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高二数学空间向量


空间向量及其运算
学习目标
1. 理解空间向量的概念,掌握其表示方法;掌握空间向量的数乘运算律,能进行简单的代数式化简; 2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律;理解共线向量定理和共面向量定理及它 们的推论; 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题.

学习过程
一、课前准备 复习 1

:平面向量基本概念: 具有 和 的量叫向量,

叫向量的模(或长度) ;

叫零向量,记着



叫单位向量. 叫相反向量, a 的相反向量记着 . 向量的表示方法有 , , 和 共三种方法. 复习 2:平面向量有加减以及数乘向量运算: 1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 2. 实数与向量的积: 实数 λ 与向量 a 的积是一个 量,记作 ,其长度和方向规定如下: (1)|λa|= . (2)当 λ>0 时,λa 与 A. ; 当 λ<0 时,λa 与 A. ; 当 λ=0 时,λa= . 3. 向量加法和数乘向量,以下运算律成立吗? 加法交换律:a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb 复习 3:在平面上,什么叫做两个向量平行?

叫相等向量.

法则.

在平面上有两个向量 a, b , 若 b 是非零向量,则 a 与 b 平行的充要条件是 二、新课导学 探究任务一:空间向量的相关概念 问题: 什么叫空间向量?空间向量中有零向量,单位向量,相等向量吗?空间向量如何表示? 新知:空间向量的加法和减法运算: 空间任意两个向量都可以平移到同一平面内,变为两个平面向量的加法和减法运算,例如右图中,
OB ? 试 试 : 1.
AB ? , 分别用平行四边形法则和三角形法则求



a ? b, a ? b. a . b

2. 点 C 在线段 AB 上,且
AC ?
AB ,

AC 5 ? ,则 CB 2 AB . BC ?

1

反思:空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗? ⑴加法交换律:A. + B. = B. + a; ⑵加法结合律:(A. + b) + C. =A. + (B. + c); ⑶数乘分配律:λ(A. + b) =λA. +λb. 例 1 已知平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' (如图) ,化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量:

⑴AB ? BC;

1 ⑵AB ? AD ? AA '; ⑶ AB ? AD ? CC ' 2 1 ⑷ ( AB ? AD ? AA ' ). 2

' 变式:在上图中,用 AB, AD, AA' 表示 AC , BD' 和 DB ' .

探究任务二:空间向量的共线 问题:空间任意两个向量有几种位置关系?如何判 定它们的位置关系? 新知:空间向量的共线: 1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ,则这些向量叫共线向量,也叫 平行向量. 2. 空间向量共线: 定理:对空间任意两个向量 a, b ( b ? 0 ) , a // b 的充要条件是存在唯一实数 ? ,使得 推论:如图,l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量的直线,对空间的任意一点 O,点 P 在直线 l 上的充 要条件是 试试:已知 AB ? a ? 5b, BC ? ?2a ? 8b,

CD ? 3 a ? b ,求证: A,B,C 三点共线.

?

?

反思:充分理解两个向量 a, b 共线向量的充要条件中的 b ? 0 ,注意零向量与任何向量共线.

例 1 已知直线 AB,点 O 是直线 AB 外一点,若 OP ? xOA ? yOB ,且 x+y=1,试判断 A,B,P 三点是否共线?

1 变式:已知 A,B,P 三点共线,点 O 是直线 AB 外一点,若 OP ? OA ? tOB ,那么 t= 2 ' 例 2 已知平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' ,点 M 是棱 AA 的中点,点 G 在对角线 A ' C 上,且 CG:GA ' =2:1,
设 CD = a , CB ? b, CC ' ? c ,试用向量 a, b, c 表示向量 CA, CA' , CM , CG .

变式 1:已知长方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' ,M 是对角线 AC ' 中点,化简下列表达式: ⑴ AA' ? CB ; ⑵ AB' ? B'C ' ? C ' D' 1 1 1 ⑶ AD ? AB ? A' A 2 2 2

变式 2:如图,已知 A, B, C 不共线,从平面 ABC 外任一点 O ,作出点 P, Q, R, S ,使得: ⑴ OP ? OA ? 2 AB ? 2 AC ⑵ OQ ? OA ? 3AB ? 2 AC ⑶OR ? OA ? 3 AB ? 2 AC ⑷ OS ? OA ? 2 AB ? 3 AC .

