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高中数学必修5新教学案:第二章数列小结与复习


第二章

数列小结与复习(学案)

【知识归类】 一、等差数列 1. 定义及公式 (1) 等差数列的定义:若数列 ?a n ? 满足 (2) 通项公式: a n ? (3) 前 n 项和公式: S n ? . = . = d ,则称数列 ?a n ? 为等差数列.

等差数列的通项公式与前 n 项和公式涉及到五个量,任知其三个,可求另外两个. 2.等差数列的判定:依据下列任一种方法都可以判定等差数列: (1) 定义: a n ?1 ? a n = d . (2)等差中项: 2 a n ? a n ? 1 ? a n ? 1 ( n ? 2 ) .
2

S a (3) 通项公式: n ? a 1 ? ( n ? 1) d . 4) n 项和公式: n ? An ( 前

? Bn ( A , B 为常数 ) .

3.等差数列的性质:设数列 ?a n ? 为等差数列,首项 a 1 ,公差为 d . (1) a n ? a m ? ( n ? m ) d 或 a n ? a m ? ( n ? m ) d ( m , n ? ? ) .
*

(2)若 m ? n ? r ? s , 则


*

若 m ? n ? 2 r ,则 a m ? a n ? 2 a r ( m , n , r , s ? ? ) . (3)在等差数列中,隔相同的项数抽取一项,构成的一个新数列 (4)设等差数列前 n 项和为 S n ,则 S n , S 2 n ? S n , S 3 n ? S 2 n (5)在等差数列 ?a n ? 中,若项数为 2 n ,则 S 偶 ? S 奇 ? 若项数为 2 n ? 1 ,则
S奇 S偶 ?

. .





4.等差数列的设元技巧:三个数成等差数列可设成: a ? d , a , a ? d . 四个数成等差数列可设成: a ? 3 d , a ? d , a ? d , a ? 3 d . 5.等差数列的函数性质:等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数,前 n 项和公式是 关于 n 的二次函数,可以据此解决等差数列的单调性以及前 n 项和的最值问题. 二、等比数列

1

请同学们仿照、类比对等差数列的归纳,自己对等比数列从定义及公式、等比数列的 判定、等比数列的性质、等比数列的设元技巧四个方面进行归纳. 三、数列的递推公式与数列求和 1.由数列的递推公式求数列的通项公式常用的方法有:累加法,累乘法,构造法,迭 代法等. 2.数列求和的常用方法有:公式法,拆项(分组)求和,倒序相加法,错位相减法, 裂项相消法等. 【题型归类】 题型一:等差、等比数列的判定 例 1 已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n , S n ? (1)求 a 1 , a 2 ;
1 3 ( a n ? 1)( n ? ? ) .
?

(2)求证:数列{ a n }是等比数列.

变式练习:

已知 S n 是等比数列{ a n }的前 n 项和, S 3 , S 9 , S 6 成等差数列,求证:

a 2 , a 8 , a 5 成等差数列.

题型二:等差、等比数列的通项公式与前 n 项和公式的应用 例 2 (2009 全国卷Ⅱ文)已知等差数列{ a n }中, a 3 a 7 ? ? 16 , a 4 ? a 6 ? 0 , 求{ a n }

前 n 项和 S n

变式练习: (2009 辽宁卷文)等比数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,已知 S 1 , S 3 , S 2 成等差 数列. (1)求{ a n }的公比 q ; (2)求 a 1 - a 3 =3,求 S n .

题型三:等差、等比数列的性质的应用

2

例3
a 5 ? a 2n ? ?2

? ( 2009 广 东 卷 理 ) 已 知 等 比 数 列 { a n } 满 足 a n ? 0 ,n ? 1 , 2 , , 且
2n

5

( n ? 3 ,则当 n ? 1 时, lo g 2 a 1 ? lo g 2 a 3 ? ? ? lo g 2 a 2 n ?1 ? )



) .
2

A. n ( 2 n ? 1)

B. ( n ? 1)

2

C. n

2

D. ( n ? 1)

变式练习:在等差数列{ a n }中,若 a 3 ? a 9 ? a 15 ? a 17 ? 8 ,则 S 21 ? 题型四:数列的递推公式与数列求和 例4 已知数列 ?a n ?满足 a 1 ? 0 , a n ? 1 ? a n ? 2 n , 则 a 2003 ? (
( A)  2002 ? 2001 ( B )   0 0?32 0 0 2 2



) .

