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概率大题训练总结(高考经典概率问题文科)


1(本小题满分 12 分)某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 7 场比赛,他们 所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示 (1)求甲、乙两名运动员得分的中位数; (2 )你认为哪位运动员的成绩更稳定? (3)如果从甲、乙两位运动员的 7 场得分中各随 机抽取一场的得分,求甲的得分大于乙的得分的概率. (参考数据: 92 ? 82 ? 102 ? 22 ? 62 ? 102 ? 92 ? 466 ,
7 2 ? 4 2 ? 6 2 ? 32 ? 12 ? 2 2 ? 112 ? 236)

2 在学校开展的综合实践活动中,某班进行了小制作评比,作品上交时间为 5 月 1 日至 30 日,评委会把同学们上交作品的件数按 5 天一组分组统计,绘制了频率分布直方图(如图), 已知从左到右各长方形的高的比为 2:3:4:6:4:1,第三组的频数为 12,请解答下列问 题: (1) 本次活动共有多少件作品参加评 比? (2) 哪组上交的作品数量最多?共有 多少件? (3)经过评比, 第四组和第六组分别有 10 件、2 件作品获奖,问这两组哪组获奖 率高?

3 已知向量 a ? ?1, ?2 ? , b ? ? x, y ? . (1)若 x , y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别 为 1, 2, 3, 4, 5, 6) 先后抛掷两次时第一次、 第二次出现的点数, 求满足 a b ? ?1 的概率; (2)若实数 x, y ? ?1,6? ,求满足 a b ? 0 的概率.

1

4 某公司在过去几年内使用某种型号的灯管 1000 支,该公司对这些灯管的使用寿命(单位: 小时)进行了统计,统计结果如下表所示: [500, 分组 频数 频率 (1)将各组的频率填入表中; (2)根据上述统计结果,计算灯管使用寿命不足 1500 小时的频率; (3)该公司某办公室新安装了这种型号的灯管 2 支,若将上述频率作为概率,试求恰有 1 支灯管的使用寿命不足 1500 小时的概率. 900) 48 [900, 1100) 121 [1100, 1300) 208 [1300, 1500) 223 [1500, 1700) 193 [1700, 1900) 165 [1900,

?? )
42

5 为研究气候的变化趋势,某市气象部门统计了共 100 个星期中每个星期气温的 最高温度和最低温度,如下表: (1)若第六、七、八组的频数 t 、 m 、 气温(℃) [?5, ?1] 的频数相同,求出 x 、 t 、 m 、 n 的值; [0, 4] (2)若从第一组和第八组的所有星期 [5,9] 中随机抽取两个星期,分别记它们的平均 [10,14] 温度为 x , y ,求事件“ | x ? y |? 5 ”的概率. [15,19] [20, 24] [25, 29] [30,34] 合计

n 为递减的等差数列,且第一组与第八组

频数 x? 8 12 22 25 t? m? n? 100

频率 0.03

1

6 某校高三文科分为四个班.高三数学调研测试后,随机地在各班抽取部分学生进行测试成 绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了 22 人. 抽取出来的 所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图 5
频率

所示,其中 120~130(包括 120 分但不包括 130 分)的频 率为 0.05,此分数段的人数为 5 人. (1)问各班被抽取的学生人数各为多少人? (2)在抽取的所有学生中,任取一名学生, 求分数不小于 90 分的概率.

0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 70 80 90 100 110 120 130 分数

2

7 某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,将测试结果按如下 方式分成五组:每一组 ?13,14) ;第二组 ?14,15) ,??,第五组 ?17,18? .右图是按上述分组方 法得到的频率分布直方 图. (I)若成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒认为 良好,求该班在这次百米测试中 成绩良好的人数; (II)设 m 、 n 表示该班某两位同学的百米 测试成绩,且已知 m, n ? ?13,14) ? ?17,18? , 求事件“ m ? n ? 1 ”的概率.
0.16 频率 组距 0.38 0.32

0.08 0.06 O

13

14

15

16

17

18



19 题 图

8 一人盒子中装有 4 张卡片,每张卡上写有 1 个数字,数字分别是 0,1、2、3。现从盒子中 随机抽取卡片。 (I)若一次抽取 3 张卡片,求 3 张卡片上数字之和大于等于 5 的概率; (II)若第一次抽 1 张卡片,放回后再抽取 1 张卡片,求两次抽取中至少一次抽到数字 2 的概率。

