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2.2.2《二次函数的性质与图像》课件(新人教B版必修1)


定义
函数 y ? ax 2 +bx+c(a ? 0) 叫做二次函数,它的定义域是R

二次函数y=ax2的图象和性质
1 y ? x2 2

y ? x2

1 2 y? x 2

y ? 2x 2

y ? ?x2

2 y ? ? x2 3

二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时 所经过的路线,我们把它叫做抛物线。

这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于y轴 对称,y轴就是它的 对称,y轴就是它的 对称,y轴就是它的 对称轴。 对称轴。 对称轴与抛物线的交点 对称轴。 对称轴与抛物线的交点 叫做抛物线的顶点。 叫做抛物线的顶点。

1 2 例1试述函数f ( x) ? x ? 4 x ? 6的性质,并作出它的图像 2
()函数在x ? ?4时,取得最小值 ? 2,记为ymin ? ?2 1 图像顶点为(-4,-2) 1
(2)解:f ( x) ? x1 ? ?6, x2 ? ?2 所以该函数图像与x轴交于两点 (-6,0),(-2,0)
(3)描点作图

1 2 1 2 解:f ( x) ? x ? 4 x ? 6 = (x ? 4) ? 2 2 2

2

x 2 ? 4 x ? 6 =0得

(4)图像的对称性
对任意的h, 有     f(-4-h)=f(-4+h) 1 2 所以抛物线f ( x) ? x ? 4 x ? 6 关于直线x ? ?4对称 2

(5)函数的增减性 函数在区间( ? ? ? 4]上是减函数,在区间[4,+?) 上是增函数

例2试述函数f ( x) ? ? x 2 ? 4 x ? 3的性质,并作出它的图像
2 解:f ( x) ? ? x ? 2) ? 7 (

()函数在x ? ?2时,取得最大值7,记为ymax ? 7 1 图像顶点为(-2,7)
(2)解:f ( x)=0得 x1 ? ?2 ? 7, x2 ? ?2 ? 7 所以该函数图像与x轴交于两点 ( ? 2 ? 7,0),( ? 2 ? 7 ,0)
(3)描点作图

(4)图像的对称性
对任意的h, 有     f(-2-h)=f(-2+h) 所以抛物线f ( x) ? ? x 2 ? 4 x ? 3 关于直线x ? ?2对称

(5)函数的增减性 函数在区间( ? ? ? 2]上是减函数,在区间[2,+?) 上是增函数

二次函数y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0)的性质 b 2 4ac ? b 2   y=a ( x ? ) ? 2a 4a     b 4ac ? b 2 (1)二次函数的图像是一条抛物线,顶点( ? , )
2a 4a 对称轴是x ? ?

    (2)当a>0时,抛物线开口向上,函数在x ? ?

b 处取最小值 2a     4ac ? b 2 b b y min ? ;在区间(-?, ]上是减函数,在[ ? , ? 4a 2a 2a ??)上是增函数;

b 2a

b (3)当a<0时,抛物线开口向下,函数在x ? ? 处取最大值 2a 4ac ? b 2 b b y max ? ;在区间(-?, ]上是增函数,在[ ? , ? 4a 2a 2a ??)上是减函数;

例3求函数f ( x) ? 3x ? 2 x ? 1的值域和它的图像的对称轴,
2

并说出它在哪个区间上是增函数,在哪个区间上是减函数
解:f ( x) ? 3 x ? 2 x ? 1
2

1 2 2      (x ? ) ? ?3 3 3 1 2 2 所以y min ? f (? ) ? , 函数的值域为[ , ??) 3 3 3 1 1 函数的图像的对称轴是直线x=- ,它在区间(-?,- ] 3 3 1 上是增函数,在区间[- , ??)上是减函数 3

注意“配方法” 在二次函数解题 中的应用

归 纳
1、二次函数的问题,结合图像 可以更直观形象。 )2+ 2a b 4ac ? b 4ac ? b 之后,就可通过a, ? 2a , 4a 直接得 4a 函数的主要性质,并依此画出图 像。
2 2

2+bx+c配方得a(x+ b 2、将y=ax

练习
1.函数y =4 x2 -mx+5的对称轴为x=-2

则x=1时y=____ D
a –7 b1 c 17 d 25

1. y =-x2 -6x+k图像顶点在x轴上,k= ___________ -9

3. y=3x2-(2m+6)x+m+3的值域为 〔 0, + ∞ ),则m的范围是(



A{–3,0 } B〔–3,0 〕 C (–3,0)

D φ

拓展练习

1、菊花烟花是最壮观的烟花之一,制造时 一般期望它达到最高点(大约距地25到 30米)爆炸,如果在距地18米处点火, 且烟花冲出的速度是14.7米/秒。 (1)写出烟花距地高度与时间的关系式。 (2)烟花冲出后何时是它爆炸的最佳时刻? 这时距地高度是多少?

小结
1. 二次函数的图像 2.二次函数的性质及应用

作业
教材P60:B 1、2、3 探索与研究1.2.3.4.


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