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【优化方案】2012高中数学 第1章1.2.3第二课时直线与平面垂直及直线与平面所成的角课件 苏教版必修2


第二课时 直线与平面垂直及直线与 平面所成的角

学习目标 1.掌握直线与平面垂直的定义与判定定理及 掌握直线与平面垂直的定义与判定定理及 性质定理, 性质定理,并能灵活应用判定定理证明直线 与平面垂直; 与平面垂直; 2.知道直线与平面所成角的概念,并能解 .知道直线与平面所成角的概念, 决简单的线面角问题. 决简单的线面角问题.

第 二 课 与 平 面 所 成 的 角 时 直 线 与 平 面 垂 直 及 直 线 知能优化训练 课堂互动讲练 课前自主学案

课前自主学案

温故夯基 1. 直线与平面的位置关系 :线在面内 、 . 直线与平面的位置关系: ________、 线面平行 、线面相交 . ________、________. ° 2.两条异面直线所成的角为___时,两直 .两条异面直线所成的角为 90° 时 线垂直. 线垂直.

知新益能 1.直线与平面垂直 . (1)定义:如果直线 与平面 内的 任意一条 定义: 与平面α内的 定义 如果直线l与平面 内的________ 直线都____,就说直线l与平面 互相垂直. 与平面α互相垂直 直线都 垂直,就说直线 与平面 互相垂直 记法 l⊥α ⊥ 垂线 l 垂面 α 垂足 惟一公共点P 惟一公共点

1.若一条直线与平面内的无数条直线垂直, 若一条直线与平面内的无数条直线垂直, 若一条直线与平面内的无数条直线垂直 则这条直线和这个平面垂直吗?为什么? 则这条直线和这个平面垂直吗?为什么? 提示:不一定垂直.例如,a1∥a2∥a3∥…, 提示:不一定垂直.例如, 与这组平行直线垂直, 且a1,a2,…?α,l与这组平行直线垂直, , 与这组平行直线垂直 有可能直线l在这个平面内. 有可能直线 在这个平面内. 在这个平面内

思考感悟 (2)判定定理 判定定理 文字表述: 文字表述:一条直线与一个平面内的两条 相交 直线都垂直 _____直线都垂直,则该直线与此平面垂 直线都垂直, 直.
? l⊥a ⊥ ? ? l⊥b ⊥ ??l⊥α. ⊥ a?α,b?α ? ? , ? __________ a∩b=P ? = __________?

符号表述: 符号表述:

2.定理中若去掉a∩b=P,结论还成立吗? .定理中若去掉 ∩ = ,结论还成立吗? 提示:不一定,如图正方体中, , ? , 提示:不一定,如图正方体中,a,b?α, l⊥a,l⊥b,但l∥α,故定理中的“两条相交 ⊥ , ⊥ , ∥ ,故定理中的“ 直线”是不可缺少的条件. 直线”是不可缺少的条件.

(3)直线与平面垂直的性质定理 直线与平面垂直的性质定理
文字语言 符号语言 垂直于同一个平面的两条直线_____ 垂直于同一个平面的两条直线 平行 a⊥α? ⊥ ? ?? _____ a∥b ∥ b⊥α? ⊥ ?

图形语言 线面垂直? ① 线面垂直 ?线线平行 ② 作平行线

作用

2.距离 距离 (1)点到平面的距离 : 从平面外一点引平 点到平面的距离: 点到平面的距离 面的垂线, 这个点和____间的距离 间的距离, 面的垂线 , 这个点和垂足 间的距离 , 叫做 这个点到这个平面的距离. 这个点到这个平面的距离. (2)直线到平面的距离:一条直线和一个平 直线到平面的距离: 直线到平面的距离 面平行,这条直线上任意一点到这个平面 面平行,这条直线上________到这个平面 的距离, 的距离,叫做这条直线和这个平面的距 离.

3.直线与平面所成的角 . (1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的 定义: 定义 射影 所成的 锐角,叫做这条直线和这个平 ____所成的 所成的____, 面所成的角. 面所成的角.

如图, ∠PAO 就是斜线 与平面α所成的 就是斜线AP与平面 如图,______就是斜线 与平面 所成的 角. (2)当直线 与平面垂直时 , 它们所成的 当直线AP与平面垂直时 当直线 与平面垂直时, 角是____. 角是 直角. (3)当直线与平面平行或在平面内时 , 它 当直线与平面平行或在平面内时, 当直线与平面平行或在平面内时 们所成的角是___. 们所成的角是 0° ° ≤ ° (4)线面角 的范围是0°≤θ≤90° 线面角θ的范围是 ° 线面角 的范围是____________.

