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新课标人教版 高中数学必修5 不等关系与不等式 课件


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不等关系与不等式(一)
内容要点: “世界上没有相同的两片树叶”,不等关系是 普遍存在的.怎样研究不等关系呢? 比较两数大小的方法是什么?

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不等关系与不等式(一)
不等式的 1 概念

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一、知识学习 问题情境
二、例题分析 例1

实数大小 1 比较

例2

例3

三、课外练习
作业:课本 P B1

83

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问题 1: 生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢?

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转化为数学问题:a 克糖水中含有 b 克糖(a>b>0), 若再加 m(m>0)克糖,则糖水更甜了,为什么?

b 分析:起初糖水的浓度为 ,加入 m 克糖后的糖 a b?m b?m b ? 即可,怎么 水浓度为 ,只要证明 a?m a?m a 证呢?

这个数学问题怎么解决?

这是一个不等式的证明问题
3

问题 2: 某杂志以每本 2 元的价格发行时,发行量为 10 万 品质来自专业 金太阳教育网 www.jtyjy.com 信赖源于诚信 册.经过调查,若价格每提高 0.2 元,发行量就减少 5000 册.要使杂志社的销售收入大于 22.4 万元,每本杂志的价 格应定在怎样的范围内?

这个数学问题又怎么解决?

分析:若杂志的定价为 x 元,则销售的总收入为 x?2 ? ? ? 0.5 ? x 万元。那么不等关系“销售的 ?10 ? 0.2 ? ? 总 收入 大于 22.4 万 元” 可以表 示为 不等 式 x?2 ? ? ? 0.5 ? x >22.4 ?10 ? 0.2 ? ?

这是一个解不等式的问题

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问题 3: 某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500 mm 和 品质来自专业 金太阳教育网 www.jtyjy.com 信赖源于诚信 600mm 两种,按照生产的要求,600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍。应怎样截更好?

分析:假设截得 500mm 的钢管 x 根, 截得 600mm 的钢管 y 根. 根据题意,应有如下的不等关系: ⑴解得两种钢管的总长度不能超过 4000mm; ⑵截得 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管数量的 3 倍; ⑶解得两钟钢管的数量都不能为负。
?500 x ? 600 y ≤ 4000 ?3x ≥ y 由以上不等关系,可得不等式组: ? ? ?x ≥ 0 ? ?y≥0

这是一个二元一次不等式组的问题
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不等式的定义:用不等号连接两个解析式所得的式子,叫做不等式. 品质来自专业 金太阳教育网 www.jtyjy.com 信赖源于诚信 说明: (1)不等号的种类:>、<、≥(≦) 、≤(≧) 、≠. (2)解析式是指: 代数式和超越式(包括指数式、对数式和三角式等) (3)不等式研究的范围是实数集 R.

那么不等式是否与等式有类似的性质呢?
对于不等式在初中我们已经接触过 ,知道不等式的基本性 质与等式的基本性质是有所不同的,为什么会这样呢? 这一章主要从实数的基本性质及不等式的基本概念出发 , 一步步系统认识不等式,掌握一些不等式,从而为以后进一步学 习数学和其它学科运用不等式打好基础.

首先从实数大小比较说起……
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对于任意两个实数 a、b,在 a>b,a = b,a<b 三种关系中有且仅有一种成立.
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判断两个实数大小的依据是: a ? b? a?b? 0 a ? b? a?b? 0 a ? b? a?b? 0

作差比较法

这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是 推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.
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例 1 比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小.

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答案

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例 1 比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小. 作差 解: ∵ (a ? 3)(a ? 5) ? (a ? 2)(a ? 4)
? (a ? 2a ? 15) ? (a ? 2a ? 8)
2 2

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变形

? ?7 ∴ (a ? 3)(a ? 5) ? (a ? 2)(a ? 4) <0 定符号
∴ (a ? 3)(a ? 5) ? (a ? 2)(a ? 4)

确定大小

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例 2 已知 x≠0,比较 ( x ? 1) 与 x ? x ? 1的大小.
2 2
4 2

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答案

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例 2 已知 x≠0,比较 ( x ? 1) 与 x ? x ? 1的大小.
2 2
4 2

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解:

∵ ( x2 ? 1)2 ? ( x4 ? x2 ? 1)
? x 4 ? 2 x 2 ? 1 ? ( x 4 ? x 2 ? 1) ? x2
∴当 x ? 0 时, ( x2 ? 1)2 ? ( x4 ? x2 ? 1) ? 0
∴当 x ? 0 时, ( x2 ? 1)2 ? ( x4 ? x2 ? 1)

作差

变形

定符号
确定大小

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b? ? b 、m 都是正数,且 a ? b ,求证: 例 3 已知 a 、 a?m a

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品质来自专业 m信赖源于诚信 b

答案

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b? ? b 、m 都是正数,且 a ? b ,求证: 例 3 已知 a 、 a?m a
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品质来自专业 m信赖源于诚信 b

证明:

b ? m b (b ? m)a ? (a ? m)b ∵ ? ? a?m a (a ? m)a

作差

ab ? ma ? ab ? bm ? (a ? m)a
m(a ? b) ? (a ? m)a ∵a、 b 、m 都是正数,且 a ? b ∴ m ? 0, m ? a ? 0, a ? 0, a ? b ? 0
b?m b b?m b ? ? 0∴ ? ∴ a?m a a?m a

变形

定符号
确定大小

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课堂练习: 在下列各题的横线中填入适当的不等号.
⑴ ( 3 ? 2) 2 _____ < 6 ? 2 6;
2 ⑵ ( 3 ? 2) 2 ____( 6 ? 1) ; <

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1 < ⑶ ______ 5?2

1 ; 6? 5

> log 1 b. ⑷若0 ? a ? b , log 1 a ____
2 2
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品质来自专业 金太阳教育网 课外练习 : www.jtyjy.com 信赖源于诚信 1.已知 x, y ? R ,比较 x2 ? y 2 ? 3x ? 3 y 与 x ? y ? 6 的大小. 2.已知 a, b ? R ,比较 a 2 ? 2ab ? 2b 2 与 2a ? 3 的大小.

3.已知

?
2

? ? ? ? ,比较 1 ? cos ? 与 sin ? 的大小.

y y2 ?1 4.已知 x ? y ? 0 ,比较 与 的大小. 2 x x ?1 2 5.已知 a ? R ,比较 a ? 1 与 的大小. a

答案略

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