦点半径 PF = x + P ; x 2 = 2 py ( p ≠ 0) 则焦点半径为 PF = y + P .
2 2

③通径为 2p,这是过焦点的所有弦中最短的. ④ y 2 = 2 px (或 x 2 = 2 py )的参数方程为 ?
? x = 2 pt 2 ? y = 2 pt

(或 ?

? x = 2 pt ? y = 2 pt
2

)( t 为参数).

四、圆锥曲线的统一定义.. 圆锥曲线的统一定义 4. 圆锥曲线的统一定义:平面内到定点 F 和定直线 l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹. 当 0 p e p 1 时,轨迹为椭圆; 当 e = 1 时,轨迹为抛物线; 当 e f 1 时,轨迹为双曲线; 当 e = 0 时,轨迹为圆( e =
c ,当 c = 0, a = b 时). a

5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如:椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的. 因为具有对称性,所以欲证 AB=CD, 即证 AD 与 BC 的中点重合即可. 注:椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 椭圆 定义 1. 到两定点 F1,F2 的距离 之和为定值 2a(2a>|F1F2|) 的点的轨迹 2.与定点和直线的距离 之比为定值 e 的点的轨 迹.(0<e<1) 图形 标准 方程 双曲线 1.到两定点 F1,F2 的距 离之差的绝对值为定值 2a(0<2a<|F1F2|)的点的 轨迹 2. 与定点和直线的距离 之比为定值 e 的点的轨 迹.(e>1) 与定点和直线的距离相等 的点的轨迹. 抛物线



x2 y2 + = 1 ( a > b >0) a2 b2

x2 y2 ? = 1 (a>0,b>0) a 2 b2

y2=2px



参数 方程

? x = a cos θ ? y = b sin θ ? (参数θ为离心角)
─a≤x≤a,─b≤y≤b 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)

? x = a sec θ ? y = b tan θ ? (参数θ为离心角)
|x| ≥ a,y∈R 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0)

? x = 2 pt 2 ? y = 2 pt (t 为参数) ?
x≥0 (0,0) x轴

范围 中心 顶点

对称轴

x 轴,y 轴; 长轴长 2a,短轴长 2b F1(c,0), F2(─c,0)

x 轴,y 轴; 实轴长 2a, 虚轴长 2b. F1(c,0), F2(─c,0)

焦点

p F ( ,0 ) 2

焦距

2c (c= a ? b )
2 2

2c (c= a + b )
2 2

离心率

e=

c (0 < e < 1) a

e=

c (e > 1) a

e=1

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准线

a2 x= ± c

a2 x= ± c
y=±

x=?

p 2

渐近线

焦半径

r = a ± ex

b x a
r = x+
2p

r = ± (ex ± a )

p 2

通径

2b 2 a a2 c

2b 2 a a2 c

焦参数

P

1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质. 2. 等轴双曲线 3. 共轭双曲线 5. 方程 y2=ax 与 x2=ay 的焦点坐标及准线方程. 6.共渐近线的双曲线系方程.

高中数学第十一章-概率 高中数学第十一章 概率
考试内容: 考试内容:
随机事件的概率.等可能性事件的概率.互斥事件有一个发生的概率.相互独立事件同时发生的概率.独 立重复试验.

考试要求: 考试要求:
(1)了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义. (2)了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。 (3)了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式 计算一些事件的概率. (4)会计算事件在 n 次独立重复试验中恰好发生κ次的概率.

§11. 概率 知识要点
1. 概率:随机事件 A 的概率是频率的稳定值,反之,频率是概率的近似值. 2. 等可能事件的概率:如果一次试验中可能出现的结果有年 n 个,且所有结果出现的可能性都相等,那么, 每一个基本事件的概率都是
1 m ,如果某个事件 A 包含的结果有 m 个,那么事件 A 的概率 P(A) = . n n

3. ①互斥事件:不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件 A、B 互斥,那么事件 A+B 发生(即 A、 B 中 有 一 个 发 生 ) 的 概 率 , 等 于 事 件 A 、 B 分 别 发 生 的 概 率 和 , 即 P(A+B)=P(A)+P(B) , 推 广 : P(A 1 + A 2 + L + A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + L + P(A n ) . ②对立事件:两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 例如:从 1~52 张扑克牌中任取一张抽到“红 ............... 桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件,因为其中一个不可能同时发生,但又不能保证其中一个必然发生,故不是 对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件,因为其中一个必发生. 互斥 注意:i.对立事件的概率和等于 1: P(A) + P(A) = P(A + A) = 1 .
对立