课堂互动讲练

考点突破 线面垂直的判定 应用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂 直,是证明直线与平面垂直的最主要方 法.充分利用条件寻找平面中的两条相交直 线与已知直线垂直是问题得到解决的关 在题目中若没有现成的垂线, 键.在题目中若没有现成的垂线,则作相应 的辅助线来帮助解决. 的辅助线来帮助解决.

例1 如 图 所 示 , 在 正 方 体 ABCD -

A1B1C1D1 中 , P为 DD1 的中点 , O为 ABCD 的中点, 为 为 的中心,求证: 的中心,求证:B1O⊥平面 ⊥平面PAC.

思路点拨】 要证B ⊥ 平面PAC,只 【 思路点拨 】 要证 1O⊥平面 , 需证B 垂直于平面 垂直于平面PAC中的两条相交直 需证 1O垂直于平面 中的两条相交直 线.

【证明】 如图所示,连结 AB1,CB1, 证明】 如图所示, 设 AB=1. = ∵AB1=CB1= 2,AO=CO, , = , ∴B1O⊥AC.连结 PB1,DB,B1D1, ⊥ 连结 , 3 2 2 2 ∵ OB 1 = OB + BB 1 = , PB 2 = PD 2 + 1 1 2 9 3 2 2 2 2 B1D1= ,OP =PD +DO = , 4 4

∴OB2+OP2=PB2,∴B1O⊥PO. ⊥ 1 1 ∵PO∩AC=O,PO?平面 PAC,AC? ∩ = , ? , ? 平面 PAC, , ⊥ ∴B1O⊥平面 PAC.
【 名师点评 】 利用直线与平面垂直的 名师点评】 判定定理判定直线与平面垂直的步骤是: 判定定理判定直线与平面垂直的步骤是 : 在这个平面内找两条直线, ① 在这个平面内找两条直线 , 使它们和已 知直线垂直; 知直线垂直 ; ② 确定这个平面内的两条直 线是相交的直线; 线是相交的直线 ; ③ 根据判定定理得出结 论.

变式训练1 如图所示 , 四边形 如图所示, 四边形ABCD为 变式训练 为 正方形, 垂直于四边形 垂直于四边形ABCD所在的平 正方形 , SA垂直于四边形 所在的平 过点A且垂直于 的平面分别交SB, 且垂直于SC的平面分别交 面 , 过点 且垂直于 的平面分别交 , SC, SD于点 , F, G.求证 : AE⊥ SB, 于点E, , 求证 求证: , 于点 ⊥ , AG⊥SD. ⊥

证明: ∵ ⊥ BC? 证明: SA⊥面 ABCD, ?面 ABCD, , , ∴SA⊥BC. ⊥ 为正方形, ∵四边形 ABCD 为正方形,∴AB⊥BC. ⊥ ∵SA∩AB=A,SA?面 SAB,AB?面 ∩ = , ? , ? SAB, , ∴BC⊥面 SAB. ⊥ ∵AE?面 SAB,∴BC⊥AE, ? , ⊥ , ∵SC⊥面 AEFG,AE?面 AEFG, ⊥ , ? , ∴ SC⊥ AE.∵ BC∩SC= C, ∴ AE⊥ 面 ⊥ ∵ ∩ = , ⊥ SBC. ∵SB?面 SBC,∴AE⊥SB. ? , ⊥ 同理, ⊥ 同理,AG⊥SD.

线面垂直的性质的应用 线面垂直的性质定理的实质是实现了由线 面垂直向线线垂直的转化. 面垂直向线线垂直的转化.

例2

(本题满分 分 )如图所示 , 在正方体 本题满分14分 如图所示 如图所示, 本题满分

上一点, 是 ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是 - 是 上一点 A1C的中点,MN⊥平面 1DC.求证: 的中点, 求证: 的中点 ⊥平面A 求证 (1)MN∥AD1; ∥ (2)M是AB的中点. 是 的中点 的中点. 思路点拨】 【 思路点拨 】 对于(1)要证明线线平行 , 对于 要证明线线平行, 要证明线线平行

要先证线面垂直,即证 平面A 要先证线面垂直,即证AD1⊥平面 1DC.对 对 可利用平行的传递性加以证明. 于(2)可利用平行的传递性加以证明. 可利用平行的传递性加以证明