9 为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况, 拟采用分层抽样的方法从 A,B,C 三个区中抽 取 7 个工厂进行调查。已知 A,B,C 区中分别有 18,27,18 个工厂, (1)求从 A,B,C 区中应分别抽取的工厂个数; (2)若从抽得的 7 个工厂中随机地抽取 2 个进行调查结果的对比,用列举法计算这 2 个工厂中至少有 1 个来自 A 区的概率;

3

10 某市一公交线路某区间内共设置六个站点,分别为 A0 , A 1 , A2 , A 3 , A4 , A 5 ,现有甲乙两人同 时从 A0 站点上车,且他们中的每个人在站点 Ai (i ? 1, 2,3, 4,5) 下车是等可能的. (Ⅰ )求甲在 A2 站点下车的概率; (Ⅱ )甲,乙两人不在同一站点下车的概率.

11 一个袋子中有蓝色球 10 个,红、白两种颜色的球若干个,这些球除颜色外其余完全相同. (1)甲从袋子中随机取出 1 个球,取到红球的概率是 球,取到白球的概率是

1 ,放回后,乙从袋子取出一个 4

1 ,求红球的个数; 3

(2)从袋子中取出 4 个红球,分别编号为 1 号、2 号、3 号、4 号.将这四个球装入一 个盒子中,甲和乙从盒子中各取一个球(甲先取,取出的球不放回),求两球的编号之和不大 于 5 的概率.

4

1 解: (1)运动员甲得分的中位数是 22,运动员乙得分的中位数是 23 ?2 分 14 ? 17 ? 15 ? 24 ? 22 ? 23 ? 32 ? 21 ????3 分 (2)? x甲 ? 7 1 2? 1 ? 3 1 ? 1 ?2 3 ? 2 7 ? 31 30 x乙 ? ? 21 ???????4 分 7
S
2 甲

? 2 1 - 1? 4? ? ?
2

2 1?- ? 1? 7
2

?? -15 ? ?2 1
2

?2 2? ?1 -2 4 ? ? ? 2 1 -?2 ?
2 2 2

7

2?1 - 2236 3 21-32 ? 5 ? 7
2


2 S乙 ?

? 2 1 - 1? 2? ?
2

2 1? - ? 1? 3
2

1? - 1 1 ? ?2 ?2 ? ?1-23 ? ??
2 2 2

2 1 -?2 ? 7?
2

7
2 乙

2?1 - 3 1 466 ? 7
2

21-30

? S ? S ,从而甲运动员的成绩更稳定????????????8 分
2 甲

(3) 从甲、 乙两位运动员的 7 场得分中各随机抽取一场的得分的基本事件总 数为 49 其中甲的得分大于乙的是:甲得 14 分有 3 场,甲得 17 分有 3 场,甲得 15 分有 3 场甲得 24 分有 4 场,甲得 22 分有 3 场,甲得 23 分有 3 场,甲得 32 分有 7 场,共计 26 场 ??????????????????????11 分 从而甲的得分大于乙的得分的概率为 P ?
2 解: (1)因为

26 ????????????12 分 49

4 12 ? ? x ? 60 2 ? 3 ? 4 ? 6 ? 4 ?1 x
????????4 分

所以本次活动共有 60 件作品参加评比. (2)因为

6 x ? ? x ? 18 2 ? 3 ? 4 ? 6 ? 4 ? 1 60

所以第四组上交的作品数量最多,共有 18 件. ????????8 分 (3)因为

1 x ? ? x?3 2 ? 3 ? 4 ? 6 ? 4 ? 1 60 10 2 ? ,所以第六组获奖率高. 所以 18 3

????????12 分

3解 (1) 设 ? x, y ? 表示一个基本事件, 则抛掷两次骰子的 所有基本事件有 (1, 1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,1) , (2,2) ,??, (6,5) , (6,6) ,共 36 个. 用 A 表示事件 “ a b ? ?1 ” , 即 x ? 2 y ? ?1 . 则 A 包含的基本事件有(1,1) , (3,2) , (5,3) ,共 3 个. 3 1 ? ∴ P ? A? ? . 答: 事件 “ a b ? ?1 ” 36 12 1 的概率为 .???????6 分 12 (2) 用 B 表示事件 “a b ? 0 ” , 即 x ? 2y ? 0.

5

试验的全部结果所构 成的区域为 ?? x, y ? 1 ? x ? 6,1 ? y ? 6? , 构成事件 B 的区域为

?? x, y ? 1 ? x ? 6,1 ? y ? 6, x ? 2 y ? 0? ,
如图所示.

