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第一章 三角函数 单元同步测试(北师大版必修4)


北师大版·数学·必修 4

高中同步学习方略

第一章 三角函数 单元同步测试
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.下列说法中,正确的是( A.第一象限的角都是锐角 B.第三象限的角必大于第二象限的角 C.-831° 是第二象限角 D.-95° 20′,9

84° 40′,264° 40′是终边相同的角 解析 对于 A 项来说,如 390° 是第一象限角,但它不是锐角; 对于 B 项来说,-170° 是第三象限角,120° 是第二象限角,但 120° >-170° ; 对于 C 项来说, -831° =-2×360° -111° , 因为-111° 是第三象 限角,所以-831° 是第三象限角; 对于 D 项来说,984° 40′=3×360° -95° 20′,264° 40′=360° -95° 20′. 所以角 984° 40′,264° 40′都与-95° 20′角的终边相同. 答案 D
? ?

)

π? ? 2.函数 y=2tan?3x+4?的最小正周期是( π A.6 π C.2 解析 答案 π T=3. B
1

)

π B.3 2 D.3π

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? ?

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3 ? ? 3 3.已知点 P?sin4π,cos4π?落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),则 θ 的值为( π A.4 5π C. 4 ) 3π B. 4 7π D. 4

3 7 3 7 解析 sin4π=cos4π,cos4π=sin4π. 答案 D

π 4.把 y=sinx 的图像向右平移8后,再把各点横坐标伸长到原来 的 2 倍,得到的函数的解析式为(
? x π? A.y=sin?2-8? ? ?

)
? x π? B.y=sin?2+8? ? ?

π? ? C.y=sin?2x-8?
? ?

π? ? D.y=sin?2x-4?
? ?

答案

A
? ? ? ?

π? ? ? π ? 5.函数 y=sin?2x-3?在区间?-2,π?的简图是(

)

π π? ?π? ? ? π? 解析 ∵f?6?=sin?2×6-3?=0, 故 C, D 不正确, 又 f(0)=sin?-3? ? ? ? ? ? ?
2

北师大版·数学·必修 4 π 3 =-sin3=- 2 <0. ∴B 不正确. 答案 A sinx+lgcosx 的定义域为( lg?x2+2?
?

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6.函数 y=

)

π ? ? A.?x|2kπ≤x<2kπ+2,k∈Z?
?

π ? ? B.?x|2kπ<x<2kπ+2,k∈Z?
? ?

C.{x|2kπ<x<?2k+1?π,k∈Z} π π ? ? D.?x|2kπ-2<x<2kπ+2,k∈Z?
? ? ?sinx≥0, ? 解析 由? 得 ? ?cosx>0,

?2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z, ? π 3π 2 k π ≤ x < 2 k π + 或 2 k π + ? 2 2 <x≤2kπ+2π,k∈Z,
π 即 2kπ≤x<2kπ+2,k∈Z, 所以选 A. 答案 A
? ?

π? ? 7.已知函数 f(x)=sin?x-2?(x∈R),下面结论错误的是( A.函数 f(x)的最小正周期为 2π π? ? B.函数 f(x)在区间?0,2?上是增函数
? ?

)

C.函数 f(x)的图像关于 x=0 对称 D.函数 f(x)是奇函数
3

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? ? ? ?

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π? ? ?π ? 解析 f(x)=sin?x-2?=-sin?2-x?=-cosx,显然 f(x)为偶函数, 不是奇函数. 答案 D
? ?

?π ? 8.y=cos?4-x?在(

)

A.[-π,0]上是增加的
? 3π π? B.?- 4 ,4?上是增加的 ? ? ? ? π π? C.?-2,2?上是增加的 ? ?π 5π? D.?4, 4 ?上是增加的 ? ?

解析

π? ?π ? ? π y=cos?4-x?=cos?x-4?, 当 2kπ-π≤x-4≤2kπ(k∈Z)时,
? ? ? ?

3π π 3π 函数是增加的,解得 2kπ- 4 ≤x≤2kπ+4(k∈Z).当 k=0 时,- 4
? 3π π? π ≤x≤4,∴x∈?- 4 ,4?时,函数是增加的. ? ?