为正方形, 【规范解答】 (1)∵ADD1A1 为正方形, 规范解答】 ∵ ∴ AD1⊥A1D. 又∵CD⊥平面 ADD1A1, ⊥ ∴CD⊥AD1. ⊥ ∵A1D∩CD=D, ∩ = , ∴AD1⊥平面 A1DC.4 分 又∵MN⊥平面 A1DC,∴MN∥AD1.6 分 ⊥ , ∥

(2)如图,连结 ON,在△A1DC 中, 如图, 如图 , A1O=OD,A1N=NC. = , = / / 1CD / / 1AB, ∴ON , 2 2 ∴ON∥AM.10 分 ∥ 又∵MN∥OA, ∥ , ∴四边形 AMNO 为平行四边形, 为平行四边形, 1 1 ∴ON=AM.∵ON= AB, AM= AB, = ∵ = , ∴ = , 2 2 的中点.14 分 ∴M 是 AB 的中点

名师点评】 【 名师点评 】

若已知一条直线和某个

平面垂直, 平面垂直 , 证明这条直线和另一条直线平 可考虑利用线面垂直的性质定理, 行 , 可考虑利用线面垂直的性质定理 , 证 明另一条直线和这个平面垂直, 明另一条直线和这个平面垂直 , 证明时注 意利用正方形、 意利用正方形 、 平行四边形及三角形中位 线的有关性质. 线的有关性质.

变 式 训 练 2 如 图 , 在 正 方 体 ABCD - A1B1C1D1 中 , E ∈ A1D , F ∈ AC , 且 EF⊥A1D,EF⊥AC. ⊥ , ⊥ 求证: ∥ 求证:EF∥BD1.

证明: 如图, 连结 AB1、 1C、 、 1D1, B 、 BD、 B 证明: 如图, ∵DD1⊥面 ABCD,AC?面 ABCD, , ? , ∴DD1⊥AC. 又 AC⊥BD,BD∩DD1=D, ⊥ , ∩ , ∴AC⊥面 BDD1B1,BD∩DD1=D, ⊥ ∩ , ∴AC⊥BD1. ⊥

同理可证 BD1⊥B1C. 又 B1C∩AC=C, ∩ = , ∴BD1⊥平面 AB1C. 又 EF⊥A1D,A1D∥B1C,∴EF⊥B1C. ⊥ , ∥ , ⊥ 又 EF⊥AC,∴EF⊥面 AB1C. ⊥ , ⊥ ∴EF∥BD1. ∥

直线与平面所成的角 求直线与平面所成的角, 求直线与平面所成的角,关键是找到直线在 该平面内的射影, 继而构成一个三角形, 该平面内的射影 , 继而构成一个三角形 , 求 角的大小. 角的大小.
例3 已知平面 α 外两点 A,B 到平面 α 的距 ,

A, 离分别为 1 和 2, , 两点在平面 α 内的射 , B 影之间的距离为 3,求直线 AB 与平面 α 所 , 成的角. 成的角.

思路点拨】 首先应想到A, 两点与 【 思路点拨 】 首先应想到 , B两点与 平面α的位置关系有两种情形 的位置关系有两种情形: 平面 的位置关系有两种情形 : ① A, B位 , 位 的同侧; 位于α的异侧 于α的同侧;②A,B位于 的异侧,应按这 的同侧 , 位于 的异侧, 两种情形来解答直线AB与平面 与平面α所成角的 两种情形来解答直线 与平面 所成角的 大小. 大小.

的同侧时,如图. 【解】 ①当点 A,B 在平面 α 的同侧时,如图.由 , B 作垂线, B 点 A, 分别向平面 α 作垂线, , 垂足分别为 A1, 1, 则 AA1=1,BB1=2,B1A1= 3.由点 A 向 BB1 作垂 , , 由点 线,垂足为 H,则直线 AB 与平面 α 所成的角即为 , AB 与 AH 的夹角,即∠BAH 为直线 AB 与平面 α 的夹角, 所成的角. 所成的角.在 Rt△BHA 中,AH=A1B1= 3,BH= △ = , = BH 1 3 BB1-AA1=1.所以 tan∠BAH= = = , 所以 ∠ =AH 所以 3 3 ∠BAH=30°, = , 所以直线 AB 与平面 α 所成的角为 30°.