(C ) 2 0 0 3

2

( D )   0 0 ?32 0 0 4 2

例5 求数列 1 ? 1, ? 4,
a

1

1
2

a

1 1 ? 7, 3 ? 10 , , n ? 1 ? ( 3 n ? 2 ) 的前 n 项和. ? a a

【思想方法】 1.数学思想:本章用到的数学思想有:分类讨论的思想、函数与方程的思想、转化与 化归的思想. 2.数学方法:本章涉及到的数学方法有:求通项时用到定义法、累加法、累积法、构造 法、迭代法等;解决数列求和问题时用到公式法、错位相减法、 倒序相加法、分组转化法等.

1. (2009 年广东卷)已知等比数列 { a n } 的公比为正数, a 3 ·a 9 =2 a 5 ,a 2 =1, a 1 = 且 则 ( ) . (A)
1 2

2

(B)

2 2

(C)

2

(D)2

2. (2009 湖南卷)设 S n 是等差数列 ? a n ? 的前 n 项和,已知 a 2 ? 3 , a 6 ? 1 1 ,则 S 7 等 于( ). (A)13 (B)35 (C)49 (D) 63

3.(2009 安徽卷)已知 ? a n ? 为等差数列, a 1 ? a 3 ? a 5 ? 105 , a 2 ? a 4 ? a 6 ? 99 , 则 a 20 =(
( A) ? 1

).
( B )1 (C )3 ( D )7
3

4. (09 福建)等差数列 { a n } 中, S 3 =6, a 1 =4, 则公差 d 等于( (A)1 (B)
5 3

) .

(C)-2

(D) 3

5. (2009 四川卷)等差数列{ a n }的公差不为零,首项 a 1 =1, a 2 是 a 1 和 a 5 的等比 中项,则数列的前 10 项之和是( (A) 90 (B) 100 ) . (C) 145

(D) 190 .

6.已知等比数列 ?a n ? 中, a 1 ? a 2 ? 30 , a 3 ? a 4 ? 60 , 则 a 11 ? a 12 ? 7.将全体正整数排成一个三角形数阵:
1 2 4 7 8 5 9 3 6 10

????????

按照以上排列的规律,第 n 行 ( n ? 3) 从左向右的第 3 个数为 8.已知数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ? 3 ? 2 ,求 a n .
n

9.已知数列 ? a n ? 的通项公式 a n ? ? 2 n ? 11 ,如果 b n ? a n ( n ? N ) ,求数列 ?b n ? 的 前 n 项和
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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10. 已知等比数列 { a n } 中, a 2 ? 2 , a 5 ? 1 2 8 .若 b n ? lo g 2 a n ,数列 { b n } 前 n 项的和为
Sn .

(1)若 S n ? 3 5 ,求 n 的值; (2)求不等式 S n ? b n 的解集.

4

第二章

数列小结与复习(教案)

【知识归类】 一、等差数列 2. 定义及公式 (4) 等差数列的定义:若数列 ?a n ? 满足 a n ?1 ? a n = d ,则称数列 ?a n ? 为等差数列. (5) 通项公式: a n ? a 1 ? ( n ? 1) d . (6) 前 n 项和公式: S n ?
n (a1 ? a n ) 2

= na 1 ?

n ( n ? 1) 2

d



等差数列的通项公式与前 n 项和公式涉及到五个量,任知其三个,可求另外两个. 2.等差数列的判定 依据下列任一种方法都可以判定等差数列: (2) 定义: a n ?1 ? a n = d . (2)等差中项: 2 a n ? a n ? 1 ? a n ? 1 ( n ? 2 ) .

(3)通项公式: a n ? a 1 ? ( n ? 1) d . (4)前 n 项和公式: S n ? An 3.等差数列的性质 设数列 ?a n ? 为等差数列,首项 a 1 ,公差为 d . (1) a n ? a m ? ( n ? m ) d 或 a n ? a m ? ( n ? m ) d ( m , n ? ? ) .
* 2

? Bn ( A , B 为常数 ) .

