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安徽省安庆市2012届高三第三次模拟考试文科数学含答案2012.5


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2012 年安庆市高三模拟考试(三模) 数学试题(文科)参考答案
一.选择题:每小题 5 分,满分 50 分. 1.A 2.D 3.C 4.B 5.D 6.B 7.C 8.B 9.B 10.B

二.填空题:每小题 5 分,满分 25 分. 11. x ? y ? 1 ? 0 12. 必要不充分 13. 24 ? ? 14. [-2,2] 15. ③④

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由图象可知 A ?

3 3 2 ? 3 3 ? ? ? ? ? 2 , b ? ,………3 分 , T? ?? 2 4 3 12 4 2

3 3 4? ? 2? f ( x) ? sin( x ? ? ) ? ,由图象过点 ( ,0) 得 2 ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z ), 2 2 3 2 3
又 | ? |?

?
2

?? ?

?
6


………………………………5 分

3 ? 3 ? f ( x) ? sin( x ? ) ? . 2 2 6 2
(Ⅱ) g (x) ?

………………………………6 分

3 ? ? 3 3 3 3 3 sin[ ( x ? ) ? ] ? ? cos2 x ? ? g ( A) ? cos2 A ? ,……7 分 2 2 6 6 2 2 2 2 2

由g ( A) ?

9 1 ? 得 cos2 A ? ,又角 A 为锐角,得 A ? . ………………………………8 分 4 2 6

在⊿ ABC中, b2 ? c 2 ? 2bccos A ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 3bc ? 4 ,
2 2 又 b ? c ? 3bc ? (2 ? 3 )bc ∴ bc ? 4(2 ? 3 ) ( b ? c 时等号成立)……………10 分

∴ S ?ABC ?

1 1 , bcsin A ? bc ? 2 ? 3 ( b ? c 时等号成立) 2 4
………………………………12 分

即⊿ ABC面积的最大值为 2 ? 3 . 17.(本小题满分 12 分)

1 1 ,因此参加考试的学生数为 100 ? ? 1500. …………1 分 15 15 3 从被抽取的试卷中随机抽取一份,是理科卷的概率为 , 5 3 ∴被抽取的理科试卷有 ? 100 ? 60 份. ………………………………2 分 5
解:(Ⅰ)依题意,抽样比为
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因 此 , 该 校 参 加 模 拟 考 试 的 理 科 学 生 人 数 为 60 ? 1500-900=600(人). ………………………………4 分

1 ? 900 ( 人 ) , 文 科 学 生 人 数 为 15

1 (Ⅱ) 第 3、4、5 组的频率为 (1 ? 0.05? 4 ? 0.1? 2) ? 0.2 ………………………5 分 3
数学平均成绩

x ? 0.05 ? 65 ? 0.05 ? 75 ? 0.1 ? 85 ? 0.2 ? 95 ? 0.2 ? 105 ? 0.2 ? 115 ? 0.1 ? 125 ? 0.05 ? 135 ? 0.05 ? 145 ? 0.05 ? (65 ? 75 ? 135 ? 145 ) ? 0.1 ? (85 ? 125 ) ? 0.2 ? (95 ? 105 ? 115 ) ? 21 ? 21 ? 63 ? 105
………………………………8 分 (Ⅲ) 被抽取的试卷中优秀成绩人数为 0.2 ?100? 20 ,其中文科学生有

1 5 1 ? 5 人,而文科被抽取的试卷有 40 份,因此,文科的优秀率为 ? ;……11 分 4 40 8 15 1 类似可得理科优秀率为 ………………………………12 分 ? . 60 4 20 ?
18.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:∵平面 CSD⊥平面 ABCD, 平面 CSD? 平面 ABCD? CD , AD ? 平面ABCD , AD ⊥ CD

? AD ? 平面 SCD ,而 SC ? 平面SCD ,? AD? SC ,……………………………3 分
又 CS ⊥ DS , DS ? 平面 SAD , AD ? 平面SAD且AD ? SD ? D ,

? SC ? 平面 ASD .由 SC ? 平面 CSB 得:平面 CSB ⊥平面 ASD.………………6 分
(Ⅱ) 易知 CB ? 平面 SCD? BC ? SC ? SB ? 2CE ? 2 2 , ? BC ? 8 ? 4 ? 2 ,

? S ?BCS ?