结:空间向量加法的运算要注意:首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点 的向量,求空间若干向量之和时,可通过平移使它们转化为首尾相接的向量.
3

例 2 化简下列各式: ⑴ AB ? BC ? CA ; ⑶ AB ? AC ? BD ? CD; ⑵ AB ? MB ? BO ? OM ; ⑷ OA ? OD ? DC .

变式:化简下列各式: ⑸ OA ? OC ? BO ? CO ; ⑹ AB ? AD ? DC ; ⑺ NQ ? QP ? MN ? MP .

小结:化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则,遇到减法既可转化成加法,也可按减法 法则进行运算,加法和减法可以转化. ※ 动手试试 练 1. 已知平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' , M 为 A 1 C 1 与 B 1 D 1 的交点,化简下列表达式: ⑴ AA1 ? A1B1 ; 1 1 ⑵ A1 B1 ? A1 D1 ; 2 2 1 1 ⑶ AA1 ? A1 B1 ? A1D1 2 2 ⑷ AB ? BC ? CC1 ? C1 A1 ? A1 A .

练 2. 下列说法正确的是( ) A. 向量 a 与非零向量 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线; B. 任意两个共线向量不一定是共线向量; C. 任意两个共线向量相等; D. 若向量 a 与 b 共线,则 a ? ? b . 练 3. 已知 a ? 3m ? 2n, b ? ( x ? 1)m ? 8n , a ? 0 ,若 a // b ,求实数 x.

三、总结提升 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移,而空间向量研究的是空间的平移,它们的共同点 都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度” ,空间的平移包含平面的平移.

学习评价
※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列说法中正确的是( ) A. 若∣ a ∣=∣ b ∣,则 a , b 的长度相同,方向相反或相同; B. 若 a 与 b 是相反向量,则∣ a ∣=∣ b ∣; C. 空间向量的减法满足结合律; D. 在四边形 ABCD 中,一定有 AB ? AD ? AC .
2. 长方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,化简 AA ' ? A' B' ? A' D' = 3. 已知向量 a , b 是两个非零向量, a0 , b0 是与 a , b 同方向的单位向量,那么下列各式正确的是( ) A. a0 ? b0 C. a0 ? 1 B. a0 ? b0 或 a0 ? ?b0 D. ∣ a0 ∣=∣ b 0 ∣

4. 在四边形 ABCD 中,若 AC ? AB ? AD ,则四边形是( ) A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 5. 下列说法正确的是( ) A. 零向量没有方向 B. 空间向量不可以平行移动 C. 如果两个向量不相同,那么它们的长度不相等 D. 同向且等长的有向线段表示同一向量 6. 下列说法正确的是( ) A. a 与非零向量 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线 B. 任意两个相等向量不一定共线 C. 任意两个共线向量相等 D. 若向量 a 与 b 共线,则 a ? ? b 7 正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,点 E 是上底面 A ' B ' C ' D ' 的中心,若 BB' ? xAD ? yAB ? z AA' , 则 x= ,y= ,z= . OA + OB . 8. 若点 P 是线段 AB 的中点,点 O 在直线 AB 外,则 OP ?

1 9. 平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' , O 为 A 1 C 与 B 1 D 的交点,则 ( AB ? AD ? AA' ) ? 3

AO

10. 已知平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' ,M 是 AC 与 BD 交点,若 AB ? a, AD ? b, AA' ? c ,则与 B' M 相等的 向量是( ) 1 1 1 1 A. ? a ? b ? c ; B. a ? b ? c; 2 2 2 2 1 1 1 1 C. a ? b ? c ; D. ? a ? b ? c . 2 2 2 2 11. 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量 D1 A 、 D1C 、 AC 是( ) 1 1 A. 有相同起点的向量 B.等长向量 C.共面向量 D.不共面向量.
5

12. 正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,点 E 是上底面 A ' B ' C ' D ' 的中心,若 BB' ? xAD ? yAB ? z AA' , 则 x= ,y= ,z= . OA + OB . 13. 若点 P 是线段 AB 的中点,点 O 在直线 AB 外,则 OP ?