答案

B )

9.设 a=sin(-1),b=cos(-1),c=tan(-1),则有( A.a<b<c C.c<a<b B.b<a<c D.a<c<b

解析 a=-sin1,b=cos1,c=-tan1, ∵a<0,c<0,b>0,又 sin1<tan1, ∴-sin1>-tan1,故选 C. 答案 C

πx 10. 已知函数 f(x)= 3sin k 的图像上相邻的一个最大值点与一个
4

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最小值点恰好在圆 x2+y2=k2 上,则 f(x)的最小正周期是( A.1 B.2 C.3 D.4

?k ? ? k? 解析 由题意可知点?2, 3?在圆 x2+y2=k2 上,所以?2?2+( 3)2 ? ? ? ?

2π =k2,解得 k=± 2.此时,函数的最小正周期是 T= π =2|k|=4. |k| 答案 D

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知角 α 的终边过点 P(-4m,3m),(m≠0),则 2sinα+cosα =________. 6m -4m 2 解析 当 m>0 时, |OP|=5m,2sinα+cosα=5m+ 5m =5; 当 m<0 时,|OP|=-5m,2sinα+cosα= 2 2 答案 5或-5 3 5 12.sin4π+cos2π+tan3π-sin2π+cos5π=________. 3 5 解析 sin4π+cos2π+tan3π-sin2π+cos5π π π =sin0+cos2+tanπ-sin2+cosπ =0+0+0-1-1=-2. 答案 -2 6m -4m 2 + =-5. -5m -5m

13.已知半径为 2 的扇形的面积为 4,则这个扇形的圆心角为 ________.

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1 解析 设这个扇形的弧长为 l,则 4=2×2×l,∴l=4,∴这个 l 4 扇形的圆心角 θ=r=2=2. 答案 2 π 14.若函数 f(x)=sinx+mcosx 图像的一条对称轴方程为 x=6, 则实数 m 的值为________.
?π? 3 m 解析 由题意得 f(0)=f?3?,即 m= 2 + 2 ,得 m= 3. ? ?

答案

3
? ?

3 ? ? 15.若函数 f(x)=2sin?3x-4π?,有下列命题:①其最小正周期为 2 π π ;②其图像由 y = 2sin3 x 向左平移 3 4个单位得到;③其表达式可写成 3 ? 5 ? ? ?π f(x)=2cos?3x+4π?;④在 x∈?12,12π?为单调增函数.则其中真命题
? ? ? ?

为________. 2π 解析 由 T= 3 ,故①正确; π? ? π 将 y = 2sin3x 的图像向左平移 4 个单位得到 y = 2sin3 ?x+4? = ? ? 3 ? ? 2sin?3x+4π?,故②不正确;
? ?

3 ? 3 ? ? ? y=2cos?3x+4π?=2cos?-3x-4π?
? ? ? ? ?

3 ?? ?π ? 5 ? ? =2sin?2-?-3x-4π??=2sin?3x+4π?
? ? ? ?? ?

5 3 ? ? ? ? =2sin?3x+4π-2π?=2sin?3x-4π?,故③正确;
? ? ?

6

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? ?

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5 ? ?π π 5π π 3 π 当12<x<12时,-2<3x-4π<2,故 f(x)在?12,12π?上单调递增, 故④正确. 答案 ①③④

三、解答题(本大题共 6 道题,共 75 分) 16.(12 分)化简: (1)sin420° cos330° +sin(-690° )· cos(-660° );
?π ? ?π ? ?π ? sin?2+α?cos?2-α? sin?π-α?cos?2+α? ? ? ? ? ? ? (2) + . cos?π+α? sin?π+α?



(1)sin420° cos330° +sin(-690° )· cos(-660° )=sin60° cos30° +

sin30° cos60° =1. cosαsinα sinα?-sinα? (2)原式= + -cosα -sinα =-sinα+sinα =0. π 17.(12 分)已知扇形的圆心角 θ=3,它所对的弦长为 2,求扇形 的弧长和面积.