1 ? 2 ? 2 ? 2 . SD ? 2

AS 2 ? AD 2 ? 3 ? 1 ? 2

……………………9 分

?VE ? ACS ? V A? ECS ? VD? ECS ?
19.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) f ?( x) ? x 2 ? 2ax ? b

1 1 1 2 ………………12 分 S ?ECS ? SD ? ? S ?BCS ? 2 ? 3 3 2 3

………………………………1 分

由 f (x ) 在 x ? ?1处的切线与直线 y ? 4 x 平行 ? ?2a ? b ? 1 ? 4 , 由 f (x ) 在 x ? 1 处取极值 ? 2a ? b ? 1 ? 0 , ………………………………3 分

? b ? 1, a ? ?1 ? f ( x) ?

1 3 x ? x2 ? x . 3

………………………………5 分
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x

(Ⅱ) b ? 1 时, g( x) ? ( x ? 2ax ? 1)e ,
2

g?(x) ? (2x ? 2a)e x ? ( x 2 ? 2ax ? 1)e x ? [x 2 ? (2a ? 2)x ? (2a ? 1)]e x
? (x ? 2a ? 1)(x ? 1)e x
………………………………7 分 ………………………………9 分

由 g ?( x) ? 0 得 x1 ? ?(2a ? 1), x2 ? ?1.

①当 a ? 0 时,在 (?? ,?2a ? 1) ? (?1,?? ) 上 g ?( x) ? 0 ,在 (?2a ? 1,?1) 上 g ?( x) ? 0 ,

? g (x) 在 (??,?2a ? 1)和(?1,?? ) 上递增,在 (?2a ? 1,?1) 上递减;……………10 分
②当 a ? 0 时,除 x ? ?1外均有 g ?( x) ? 0 ,因此 g (x) 在 R 上递增;………………11 分 ③当 a ? 0 时,在 (?? ,?1) ? (?2a ? 1,?? ) 上 g ?( x) ? 0 ,在 (?1,?2a ? 1) 上 g ?( x) ? 0 ,

? g (x) 在 (??,?1)和(?2a ? 1,?? ) 上递增,在 (?1,?2a ? 1) 上递减;………………12 分
20.(本小题满分 13 分)

? a2 ? b2 ? 4 ? c 2 ?a 2 ? 9 ? ?? 2 (Ⅰ)解:依题意 ? ?b ? 5 ? 2 a 23 2 b ?c ? a ?
y2 x2 ? ? 1. 所求的椭圆方程为: 9 5
(Ⅱ)证明:抛物线 D 的方程为: x ? 8 y
2

………………………………4 分

………………………………5 分

………………………………7 分

设 A( x1 , x1 ) 、 B( x 2 ,

1 8

2

1 2 x2 ) ,则以 A 、 B 为切点的抛物线的切线分别为: 8

1 2 1 1 2 1 y ? x1 ? x1 ( x ? x1 ) 和 y ? x2 ? x2 ( x ? x2 ) 8 4 8 4
即 x1 x ? 4 y ? 2 x1 和 x2 x ? 4 y ? 2 x2
2

1

1

2



………………………………9 分

? x2 ? 8y ? x ? x2 ? 8k 由? ? x 2 ? 8kx ? 8b ? 0 ? ? 1 ?x1 ? x2 ? ?8b ? y ? kx ? b

②……………………11 分

①②消去 x 得: y ? ?b ,即以 A 、 B 为切点的抛物线的切线交点 P 一定在直线 y ? ?b 上. ………………………………13 分 21.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明: Sn ? nan?1 ? n(n ? 1) ? Sn ? n(Sn?1 ? Sn ) ? n(n ? 1) ……………………2 分
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? nSn?1 ? (n ? 1)S n ? n(n ? 1) ?

S n?1 S n ? ? 1,………………………………4 分 n ?1 n

S1 ?S ? ? 1 , ? n ? 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列. ……………………………6 分 1 ?n ?
(Ⅱ)解:由(I)知

Sn ? n ? S n ? n 2 ? n ? 2时,S n?1 ? (n ? 1) 2 n

? a n ? S n ? S n ?1 ? n 2 ? (n ? 1) 2 ? 2n ? 1 ( a1 ? 1 适合此式)……………………8 分

? bn ?

1 1 sin 2 ? ? cos an ? cos an?1 sin 2 cos an ? cos an?1

?
?

sin( n?1 ? an ) a 1 1 sinan?1 cosan ? cosan?1 sinan ? ? ? sin2 cosan ? cosan?1 sin2 cosan ? cosan?1

1 ………………………………12 分 ? (tanan?1 ? tana n ) . sin2 1 ?Tn ? ? [(tana2 ? tan a1 ) ? (tana3 ? tan a2 ) ? (tana4 ? tan a3 ) ? ? ? (tanan?1 ? tan an )] sin2 tan an?1 ? tan a1 tan(2n ? 1) ? tan1 . ………………………………14 分 ? ? sin2 sin2

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