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高一数学《2.2.2对数函数及其性质(三)》教案


湖南省长沙市第一中学

数学教案

高一(上)

第二章

函数

2.2.2 对数函数及其性质(三)
教学目标
(一)教学知识点 1.了解反函数的概念,加深对函数思想的理解 2.反函数的求法. (二)能力训练要求 1.使学生了解反函数的概念; 2.使学生会求一些简单函数的反函数. (三)德育渗透目标 培养学生用辩证的观点,观察问题、分析问题、解决问题的能力.

教学重点
1.反函数的概念; 2.反函数的求法.

教学难点
反函数的概念.

教学过程
一、复习引入: 复习引入: 1、我们知道,物体作匀速直线运动的位移 s 是时间 t 的函数,即 s=vt,其中速度 v 是常 量,定义域 t ≥ 0,值域 s ≥ 0;反过来,也可以由位移 s 和速度 v(常量)确定物体作匀速 直线运动的时间,即 t =

s ,这时,位移 s 是自变量,时间 t 是位移 s 的函数,定义域 s ≥ 0, v

值域 t ≥ 0. 问题1:函数 s=vt 的定义域、值域分别是什么? 问题2:函数 t =

s 中,谁是谁的函数? v s 之间有什么关系? v

问题3:函数 s=vt 与函数 t =

2、 又如, 在函数 y=2x+6 中, 是自变量, 是 x 的函数, x y 定义域 x ∈ R, 值域 y ∈ R. 我 们从函数 y=2x+6 中解出 x,就可以得到式子 x =

y ? 3 . 这样,对于 y 在 R 中任何一个 2

值,通过式子 x =

y ? 3 ,x 在 R 中都有唯一的值和它对应. 因此,它也确定了一个函数: 2

y 为自变量,x 为 y 的函数,定义域是 y ∈ R,值域是 x ∈ R.

3、再如:指数函数 y = a x 中,x 是自变量,y 是 x 的函数,由指数式与对数式的互化 、
有: x = log a y 对于 y 在(0,+ ∞ )中任何一个值,通过式子 x = log a y ,x 在 R 中都有 唯一的值和它对应. 因此,它也确定了一个函数:x = log a y , 为自变量,x 为 y 的函数, y ,值域是 x ∈ R. 定义域是 y ∈ (0,+ ∞ )

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函数

二、讲解新课: 讲解新课: 1.反函数的定义 . 一般地,设函数 y = f ( x)( x ∈ A) 的值域是 C,根据这个函数中 x,y 的关系,用 y 把 x 表示出,得到 x= ? (y). 若对于 y 在 C 中的任何一个值,通过 x= ? (y),x 在 A 中都有唯一 的值和它对应,那么,x= ? (y)就表示 y 是自变量,x 是自变量 y 的函数,这样的函数 x= ? (y) (y ∈ C)叫做函数 y = f ( x)( x ∈ A) 的反函数,记作 x = f
?1

( y ) ,习惯上改写成 y = f ?1 ( x)
?1

开始的两个例子:s=vt 记为 f (t ) = vt ,则它的反函数就可以写为 f

t (t ) = ,同样 v

y = 2 x + 6 记为 f ( x) = 2 x + 6 ,则它的反函数为: f ?1 ( x) =

x ?3. 2

探讨 1:所有函数都有反函数吗?为什么? :所有函数都有反函数吗?为什么? 反函数也是函数,因为它符合函数的定义,从反函数的定义可知,对于任意一个函数 不一定有反函数, y = x 2 , “一一对应” 如 只有 确定的函数才有反函数, = x 2 , y = f (x) 来说, y
x ∈[0,+∞) 有反函数是 y =

x
函数 y = f (x )

探讨 2:互为反函数定义域、值域的关系 :互为反函数定义域、 反函数 y = f
C A
?1

( x)

定义域 值 域 探讨 3: y = f :
?1

A C

的反函数是什么? ( x) 的反函数是什么?
?1

若函数 y = f ( x) 有反函数 y = f

( x) ,那么函数 y = f ?1 ( x) 的反函数就是 y = f ( x) ,
?1

这就是说,函数 y = f ( x) 与 y = f

( x) 互为反函数

新疆 王新敞
奎屯

探讨 4:探究互为反函数的函数的图像关系 : 观察讨论函数、反函数的图像,归纳结论: (1)函数 y = f (x) 的图象和它的反函数 y = f 三、讲解例题: 讲解例题 例 1.求下列函数的反函数: .求下列函数的反函数: ① y = 3 x ? 1( x ∈ R ) ; ② y = x 3 + 1( x ∈ R ) .
?1

( x) 的图象关于直线 y = x 对称.