(2)若 m ? n ? r ? s , 则 a m ? a n ? a r ? a s . 若 m ? n ? 2 r ,则 a m ? a n ? 2 a r ( m , n , r , s ? ? ) .
*

(3)在等差数列中,隔相同的项数抽取一项,构成的一个新数列仍然是等差数列. (4)设等差数列前 n 项和为 S n ,则 S n , S 2 n ? S n , S 3 n ? S 2 n 也成等差数列. (5)在等差数列 ?a n ? 中,若项数为 2 n ,则 S 偶 ? S 奇 ? nd ; 若项数为 2 n ? 1 ,则 4.等差数列的设元技巧 三个数成等差数列可设成: a ? d , a , a ? d .
5

S奇 S偶

?

n ?1 n



四个数成等差数列可设成: a ? 3 d , a ? d , a ? d , a ? 3 d . 5.等差数列的函数性质 等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数,前 n 项和公式是关于 n 的二次函数,可以据 此解决等差数列的单调性以及前 n 项和的最值问题. 二、等比数列 1.定义及公式 (1) 等比数列的定义: 若数列 ?a n ? 满足
n ?1

a n ?1 an

= q ( q ? 0 ) 则称数列 ?a n ? 为等比数列. ,

(2)通项公式: a n ? a 1 q (3)前 n 项和公式: S n ?


n

a 1 (1 ? q ) 1? q



a1 ? a n q 1? q

( q ? 1) ;

当 q ? 1时, S n ? na 1 . 等比数列的通项公式与前 n 项和公式涉及到五个量,任知其三个,可求另外两个. 2.等比数列的判定 依据下列任一种方法都可以判定等比数列: (1)定义:
a n ?1 an
n

=q .

(2)等比中项: a n ? a n ? 1 a n ? 1 ( n ? 2 ) .

2

(3)通项公式: a n ? Aq ( q ? 0 ) . (4)前 n 项和公式: S n ? Aq 3.等比数列的性质 设数列 ?a n ? 为等比数列,首项 a 1 ,公比为 q . (1)
an am ? q
n?m
n

? A ( A ? 0 , q ? 0 且 q ? 1) .

或 an ? amq

n?m

(m , n ? ? ) .
*

(2)若 m ? n ? r ? s , 则 a m a n ? a r a s ; 若 m ? n ? 2 r ,则 a m a n ? a r ( m , n , r , s ? ? ) .
* 2

(3)在等比数列中,隔相同的项数抽取一项,构成的一个新数列仍然是等比数列. (4)设等比数列前 n 项和为 S n ,则 S n , S 2 n ? S n , S 3 n ? S 2 n , ? 也成等比数列. 4.等比数列的设元技巧 三个数成等比数列可设成:
a q , a , aq .

6

四个正数数成比差数列可设成:

a q
3

,

a q

, aq , aq

3



三、数列的递推公式与数列求和 1.由数列的递推公式求数列的通项公式常用的方法有:累加法,累乘法,构造法,迭 代法等. 2.数列求和的常用方法有:公式法,拆项(分组)求和,倒序相加法,错位相减法, 裂项相消法等. 【题型归类】 题型一:等差、等比数列的判定 例 1 已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n , S n ? (1)求 a 1 , a 2 ;
1 3 ( a n ? 1)( n ? ? ) .
?

(2)求证:数列{ a n }是等比数列.

【审题要津】 (1) 题将 S 1 ? a 1 , S 2 ? a 1 ? a 2 先后代入已知条件就可以分别求出 a 1 , a 2 ; (2)题运用 a n ? S n ? S n ? 1 即可消掉 S n ,从而得到 a n 与 a n ? 1 之间的关系. 解: (1) S 1 ? 又
S2 ? 1 3 1 3 ( a 1 ? 1) , ?   a1 ? ? a1 ? a 2 ? 1 3 1 2 ?   a2 ? 1 4

( a 2 ? 1) ,



( a 2 ? 1)



(2)当 n ? 1 时,有
a n ? S n ? S n ?1 ?
2 3 1 3

1 3

( a n ? 1) ?

1 3

( a n ? 1 ? 1) ?

1 3

( a n ? a n ?1 ) ,



an ? ?

a n ?1

所以

an a n ?1

? ?

1 2



所以 数列{ a n }是等比数列. 【方法总结】本题给出数列的方式也是递推公式的一种.此类题运用 a n ? S n ? S n ? 1 既 可消掉 S n ,得到 a n 与 a n ? 1 之间的关系,也可消掉 a n ,得到 S n 与 S n ? 1 之间的关系.本例在证 明等比数列中根据的是定义,还可以根据等比中项等方法,这要由题目的条件而定.
S a 变式练习: 已知 S n 是等比数列{ a n }的前 n 项和, 3 , S 9 , S 6 成等差数列, 求证: 2 , a 8 , a 5

成等差数列.
, 2 解:设公比为 q ,当 q ? 1 时, 2 S 9 ? 18 a 1   而 S 3 ? S 6 ? 9 a 1 ,   S 9 ? S 3 ? S 5 . S 3 , S 9 , S 6 不成等差数列.所以, q ? 1 .

