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平定二中高二数学月考文科题


平定二中高二数学文科月考题(圆锥曲线)

命题者:郗连喜

8.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是 A.

4 5

B.

3 5

C.

2 5

D.

1 5



一、选择题.本大题共 12 小题. 每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1.椭圆 2x2 ? 3 y2 ? 12 的两焦点之间的距离为( A. 2 10 2.设 p 是椭圆 A.4 B. 10 C. 2 2 ) D. 2

9. 等轴双曲线 C 的中心在原点, . 焦点在 x 轴上,C 与直线 x ? 4 交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ; 则 C 的实轴长为( )

( A)

2

(B) 2 2

(C ) ?

( D) ?

x2 y 2 ? ? 1 上的点.若 F1,F2 是椭圆的两个焦点,则 PF1 ? PF2 等于( ) 25 16
C.8 D.10
2 2

10.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线与 A 、 B 两点,若线 段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( )

B.5
2

3.已知抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆(x-3) +y =16 相切,则 p 的值为 (A)4
6) 4.焦点为 (0, 且与双曲线





(A) x ? 1 11.设双曲线

(B) x ? ?1

(C) x ? 2

(D) x ? ?2

(B)2

(C)1

(D)

1 2


x2 y 2 - =1? a>0,b>0 ? 的渐近线与抛物线 y=x2+1相切,则该双曲线的离心 a 2 b2
) (B)2 (C) 5 (D) 6

x2 ? y 2 ? 1 有相同的渐近线的双曲线方程是( 2 x2 y 2 y 2 x2 A. ? B. ?1 ? ?1 12 24 24 12 x2 y 2 y 2 x2 C. D. ? ?1 ? ?1 24 12 12 24 5.以双曲线 ?3x2 ? y 2 ? 12 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆的方程是(
x y x y A. ? B. ? ?1 ?1 16 12 16 4 x2 y 2 x2 y 2 C. ? D. ? ?1 ?1 12 16 4 16 6.焦点在直线 3x ? 4 y ? 12 ? 0 上的抛物线的标准方程为(
A. y 2 ? 16x 或 x2 ? ?12 y B. y 2 ? 16x 或 x2 ? 16 y C. y 2 ? 16x 或 x2 ? 12 y D. y 2 ? ?12x 或 x2 ? 16 y 7.椭圆 A.1
2 2 2 2

率等于 (A) 3



12.已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直线

l2 的距离之和的最小值是(
) A.2 B.3

) C.

11 5

D.

37 16

二、填空题:本大题共 4 小题, 每小题 5 分
) 13.圆锥曲线内容体现出解析几何的本质是 14.椭圆 5x ? ky ? 5 的一个焦点是 (0,2) ,那么 k ?
2 2



15.抛物线 y ? 3x 上一点 M 到坐标原点的距离是 2,则点 M 到焦点 F 的距离为_____。
2

x2 y2 1) ) ? ? 1 的一个焦点为 (0, ,则 m 等于( m2 3 ? m ?1 ? 17 5 B. ?2 或 1 C. D. 2 3

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A.B 两点,O 为坐标原点, 16.过椭圆 5 4
则△OAB 的面积为____

1

三、解答题:本大题共 6 小题.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17.若椭圆的对称轴在坐标轴上,两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个顶点,且焦点到 同侧长轴端点距离为 2 ? 1 ,求椭圆的方程.

18.抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点,且与双曲线实轴垂直, a 2 b2

?3 ? 已知抛物线与双曲线的交点为 ? , 6 ? .求抛物线与双曲线的方程. ?2 ?

19. 已知双曲线与椭圆 方程.

x2 y 2 求双曲线的 ? ? 1 有相同的焦点且与椭圆的一个交点的纵坐标为 4, 27 36

20.椭圆

3 x2 y 2 ,椭圆与直线 x ? 2 y ? 8 ? 0 相交于点 P,Q ,且 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b PQ ? 10 ,求椭圆的方程.

21.某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成,尺寸如图 2 所示,某卡车载一集装 箱,箱宽 3m,车与箱共高 4m,此车能否通过此隧道?请说明理由.

22. 如图 1, 椭圆 离心率 e ?

x2 y 2 左顶点为 B, F 为右焦点, ? ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点为 A , a 2 b2

2 ,过 F 作平行于 AB 的直线交椭圆于 C, D 两点,作平行四边形 2 OCED ,求证: E 在此椭圆上.

2

18.抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线

平定二中高二数学月考(答题卡)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个备 选项中,只有一项是符合题目要求的.)

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点,且与双曲线实轴垂直, a 2 b2

?3 ? 已知抛物线与双曲线的交点为 ? , 6 ? .求抛物线与双曲线的方程. ?2 ?

座位号

题 号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

线

答 案 二、 填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中的 横线上)

考生号

13.

14.

15.

