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浙江省嘉兴一中2015-2016学年高二暑假作业检测数学试卷


嘉兴一中 2015 学年第一学期暑假作业检测 高二数学试卷
命题:钟坚毅 审题:张国伟 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分。在每小题给出的四项中,只有一项 是符合题目要求的。 1.已知向量 a ? ( 2,1) , b ? ( x,?2) ,若 a // b ,则 a ? b 等于 A. ? ?3,1? B. ? 3, ?1? C. ? 2,

1?
? ?

? ?

?

?





D. ? ?2, ?1? ( )

2.在等比数列 {an } 中, a3 ? a4 ? 4 , a2 ? 2 ,则公比 q 等于 A.-2 B.1 或-2 C.1 D.1 或 2

4 1 3.已知 tanα= ,tan(α-β)=- ,则 tanβ 的值为 3 3 1 A. 3 B .3 C. 9 13 13 D. 9





4.两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 akm ,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20 ,灯 塔 B 在观察站 C 的南偏东 40 ,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 A. akm B.
0

0





2akm

C. 2akm

D.

3akm

5. 在 △ ABC 中,内角 A , B ,C 所对应的边分别为 a ,b , c ,若 b sin A ? 3 acos B ? 0 , 且 b ? ac ,则
2

a?c 的值为 b





A.

2 2

B. 2

C.2

D.4
2 1 , 且满足 Sn ? 则 S2015 等 ? 2 ? an ? n ? 2? , 3 Sn
( )

6.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 首项 a1 ? ? 于 A. ?

2013 2014

B. ?

2014 2015

C. ?

2015 2016

D. ?

2016 2017


7. 函数 f ? x ? ?

ax ? b

? x ? c?

2

的图象如图所示,则下列结论成立的是(

(A) a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 (C) a ? 0 , b ? 0 , c ? 0

(B) a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 (D) a ? 0 , b ? 0 , c ? 0

8. 一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是 (A) 1 ? 3 (B) 1 ? 2 2 (C) 2 ? 3 (D) 2 2





9. 0 ? b ? 1 ? a ,若关于 x 的不等式 ( x ? b)2 > (ax) 2 的解集中的整数恰有 3 个,则( ) (A) ? 1 ? a ? 0 ( B) 0 ? a ? 1 (C) 1 ? a ? 3 (D) 3 ? a ? 6

10. 已知函数 f ? x ? ? ? sin ?? x ? ? ? ( ? , ? , ? 均为正的常数)的最小正周期为 ? ,当

x?

2? 时,函数 f ? x ? 取得最小值,则下列结论正确的是( 3



(A) f ? 2? ? f ? ?2? ? f ? 0? (C) f ? ?2? ? f ? 0? ? f ? 2?

(B) f ? 0? ? f ? 2? ? f ? ?2? (D) f ? 2? ? f ? 0? ? f ? ?2?

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每小题 4 分,单空题每小题 3 分,共 23 分. 把答案填 在相应的位置上。

0) , B(0 , 3 ) , C ( cos x , sin x ) ,则 11. 在平面直角 坐标系 xOy 中,点 A ( ? 1 ,
??? ? AB =


;若 AB ∥ OC , 则 tan x = __▲____.

??? ?

??? ?

12. 已知 ?an ? 是等差数列,公差 d 不为零.若 a2 , a3 , a7 成等比数列,且 2a1 ? a2 ? 1 , 则 a1 ?

,d ?
.



13. sin 15? ? sin 75? ?

? ?) ,若关于 x 的不等式 f ( x) ? c 的解 14. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b (a , b ? R) 的值域为 [0 , m ? 6) ,则实数 c 的值为 ▲ . 集为 (m ,
15.若实数 x, y 满足 4x 2 ? 2x ? y 2 ? y ? 0 ,则 2 x ? y 的取值范围是 ▲

16. 如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 2 ,点 E 为 BC 的 中点,点 F 在边 CD 上,若 AB ? AF ? 2 ,则 AE ? BF 的值是 ▲ .

??? ? ????

??? ? ??? ?

17. 已 知 函 数 f ? x ? ? sin x . 若 存 在 x1 , x2 , ??? , xm 满 足

0 ? x1 ? x2 ? ??? ? xm ? 6? ,且
, 则m 的 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? ??? ? f ? xm ?1 ? ? f ? xm ? ? 12( m ? 2 ,m ? ? ? ) 最小值为 .

三、解答题:本大题共 5 小题.共 47 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. (本小题满分 9 分) 设平面向量 a = (cos x,sin x) , b ? (cos x ? 2 3,sin x) , c ? (sin ? ,cos ? ) , x ? R . (1)若 a ? c ,求 cos(2 x ? 2? ) 的值;

?

?

?

[来源:Zxxk.Com]

?

?

[来源:Z+xx+k.Com]

(2)若 ? ? 0 ,求函数 f ( x) ? a ? (b ? 2c) 的最大值,并求出相应的 x 值.

? ?

?