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ii.互为对立的两个事件一定互斥,但互斥不一定是对立事件. ③相互独立事件:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立 事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即 P(A·B)=P(A)·P(B). 由此, 当两个事件同时发生的概率 P(AB)等于这两个事件发生概率之和,这时我们也可称这两个事件为独立事 件.例如:从一副扑克牌(52 张)中任抽一张设 A:“抽到老 K”;B:“抽到红牌”则 A 应与 B 互为独立事件 [看上去 A 与 B 有关系很有可能不是独立事件,但 P(A) =
4 1 26 1 1 .又事件 AB 表 = , P(B) = = , P(A) ? P(B) = 52 13 52 2 26
52 26

示“既抽到老 K 对抽到红牌”即“抽到红桃老 K 或方块老 K”有 P(A ? B) = 2 = 1 ,因此有 P(A) ? P(B) = P(A ? B) . 推广:若事件 A 1 ,A 2 , L ,A n 相互独立,则 P(A 1 ?A 2 LA n ) = P(A 1 ) ? P(A 2 ) L P(A n ) . 注意:i. 一般地,如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与 B, A 与 B, A 与 B 也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的. iii. 独立事件是对任意多个事件来讲,而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件,且这多个事件不能同时发 生,故这些事件相互之间必然影响,因此互斥事件一定不是独立事件. ④独立重复试验:若 n 次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这 n 次 试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为 P,那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率: P n (k) =C k P k (1 ? P) n ? k . n 4. 对任何两个事件都有 P( A + B ) = P ( A) + P ( B) ? P( A ? B)

第十二章-概率与统计 第十二章 概率与统计
考试内容: 考试内容: 抽样方法.总体分布的估计. 总体期望值和方差的估计. 考试要求: 考试要求: (1)了解随机抽样了解分层抽样的意义,会用它们对简单实际问题进行抽样. (2)会用样本频率分布估计总体分布. (3)会用样本估计总体期望值和方差.

§12. 概率与统计 知识要点
一、随机变量. 随机变量. 1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件: ①试验可以在相同的情形下重复进行;②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;③每次试验 总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量:如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散 型随机变量.若 ξ 是一个随机变量, b 是常数.则 η = aξ + b 也是一个随机变量.一般地, ξ 是随机变量,f (x) a, 若 是连续函数或单调函数,则 f (ξ ) 也是随机变量.也就是说,随机变量的某些函数也是随机变量. 设离散型随机变量 ξ 可能取的值为: x 1 , x 2 , L , x i , L ξ 取每一个值 x 1 (i = 1,2, L) 的概率 P(ξ = x i ) = p i ,则表称为随机变量 ξ 的概率分布,简称 ξ 的分布列. ξ x1 x2 xi … …
p1 p2 pi … P 有性质① p 1 ≥ 0, i = 1,2, L ; ② p 1 + p 2 + L + p i + L = 1 .



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注意:若随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的变量叫做连续型随机变量.例如: ξ ∈ [0,5] 即 ξ 可以取 0~5 之间的一切数,包括整数、小数、无理数. 3. ⑴二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是 P,那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k
k 次的概率是: P(ξ = k) =C n p k q n ? k [其中 k = 0,1, L , n, q = 1 ? p ]

于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下:我们称这样的随机变量 ξ 服从二项分布,记作 ξ ~B(n·p),其中 n, p 为参数,并记 Ck pk q n ? k = b(k; n ? p) . n ⑵二项分布的判断与应用. ①二项分布,实际是对 n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行 n 次独立重复,且每次试验只有两 种结果,如果不满足此两条件,随机变量就不服从二项分布. ②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小,而每次抽取时又只有两种试验结果, 此时可以把它看作独立重复试验,利用二项分布求其分布列. 4. 几何分布:“ ξ = k ”表示在第 k 次独立重复试验时,事件第一次发生,如果把 k 次试验时事件 A 发生记为
A k ,事 A 不发生记为 A k , P(A k ) = q ,那么 P(ξ = k) = P(A 1 A 2 L A k ?1 A k ) .根据相互独立事件的概率乘法分式:
k ?1 P(ξ = k) = P(A 1 )P(A 2 ) L P(A k ?1 )P(A k ) =q p (k = 1,2,3, L) 于是得到随机变量 ξ 的概率分布列.