1 AO . 14. 平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' , O 为 A 1 C 与 B 1 D 的交点,则 ( AB ? AD ? AA' ) ? 3 15. 在下列命题中:①若 a、b 共线,则 a、b 所在的直线平行;②若 a、b 所在的直线是异面直线,则 a、b 一定不共面;③若 a、b、c 三向量两两共面,则 a、b、c 三向量一定也共面;④已知三向量 a、b、c,则 空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为 p=xa+yb+zc.其中正确命题的个数为 ( ). A.0 B.1 C. 2 D. 3 16. 若 a ? 3m ? 2n ? 4 p, b ? ( x ? 1)m ? 8n ? 2 yp ,
a ? 0 ,若 a // b ,求实数 x, y .

17.已知两个非零向量 e1 , e2 不共线, AB ? e1 ? e2 , AC ? 2e1 ? 8e2 , AD ? 3e1 ? 3e2 . 求证: A, B, C , D 共面.

§3.1.3-5 空间向量的数量积 及坐标表示
学习目标
1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法; 2. 掌握两个向量的数量积的计算方法,并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题. 3.掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示; 4. 掌握空间向量的坐标运算的规律; 5.掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式;

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P90~ P92,找出疑惑之处) 复习 1:什么是平面向量 a 与 b 的数量积? 复习 2:在边长为 1 的正三角形⊿ ABC 中,求 AB ? BC . 复习 3:平面向量的坐标表示:

平面直角坐标系中,分别取 x 轴和 y 轴上的 向量 ,则称有序对 ? x, y ? i, j 作为基底,对平面上任意向量 a ,有且只有一对实数 x,y,使得 a ? xi ? y j , 为向量 a 的 ,即 a = .

二、新课导学 探究任务一:空间向量的数量积定义和性质 问题:在几何中,夹角与长度是两个最基本的几何量,能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间 线段的长度问题? 新知: 1) 两个向量的夹角的定义:已知两非零向量 a , b ,在空间 一点 O ,作 OA ? a ,OB ?b ,则 ?AOB 叫做向 量 a 与 b 的夹角,记作 . 试试: ?? a, b ?? ⑴ 范围:
? a, b? =0 时, a 与 b

; ? a, b? =π 时, a 与 b

⑵ ? a, b ??? b , a ? 成立吗? ⑶ ? a, b ?? ,则称 a 与 b 互相垂直,记作 . 2) 向量的数量积: 已知向量 a , b ,则 叫做 a , b 的数量积,记作 a ? b ,即 a ? b ? 规定:零向量与任意向量的数量积等于零. 反思: ⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量? ⑵ 0?a ? (选 0 还是 0 ) ⑶ 你能说出 a ? b 的几何意义吗? 3) 空间向量数量积的性质: (1)设单位向量 e ,则 a ? e ?| a | cos ? a, e ? . (2) a ? b ? a ? b ? . (3) a ? a ? = . 4) 空间向量数量积运算律: (1) (? a) ? b ? ? (a ? b ) ? a ? (?b ) . (2) a ? b ? b ? a (交换律) . (3) a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c (分配律 反思: ⑴ (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 吗?举例说明.

.

⑵ 若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c 吗?举例说明. ⑶ 若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 吗?为什么?

7

※ 典型例题 例 1 用向量方法证明:在平面上的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜 线垂直.

变式 1: 用向量方法证明: 已知: 直线 l 与平面 ? 的交点为 B , 且 l ?ml , n? . m, n 是平面 ? 内的两条相交直线, 求证: l ? ? .

例 2 如图,在空间四边形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 3 , BD ? 2 3 , CD ? 3 , ?ABD ? 30 , ?ABC ? 60 , 求 AB 与 CD 的夹角的余弦值
王新敞
奎屯 新疆

D

A B
变式:如图,在正三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中,若

C

AB= 2 BB 1 ,则 AB 1 与 C 1 B 所成的角为( ) A. 60° B. 90° C. 105° D. 75° 例 3 如图,在平行四边形 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中, AB ? 4, AD ? 3 , AA' ? 5 , ?BAD ? 90? , ?BAA' =
?DAA' =60°,求 AC ' 的长.