19. (本小题满分 9 分) 设数列 {an } 的前 n 项和 S n ? 2an ? a1 ,且 a1 , a2 ? 1, a3 成等差数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记数列 {

1 1 成立的 n 的最小值. } 的前 n 项和 Tn ,求得 | Tn ? 1|? 1000 an

20.(本小题满分 9 分) 设 集 合 A 为 函 数 y?

x2 ? 2 x ? 8 的 定 义 域 , 集 合 B 为 关 于 x 的 不 等 式

1? 4 ? ax 2 ? ? 4a ? ? x ? ? 0 的解集. a? a ?
(1)求 A; (2)若 B ? A ,求 a 的取值范围.

[来源:学&科&网]

21. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a , b , c ,其外接圆半径为 6,

b ? 24 , 1 ? cos B

sin A ? sin C ?

4 3

(1)求 cos B ; (2)求 ?ABC 的面积.

22. (本小题满分 10 分)

?1 ? an ? n, n为奇数, 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? ? 3 ?an ? 3n, n为偶数. ?
(1)求证:数列 ?a2 n ? ? 是等比数列; (2)若 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,求满足 Sn ? 0 的所有正整数 n.

? ?

3? 2?

●●●●●●●● ●●●●●●●● ●●●●●●●● ●●●●●●●● ●●●●●●●● ●●●●●●●●

嘉兴一中 2015 学年第一学期暑假作业测试
高二数学答题卷
一、选择题:本大题共 l0 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的. 题号 答案 1 D 2 B 3 B 4 D 5 C 6 D 7 C 8 C 9 C 10 A




二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每小题 4 分,单空题每小题 3 分,共 密 23 分. 把答案填在相应的位置上 11._ (1, 3) _ ,__ 3 ___. 12._____





2 ___ , _______ ?1 _______. 3
15.____

13._____

6 ___. 2

14._____9____.

[?2, 0] _________.






16. _____ 2 _______. 17.

8




密 封 线 内 不 要 答 题

三、解答题(本大题共 5 小题,共 47 分,解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 18. (本小题满分 9 分) 设平面向量 a = (cos x,sin x) , b ? (cos x ? 2 3,sin x) , c ? (sin ? ,cos ? ) ,

?

?

?

x? R.
线

[来源:Zxxk.Com]

(1)若 a ? c ,求 cos(2 x ? 2? ) 的值;

?

?

[来源:Z+xx+k.Com]

(2) 若? ? 0 , 求函数 f ( x) ? a ? (b ? 2c) 的最大值, 并求出相应的 x 值. 【解析】 ( 1)若 a ? c ,则 a ? c ? 0 ,…………1 分 即 cos x sin ? ? sin x cos ? ? 0,sin ? x ? ? ? ? 0 所以 cos ? 2x ? 2? ? ? 1 ? 2sin
2

? ?

?



?

?

? ?

…………2 分

? x ? ? ? ? 1. …………4 分

? (2)若 ? ? 0, c ? (0,1)
●●●●●●●● ●●●●●●●● ●●●●●●●● ●●●●●●●● ●●●●●●●● ●●●●●●●● 则 f ( x) ? 1 ? 2sin x ? 2 3 cos x ? 4sin( x ? 2 ? ) ? 1 ,…………6 分 3

所以 f ( x)max ? 5, x ? 2k? ? ? (k ? Z) .…………7+2=9 分 6 19. (本小题满分 9 分) 设数列 {an } 的前 n 项和 S n ? 2an ? a1 ,且 a1 , a2 ? 1, a3 成等差数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记数列 {

1 1 成立的 n 的最小值. } 的前 n 项和 Tn ,求得 | Tn ? 1|? 1000 an

【解析】 (1)由已知 S n ? 2an ? a1 ,有 an ? S n ? S n ?1 ? 2an ? 2an ?1 (n ? 1) , 即 an ? 2an ?1 (n ? 1) . 从而 a2 ? 2a1 , a3 ? 4a1 . 又因为 a1 , a2 ? 1, a3 成等差数列,即 a1 ? a3 ? 2(a2 ? 1) . 所以 a1 ? 4a1 ? 2(2a1 ? 1) ,解得 a1 ? 2 . 所以,数列 {an } 是首项为 2,公比为 2 的等比数列. 故 an ? 2n . (2)由(1)得

1 1 ? n. an 2

1 1 [1 ? ( ) n ] 1 1 1 1 2 2 ? 1? 1 . 所以 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 2 2 2 2 2n 1? 2
由 | Tn ? 1|?
9

1 1 1 n ,得 |1 ? n ? 1|? ,即 2 ? 1000 . 1000 2 1000
10

因为 2 ? 512 ? 1000 ? 1024 ? 2 , 所以 n ? 10 . 于是,使 | Tn ? 1|?