π 解 ∵扇形的圆心角 θ=3(如图),∴△AOB 为等边三角形,∴R

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北师大版·数学·必修 4 π 2 =AB=2,∴扇形的弧长 l=Rθ=2×3=3π. 1 1 2 2 S 扇=2Rl=2×2×3π=3π.

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18.(12 分)如图,点 P 是半径为 r cm 的砂轮边缘上的一个质点, 它从初始位置 P0 开始,按逆时针方向以角速度 ω rad/s 做匀速圆周运 动,求点 P 的纵坐标 y 关于时间 t 的函数关系式,并求点 P 的运动周 期和频率. 解 当质点 P 从位置 P0 开始转动 t s 时,点 P 转过的角度为 ωt. 设此时点 P 所在的位置为 P′,则∠P′Ox=ωt+φ.由任意角的三角 函数得点 P 的纵坐标为 y=rsin(ωt+φ),此即为所求的函数关系式. 2π 1 ω 点 P 的运动周期为 T= ω ,频率为 f=T=2π.

19.(13 分)如图所示,是函数 y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0)的 一段图像. (1)求此函数解析式;
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北师大版·数学·必修 4 (2)分析该函数是如何通过 y=sinx 变换得来的? 1 ? 3? -2-?-2? ? ? 1 (1)由图像知 A= =2, 2

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1 ? 3? -2+?-2? ? ? k= =-1, 2
?2π π? T=2×? 3 -6?=π, ? ?

2π ∴ω= T =2. 1 ∴y=2sin(2x+φ)-1. π π π π 当 x=6时,2×6+φ=2,∴φ=6. π? 1 ? ∴所求函数解析式为 y=2sin?2x+6?-1.
? ?

π? ? π (2)把 y=sinx 向左平移6个单位,得到 y=sin?x+6?,然后纵坐标
? ?

π? ? 1 保持不变、横坐标缩短为原来的2,得到 y=sin?2x+6?,再横坐标保 ? ? π? 1 1 ? 持不变,纵坐标变为原来的2得到 y=2sin?2x+6?, ? ? π? 1 ? 1 最后把函数 y=2sin?2x+6?的图像向下平移 1 个单位,得到 y=2
? ?

π? ? sin?2x+6?-1 的图像.
? ?

20.(13 分)如果关于 x 的方程 sin2x-(2+a)sinx+2a=0 在 x∈
? π 5π? ?- , ?上有两个实数根,求实数 a 的取值范围. ? 6 6?



sin2x-(2+a)sinx+2a=0,

即(sinx-2)(sinx-a)=0.
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? ?

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? π 5π? ∵sinx-2≠0,∴sinx=a,即求在 x∈?-6, 6 ?上 sinx=a 有两

根时 a 的范围.
? π 5π? 1 由 y=sinx,x∈?-6, 6 ?与 y=a 的图像知2≤a<1. ? ? ?1 ? 故实数 a 的取值范围是?2,1?. ? ?

21.(13 分)设函数 f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),f(x)图像的一条对 π 称轴是直线 x=8, (1) 求 φ; (2) 求函数 y=f(x)的单调增区间; (3) 画出函数 y=f(x)在区间[0,π]上的图像. 解 π (1)∵x=8是函数 y=f(x)的图像的对称轴,
? ?

π ? ? ∴sin?2×8+φ?=± 1. π π π ∴4+φ=kπ+2,(k∈Z),φ=kπ+4,(k∈Z). 3π ∵-π<φ<0,∴φ=- 4 . 3π? ? 3π (2)由(1)知 φ=- 4 ,∴y=sin?2x- 4 ?.
? ?

π 3π π 由题意得 2kπ-2≤2x- 4 ≤2kπ+2(k∈Z), π 5π ∴kπ+8≤x≤kπ+ 8 ,(k∈Z). 3π? ? 即函数 y=sin?2x- 4 ?的单调增区间为
? ?

π 5π? ? ?kπ+ ,kπ+ ?,(k∈Z). 8 8? ?
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北师大版·数学·必修 4 3π? ? (3)由 y=sin?2x- 4 ?知,
? ?

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x y

0 2 -2

π 8 -1

3π 8 0

5π 8 1

7π 8 0

π 2 -2

故函数 y=f(x)在区间[0,π]上图像是

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