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高中数学1[1][1].2.1-函数的概念(1)课件新人教版必修1


1.2.1 函数的概念
一、复习
问题1:初中我们学过哪些函数? 正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数 等简单的函数。 问题2:什么叫做函数? 初中对函数的定义: 设在一个变化过程中有两个变量x和y,如果对于x 的每一个值y都有唯一的值与它对应,那么说y是x 的函数,x叫做自变量。

阅读课本15页~16页引例,体会函数是描述客观事 物变化规律的数学模型的思想:
(1)炮弹的射高与时间的变化关系问题; (2)南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题; (3)“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的 变化关系问题.

然后分析、归纳以上三个实例,它们有什么共同 点?
对于数集A中的每个x,按照某种对应关系f, 在数集B中都有唯一确定的y和它对应。

下面的几个例子是否满足这个特征

① y ? 3 x ? 1 ;②y=? ⑤


1 x ;③y ? x

;④y=x ;

2



注意任 函数的有关概念: 意性 是非空数集

注意唯 一确定

函 数的 定 义: 设 A、 B是 两个 非 空数 集 , 如 果按 某 个确 定 的对 应关 系 f, 使 对于 集 合 A中 的任 意 一个 数 x, 在 集合 B中 都有 唯 一确 定 的数 f(x)和 它相 对 应, 那 么就 称 f:A ? B为 从集 合 A到 集合 B的 一个 函 数, 记 作 y=f(x ), x∈ A. 其 中, x 叫 做自 变 量, x 的 取值 范 围 A叫 做函 数 的定 义 域; 与 x 的 值相 对 应的 y的 值叫 做 函数 值 , 函 数值 的 集合 {f(x)|x∈ A} 叫 做 函 数的 值 域 . 值域与集合B 的关系怎样?

函数的三要素: 定义域、对应法则、值域

注意:
1.集合A,B是非空数集,A中不能剩,B中唯一性,B中可以剩 2. “y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,

“y=g(x)”;
3.函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值,一个 数,而不是f乘x. 4.构成函数的三要素:定义域(集合A)、值域、对应法则。 5.集合B不一定是函数的值域,函数的值域是B的子集。

例1.判断下列例子是否是从集合A到集合B的函数

(1) A ? B ? N ? , 对应法则f : x ? y ?| x ? 3 |; (2) A ? R, B ? {0,1}, f : x ? y ? { ,
1 ( x ? 0) 0 ( x ? 0)

(× ) (√ ) (× ) (× )

(3) A ? B ? R, 对应法则f : x ? y ? ? x 1 (4) A ? Z , B ? Q,, 对应法则f : x ? y ? x

B) ☆ 1.下列图像中不能作为函数的是(

y

y

y

y

0

x

x

x

x

(A)

(B)

(C)

(D)

任意的x

f

唯一的y

例1.(1)下列函数中哪个与函数y ? x相等? A. y ? ( x )2     B . y ?
2 3

x3
2

x C . y ? x      D . y ? x (2) f ( x ) ? 3 x ? 1 与 g( m ) ? 3m ? 1
两个相等函数的判定:定义域,对应法则f(函数表达式)

(1)h ? 130t ? 5t 和y ? 130x ? 5x
2

2

(2) f ( x) ? 1和g ( x) ? x

0

注意:(1)定义域、对应法则两者中只要有一个是不相同 就不是同一个函数。即使定义域和值域都相同,也不一定是 相同一个函数.如y=4x和y=10x,它们的定义域和值域都是实 数集R.但它们的对应关系不同,所以是两个不同的函数。 (2)因为函数是两个数集之间的对应关系,所以用 什么字母表示自变量、因变量和对应法则是无关紧要的,如

f ( x) ? 3x ? 5与f (t ) ? 3t ? 5表示同一个函数。

求下列函数的定义域和值域
k 1. f ( x ) ? , ( k ? 0 ) x
定义域是

{x | x ? R且x ? 0}
{ y | y ? R且y ? 0}

值域是

2. f ( x) ? ax ? b, (a ? 0)
2

定义域是 值域是

{x | x ? R}
{ y | y ? R}

3. f ( x) ? ax ? bx ? c, (a ? 0)

(3)二次函数 f ( x ) = ax2 + bx + c ( a ? 0 ) 的定 义域为R,值域为B,

? 4ac ? b 2 ? 当 a ? 0 时,B ? ? y y ? ; ? 4a ? ?
2 ? 4ac ? b ? 当 a ? 0 时,B ? ? y y ? ?. 4a ? ?

