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2014年佛山市普通高中高二教学质量检测理科数学试题参考答案


2014 年佛山市普通高中高二教学质量检测
数学试题(理科)参考答案和评分标准
一、选择题: (每题 5 分,共 50 分) 题号 选项 1 D 2 A 3 D 4 B 5 B 6 C 7 C 8 A 9 D 10 A

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 11. 2 12. (??, ?2] [1, ??) 13. 3x ? 4 y ? 25 ? 0 14.

5 6

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 12 分) 解析: (1)设点 P 关于直线 y ? x ? 1 的对称点为 C ? m, n ? ,

?1 ? n ?2 ? m ? ? 1, ? ? m ? 0, ? 2 2 则有 ? 解之得 ? 即点 C ? 0, ?1? n ? 1 n ? ? 1. ? ? ? 1 ? ?1 ?m?2 ?
(2)圆心 C 到直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 的距离 d ?
2

……………………………6 分

?4 ? 11 32 ? 42

?

15 ? 3 , ……………………………9 分 5
……………………………11 分 ……………………………12 分

AB 36 所以圆 C 的半径的平方 r ? d ? ? 9 ? ? 18 . 4 4
2 2
2 故圆 C 的方程为 x ? ? y ? 1? ? 18 . 2

16. (本题满分 12 分) 解析:作出如图所示的区域 D 示意图.…………………………1 分 (说明:只要考生作出区域 D 的草图为如图阴影所示的三角形均给 1 分)

y

? x ? y ? 4 ? 0, ? x ?1 解之得 ? ,即 C ?1,3? ;……2 分 ? 3x ? 2 y ? 3 ? 0 ?y ? 3 ? x ? y ? 4 ? 0, ?x ? 3 由? 解之得 ? ,即 B ? 3,1? ;……3 分 ?x ? 4 y ?1 ? 0 ?y ?1 ?3x ? 2 y ? 3 ? 0, ? x ? ?1 由? 解之得 ? ,即 A ? ?1,0? ;……4 分 ? x ? 4 y ?1 ? 0 ?y ? 0
(1)由 ? (说明:当然考生通过观察发现两直线过定点 A ? ?1,0? 也行) 如图,三角形 ABC ,以 A 为顶点,则 A 到直线 BC 的距离为 d ? 线段 BC 的长为 BC ?

C

P

D B A O x

?1 ? 0 ? 4 1 ?1
2 2

?

5 2 …………………6 分 2
…………………8 分

?3 ?1? ? ?1 ? 3?
2

2

?2 2

所以区域 D 的面积为 S ?

1 1 5 2 BC ? d ? ? 2 2 ? ?5. 2 2 2
理科数学试题答案 第 1 页 共 5 页

…………………9 分

y?2 是一个斜率模型,表示区域内的动点 Q( x, y) 与定点 P(?4, 2) 连线的斜率.…………10 分 x?4 0?2 2 3? 2 1 ? 2 1? ? ? 最小, k PC ? ? 最大.从而 z 的取值范围为 ? ? , ? . …………12 分 如图, k PA ? ?1 ? 4 3 1? 4 5 ? 3 5?
(2) z ? 17. (本题满分 14 分) 证明: (1)如图,取 D1E1 ? 2E1C1 ,连接 EE1 …………………2 分

ABCD ∵四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 ,且 AA 1 ? 平面
∴四棱柱四个侧面均为矩形,即四边形 CC1D1D 为矩形. …………3 分 又 D1E1 ? 2E1C1 ,且 DE ? 2 EC , ∴ EE1 / / DD1 ……………………………4 分

且 DD1 ? 平面 D1DB , EE1 ? 平面 D1DB ∴ EE1 / / 平面 D1DB (2)条件② AC ? BD ,可做为 AC ? BD1 的充分条件. 证明如下: ……………………………6 分 …………………7 分

