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天津市2014届高三数学一轮复习 试题选编18 坐标系与参数方程 理 新人教A版


天津市 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 18:坐标系与参数方程
一、选择题 1 .(天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学理试题)极坐标方程 ? ? cos ? 和参数方程 ? x ? ?1 ? t (t 为参数)所表示的图形分别是 ( ) ? ? y ? 2 ? 3t A.圆,直线 B.直线,圆 C.圆,圆 D.直线,直线 【答案】A 解:由 ? ? cos ? ,得 ? ? ? cos ? ,即 x ? y ? x, 即 ( x ? ) 2 ? y 2 ?
2 2 2

得方程为 3x ? y ? 1 ? 0 ,图形为直线,所以选 A. 二、填空题

1 2

1 ,所表示的图形为圆.消去参数 t 4

2 .(天津市天津一中 2013 届高三上学期第三次月考数学理试题)已知抛物线的参数方程为 ?

(t ? y ? 8t 为参数),焦点为 F ,准线为 l , P 为抛物线上一点, PA ? l , A 为垂足,如果直线 AF 的斜率为 ? 3 ,那 么 PF ? _________ . 2 【答案】8【解析】消去参数得抛物线的方程为 y ? 8 x .焦点 F (2,0) ,准线方程为 x ? ?2 .由题意可设 m?0 m A(?2, m) ,则 k AF ? ? ? ? ? 3 ,所以 m ? 4 3 .因为 PA ? l ,所以 yP ? 4 3 ,代入抛物线 ?2 ? 2 4 2 y ? 8 x ,得 xP ? 6 .,所以 PF ? PA ? 6 ? (?2) ? 8 .

? x ? 8t 2

3 .(天津市南开中学 2013 届高三第三次(5 月)模拟考试数学(理)试题)在极坐标系中,点 ? 2, ? 到 圆 ? =2cosθ 的圆心的距离为________. 【答案】

? ?? ? 3?

3

? x ? ?2 ? cos ? 4 .(天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考理科数学)点 P(x,y)在曲线 ? (θ 为参数,θ ? y ? sin ?
∈R)上,则

y 的取值范围是 x
3 3 , ] 3 3

.

【答案】 [ ?

【解析】消去参数 ? 得曲线的标准方程为 ( x ? 2) ? y ? 1 ,圆心为 (?2,0) ,半径为 1.设
2 2

y ? k ,则 x

直线 y ? kx ,即 kx ? y ? 0 ,当直线与圆相切时,圆心到直线的距离 d ?

?2k k 2 ?1

? 1 ,即

3 1 2k ? k 2 ? 1 ,平方得 4k 2 ? k 2 ? 1, k 2 ? ,所以解得 k ? ? ,由图象知 k 的取值范围是 3 3

?

3 3 3 3 y ?k? , ]。 ,即 的取值范围是 [ ? 3 3 3 3 x

5 . ( 天 津 市 五 区 县 2013 届 高 三 质 量 检 查 ( 一 ) 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 若 直 线 x - y+t=0 被 曲 线

? ?x ? 1? 4 c o s ( ? 为参数)截得的弦长为 4 2 ,则实数 t 的值为______. ? ? ?y ? 3? 4 sin
1

【答案】 -2 或 6
? ?? 6 .(2013 天津高考数学(理))已知圆的极坐标方程为 ? ? 4cos? , 圆心为 C, 点 P 的极坐标为 ? 4, ? , ? 3? 则|CP| = ______.

【答案】 2 3

因为 C 的直角坐标系方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 ,所以 C (2, 0) ,因为 P(2, 2 3) ,所以
2 2

| PC |? 2 3 .
7 .(天津市十二校 2013 届高三第二次模拟联考数学(理)试题)已知抛物线的参数方程为 ? (t ? y ? 4t 为参数),焦点为 F ,准线为 l ,过抛物线上一点 P 作 PE ? l 于 E ,若直线 EF 的倾斜角为 150? ,则 | PF |? ___________. 4 【答案】 3 ? x ? 1 ? t cos? 8 .(天津市 2013 届高三第三次六校联考数学(理)试题)已知直线 C1: ? (t 为参 ? y ? t sin ? ? x ? cos? ? 数),C2: ? (θ 为参数).当 ? ? 时,则 C1 与 C2 的交点坐标为________. 3 ? y ? sin ? 3? ?1 【答案】? ,- ? 2 ? ?2 9 .(天津市十二区县重点中学 2013 届高三毕业班联考(一)数学(理)试题)已知圆 C 的参数方程为 ? x ? cos ? , (? 为参数), 以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程 ? ? y ? sin ? ? 2, 为 ? sin ? ? ? cos ? ? 1 , 则直线截圆 C 所得的弦长是_______________. 【答案】 2 ;

? x ? 4t 2

? x =2 pt 2 , 10.(2012 年天津理)己知抛物线的参数方程为 ? ( t 为参数),其中 p >0 ,焦点为 F ,准线为 l ,过 ? y =2 pt , 抛物线上一点 M 作的垂线,垂足为 E ,若 |EF|=|MF | ,点 M 的横坐标是 3,则 p= ___.
【答案】∵ ?