探究任务二:空间向量的正交分解 问题:对空间的任意向量 a ,能否用空间的几个向量唯一表示?如果能,那需要几个向量?这几个向量有何 位置关系? 新知: ⑴ 空 间向量的正交分解 :空 间的任意向量 a ,均可分解为不共面的三个向量 ?1 a1 、 ?2 a2 、 ?3 a3 ,使

a ? ?1 a1 ? ?2 a2 ? ? 3 a 3. 如果 a1 , a2 , a3 两两
(2)空间向量基本定理:如果三个向量 a, b, c

,这种分解就是空间向量的正交分解. ,

对空间任一向量 p ,存在有序实数组 {x, y, z} ,使得 p ? xa ? yb ? zc . 把 的一个基底, a, b, c 都叫做基向 量. 反思:空间任意一个向量的基底有 个. ⑶单位正交分解:如果空间一个基底的三个基向量互相 ,长度都为 ,则这个基底叫做单位正交基底, 通常用{i,j,k}表示. ⑷空间向量的坐标表示:给定一个空间直角坐标系 O-xyz 和向量 a,且设 i、j、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向 的单位向量,则存在有序实数组 {x, y, z} ,使得 a ? xi ? y j ? zk ,则称有序实数组 {x, y, z} 为向量 a 的坐标, 记着 p ? . . ⑸设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB = ⑹向量的直角坐标运算: 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 ⑴a+b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; ⑵a-b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; ⑶λa= (? a1 , ? a2 , ? a3 ) (? ? R) ; ⑷a·b= a1b1 ? a2b2 ? a3b3 . 试试: 1. 设 a ? 2i ? j ? 3k ,则向量 a 的坐标为 . 2. 若 A (1,0, 2) ,B (3,1, ?1) ,则 AB = . 3. 已知 a= (2, ?3,5) ,b= (?3,1, ?4) ,求 a+b,a-b,8a,a·b

※ 典型例题 例 1 已知向量 a, b, c 是空间的一个基底, 从向量 a, b, c 中选哪一个向量, 一定可以与向量 p ? a ? b, q ? a ? b 构成空间的另一个基底?

变式:已知 O,A,B,C 为空间四点,且向量 OA, OB, OC 不构成空间的一个基底,那么点 O,A,B,C 是否共面?

小结:判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是:这三个向量一定不共面.
9

例 2 如图,M,N 分别是四面体 QABC 的边 OA,BC 的中点,P,Q 是 MN 的三等分点,用 OA, OB, OC 表示 OP 和 OQ .

变式:已知平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' ,点 G 是侧面 BB 'C 'C 的中心,且 OA ? a , OC ? b, OO' ? c ,试用向量 a, b, c 表示下列向量: ⑴ OB' , BA' , CA' ; ⑵ OG .

探究任务三:空间向量坐标表示夹角和距离公式 问题:在空间直角坐标系中,如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角? 新知: 1. 向量的模:设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,则|a|= 2. 两个向量的夹角公式: 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) , 由向量数量积定义: a·b=|a||b|cos<a,b>, 又由向量数量积坐标运算公式:a·b= , 由此可以得出:cos<a,b>= 试试: ① 当 cos<a、b>=1 时,a 与 b 所成角是 ; ② 当 cos<a、b>=-1 时,a 与 b 所成角是 ; ③ 当 cos<a、b>=0 时,a 与 b 所成角是 , 即 a 与 b 的位置关系是 ,用符合表示为 . 反思: 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 ⑴ a//B. ? a 与 b 所成角是 ; ? a 与 b 的坐标关系为 ⑵ a⊥b ? a 与 b 的坐标关系为 ; 3. 两点间的距离公式: 在空间直角坐标系中,已知点 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) ,则线段 AB 的长度为:

AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( z1 ? z2 )2 .

4. 线段中点的坐标公式:

在空间直角坐标系中,已知点 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) ,则线段 AB 的中点坐标为:

.

