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【轻松突破120分】2014高考数学精炼13 文


2014

高考数学(文)轻松突破 120 分 13

一、选择题 1.命题(1)“直线 l 垂直于平面 α 内的无数条直线,则 l⊥α ”,命题(2)“若 l⊥α , 则直线 l 垂直于平面 α 内的无数条直线”,则( ) A.(1)是真命题,(2)是真命题 B.(1)是真命题,(2)是假命题 C.(1)是假命题,(2)是真命题 D.(1)是假命题,(2)是假命题 解析: 直线 l 垂直于平面 α 内的无数条直线,则 l 有可能与 α 斜交;反之若 l⊥α , 则直线 l 垂直于平面 α 内的无数条直线. 答案: C 2.设 m、n 是两条不同的直线,α 、β 是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( ) A.若 m∥n,m∥α ,则 n∥α B.若 α ⊥β ,m∥α ,则 m⊥β C.若 α ⊥β ,m⊥β ,则 m∥α D.若 m⊥n,m⊥α ,n⊥β ,则 α ⊥β 解析: 选项 A、B、C 的结论中都含有直线在平面内的位置关系.在选项 D 中可以证明 α 、β 所成二面角为直二面角. 答案: D 3.设 α 、β 是两个不同的平面,l 是一条直线,以下命题正确的是( ) A.若 l⊥α ,α ⊥β ,则 l? β B.若 l⊥α ,α ∥β ,则 l⊥β C.若 l∥α ,α ∥β ,则 l? β D.若 l∥α ,α ⊥β ,则 l⊥β 解析: 对于选项 A、C,可能 l∥β ,所以 A、C 均不正确.对于选项 D,可能 l∥β 或 l? β ,所以 D 不正确. 答案: B 4.如图,在正四面体 P-ABC 中,D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点,下面四个结论不 成立的是( ) A.BC∥平面 PDF B.DF⊥平面 PAE C.平面 PDF⊥平面 PAE D.平面 PDE⊥平面 ABC 解析: 因 BC∥DF,所以 BC∥平面 PDF,A 成立;易证 BC⊥平面 PAE, BC∥DF,所以结论 B、C 均成立;点 P 在底面 ABC 内的射影为△ABC 的中心,不在中位线 DE 上, 故结论 D 不成立. 答案: D 5.已知 a、b、l 表示三条不同的直线,α 、β 、γ 表示三个不同的平面,有下列四个命 题: ①若 α ∩β =a,β ∩γ =b 且 a∥b,则 α ∥γ ; ②若 a、b 相交,且都在 α 、β 外,a∥α ,a∥β ,b∥α ,b∥β ,则 α ∥β ; ③若 α ⊥β ,α ∩β =a,b? β ,a⊥b,则 b⊥α ; ④若 a? α ,b? α ,l⊥a,l⊥b,则 l⊥α . 其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.①④ D.③④ 解析: 命题①错误,因为 α 与 γ 还可能相交; 命题②正确,设 a 与 b 确定的平面为 γ ,由题设知 α ∥γ ,β ∥γ ,所以 α ∥β . 答案: B

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6.如右图所示,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,BC1⊥ AC,则 C1 在面 ABC 上的射影 H 必在( ) A.直线 AB 上 B.直线 BC 上 C.直线 CA 上 D.△ABC 内部 CA⊥AB ? ? ?? CA⊥面 ABC1? 面 ABC⊥面 ABC1, 解析: ? CA⊥BC1? ∴过 C1 作垂直于平面 ABC 的线在面 ABC1 内, ∴H∈AB. 答案: A 二、填空题 7.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 AA1 和 AB 上的点,若∠B1MN 是直角,则∠C1MN =________. 解析: 在正方体中,C1B1⊥平面 ABB1A1, 而 MN? 平面 ABB1A1, ∴C1B1⊥MN. 又∠B1MN 是直角,即 MN⊥MB1.而 MB1∩C1B1=B1, ∴MN⊥平面 MB1C1,即∠C1MN=90°. 答案: 90° 8.α 、β 是两个不同的平面,m、n 是平面 α 及 β 之外的两条不同直线,给出四个论 断:①m⊥n;②α ⊥β ;③n⊥β ;④m⊥α .以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结 论,写出你认为正确的一个命题为________. 解析: 根据线面、面面垂直的定义、判定定理和性质可知,正确的有②③④? ①或① ③④? ②. 答案: ②③④? ①或①③④? ② 9.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边都 相等, M 是 PC 上的一动点, 当点 M 满足________时, 平面 MBD⊥平面 PCD.(只 要填写一个你认为是正确的条件即可) 解析: DM⊥PC(或 BM⊥PC 等). ∵ABCD 为菱形,∴AC⊥BD, 又∵PA⊥面 ABCD,∴PA⊥BD, 又 AC∩PA=A,∴BD⊥面 PAC, BD⊥PC.∴当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时, 即有 PC⊥平面 MBD,而 PC? 平面 PCD, ∴平面 MBD⊥平面 PCD. 答案: DM⊥PC(不唯一) 三、解答题 10.如图所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=1,AA1=2, E 是侧棱 BB1 的中点. (1)求证:A1E⊥平面 ADE; (2)求三棱锥 A1-ADE 的体积. ?【解析方法代码 108001094】 解析: (1)证明:由勾股定理知: A1E= 1+1= 2,AE= 1+1= 2, 2 2 2 则 A1A =A1E +AE , ∴A1E⊥AE. ∵AD⊥平面 AA1B1B,A1E? 平面 AA1B1B,∴A1E⊥AD, 而 AD∩AE=A,∴A1E⊥平面 ADE. 1 (2)S△AA1E= · 2· 2=1, 2