由题设知

2S9 ? S3 ? S 6 ,

7



2

a 1 (1 ? q )
9

1? q
3

?

a 1 (1 ? q )
3

1? q
3

?

a 1 (1 ? q )
6

1? q





2 (1 ? q ? q ) ? 2 ? q
6

因为 因为

q ? 0

所以
6

q
1 2

3

? ?

1 2
1 2

2a8 ? 2a2q

?

a2 ,

而 a 2 ? a 5 ? a 2 (1 ? q ) ?
3

a2 ,

所以 2 a 8 ? a 2 ? a 5 , 所以, a 2 , a 8 , a 5 成等差数列. 题型二:等差、等比数列的通项公式与前 n 项和公式的应用 例 2 (2009 全国卷Ⅱ)已知等差数列{ a n }中, a 3 a 7 ? ? 16 , a 4 ? a 6 ? 0 , 求{ a n }前 n 项和 S n . 【审题要津】求{ a n }的前 n 项和 S n 就要先求首项 a 1 与公差 d ,这只要由已知条件利用 通项公式列出方程组即可解得. 解:设 ? a n ? 的公差为 d ,则
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

? ? a1 ? 2 d ? ? a1 ? 6 d ? ? ? 1 6 ? ? ? a1 ? 3 d ? a1 ? 5 d ? 0 ?

? a1 ? 8 d a1 ? 1 2 d 即? ? a1 ? ? 4 d
2

2

? ?16

解得 ?

? a 1 ? ? 8, ? d ? 2,

? a1 ? 8 或 ? ?d ? ?2

因此 S n ? ? 8 n ? n ? n ? 1 ? ? n ? n ? 9 ? , 或 S n ? 8 n ? n ? n ? 1 ? ? ? n ? n ? 9 ?



【方法总结】本题训练了等差数列的通项公式与前 n 项和公式,同时要注意方程的思想 方法在解决数列问题中的应用. 变式练习: (2009 辽宁卷)等比数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,已知 S 1 , S 3 , S 2 成等差数 列. (1)求{ a n }的公比 q ; (2)求 a 1 - a 3 =3,求 S n . 解: (Ⅰ)依题意有 a 1 ? ( a 1 ? a 1 q ) ? 2 ( a 1 ? a 1 q ? a 1 q )
2

8

由于 a 1 ? 0 ,故 又 q ? 0 ,从而 q ? - (Ⅱ)由已知可得 a 1 ? a( ? 1

2q
1 2
1 2
1

2

? q ? 0


) ? 3,
2

故 a1 ? 4

(1 ? ? 4 (

)) )

n

从而 S n ?
1? ? (

2 1 2

8 1 n ? (1 ? ? ) ) ( 3 2

题型三:等差、等比数列的性质的应用 例3( 2009 广 东 卷 ) 已知等比数列 { a n } 满足 a n ? 0, n ? 1, 2, ? ,且 a 5 ? a 2 n ? 5 ? 2
( n ? 3 ) ,则当 n ? 1 时, lo g 2 a 1 ? lo g 2 a 3 ? ? ? lo g 2 a 2 n ?1 ?
2n



C

) . D. ( n ? 1)
2

A. n ( 2 n ? 1)

B. ( n ? 1)
2

2

C. n

2

解: a 5 ? a 2 n ? 5 ? 2 2 n ( n ? 3) 得 a n ? 2 由
log
2 2

2n

a , n ? 0 , a n ? 2 , log 则
n

2

a 1 ? log

2

a3 ? ? ? ? ?

a 2 n ? 1 ? 1 ? 3 ? ? ? ? ? ( 2 n ? 1) ? n ,选 C.

【方法总结】 利用性质将等比数列的一些项的积转化为一项或两项的积的幂, 然后由已 知条件求出,等差数列中可以类比此方法. 变式练习:在等差数列{ a n }中,若 a 3 ? a 9 ? a 15 ? a 17 ? 8 ,则 S 21 ? 解: a 3 ? a 9 ? a 15 ? a 17 ? ( a 1 ? 2 d ) ? ( a 1 ? 8 d ) ? ( a 1 ? 14 d ) ? ( a 1 ? 16 d )
? 4 a 1 ? 40 d ? 8 ,

42



所以

a 1 ? 10 d ? 2

即 a 11 ? 2
? 21 a 11 ? 42 .



S 21 ?