AA1 ? 平面 ABCD , AA1 / / DD1 , ? DD1 ? 平面 ABCD ,
∵ AC ? 平面 ABCD , …………………9 分

? DD1 ? AC .
若条件②成立,即 AC ? BD , ∵ DD1

…………………11 分

BD ? D ,
…………………13 分 …………………14 分

? AC ? 平面 BDD1 ,
又 BD1 ? 平面 BDD1 ,? AC ? BD1 . 18. (本题满分 14 分)

4 x2 y2 ? 2 ? 1 ,将(1,1)代入得 b 2 ? . 解析:(1)由椭圆定义知 2a ? 4, 故 a ? 2 .即椭圆方程为 3 4 b 2 2 x y ? ? 1. 故椭圆方程为 ……………………………………………………4 分 4 4 3 4 8 6 2 因此 c ? 4 ? ? ,离心率 e ? . ……………………………………………………6 分 3 3 3 ? (2)设 C( xC , yC ), D( xD , yD ), 由题意知,直线 AC 的倾斜角不为 90 ,故设 AC 的方程为 y ? k ( x ? 1) ? 1 ,联立
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? y ? k ( x ? 1) ? 1, ? 2 消去 y 得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6k (k ? 1) x ? 3k 2 ? 6k ? 1 ? 0 . 3 2 ? x ? y ? 1 ? ? 4 4 3k 2 ? 6k ? 1 由点 A(1,1) 在椭圆上,可知 xC ? . 3k 2 ? 1 因为直线 AC, AD 的倾斜角互补,
故 AD 的方程为 y ? ?k ( x ? 1) ? 1 ,同理可得 x D ? 所以 xC ? xD ?

……………………8 分

?12k . 3k 2 ? 1

3k 2 ? 6k ? 1 . 3k 2 ? 1

又 yC ? k ( xC ? 1) ? 1, yD ? ?k ( xD ? 1) ? 1, yC ? yD ? k ( xC ? xD ) ? 2k ? 所以 k CD ?

?4k , 3k 2 ? 1

yC ? y D 1 1 ? ,即直线 CD 的斜率为定值 . 3 xC ? x D 3

…………………………………14 分

19. (本题满分 14 分) (1)证明:设 F 为 DC 的中点,连接 BF ,则 DF ? AB ∵ AB ? AD , AB ? AD , AB // DC , ∴四边形 ABFD 为正方形, ∵ O 为 BD 的中点, ∴ O 为 AF , BD 的交点, ∵ PD ? PB ? 2 , ∴ PO ? BD , ∵ BD ? ∴ PO ?

P

E
A B
O

……………2 分

AD2 ? AB2 ? 2 2 ,

D

F

C

PB2 ? BO2 ? 2 , AO ?
2 2

1 BD ? 2 , 2
2

在三角形 PAO 中, PO ? AO ? PA ? 4 ,∴ PO ? AO ,

……………………………4 分 ……………………………5 分

BD ? O ,∴ PO ? 平面 ABCD ; (2)方法 1:连接 PF ,∵ O 为 AF 的中点, E 为 PA 中点, ∴ OE // PF , ∵ OE ? 平面 PDC , PF ? 平面 PDC , ∴ OE // 平面 PDC . 方法 2:由(Ⅰ)知 PO ? 平面 ABCD ,又 AB ? AD ,
∵ AO 所以过 O 分别做 AD, AB 的平行线,以它们做 x, y 轴, 以 OP 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 由已知得:

……………………………9 分

P

E
A
O

A(?1, ?1,0) , B(?1,1,0) , D(1, ?1,0)

B
y
F
C

F (1,1,0) , C (1,3,0) , P(0,0, 2) ,

D

x

理科数学试题答案

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1 1 2 E (? , ? , ), 2 2 2
则 OE ? (? , ? ,

1 2

1 2 ) , PF ? (1,1, ? 2) , PD ? (1, ?1, ? 2) , PC ? (1,3, ? 2) . 2 2

∴ OE ? ?

1 PF 2

∴ OE / / PF ∵ OE ? 平面 PDC , PF ? 平面 PDC , ∴ OE // 平面 PDC ;

…………………………………9 分

(3) 设平面 PDC 的法向量为 n ? ( x1 , y1 , z1 ) ,直线 CB 与平面 PDC 所成角 θ , 则?