1 ? 4? 2 4 所以所求的概率为 P ? B ? ? 2 . ? 5? 5 25 4 答:事件“ a b ? 0 ”的概率为 .?????????12 分 25
4 解: (I) 分组 [500, 900) 频数 频率 48 0.048 [900, 1100) 121 0.121 [1100, 1300) 208 0.208 [1300, 1500) 223 0.223 [1500, 1700) 193 0.193 [1700, 1900) 165 0.165 [1900, ?? ) 42 0.042

??????????????????(4 分) (II)由(I)可得 0.048 ? 0.121 ? 0.208 ? 0.223 ? 0.6 , 所以灯管使用寿命不足 1500 小时的频率为 0.6. ??????????(8 分) (III)由(II)知,1 支灯管使用寿命不足 1500 小时的概率 P 1 ? 0.6 ,另一支灯管使用寿 命超过 1500 小时的概率 P 2 ? 1? P 1 ? 1 ? 0.6 ? 0.4 ,则这两支灯管中恰有 1 支灯管的使用寿 命不足 1500 小时的概率是 PP 1 2 ?P 2P 1 ? 2 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.48 . 所以有 2 支灯管的使用寿命不足 1500 小时的概率是 0.48.??????????(12 分)

5 解: (1) x ? 3 , t ? 17 , m ? 10 , n =3 ?????????????6 分 9 3 (2) ? ???????????????????12 分 15 5
6 解:(1) 由频率分布条形图知, 抽取的学生总数为

5 ? 100 人. 0.05

????????????4 分

∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为 d , 由 4 ? 22 ? 6d =100,解得 d ? 2 . ∴各班被抽取的学生人数分别是 22 人,24 人,26 人,28 人. ?????8 分 (2) 在 抽 取 的 学 生 中 , 任 取 一 名 学 生 , 则 分 数 不 小 于 90 分 的 概 率 为 0.35+0.25+0.1+0.05=0.75. ?????????????????12 分

6

7 解: (Ⅰ)由直方图知,成绩在 14, 16? 内的人数为: 50 ? 0.16 ? 50 ? 0.38 ? 27 (人) 所以该班成绩良好的人数为 27 人. (Ⅱ)由直方图知,成绩在 ?13,14? 的人数为 50? 0.06 ? 3 人, 设为 x 、 y 、 z ;成绩在 ?17,18? 的人数为 50? 0.08 ? 4 人,设为 A 、 B 、 C 、 D . 若 m , n ? ?13,14) 时,有 xy , xz , yz 3 种情况; 若 m , n 分别在 13,14? 和 17,18? 内时, A x y z xA yA zA B xB yB zB C xC yC zC D xD yD zD 若 m , n ? ?17,18? 时,有 AB , AC , AD , BC , BD , CD 6 种情况;

?

?

?

共有 12 种情况. 所以基本事件总数为 21 种,事件“ m ? n ? 1 ”所包含的基本事件个数有 12 种. ∴P( m ? n ? 1 )= 8、解:
12 4 ? ????12 分 21 7

9 解析: (1)从 A,B,C 区中应分别抽取的工厂个数为 2,3,2 (2)设抽得的 A,B,C 区的工厂为 A1 A2 B1 B2 B3C1C2 ,随机地抽取 2 个,所有的结果为

A1 A2 , A1 A3 , A1 B1 , A1B2 , A1 B3 , A1C1 , A1C2 , A1C3 , ? 共 21 个,记事件 A ? “至少有
1 个来自 A 区” ,包含 11 个,? P ?

11 21

10 解: (Ⅰ )设事件“ A ? 甲在 A2 站点下车”, 则 P ( A) ?

1 5 1 4 ? 5 5

(Ⅱ )设事件“ B ? 甲,乙两人不在同一站点下车”,则 P( B) ? 1 ? 11 解: (1)设红球有 x 个,白球 y 个,依题意得

1分 3分 6分
7

x 1 y 1 ? , ? , x ? y ? 10 4 x ? y ? 10 3
解得 x ? 6 故红球有 6 个.

(2)记“甲取出的球的编号大”为事件 A, 所有的基本事件有:(1,2),(l,3),(1,4), (2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,4), (4,1),(4,2),(4,3), 共 12 个基本事件 8分 事件 A 包含的基本事件有:(1,2),(1,3), (1,4) (2,1) , (2,3) , (3,1) , (3,2) (4,1) , 共 8 个基本事件 11 分 所以,.

P( A) ?

8 2 ? 12 3

12 分

8


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