ξ

1 q

2 qp

3
q p
2

… …

k
q k ?1 p

… …

P

我们称 ξ 服从几何分布,并记 g(k, p) =q k ?1 p ,其中 q = 1 ? p. k = 1,2,3L 5. ⑴超几何分布:一批产品共有 N 件,其中有 M(M<N)件次品,今抽取 n(1 ≤ n ≤ N ) 件,则其中的次品 数 ξ 是一离散型随机变量,分布列为 P(ξ = k) =
k k C M ?C Nn??M n CN

? (0 ≤ k ≤ M,0 ≤ n ? k ≤ N ? M ) .〔分子是从 M 件次品中

r 取 k 件,从 N-M 件正品中取 n-k 件的取法数,如果规定 m < r 时 C m = 0 ,则 k 的范围可以写为 k=0,1,…,

n.〕 ⑵超几何分布的另一种形式:一批产品由 a 件次品、b 件正品组成,今抽取 n 件(1≤n≤a+b),则次品数 ξ 的分布列为 P(ξ = k) =
C k ?C n ? k a b C a +n b k = 0,1, L , n. .

⑶超几何分布与二项分布的关系. 设一批产品由 a 件次品、b 件正品组成,不放回抽取 n 件时,其中次品数 ξ 服从超几何分布.若放回式抽取, 则其中次品数 η 的分布列可如下求得:把 a + b 个产品编号,则抽取 n 次共有 (a + b) n 个可能结果,等可能:
k k n ?k a (η = k) 含 C k a k b n ? k 个结果, P(η = k) = C n a b n =C k ( a ) k (1 ? a ) n ? k , k = 0,1,2, L , n , η ~ B(n ? 故 即 ) .[我们 n n a+b a+b a+b (a + b)

先为 k 个次品选定位置,共 C k 种选法;然后每个次品位置有 a 种选法,每个正品位置有 b 种选法] 可以证 n 明:当产品总数很大而抽取个数不多时, P(ξ = k) ≈ P(η = k) ,因此二项分布可作为超几何分布的近似,无放 回抽样可近似看作放回抽样. 数学期望与方差. 二、数学期望与方差 1. 期望的含义:一般地,若离散型随机变量 ξ 的概率分布为
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ξ

x1 p1

x2 p2

… …

xi pi

… …

P

则称 Eξ = x 1 p 1 + x 2 p 2 + L + x n p n + L 为 ξ 的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离 散型随机变量取值的平均水平. 2. ⑴随机变量 η = aξ + b 的数学期望: Eη = E (aξ + b) = aEξ + b ①当 a = 0 时, E (b) = b ,即常数的数学期望就是这个常数本身. ②当 a = 1 时, E (ξ + b) = Eξ + b ,即随机变量 ξ 与常数之和的期望等于 ξ 的期望与这个常数的和. ③当 b = 0 时, E (aξ ) = aEξ ,即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积. ⑵单点分布: Eξ = c ×1 = c 其分布列为: P(ξ = 1) = c . ξ 0 1 ⑶两点分布: Eξ = 0 × q + 1 × p = p ,其分布列为:(p + q = 1) P q p ⑷二项分布: Eξ =

∑ k ? k!(n ? k )! p
n!

k

?q n ? k = np 其分布列为 ξ ~

B(n, p) .(P 为发生 ξ 的概率)

⑸几何分布: Eξ =

1 p

其分布列为 ξ ~ q (k , p) .(P 为发生 ξ 的概率)

3. 方 差 、 标 准 差 的 定 义 : 当 已 知 随 机 变 量 ξ 的 分 布 列 为 P (ξ = x k ) = p k ( k = 1,2, L) 时 , 则 称
Dξ = ( x1 ?Eξ ) 2 p1 +( x 2 ?Eξ ) 2 p 2 + L+ ( x n ?Eξ ) 2 p n + L 为

ξ 的方差. 显然 Dξ ≥ 0 ,故 σξ = Dξ . σξ 为 ξ 的根方差或标准差.