1 例1:已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? x ? 2

(1)求函数的定义域; 2 f ( ? 3 ), f ( )的值; (2)求 3 (3) 当a ? 0时,求f (a), f (a ? 1)的值。
解:(1)使根式

x ? 3有意义的实数 x的集合是 {x | x ? ?3}, 使分式

1 有意义的实数 x的集合是 {x | x ? ?2} x?2
所以,这个函数的定义域就是

{x | x ? ?3} ? {x | x ? ?2} ? {x | x ? ?3且x ? ?2}

(2) f ( ?3) ?
2 f( )? 3

1 ?3 ? 3 ? ? ?1; ?3 ? 2

2 1 11 3 3 11 ?3 ? ? ? ? ? . 2 3 3 8 8 3 ?2 3 (3)因为a ? 0, 所以f (a), f (a ? 1)有意义. 1 f (a) ? a ? 3 ? ; a?2 1 1 f (a ? 1) ? a ? 1 ? 3 ? ? ?2? . (a ? 1) ? 2 a ?1

小结几类函数的定义域: (1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R .

(2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零 的实数的集合 .
(3)如果f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内 的式子大于或等于零的实数的集合. (4)如果求 [ f ( x)] ,那么函数的定义域是使 f(x)不 等于0的实数的集合. (5)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定 义域是使各部分式子都有意义的实数集合.(即求各集合的 交集) (6)满足实际问题有意义
0

区间概念 设 a,b是两个实数,而且 a<b,规定: ( 1)满足不等式 a ? x? b的实数 x的集合叫做闭区间,表示为 [a,b]; ( 2)满足不等式 a<x<b的实数 x的集合叫做开区间 ,表示为( a,b); ( 3)满足不等式 a ? x<b或 a<x? b的实数 x的集合叫做半开半闭区间,分别记为 [a,b),(a,b a与 b分别叫做相应区间的左端点,右端点 .

定义 {x|a? x ? b} ?x|a<x<b? ?x|a? x<b ? ?x|a<x ? b?

名称 闭 区间 开 区间 半 开闭 区 间 半 开闭 区 间

符号 [a,b] (a,b) [a,b) (a,b] a a a a

数 轴表 示 b b b b x x x x

实数集 R可以用区间表示为(? - , +?) .“?”读作无穷大, “-?”读作“负无穷大 ”, “+?”读作“正无穷大 ”. 可以把满足 x ?a, x>a, x ?b, x<b 的实数的集合分别为 [a,+ ?), (a,+ ?), (- ?,b], (- ?,b)

练习(1)把下列集合用区间表示出来: 1、{x|2<x<3} (2,3) 2、 {x|x≤2} (-∞,2) 3、 {x|2<x<3}∪ {x|5<x<9} (2,3)或(5,9) 4、 {x|x≠0} (-∞,0)或(0,+ ∞) 5 、{x|2≤x<3} [2,3) (2)把下列区间用集合表示出来: (1,5) {x |1 ? x ? 5} [2, 3.4) {x | 2 ? x ? 3.4} (-∞,0] {x | x ? 0} (-∞,1]∪(3,7) {x | x ? 1} ? {x | 3 ? x ? 7}

( x ? 1) 1.求函数y ? ? 1 ? x的定义域。 x ?1
2

( x ? 1) 2 解:在 中x ? ?1, 在 1 ? x中x ? 1. x ?1

所以函数的定义域是{x|x ? 1,且x ? -1}.
2.已知函数f ( x)的定义域是[-1,1],则函数f (2 x ? 1) 的定义域是 ____
解:要使函数f (2 x ?1)有意义,自变量x的取值需满足 ?1 ? x ? 1, 故0 ? x ? 1., 所以函数f (2 x ? 1)的定义域是[0,1].

归纳小结
? ①从具体实例引入了函数的概念,用 集合与对应的语言描述了函数的定义及 其相关概念; ? ②初步介绍了求函数定义域和判断同 一函数的基本方法,同时引出了区间的 概念。

作业
习题1.2A组 24页 第1题的(3)(4) 第2题的(1)(3)


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