? x =2 pt 2 , ? y =2 pt ,

可得抛物线的标准方程为 y =2 px (p >0) ,∴焦点 F (

2

p ,0) ,∵点 M 的横坐标是 2

p p p , ? 6 p ) , EF 2 =( ? )2 +(0 ? 6 p )2 2 2 2 p 1 2 2 由抛物线得几何性质得 MF = +3 ,∵ EF =MF ,∴ p +6 p = p +3 p +9 ,解得 p =2 . 2 4
3,则 M (3, ? 6 p ) ,所以点 E ( ? 11.(天津市河北区 2013 届高三总复习质量检测(二)数学(理)试题)在平面直角坐标系 xOy 中,直线

? 3 t, ?x ? 1 ? ? 2   (t为参数) O 为极点,x 轴正方向为极轴的极坐标系中,圆 C 的极坐标 l 的参数方程是 ? .以 ? y ? 1 t. ? ? 2 2 方程是 ? ? 4 ? cos ? ? 3 ? 0 ,则圆心到直线的距离是__________. 1 【答案】 2
12.(2012-2013-2 天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷(理))在平面直角坐标系中,以原点为 2 极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知抛物线 C 的极坐标方程为 ρ cos θ =4sin θ (ρ ≥0),

2

直线 l 的参数方程为?

?x= 3t, ?y=1+t

(t 为参数),设直线 l 与抛物线 C 的两交点为 A,B,点 F 为 抛物

线 C 的焦点,则|AF|+|BF|=__________. 16 【答案】 3 13.(天津市宝坻区 2013 届高三综合模拟数学(理)试题)已知曲线 C : ?

? x ? ?1 ? cos ? (? 为参数)和直 ? y ? sin ?

1 ? ?x ? 2 ? 2 t ? 线: ? (为参数), 则曲线 C 上的点到直线距离的最小值为__________. ?y ? 3 ? 3 t ? ? 2 【答案】 3 ? 1 14.(天津市新华中学 2013 届高三寒假复习质量反馈数学(理)试题)圆 ? ? 4sin ? 的圆心到直线 ? x ? t ? 1, (t 为参数)的距离是_____ ? ? y ? 1 ? 2t 1
【答案】

5
? x ? 8t 2 15.(2011 年高考(天津理))已知抛物线 C 的参数方程为 ? (t 为参数).若斜率为 1 的直线经过抛 ? y ? 8t 物线 C 的焦点,且与圆 ( x ? 4)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相切,则 r ? ______________. 【答案】【命题立意】本小题主要考查了抛物线的参数方程与普通方程的互化,直线的方程、直线与 圆的位置关系的应用,运用等价转化思想解答问题. ? x ? 8t 2 消去参数 t,得到抛物线标准方程为 y 2 ? 8x ,所以抛物线的焦点为 F (2,0) ,所以过 2 【解析】 ? ? y ? 8t | 4 ? 0-2| 焦点斜率为 1 的直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,圆心(4,0)到直线的距离为半径 r ? = 2 2 ? x ? 2 ? t, ? x ? 2cos ? ? 1, l:? C:? y ? ?2 ? t t ? y ? 2sin ? 16.(2013 届天津市高考压轴卷理科数学)已知直线 ? ( 为参数)与圆 (? 为参数),则直线 l 的倾斜角及圆心 C 的直角坐标分别是 ___________

3π ,(1,0) 【答案】 4
【解析】直线消去参数得直线方程为 y ? ? x ,所以斜率 k ? ?1 ,即倾斜角为

3? .圆的标准方程为 4

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 ,圆心坐标为 (1, 0) .
17.(天津市红桥区 2013 届高三第一次模拟考试数学(理)试题(Word 版含答案))设直线 l1 的参数方 程为 ?

? x ? 1 ? t, ( t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系得另一直线 l 2 的方程为 ? y ? a ? 3t.

? sin ? ? 3? cos? ? 4 ? 0 ,若直线 l1 与 l2 间的距离为 10 ,则实数 a 的值为______________.
【答案】将直线 l1 的方程化为普通方程得 3x ? y ? a ? 3 ? 0 ,将直线 l 2 的方程化为直角坐标方程得

3x ? y ? 4 ? 0 ,由两平行线的距离公式得

| a ?3 ?4| ? 10 ?| a ?1| ?10 ? a ? 9 或 a ? ?11 10

18 . ( 2013 年 天 津 市 滨 海 新 区 五 所 重 点 学 校 高 三 毕 业 班 联 考 理 科 数 学 ) 直 线

3

? x ? a ? 4t , ? l:? (t为参数),圆C : ? ? 2 2 cos(? ? ) (极轴与 x 轴的非负半轴重合,且单位长度相同), 4 ? y ? ?1 ? 2t.
若直线 l 被圆 C 截得的弦长为 【答案】
2

6 5 ,则实数 a 的值为____________. 5 0 或 2 在平面直角坐标系下直线方程为 x ? 2 y ? (2 ? a) ? 0 ,圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ,
2

即 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2 ,所以圆心为 (1, ?1) ,半径 r ? 2 .若直线 l 被圆 C 截得的弦长为 到直线的距离 d ?

6 5 ,则圆心 5

r2 ? (

得 a ? 0或a ? 2. 19 . (天津 市蓟县 二中 2013 届 高三第 二次 模拟考试 数学( 理)试 题) 已知 曲线 C 的 参数方 程为

1? 2 ? 2 ? a 1? a 3 5 2 9 5 5 ) ? 2? ? ? ? ,又 d ? ,即 1 ? a ? 1 ,解 2 5 5 5 5 5 1? 2

? x ? 1 ? cos ? (? 为参数),则曲线 C 上的点到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离的最大值为________. ? ? y ? sin ?
【答案】 2 ? 1

4


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