当点A, 位于平面 的异侧时,如图, 位于平面α的异侧时 ②当点 ,B位于平面 的异侧时,如图,由 分别向平面α作垂线 点A,B分别向平面 作垂线,垂足分别为 1, , 分别向平面 作垂线,垂足分别为A B1.AB与 A1B1 交于点 , A1B1 为 AB在平面 内 交于点C, 在平面α内 与 在平面 的射影.所以∠ 为直线AB与平 的射影.所以∠BCB1或∠ACA1为直线 与平 α所成的角. Rt△ 2, 面α所成的角.在Rt△BCB1中,BB1=2, 所成的角

AA 易证△ ∽△ACA1 在 Rt△AA1C 中, 1=1.易证△BCB1∽△ △ 易证 BB1 CB1 所以 = =2.因为 B1A1= 3,所以 CB1= 因为 , AA1 CA1 2 2 2 3 B A = × 3= .在 Rt△BB1C 中, tan∠ = 在 △ ∠ 3 1 1 3 3 BB1 2 B1CB= = = = 3,所以∠BCB1=60°,所 ,所以∠ , CB1 2 3 3 以直线 AB 与平面 α 所成的角为 60°. 综上所述, 综上所述,直线 AB 与平面 α 所成的角为 30° 或 60°.

名师点评】 【 名师点评 】

(1)根据问题的具体情况 , 根据问题的具体情况, 根据问题的具体情况

想到问题可能出现的各种情况, 想到问题可能出现的各种情况 , 然后分类 处理. 求直线与平面所成的角 求直线与平面所成的角, 处理 . (2)求直线与平面所成的角 , 一般是 先定斜足, 再作垂线找射影 , 最后通过解 先定斜足 , 再作垂线找射影, 直角三角形求解. 寻找斜线在平面内的 直角三角形求解 . (3)寻找斜线在平面内的 射影是解决斜线和平面所成角问题的关 键.

变式训练3 已知三棱锥 已知三棱锥S-ABC中 , 底面 变式训练 中 ABC为边长等于 的等边三角形 , SA垂直 为边长等于2的等边三角形 为边长等于 的等边三角形, 垂直 于底面ABC, SA= 3, 那么直线 与平面 于底面 , = , 那么直线AB与平面 SBC所成角的正弦值为 所成角的正弦值为________. 所成角的正弦值为 .

解析:如图所示, 解析:如图所示,过点 A 作 AD⊥BC 于 ⊥ 点 D,连结 SD;作 AG⊥SD 于点 G, , ; ⊥ , 连结 GB. ∵SA⊥底面 ABC,△ABC 为等边三角 ⊥ , 形, ∴BC⊥SA,BC⊥AD. ⊥ , ⊥ ∵SA∩AD=A,∴BC⊥平面 SAD. ∩ = , ⊥ 又 AG?平面 SAD,∴AG⊥BC. ? , ⊥ 又 AG⊥SD,SD∩BC=D, ⊥ , ∩ = , ∴AG⊥平面 SBC. ⊥

∴∠ABG 即为直线 AB 与平面 SBC 所成 ∴∠ 的角. 的角. SD= SA= , ∵AB=2, =3, AD= 3, =2 3. = , ∴ = , SA·AD 3 在 Rt△SAD 中,AG= SD = , △ = 2 3 AG 2 3 ∴sin∠ABG=AB= = . ∠ = 2 4

3 答案: 答案: 4

方法感悟 1.线线垂直、线面垂直是立体几何的核心内 .线线垂直、 容之一.由线线垂直可判定线面垂直, 容之一.由线线垂直可判定线面垂直,由线面 垂直又可判定出线线垂直,这种“线线——线 垂直又可判定出线线垂直,这种“线线 线 线线” 面——线线”之间的垂直关系的相互转化,是 线线 之间的垂直关系的相互转化, 线线、线面垂直关系的判定的实质, 线线、线面垂直关系的判定的实质,也是我们 运用定理对垂直进行证明的关键所在. 运用定理对垂直进行证明的关键所在.

2.当我们学习了直线和平面平行 、 直线 . 当我们学习了直线和平面平行、 和平面垂直之后, 和平面垂直之后 , 解决大量的线线平行和 线线垂直就有了新方法. 线线垂直就有了新方法 . 在应用过程中我 们又发现, 们又发现 , 线面关系作为中间步骤起传递 作用, 解决问题时, 作用 , 解决问题时 , 我们要学会找平面为 媒介. 另外, 我们还可以采用分析法, 媒介 . 另外 , 我们还可以采用分析法 , 转 换证明角度. 换证明角度. 3.证明线线垂直的方法,常结合具体的几 .证明线线垂直的方法, 何图形,如构建出直角三角形,矩形, 何图形,如构建出直角三角形,矩形,等 腰三角形等.在具体的几何图形中, 腰三角形等.在具体的几何图形中,可根 据所给条件进行判断, 据所给条件进行判断,选取合适的证明途 径.


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