稳定性越 随机变量 ξ 的方差与标准差都反映了随机变量 ξ 取值的稳定与波动, 集中与离散的程度. Dξ 越小, ....... 高,波动越小. . ...... 4.方差的性质. ⑴随机变量 η = aξ + b 的方差 D(η ) = D(aξ + b) =a 2 Dξ .(a、b 均为常数) ⑵单点分布: Dξ = 0 其分布列为 P(ξ = 1) = p ⑶两点分布: Dξ = pq 其分布列为:(p + q = 1) ⑷二项分布: Dξ = npq ⑸几何分布: Dξ =
q p2

ξ P

0 q

1 p

5. 期望与方差的关系. ⑴如果 Eξ 和 Eη 都存在,则 E (ξ ± η ) = Eξ ± Eη ⑵设 ξ 和 η 是互相独立的两个随机变量,则 E (ξη ) = Eξ ? Eη , D(ξ + η ) = Dξ + Dη ⑶期望与方差的转化: Dξ = Eξ 2?( Eξ ) 2 ⑷ E (ξ ? Eξ ) = E (ξ ) ? E ( Eξ ) (因为 Eξ 为一常数) = Eξ ? Eξ = 0 .

高中数学第十三 高中数学第十三章-极 限
考试内容: 考试内容: 教学归纳法.数学归纳法应用. 数列的极限. 函数的极限.根限的四则运算.函数的连续性. 考试要求: 考试要求: (1)理解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. (2)了解数列极限和函数极限的概念. (3)掌握极限的四则运算法则;会求某些数列与函数的极限. (4)了解函数连续的意义,了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.
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高中数学第十四章

导 数

考试要求: 考试要求: (1)了解导数概念的某些实际背景. (2)理解导数的几何意义. (3)掌握函数,y=c(c 为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式,会求多项式函数的导数. (4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小 值及闭区间上的最大值和最小值. (5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值.

§14. 导 数 知识要点

导数的概念

导数的几何意义、 理意义




函数的导数

导数的


导数的



函数的单调

导数的应用

函数的极值

函数的最值
1. 导数(导函数的简称)的定义:设 x 0 是函数 y = f (x ) 定义域的一点,如果自变量 x 在 x 0 处有增量 ?x ,则 函数值 y 也引起相应的增量 ?y = f ( x 0 + ?x) ? f ( x 0 ) ; 比值
x 0 + ?x 之间的平均变化率;如果极限 lim ?y f ( x 0 + ?x ) ? f ( x 0 ) = 称为函数 y = f (x ) 在点 x 0 到 ?x ?x

f ( x 0 + ?x ) ? f ( x 0 ) ?y = lim 存在,则称函数 y = f (x ) 在点 x 0 处可 ?x →0 ?x ?x →0 ?x

导 , 并 把 这 个 极 限 叫 做 y = f (x ) 在 x 0 处 的 导 数 , 记 作 f ' ( x 0 ) 或 y ' | x = x0 , 即
f ' ( x 0 ) = lim
?x →0

f ( x 0 + ?x ) ? f ( x 0 ) ?y . = lim ?x →0 ?x ?x

注:① ?x 是增量,我们也称为“改变量”,因为 ?x 可正,可负,但不为零. ②以知函数 y = f (x ) 定义域为 A , y = f ' ( x) 的定义域为 B ,则 A 与 B 关系为 A ? B . 2. 函数 y = f (x) 在点 x 0 处连续与点 x 0 处可导的关系: ⑴函数 y = f ( x ) 在点 x 0 处连续是 y = f (x) 在点 x 0 处可导的必要不充分条件. 可以证明,如果 y = f ( x ) 在点 x 0 处可导,那么 y = f ( x ) 点 x 0 处连续. 事实上,令 x = x 0 + ?x ,则 x → x 0 相当于 ?x → 0 . 于是 lim f ( x) = lim f ( x 0 + ?x) = lim [ f ( x + x 0 ) ? f ( x 0 ) + f ( x 0 )]
x → x0 ?x → 0 ?x →0

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= lim [
?x →0

f ( x 0 + ?x ) ? f ( x 0 ) f ( x 0 + ?x ) ? f ( x 0 ) ? ?x + f ( x 0 )] = lim ? lim + lim f ( x 0 ) = f ' ( x 0 ) ? 0 + f ( x 0 ) = f ( x 0 ). ⑵ ?x →0 ?x →0 ?x →0 ?x ?x

如果 y = f (x ) 点 x 0 处连续,那么 y = f (x ) 在点 x 0 处可导,是不成立的. 例: f ( x) =| x | 在点 x 0 = 0 处连续,但在点 x 0 = 0 处不可导,因为 0 时,
?y ?y = ?1 ,故 lim 不存在. ?x →0 ?x ?x ?y ?y | ?x | ,当 ?x >0 时, = 1 ;当 ?x < = ?x ?x ?x

注:①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义: 函数 y = f (x ) 在点 x 0 处的导数的几何意义就是曲线 y = f (x ) 在点 ( x 0 , f ( x)) 处的切线的斜率, 也就是说, 曲线
y = f (x ) 在点 P ( x 0 , f ( x)) 处的切线的斜率是 f ' ( x 0 ) ,切线方程为 y ? y 0 = f ' ( x)( x ? x 0 ).