※ 典型例题 例 1. 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E1 , F1 分别是 A1 B1 , C1 D1 的一个四等分点,求 BE1 与 DF1 所成的角 的余弦值.

变式:如上图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, B1 E1 ? D1 F1 ?

A1B1 ,求 BE1 与 DF1 所成角的余弦值. 3

例 2. 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E,F 分别是 BB1 , D1 B1 的中点,求证: EF ? DA1 .

变式:如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 M 是 AB 的中点,求 DB1 与 CM 所成角的余弦值.

小结:求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在合适的直角坐标系中找出两个向量的坐标,然后再用公 式计算. ※ 动手试试 练 1. 已知向量

a, b 满足 a

? 1 , b ? 2 , a ? b ? 3 ,则 a ? b ? ____.

11

练 2. 已知 a ? 2 2 , b ?

2 , a ? b ? ? 2 , 则 a 与b 的夹角大小为_____. 2

练 3. 已知 A(3,3,1)、B(1,0,5),求: ⑴线段 AB 的中点坐标和长度; ⑵到 A、B 两点距离相等的点 P( x, y, z ) 的坐标 x、y、z 满足的条件.

三、总结提升 ※ 学习小结 1..向量的数量积的定义和几何意义. 2. 向量的数量积的性质和运算律的运用. 3. 空间向量的正交分解及空间向量基本定理; 4. 空间向量坐标表示及其运算 5. 空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式; 6. 解决立体几何中有关向量问题的关键是如何建立合适的空间直角坐标系,写出向量的坐标,然后再代入 公式进行计算. ※ 知识拓展 1.向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题,求两条直线的夹角和线段长度的新方法. 2.建立空间直角坐标系前,一定要验证三条轴的垂直关系,若图中没有建系的环境,则根据已知条件,通过 作辅助线来创造建系的图形. 3.在平面内取正交基底建立坐标系后,坐标平面内的任意一个向量,都可以用二元有序实数对表示,平面向 量又称二维向量.空间向量可用三元有序实数组表示,空间向量又称三维向量.二维向量和三维向量统称为几 何向量.

学习评价
※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列命题中: ①若 a ? b ? 0 ,则 a , b 中至少一个为 0 ②若 a ? 0 且 a ? b ? a ? c ,则 b ? c ③ (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)
④ (3a ? 2b) ? (3a ? 2b) ? 9 a ? 4 b 正确有个数为( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个
2 2

D. 3 个 ? 2. 已知 e1 和 e2 是两个单位向量,夹角为 ,则下面向量中与 2e2 ? e1 垂直的是( 3 A. e1 ? e2 B. e1 ? e2 C. e1 D. e2



3.已知 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 所对的边为 a , b, c ,且 a ? 3, b ? 1 , ?C ? 30? ,则 BC ? CA = 4. 已知 a ? 4 , b ? 2 ,且 a 和 b 不共线,当 a ? ? b 与 a ? ? b 的夹角是锐角时, ? 的取值范围是 5. 已知向量 .

a, b 满足 a

? 4 , b ? 2 , a ? b ? 3 ,则 a ? b ? ____

6. 若 a,b,c 为空间向量的一组基底,则下列各项中,能构成基底的是( ) A. a, a ? b, a ? b B. b, a ? b, a ? b C. c, a ? b, a ? b D. a ? 2b, a ? b, a ? b 7. 设 i、j、k 为空间直角坐标系 O-xyz 中 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量,且 AB ? ?i ? j ? k ,则点 B 的 坐标是 8. 在三棱锥 OABC 中,G 是 ?ABC 的重心(三条中线的交点) ,选取 OA, OB, OC 为基底,试用基底表示 OG = 9. 正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 的棱长为 2,以 A 为坐标原点,以 AB,AD,AA' 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空 间直角坐标系,E 为 BB1 中点,则 E 的坐标是 . 10. 已知关于 x 的方程 x2 ? ? t ? 2? x ? t 2 ? 3t ? 5 ? 0 有两个实根, c ? a ? tb ,且 a ? ? ?1,1,3? , b ? ?1,0, ?2? , 当 t= 时, c 的模取得最大值. 11. 若 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则
a1 a2 a3 ? ? 是 a // b 的( b1 b2 b3

? ?