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1 1 1 ∴VA1-ADE=VD-A1AE= ·S△AA1E·AD= ·1·1= . 3 3 3 11.如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是直角梯形,且 PA⊥平面 ABCD,AD∥BC,AD⊥DC,△ADC 和△ABC 均为等腰直角三角形,且 PA= AD=DC=a,点 E 为侧棱 PB 上一点,且 BE=2EP. (1)求证:平面 PCD⊥平面 PAD; (2)求证:直线 PD∥平面 EAC. 证明: (1)∵PA⊥平面 ABCD, 又 DC? 平面 ABCD,∴DC⊥PA. ∵AD⊥DC,且 PA 与 AD 是平面 PAD 内相交直线, ∴DC⊥平面 PAD. ∵DC? 平面 PCD,∴平面 PCD⊥平面 PAD.

(2)连接 BD,设 BD 与 AC 相交于点 F,连接 EF, 在等腰 Rt△ADC 中,∵AD⊥DC, π ∴∠DAC=∠ACD= . 4 π ∵AD∥BC,∴∠ACB=∠DAC= . 4 ∵△ABC 为等腰直角三角形,且底面 ABCD 是直角梯形, π ∴∠BAC= . 2 由 AD=DC=a, 易知 AB=AC= 2a,BC=2a, ∴BF=2FD. ∵BE=2EP,∴PD∥EF. ∵EF? 平面 EAC,PD?平面 EAC, ∴直线 PD∥平面 EAC. 12. 如图, 四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, PA⊥底面 ABCD, PA=AB=1,AD= 3,点 F 是 PB 的中点,点 E 在边 BC 上移动. (1)点 E 为 BC 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的位置关系,并说 明理由; (2)证明:无论点 E 在 BC 边的何处,都有 PE⊥AF; (3)当 BE 为何值时,PA 与平面 PDE 所成角的大小为 45°??【解 析方法代码 108001095】 解析: (1)当点 E 为 BC 的中点时,EF 与平面 PAC 平行. ∵在△PBC 中,E、F 分别为 BC、PB 的中点,∴EF∥PC. 又 EF?平面 PAC,而 PC? 平面 PAC, ∴EF∥平面 PAC. (2)证明:∵PA⊥平面 ABCD,BE? 平面 ABCD, ∴EB⊥PA.又 EB⊥AB,AB∩AP=A, AB,AP? 平面 PAB, ∴EB⊥平面 PAB, 又 AF? 平面 PAB,∴AF⊥BE. 又 PA=AB=1,点 F 是 PB 的中点,∴AF⊥PB. 又∵PB∩BE=B,PB、BE? 平面 PBE, ∴AF⊥平面 PBE.
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∵PE? 平面 PBE, ∴AF⊥PE.

(3)过 A 作 AG⊥DE 于 G,连 PG, 又∵DE⊥PA,则 DE⊥平面 PAG, 于是,平面 PAG⊥平面 PDE,它们的交线是 PG,过 A 作 AM⊥PG,垂足为 M,则 AM⊥平面 PDE,即 PA 在平面 PDE 内的射影是 PM,所以 PA 与平面 PDE 所成的角是∠APG=45°, ∴在 Rt△PAG 中,PA=AG=1, ∴DG= 2,设 BE=x, ∵△AGE≌△ABE,则 GE=x,CE= 3-x, 2 2 2 在 Rt△DCE 中,( 2+x) =( 3-x) +1 , 得 x= 3- 2,即 BE= 3- 2.

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