? ? n?PC ? 0 ? ? n?PD ? 0

,即 ?

? ? x1 ? 3 y1 ? 2 z1 ? 0 ? ? x1 ? y1 ? 2 z1 ? 0



…………………………………11 分

解得 ?

? ? y1 ? 0 ,令 z1 ? 1,则平面 PDC 的一个法向量为 n ? ( 2,0,1) ,……………………………12 分 ? ? x1 ? 2 z1

又 CB ? (?2, ?2,0) 则 sin θ ? cos ? n, CB ? ?

2 2 3 , ? 3 3?2 2
3 . 3
………………………………………14 分

∴直线 CB 与平面 PDC 所成角的正弦值为

20. (本题满分 14 分) (1)由圆 M 的方程: x2 ? 8x ? y 2 ? 0 配方得: ( x ? 4)2 ? y 2 ? 16 . 故圆 M 的圆心为 M (?4,0) ,半径 r1 ? 4 .
2 2 2

………………………………………………1 分
2

由圆 N 的方程: x ? 8x ? y ? 12 ? 0 配方得: ( x ? 4) ? y ? 4 . 故圆 N 的圆心为 N (4,0) ,半径 r2 ? 2 . 设双曲线 C 的半焦距为 c ,实半轴长为 a ,虚半轴长为 b , 则 a ? 1, b ? 15, c ? a ? b ? 16 ,? a ? 1, c ? 4 .
2 2 2 2 2

………………………………………………2 分

………………………………………………3 分

故双曲线 C 的左、 右焦点分别是圆 M 的圆心 M (?4,0) 和 N 的圆心 N (4,0) .………………………4 分

? PM ? PN ? 2a ? 2 ,即 ( PA ? r1 ) ? ( PB ? r2 ) ? 2 .

? ( PA ? 4) ? ( PB ? 2) ? 2,? PA ? PB ,故 ?PAB 是等腰三角形.
理科数学试题答案 第 4 页 共 5 页

…………………………5 分

(2)设 PA ? PB ? r ,则 ?PAB 的面积 S1 ?

1 1 PA ? PB ? sin P ? r 2 ? sin P , 2 2 1 1 ?PMN 的面积 S2 ? PM ? PN ? sin P ? (r ? 4) ? (r ? 2) ? sin P . 2 2

?

S2 (r ? 4)(r ? 2) r 2 ? 6r ? 8 1 1 ? ? ? 1? 6 ? ? 8? 2 2 2 S1 r r r r
1 ? 1. r

…………………………8 分

在 ?PMN 中,由 PM ? PN ? 2c 得: (r ? 4) ? (r ? 2) ? 8,? r ? 1, 0 ? 令t ?

1 S , f (t ) ? 1 ? 6t ? 8t 2 ,则 2 ? f (t ) ,且 0 ? t ? 1 . r S1

在区间 (0,1) 上, f (t ) ? 1 ? 6t ? 8t 2 是 t 的增函数,故 1 ? f (t ) ? 15 , 即1 ?

S2 S ? 15 . ? 2 的取值范围是 ?1,15? . S1 S1

…………………………10 分

(3)注意到点 A 处圆 M 的切线 l1 和点 B 处圆 N 的切线 l2 ,也是以点 P( x0 , y0 ) 为 圆心,半径 r ? PA ? PB 的圆的两条切线,设 l1 与 l2 的交点为 Q ? x, y ? ,
2 2 2 则 QA ? QB ,由切线长公式得: QM 2 ? r 1 ? QN ? r 2 .

即 ( x ? 4)2 ? y 2 ?16 ? ( x ? 4)2 ? y 2 ? 4 ,整理得: 4 x ? 3 ? 0 . 即两切线 l1 与 l2 的交点 Q 的轨迹方程是 4 x ? 3 ? 0 . …………………………14 分

理科数学试题答案

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