(2)互为反函数的两个函数具有相同的增减性.

解:①由 y = 3 x ? 1 解得 x =

y +1 3

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函数

∴函数 y = 3 x ? 1( x ∈ R ) 的反函数是 y = ②由 y = x + 1( x ∈ R ) 解得 x= 3 y ? 1 ,
3

x +1 ( x ∈ R) , 3

∴函数 y = x + 1( x ∈ R ) 的反函数是 y = 3 x ? 1( x ∈ R)
3

小结:求反函数的一般步骤分三步,一解、二换、三注明. 的反函数的图象经过点( , ) ,求 的值. 例 2. 函数 y = log a ( x ? 1) (a > 0且a ≠ 1) 的反函数的图象经过点(1,4) 求 a 的值 . , 【解析】根据反函数的概念,知函数

y = log a ( x ? 1) (a > 0且a ≠ 1) 的反函数的图象经过点(4,1) ,
∴ 1 = log a 3 , ∴ a = 3.

【小结】若函数 y = f ( x) 的图象经过点 (a, b) ,则其反函数的图象经过点 (b, a ) . 例 3.已知函数 y = f ( x ) = . 解:方法一:∵ x ≥ 0

x + 1 ,求 f
∴ y ≥1

?1

(3) 的值. 的值.
由y=

x + 1 解得: x = ( y ? 1) 2
∴f
?1

∴ f 1 ( x ) = ( x ? 1) 2 ( x ≥ 1) 为原函数的反函数, 方法二:由反函数的定义得: 3 = 练习 1.求下列函数的反函数: . (1)y= 4 x (x∈R), (4)y= ( 2 ) x (x∈R), (2)y= 0.25 (x∈R), (5)y=lgx(x>0), (8)y= log a
x

(3) =4.
?1

x + 1,

解得:x=4, 即 f

(3) =4.

(3)y= ( ) (x∈R), (6)y=2 log 4 x(x>0)

1 3

x

(7)y= log a (2x)(a>0,且 a≠1,x>0)

x (a>0,a≠1,x>0) 2

解: (1)所求反函数为:y= log 4 x(x>0), (2)所求反函数为:y= log 0.25 x(x>0) (3)所求反函数为:y= log 1 x (x>0),
3
x

(4)所求反函数为:y= log
x 2

2

x (x>0)

(5)所求反函数为:y= 10 (7)所求反函数为:y=

(x∈R),

(6)所求反函数为:y= 4 = 2 x (x∈R)?

1 x a (a>0,且 a≠1,x∈R)? 2
x

(8)所求反函数为:y=2 a (a>0,且 a≠1,x∈R) 练习 2.函数 y= 3 的图象与函数 y = log 3 x 的图象关于(D ) .
x

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函数

A. y 轴对称

B. x 轴对称

C. 原点对称 D. y = x 直线对称

(备选题)3.求函数 y = 备选题)

5x + 8 的值域. 3x ? 2

解:∵ y =

5x + 8 3x ? 2

∴x =

2y + 8 3y ? 5

∴ y≠

5 3

∴函数的值域为{y|y≠

5 } 3

(备选题)4.利用互为反函数的图像的性质求参数 备选题)

若点(1, 2 ) 既在函数 y = mx + n 上, 又在其反函数图象上, 求m, n.
解:由已知得: ?

? m+n = 2 ?m = ?3 ,即 ? , ? n=7 ? 2m + n = 1

故 m、n 的值分别是-3、7.

(备选题)5. 已知 f ( x) = 备选题)

x?5 的图象关于直线 y = x对称, 求m的值 . 2x + m
?1

解:由已知可知, f (x) 的反函数是它的本身,即 f ( x ) = f 由 f ( x) =

( x) .

x ?5 ? mx ? 5 x ?5 ? mx ? 5 ?1 得 f ( x) = , 所以 = 恒成立. 2x + m 2x ?1 2x + m 2x ?1

比较对应系数得 m = ?1. 课堂小结 五、课堂小结 1.反函数的定义;求反函数的步骤. 2.互为反函数的函数图象间关系; 3.互为反函数的两个函数具有相同的增减性. 课外作业 作业: 六、课外作业 1. 阅读教材 P.73; 2. 《学案》P.88~ P.89.


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