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【创新设计】2015-2016学年高中数学(苏教版选修2-1)习题:第3章 空间向量与立体几何 2.3


3.2.3 空间的角的计算 课时目标 1.掌握异面直线所成角与二面角的概念,能正确运用向量的数量积求角.2.正 确运用二面角的概念及两个平面的法向量的夹角与二面角大小的关系求二面角的大小 .3. 掌握平面的斜线所在方向向量与平面的法向量夹角与线面角的关系. 1.两条异面直线所成的角 (1)定义: 设 a、 b 是两条异面直线, 过空间任一点 O 作直线 a′∥a, b′∥b, 则 a′与 b′ 所夹的________________叫做 a 与 b 所成的角. (2)范围:两异面直线所成的角 θ 的取值范围是________________. (3)向量求法: 设直线 a、 b 的方向向量为 a、 b, 其夹角为 φ, 则有 cosθ=|cosφ|=__________. 2.直线与平面所成的角 (1)定义:直线和平面所成的角,是指直线与它在这个平面内的________所成的角. (2)范围:直线和平面所成的角 θ 的取值范围是__________. (3)向量求法:设直线 l 的方向向量为 a,平面的法向量为 u,直线与平面所成的角为 θ,a 与 u 的夹角为 φ,则有 sinθ=|cosφ|=________或 cosθ=________. 3.二面角 (1)二面角的取值范围:________. (2)二面角的向量求法: 利用向量求二面角的平面角有两种方法: ①若 AB,CD 分别是二面角 α—l—β 的两个面内与棱 l 垂直的异面直线,则二面角的大小 → → AB· CD → → θ 是向量AB与CD的夹角(如图①所示).即 cosθ= . → → |AB|· |CD| ②设 n1、n2 是二面角 α—l—β 的两个面 α、β 的法向量,则向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角) 就是二面角的平面角的大小(如图②所示).即二面角 α—l—β 的大小 θ 的余弦值为 n1· n2 n1· n2 cosθ= 或 cosθ=- . |n1|· |n2| |n1|· |n2| 一、填空题 1.若直线 l1 的方向向量与 l2 的方向向量的夹角是 150° ,则 l1 与 l2 这两条异面直线所成的 角为_______________________________________________________. 2.若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 150° ,则直线 l 与平面 α 所成的角 为________. 3. 如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M,N,P 分别是棱 CC1,BC,A1B1 上的点, 若∠B1MN=90° ,则∠PMN 的大小是______. 4.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角,则二面角 A—BC—D 的平面角的余弦值 是________. 5.已知三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等,A1 在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点,则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为________. 6.若两个平面 α,β 的法向量分别是 n=(1,0,1),ν=(-1,1,0),则这两个平面所成的锐 二面角的度数是________. 7.如图, 已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 的各条棱长都相等,M 是侧棱 CC1 的中点,则异面直线 AB1 和 BM 所成的角的大小是________. 8.已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=2AB,E 为 AA1 的中点,则异面直线 BE 与 CD1 所成角的余弦值为___

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