4. 求导数的四则运算法则:
(u ± v) ' = u ' ± v ' ? y = f 1 ( x) + f 2 ( x) + ... + f n ( x) ? y ' = f 1' ( x) + f 2' ( x) + ... + f n' ( x)

(uv) ' = vu ' + v ' u ? (cv) ' = c ' v + cv ' = cv ' ( c 为常数)
vu ' ? v ' u ?u ? (v ≠ 0 ) ? ? = ? v ? v2
'

注:① u, v 必须是可导函数. ②若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一 定不可导. 例如:设 f ( x) = 2 sin x +
2 2 , g ( x) = cos x ? ,则 f ( x), g ( x) 在 x = 0 处均不可导,但它们和 f ( x) + g ( x) = x x

sin x + cos x 在 x = 0 处均可导.

5. 复合函数的求导法则: f x ' (? ( x )) = f ' (u )? ' ( x ) 或 y ' x = y ' u ? u ' x

复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性: ⑴函数单调性的判定方法:设函数 y = f (x ) 在某个区间内可导,如果 f ' ( x) >0,则 y = f (x ) 为增函数;如果
f ' ( x) <0,则 y = f (x ) 为减函数.

⑵常数的判定方法; 如果函数 y = f (x ) 在区间 I 内恒有 f ' ( x) =0,则 y = f (x ) 为常数. 注:① f ( x) f 0 是 f(x)递增的充分条件,但不是必要条件,如 y = 2x 3 在 (?∞,+∞) 上并不是都有 f ( x) f 0 , 有一个点例外即 x=0 时 f(x) = 0,同样 f ( x) p 0 是 f(x)递减的充分非必要条件. ②一般地,如果 f(x)在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正(或负),那么 f(x)在该区间上 仍旧是单调增加(或单调减少)的. 7. 极值的判别方法:(极值是在 x 0 附近所有的点,都有 f (x) < f ( x 0 ) ,则 f ( x 0 ) 是函数 f (x) 的极大值,极
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小值同理) 当函数 f (x) 在点 x 0 处连续时, ①如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) >0,右侧 f ' ( x) <0,那么 f ( x 0 ) 是极大值; ②如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) <0,右侧 f ' ( x) >0,那么 f ( x 0 ) 是极小值. 也就是说 x 0 是极值点的充分条件是 x 0 点两侧导数异号,而不是 f ' ( x) =0 . 此外,函数不可导的点也可能


是函数的极值点 . 当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确定的,即有可能极大值比极小值 小(函数在某一点附近的点不同).


注①: 若点 x 0 是可导函数 f (x) 的极值点,则 f ' ( x) =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数,其一点 x 0 是 极值点的必要条件是若函数在该点可导,则导数值为零. 例如:函数 y = f ( x) = x 3 , x = 0 使 f ' ( x) =0,但 x = 0 不是极值点. ②例如:函数 y = f ( x) =| x | ,在点 x = 0 处不可导,但点 x = 0 是函数的极小值点. 8. 极值与最值的区别:极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较. 注:函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数: I. C ' = 0 ( C 为常数)

(sin x) ' = cos x

(arcsin x) ' =

1 1? x2

( x n ) ' = nx n ?1 ( n ∈ R )

(cos x) ' = ? sin x

(arccos x ) ' = ?

1 1? x 2

II. (ln x ) ' =

1 x

(log a x) ' =

1 log a e x

(arctan x) ' =

1 x +1
2

(e x ) ' = e x
III. 求导的常见方法: ①常用结论: (ln | x |) ' =
1 . x

( a x ) ' = a x ln a

( arc cot x) ' = ?

1 x +1
2

②形如 y = ( x ? a1 )( x ? a 2 )...( x ? a n ) 或 y =

( x ? a1 )( x ? a 2 )...( x ? a n ) 两边同取自然对数,可转化求代数和形式. ( x ? b1 )( x ? b2 )...( x ? bn )

③无理函数或形如 y = x x 这类函数,如 y = x x 取自然对数之后可变形为 ln y = x ln x ,对两边求导可得

y' 1 = ln x + x ? ? y ' = y ln x + y ? y ' = x x ln x + x x . y x

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