16

三.解答题(本题共 6 道小题,共 70 分,解答应写出文字说明过程或验算步骤)
17.若椭圆的对称轴在坐标轴上,两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个顶 点,且焦点到同侧长轴端点距离为 2 ? 1 ,求椭圆的方程. 19. 已知双曲线与椭圆 方程.

x2 y 2 求双曲线的 ? ? 1 有相同的焦点且与椭圆的一个交点的纵坐标为 4, 27 36

姓名

班级





学校

3

3 x2 y 2 ,椭圆与直线 x ? 2 y ? 8 ? 0 相交于点 P,Q , ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b 且 PQ ? 10 ,求椭圆的方程.

20.椭圆

2 x2 y 2 左顶点为 B, F 为右焦点, 离心率 e ? , ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点为 A , 2 2 a b 过 F 作平行于 AB 的直线交椭圆于 C, D 两点,作平行四边形 OCED ,求证: E 在此椭圆上.

22. 如图 1, 椭圆

21.某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成,尺寸如图 2 所示,某卡车载一 集装箱,箱宽 3m,车与箱共高 4m,此车能否通过此隧道?请说明理由.

4

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2 由椭圆的对称性和正方形的对称性可知:正方形被椭圆的对称轴分割成了 4 个全等的等腰直角 三角形,因此 b ? c ( 2c 为焦距) . ?a ? c ? 2 ? 1 ?a ? 2, , ? ? x2 y2 由题意得 ?b ? c, 解得 ?b ? 1 ∴所求椭圆的方程为 ? y 2 ? 1 或 x2 ? , ?1. 2 2 ? 2 ?c ? 1. 2 2 ?a ? b ? c , ? 18.解:由题意知,抛物线焦点在 x 轴上,开口方向向右,可设抛物线方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,
17 解:设椭圆方程
?3 ? 将交点 ? , 6 ? 代入得 p ? 2 , ?2 ?
, 故抛物线方程为 y 2 ? 4 x ,焦点坐标为 (1 0) , 这也是双曲线的一个焦点,则 c ? 1 . ?3 ? 又点 ? , 6 ? 也在双曲线上, 2 ? ? 9 6 因此有 2 ? 2 ? 1 . 4a b 1 3 又 a 2 ? b2 ? 1 ,因此可以解得 a 2 ? ,b2 ? , 4 4 2 4y 因此,双曲线的方程为 4 x2 ? ? 1. 3 ? 3) 19 解:可以求得椭圆的焦点为 F1 (0, 3),F2 (0, ,

? x2 y2 , ? 2 ? 2 ?1 由 ? 4b 消去 x ,得 2 y 2 ? 8 y ? 16 ? b2 ? 0 . b ? x ? 2 y ? 8 ? 0, ? 16 ? b2 由根与系数关系,得 y1 ? y2 ? ?4 , y1 y2 ? . 2 2 PQ ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? 5( y1 ? y2 )2 ? 5[( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] ? 10 ,

即 5[16 ? 2(16 ? b2 )] ? 10 ,解得 b 2 ? 9 ,则 a 2 ? 36 . 所以椭圆的方程为

x2 y 2 ? ?1. 36 9

y 2 x2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) , a 2 b2 且 c ? 3 ,则 a 2 ? b2 ? 9 . 由已知条件知,双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为 4,
故可设双曲线方程为 可得两交点的坐标为 A( 15,,B(? 15, , 4) 4) 16 15 点 A 在双曲线上,即 2 ? 2 ? 1 . a b ?a 2 ? b 2 ? 9, ?a 2 ? 4, ? ? 解方程组 ? 16 15 得? 2 , ?b ? 5. ? 2 ? 2 ?1 ? b ?a y 2 x2 所以双曲线方程为 ? ? 1. 4 5 c 3 3 a. 20 解: e ? ? ,则 c ? a 2 2 由 c 2 ? a 2 ? b 2 ,得 a2 ? 4b2 .

21 解:取抛物线顶点为原点,水平向右为 x 轴正方向建立直角 坐标系,设抛物线方程为 x2 ? ?2 py( p ? 0) , ? 当 x ? 3 时, y ? ?3 ,即取抛物线与矩形的结合点 (3, 3) , 3 代入 x2 ? ?2 py ,得 9 ? 6 p ,则 p ? , 2 2 故抛物线方程为 x ? ?3 y . 3 已知集装箱的宽为 3m,取 x ? , 2 1 3 则 y ? ? x2 ? ? . 3 4 3 1 而隧道高为 5m, 5m ? m ? 4 m ? 4m . 4 4 所以卡车可以通过此隧道. b b 0) 22 解:椭圆焦点 F (c, , k AB ? ,直线 CD 的方程为 y ? ( x ? c) , a a x2 y 2 代入椭圆方程 2 ? 2 ? 1 , a b 2 2 得 2 x ? 2cx ? b ? 0 . 设 C ( x1,y1 ),D( x2,y2 ) ,则 x1 ? x2 ? c ,
? c bc ? CD 中点 G 的坐标为 ? , ? ?. ? 2 2a ? bc ? ? ∴ E ? c, ? ?. a ? ? 1 c ∵e ? ? ,∴a ? 2c . a 2

5

将点 E 的坐标代入椭圆方程

c2 b2 c2 2c2 ? ? ? 1 满足, a 2 a 2b2 a 2

∴点 E 在椭圆上.

6


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