21 ( a 1 ? a 21 ) 2

题型四:数列的递推公式与数列求和 例4 已知数列 ?a n ?满足 a 1 ? 0 , a n ? 1 ? a n ? 2 n , 则 a 2003 ? ( B
( A)  2002 ? 2001 ( B )   0 0?32 0 0 2 2

) .

(C ) 2 0 0 3

2

( D )   0 0 ?32 0 0 4 2

【审题要津】本题由各选择支可以想到结果应该有一定的规律可循,因此,可由题设中 的递推公式求出前几项后,寻找规律,猜想可得. 解: a 1 ? 0 ? 0 ? 1,
a 2 ? a1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 ,
a3 ? a2 ? 2 ? 2 ? 6 ? 2 ? 3 ,

a 4 ? a 3 ? 2 ? 3 ? 12 ? 3 ? 4 ,故猜想 a 2003 ? 2002 ? 2003 ,因此,选B
9

【方法总结】用递推数列给出数列时,可以先求出数列前几项,寻找规律,猜想出通项公 式, 当然也可以用累加法,累乘法,构造法,迭代法等.本题就还可以再利用累加法解决. 例5 求数列 1 ? 1, ? 4,
a 1 1
2

a

1 1 ? 7, 3 ? 10 , , n ? 1 ? ( 3 n ? 2 ) 的前 n 项和. ? a a
1 , 1
2

【审题要津】 由于 1, 4 , 7 ,10 , ? , 3 n ? 2 成等差数列, 1, 所以,可以用分组求和的方法(也叫拆项求和) . 解: S n ? [1 ? 4 ? 7 ? 10 ? ? ? ( 3 n ? 2 )] ? (1 ? 当 a ? 1时,  S n ?
3n
2

,

1 a
3

,? , a

1
n ?1

成等比数列



a a 1 a 1 a
2

?

?

1 a
3

?? ? a

1
n ?1

).

?n


1 a ? n ( 3 n ? 1) 2 ? a a
n ?1 n

2

1?

1 a
n ?1

?

当 a ? 1时,  S n ?

?1

1?

1 a

( a ? 1)

?

3n

2

?n



2

所以

Sn

? 3n 2 ? n ( a ? 1) , ? ? 2 ? ? n 2 a ?1 3n ? n ? ? ( a ? 1). ? a n ? 1 ( a ? 1) 2 ?

【方法总结】数列求和要根据数列通项公式的特征选择方法. 【思想方法】 1.数学思想:本章用到的数学思想有:分类讨论的思想、函数与方程的思想、转化与 化归的思想. 2.数学方法:本章涉及到的数学方法有:求通项时用到定义法、累加法、累积法、构造 法、迭代法等;解决数列求和问题时用到公式法、错位相减法、 倒序相加法、分组转化法等.

1. (2009 年广东卷)已知等比数列 { a n } 的公比为正数, a 3 ·a 9 =2 a 5 ,a 2 =1, a 1 = 且 则 ( B (A) ) .
1 2

2

(B)

2 2

(C)

2

(D)2

【解析】 设公比为 q ,由已知得 a 1 q ? a 1 q ? 2 ? a 1 q
2 8

4

?

2

,即 q ? 2 ,又因为等比数列 { a n } 的
2

公比为正数,所以 q ?

2 ,故 a 1 ?

a2 q

?

1 2

?

2 2

,选 B

2. (2009 湖南卷)设 S n 是等差数列 ? a n ? 的前 n 项和,已知 a 2 ? 3 , a 6 ? 1 1 ,则 S 7 等 于( C ).
10

(A)13 解: S 7 ? 或由 ?
7 ( a1 ? a 7 ) 2 ?

(B)35
7(a2 ? a6 ) 2 ? 7 (3 ? 1 1) 2

(C)49
? 49.

(D) 63

? a 2 ? a1 ? d ? 3

? a1 ? 1 ? ? , a7 ? 1 ? 6 ? 2 ? 13. ?d ? 2 ? a 6 ? a1 ? 5 d ? 1 1
7 ( a1 ? a 7 ) 2 ? 7 (1 ? 1 3) 2 ? 4 9 . 故选 C.

所以 S 7 ?

3.(2009 安徽卷)已知 ? a n ? 为等差数列, a 1 ? a 3 ? a 5 ? 105 , a 2 ? a 4 ? a 6 ? 99 , 则 a 20 =(
( A) ? 1

B ).
( B )1
? a3 ? a5 ? 105

(C )3

( D )7
? 105

解: a 1 ∵ ∴ a 20

即 3a3

∴ , a3

? 35

同理可得 a 4 .

