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(高考密码)2013届高三理数学一轮复习课件 第五节 直线、平面垂直的判定与性质(人教A)


?
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面 垂直的有关性质与判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系

的简单命题.

?
1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直. (2)直线与平面垂直的判

定定理及推论

思考感悟
? 能否将直线与平面垂直定义中的“任一条直线”改为“无数条直

线”?

提示:不能.若改为“无数条直线”,则这些直线可能互相平行,不能判 定垂直. 2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定定理

(2)平面与平面垂直的性质定理

思考感悟
提示

考点一

直线与平面垂直的判定与性质

1.直线l与平面α内的两条直线都垂直,则直线l与平面α的位置关系是
?(

)
解析

解析

解析

解析

又CD⊥AC,PA∩AC=A,故CD⊥平面PAC,

AE?平面PAC,故CD⊥AE.
(2)∵PA=AB=BC,∠ABC=60°,故PA=AC.

∵E是PC的中点,故AE⊥PC.
由(1)知CD⊥AE,从而AE⊥平面PCD,故AE⊥PD.

易知BA⊥PD,AE∩BA=A,故PD⊥平面ABE.

1.证明直线和平面垂直的常用方法有:

方法一

利用判定定理

方法二

利用平行线垂直于平面的传递性
(a∥b,a⊥α?b⊥α)

方法三

利用面面平行的性质(a⊥α,α∥β ?a⊥β)

方法四

利用面面垂直的性质

2.当直线和平面垂直时,该直线垂直于平面内的任意一条直线,常用来
证明线线垂直.

考点二

平面与平面垂直的判定与性质 )

1.已知直线a,b和平面α,β,且a⊥α,b⊥β,那么α⊥β是a⊥b的? (

解析

3.如图所示,已知空间四边形ABCD中,BC=AC,AD=BD,E是AB的中点. (1)求证:AB⊥平面CDE;

(2)求证:平面CDE⊥平面ABC;
(3)若G为△ADC的重心,试在线段AE上确定一点F,使得GF∥平面 CDE.

AF 2 在AE上取点F使得? =? ,则GF∥EH,∵GF?平面CDE,EH?平面 FE 1

CDE,∴GF∥平面CDE. 1.证明面面垂直的主要方法是: (1)利用判定定理.在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线,充 分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边、勾股定理等结论. (2)用定义证明.只需判定两平面所成二面角为直二面角. (3)客观题中,也可应用:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则 另一个也垂直于第三个平面. 2.关于三种垂直关系的转化可结合下图记忆.

?
考点三

立体几何中的探索性问题

1.(2012· 江苏无锡模拟)设a,b,c是空间不重合的三条直线,α,β是空间两

个不同的平面,则下列命题中,逆命题不成立的是? (

)

解析

2.(密码原创)如图所示,矩形ABCD的边AB=a,BC=2,PA⊥平面ABCD, PA=2,现有数据:①a=? ;②a=1;③a=?3 ;④a=4,当BC边上存在点Q,使 PQ⊥QD时,可以取 (填上正确的序号).
1 2

解析

解析:∵PA⊥平面ABCD,

DQ?平面ABCD, ∴PA⊥DQ. 连接AQ.由PQ⊥QD得AQ⊥QD, ∴Rt△ABQ∽Rt△QCD,令BQ=x,
x a 则? =? 2-2x+a2=0, ,即x 2? x a

又∵方程有正根,∴0<a≤1.

答案:①②

3.如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°的菱形,侧面 PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD. (1)求证:AD⊥PB; (2)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面 ABCD,并证明你的结论.

解:(1)证明:如图,取AD的中点G,连接PG,BG,BD. ∵△PAD为等边三角形,

∴PG⊥AD,
又∵平面PAD⊥平面ABCD, ∴PG⊥平面ABCD. 在△ABD中,∠DAB=60°,

AD=AB, ∴△ABD为等边三角形,∴BG⊥AD,
∵BG∩PG=G,

∴AD⊥平面PBG,∴AD⊥PB. (2)解:连接CG,DE,且CG与DE相交于H点, 在△PGC中作HF∥PG交PC于F点,连接DF, ∴FH⊥平面ABCD,FH?平面DHF,

∴平面DHF⊥平面ABCD.
∵H是CG的中点,∴F是PC的中点, ∴在PC上存在一点F,满足平面DEF⊥平面ABCD.

对于探索类问题,书写步骤的格式有两种:

一种是:第一步,探求出点的位置.
第二步,证明符合要求. 第三步,给出明确答案. 第四步,反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范. 另一种是:从结论出发,“要使什么成立”,“只须使什么成立”,寻求 使结论成立的充分条件,类似于分析法.

?

解析

规范解答:(1)在△PAD中,因为E,F分别为AP,AD的中点,所以EF∥PD.
? 4分

又因为EF?平面PCD,PD?平面PCD. 所以直线EF∥平面PCD. …? 7分 (2)连接BD.因为AB=AD,∠BAD=60°,所以△ABD为正三角形.因为F是 AD的中点,所以BF⊥AD.? 9分

因为平面PAD⊥平面ABCD,BF?平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=
AD,所以BF⊥平面PAD.? 12分

又因为BF?平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAD.? 14分

【原创· 预测】

如图所示,在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面ABCD⊥平面
ABE,∠AEB=90°,BE=BC,F为CE的中点,求证: (1)AE∥平面BFD; (2)平面BDF⊥平面ACE.

解:(1)设AC∩BD=G,连接FG,易知G是AC的中点,∵F是EC中点.∴在 △ACE中,FG∥AE, ∵AE?平面BFD,FG?平面BFD, ∴AE∥平面BFD.

(2)∵平面ABCD⊥平面ABE,BC⊥AB,
平面ABCD∩平面ABE=AB,∴BC⊥平面ABE, 又∵AE?平面ABE,∴BC⊥AE, 又∵AE⊥BE,BC∩BE=B,∴AE⊥平面BCE, ∴AE⊥BF,

在△BCE中,BE=CB,F为CE的中点,

∴BF⊥CF,AE∩CE=E,∴BF⊥平面ACE, 又BF?平面BDF,
∴平面BDF⊥平面ACE.


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