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 12. 已知 a ? ? 2, ?1,3?, b ? ??4,2, x ? ,且 a ? b ,则 x=
6 6 6 6 6 6

D.既不充分又不不要条件 .

13. 已知 A ?1,0,0 ?, B ?0, ?1,1 ? , OA ? ? OB 与 OB 的夹角为 120°,则 ? 的值为( ) A. ? B. C. ? D. ? 6

14. 若 a ? ? x,2,0? , b ? 3,2 ? x, x2 ,且 a, b 的夹角为钝角,则 x 的取值范围是( ) A. x ? ?4 B. ?4 ? x ? 0 C. 0 ? x ? 4 D. x ? 4 15. 已知 a ? ?1,2, ? y ? , b ? ? x,1,2? , 且 (a ? 2b) //(2a ? b) ,则( )

?

?

1 A. x ? , y ? 1 3

1 B. x ? , y ? ?4 2

C. x ? 2, y ? ?

1 4

D. x ? 1, y ? ?1

课后作业:
1.在下列命题中:①若 a、b 共线,则 a、b 所在的直线平行;②若 a、b 所在的直线是异面直线,则 a、b 一定不共面;③若 a、b、c 三向量两两共面,则 a、b、c 三向量一定也共面;④已知三向量 a、b、c,则 空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为 p=xa+yb+zc.其中正确命题的个数为( ) A.0 B. 1 C. 2 D. 3 2.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量 D1 A 、 D1C 、 AC 是( ) 1 1 A.有相同起点的向量 B.等长向量 C.共面向量 D.不共面向量 3.已知 a=(2,-1,3) ,b=(-1,4,-2) ,c=(7,5,λ ) ,若 a、b、c 三向量共面,则实数 λ=( 62 63 64 65 A. B. C. D. 7 7 7 7 4.若 a、b 均为非零向量,则 a ? b ?| a || b | 是 a 与 b 共线的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
13



5.已知△ABC 的三个顶点为 A(3,3,2) ,B(4,-3,7) ,C(0,5,1) ,则 BC 边上的中线长为( A.2 B.3 C.4 D.5 6. a ? 3i ? 2 j ? k , b ? i ? j ? 2k , 则 5a ? 3b ? ( ) A.-15 B.-5 C.-3 D.-1 7.如图,空间四边形 OABC 中, OA ? a,OB ? b ,
OC ? c ,点 M 在 OA 上,且 OM=2MA,点 N 为 BC 的中点,则 MN ?



.

8.

如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, ?ABC ? 90?, CB ? 1, CA ? 2, AA1 ? 6 ,点 M 是 CC1 的中点,求证: AM ? BA1 .

9.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E , F , G 分别是 DD1 , BD, BB1 的中点. ⑴ 求证: EF ? CF ; ⑵ 求 EF 与 CG 所成角的余弦; ⑶ 求 CE 的长.

10. 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 M,N 分别为棱 A1 A, B1B 的中点,求 CM 和 D1 N 所成角的余弦值.


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高二数学授课教师 授课时间 课型 高二数学组 2015.11 新课 导学案高二学年 空间向量与立体几何 6 课时 授课对象 授课题目 使用课时 学习目标 1、了解空间向量的...
高二数学空间向量和导数测试题
高二理科数学测试题(空间向量和导数部分) 2017-3-26 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是...
高二数学空间向量及其运算1
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高二数学空间向量与立体几何5
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2015高二数学空间向量的坐标表示练习题及答案
2015高二数学空间向量的坐标表示练习题及答案_数学_高中教育_教育专区。2015 高二数学空间向量的坐标表示练习题及答案 15 ? ? ? 3, 5) 与向量 b ? ? 3,?,...
高二数学空间向量练习题1
高二数学空间向量练习题1_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高二数学空间向量练习题 1 一 选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的) 1、空间...
高二数学空间向量单元测试题
高二数学单元试题 一.选择题 1.已知向量 a=(1,1,0) ,b=(-1,0,2) ,且 k a+b 与 2 a-b 互相垂直,则 k 的值是 () A. 1 B. 1 5 3 5 7...
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