1 成立的 n 的最小值为 10. 1000

20.(本小题满分 9 分) 设 集 合 A 为 函 数 y?

x2 ? 2 x ? 8 的 定 义 域 , 集 合 B 为 关 于 x 的 不 等 式

1? 4 ? ax 2 ? ? 4a ? ? x ? ? 0 的解集. a? a ?
(1)求 A; (2)若 B ? A ,求 a 的取值范围. [解析] (1)由于 x2+2x-8>0,解得 A=(-∞,-4]∪[2,+∞) …………2 分

(2)∵A=(-∞,-4]∪[2,+∞), 由 ax 2 ? ? 4a ?

? ?

1? 4 1 ? x ? ? 0 即 (ax-a)(x+4)≤0,知 a≠0,…………3 分 a? a

1 1 当 a>0 时,由(ax- )(x+4)≤0,得 B=[-4, 2],不满足 B?A;…………5 分 a a 1 1 当 a<0 时,由(ax- )(x+4)≤0,得 B=(-∞,-4]∪[ 2,+∞),…………6 分 a a 1 2 2 欲使 B?A,则 2≥2,解得 :- ≤a<0 或 0<a≤ , a 2 2 又 a<0,所以- 2 ≤a<0,…………8 分 2 2 ,0).…………9 分 2

综上所述,所求 a 的取值范围是[-

21. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a , b , c ,其外接圆半径为 6,

b ? 24 , 1 ? cos B

sin A ? sin C ?

4 3

(1)求 cos B ; (2)求 ?ABC 的面积. 【解析】 (1)因为

b 2 ? 6sin B ? 24 ? ? 24 ,…………1 分 1 ? cos B 1 ? cos B

所以 2(1 ? cos B) ? sin B ,…………2 分 等式两边平方可得:

4(1 ? cos B)2 ? sin 2 B ? (1 ? cos B)(1 ? cos B) , …………4 分
3 .…………5 分 5

?1 ? cos B ? 0,? 4(1 ? cos B) ? 1 ? cos B,? cos B ?
(2) ? sin A ? sin C ?

4 a c 4 ? , 即 a ? c ? 16 . …………7 分 ,? ? 3 12 12 3 3 4 又? cos B ? ,? sin B ? . 5 5 256 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? ac ? 5 512 S? ABC ? 25

?1 ? an ? n, n为奇数, 22. (本小题满分 10 分)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? ? 3 ?an ? 3n, n为偶数. ?

(1)求证:数列 ?a2 n ? ? 是等比数列; (2)若 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,求满足 Sn ? 0 的所有正整数 n. 【解析】 (Ⅰ)设 bn ? a2 n ?

? ?

3? 2?

3 , 2

3 1 1 3 1 3 1 (a2 n ? 6n) ? (2n ? 1) ? a2 n ? a ? (2n ? 1) ? bn ?1 a2 n ? 2 ? 2 3 2 n ?1 2=3 2 ?1, 2=3 ? ? 因为 3 3 3 3 bn 3 a2 n ? a2 n ? a2 n ? a2 n ? 2 2 2 2 3 1 3 1 所以数列 {a2 n ? } 是以 a2 ? 即 ? 为首项,以 为公比的等比数列. ……… 3 分 2 3 2 6
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ? a2 n ? 由 a2 n ?

3 1 ?1? ? ? ?? ? 2 6 ?3?

n ?1

1 ?1? 3 1 ?1? ? ? ? ? ? ,即 a2 n ? ? ? ? ? ? , 2 ?3? 2 ?3? 2

n

n

1 1 1 15 a2 n ?1 ? (2n ? 1) ,得 a2 n ?1 ? 3a2 n ? 3(2n ? 1) ? ? ? ( ) n ?1 ? 6n ? ,……4 分 3 2 3 2 1 1 n ?1 1 n 1 n 所以 a2 n ?1 ? a2 n ? ? ? [( ) ? ( ) ] ? 6n ? 9 ? ?2 ? ( ) ? 6n ? 9 ,…………5 分 2 3 3 3

S2n ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ? ?? (a2n?1 ? a2n )
1 1 1 ? ?2[ ? ( ) 2 ? ? ? ( ) n ] ? 6(1 ? 2 ? ? ? n) ? 9n 3 3 3 1 1 [1 ? ( )n ] 3 ? 6 ? n(n ? 1) ? 9n ? ?2 ? 3 1 2 1? 3 1 1 ? ( ) n ? 1 ? 3n 2 ? 6n ? ( ) n ? 3( n ? 1) 2 ? 2 …………7 分 3 3
显然当 n ? N ? 时, {S2 n } 单调递减, 又当 n ? 1 时, S 2 ?

7 8 >0,当 n ? 2 时, S 4 ? ? <0,所以当 n ? 2 时 , S 2 n <0;…8 分 3 9 3 1 5 S2 n ?1 ? S2 n ? a2 n ? ? ( ) n ? ? 3n 2 ? 6n , 2 3 2

同理,当且仅当 n ? 1 时, S2 n ?1 >0,…………9 分 综上,满足

Sn ? 0

的所有正整数 n 为 1 和 2.


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