? 33

∴公差 d

? a4 ? a3 ? ?2

? a4 ? (20 ? 4) ? d ? 1

.选 B.

4. (09 福建)等差数列 { a n } 中, S 3 =6, a 1 =4, 则公差 d 等于(C) . (A)1 解:∵ S 3 ? 6 ?
3 2

(B)

5 3

(C)-2
a 1 ? 4.

(D) 3
? d ? ? 2 .故选 C

( a1 ? a 3 ) 且 a 3 ? a 1 ? 2 d ,

w.w.w. k.s .5.u.c.o.m

5. (2009 四川卷)等差数列{ a n }的公差不为零,首项 a 1 =1, a 2 是 a 1 和 a 5 的等比 中项,则数列的前 10 项之和是( B ) . (A) 90 (B) 100 (C) 145
2

(D) 190

解:设公差为 d ,则 (1 ? d ) ? 1 ? (1 ? 4 d ) .∵ d ≠0,解得 d =2,∴ S 10 =100 6.已知等比数列 ?a n ? 中, a 1 ? a 2 ? 30 , a 3 ? a 4 ? 60 , 则 a 11 ? a 12 ? 7.将全体正整数排成一个三角形数阵:
1 2 4 7 8 5 9 3 6 10

960



????????

按照以上排列的规律,第 n 行 ( n ? 3) 从左向右的第 3 个数为 解:本题训练归纳推理和等差数列求和公式.前 n ? 1 行共用了 1 ? 2 ? 3 ? ? ( n ? 1) =
( n ? 1) n 2
11

个数, 因此第 n 行 ( n ? 3) 从左向右的第 3 个数是全体正整数中的第

( n ? 1) n 2

? 3 个,

即为

n ?n?6
2



2

8.已知数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ? 3 ? 2 ,求 a n .
n

解: S n ? 3 ? 2 , S n ? 1 ? 3 ? 2
n

n ?1

, a n ? S n ? S n ?1 ? 2

n ?1

(n ? 2)

而 a1 ? S 1 ? 5 ,

∴an ? ?

? 5 , ( n ? 1) ?2
n ?1

, (n ? 2)

9.已知数列 ? a n ? 的通项公式 a n ? ? 2 n ? 11 ,如果 b n ? a n ( n ? N ) ,求数列 ?b n ? 的 前 n 项和
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特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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解: b n ? a n ? ?

?1 1 ? 2 n , n ? 5 ? 2 n ? 1 1, n ? 6

,当 n ? 5 时, S n ?
n?5 2

n 2

(9 ? 1 1 ? 2 n ) ? 1 0 n ? n

2

当 n ? 6 时, S n ? S 5 ? S n ? 5 ? 2 5 ? ∴Sn ? ?
? ? n 2 ? 10 n , ( n ? 5 ) ? ?n ?
2

(1 ? 2 n ? 1 1) ? n ? 1 0 n ? 5 0
2

? 10 n ? 50 , ( n ? 6 )

10. 已知等比数列 { a n } 中, a 2 ? 2 , a 5 ? 1 2 8 .若 b n ? lo g 2 a n ,数列 { b n } 前 n 项的和为
Sn .

(1)若 S n ? 3 5 ,求 n 的值; (2)求不等式 S n ? b n 的解集. 解: (1)? a 2 ? a 1 q ? 2, a 5 ? a 1 q 4 ? 1 2 8 得 q ? 6 4
3

? q ? 4 , a1 ?

1 2

? a n ? a1 q

n ?1

?

1 2

?4

n ?1

? 2
2n?3

2 n?3

? b n ? lo g 2 a n ? lo g 2 2

? 2n ? 3

? b n ? 1 ? b n ? [ 2 ( n ? 1) ? 3] ? ( 2 n ? 3) ? 2

? { b n } 是以 b1 ? ? 1 为首项,2为公差的等差数列.
? Sn ? ( ? 1 ? 2 n ? 3) n 2 ? 3 5, n ? 2 n ? 3 5 ? 0
2

( n ? 7 )( n ? 5) ? 0即 n ? 7
2 2 (2)? S n ? b n ? n ? 2 n ? ( 2 n ? 3) ? n ? 4 n ? 3 ? 0

?3?

3 ? n?3?

3

?n? N

?

? n ? 2 , 3 , 4 即,所求不等式的解集为 {2 , 3, 4}

12


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