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2015年高一数学精品优秀课件:2.1.2《指数函数及其性质》(3)(新人教A版必修一)


2.1.2 指数函数及其性质(三)

复合函数的单调性:

u ? g ( x)
情况 1 情况 2 情况 3 情况 4 增 增 减 减

y ? f (u )
增 减 增 减

y ? f [ g ( x)]
增 减 减 增

例1.(教材P57例8)截止到1999年底,我国人口约13亿, 如果今后能将人口年平均增长率控制在1%,那么经过20年 后,我国人口数最多为多少(精确到亿)? 20 1.01 ? 1.22 ) (参考数据: 解:设今后人口年平均增长率为1%,经过年x后, 1999 年底我国人口约为13 亿; 我国人口数为y亿 . 经过1年 人口约为13(1+1%) 亿; 经过2年 人口约为13(1+1%)(1+1%)=13(1+1%)2 亿; 经过3年 …… 经过x年 人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3 亿;
人口约为13(1+1%)x 亿.
y ? 13 ? 1.0120? 15.86 ? 16.

当 x=20 时, 答: 经过20年后,我国人口数最多为16亿.

a ?a 例 :已知 f ( x) ? x (0 ? a ? 1) . 例4 2. ?x a ?a (1) 判断 f ( x) 的奇偶性;
x

?x

(2) 证明 f ( x) 是定义域内的减函数; (3) 求 f ( x) 的值域 .
解: (1) ? f ( x) 的定义域为 R ,且

f (? x ) ? a ? x ? a x ? ? a x ? a ? x ? ? f ( x) , a ?a a ?a
x x

?x

?x

? f ( x) 是奇函数.

( 2) f ( x) ? a x ? a ? x ? a 2 x ? 1 ? 1 ? 2 x2 . a ?a a ?1 a ?1 设 x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (1 ? 2 x2 ) ? (1 ? 2 x2 ) a ?1 a ?1
x

?x

2x

1

2

? 2?

(a 2 x1

a

?a . 2 x2 ? 1)(a ? 1)
2 x1 2 x2

? 0 ? a ? 1,? a x 为减函数 .

?当 x1 ? x2 时,a 2 x1 ? a 2 x2 ? 0 ,
a
2 x1

?1 ? 0 , a

2 x2

?1 ? 0 ,

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 )
? f ( x) 是定义域 R内的减函数.

1 ? y a ? 1 2x , 得a ? . (3) 令 y ? f ( x) , 由 y ? 2 x 1? y a ?1
2x

?a

2x

1? y ? 0 , ? 1 ? y ? 0 ? ?1 ? y ? 1 .

? f ( x) 的值域为(?1 , 1) .
法2 由 f ( x) ? 1 ? 2 , a2x ?1

得 ?1 ? f ( x) ? 1 .

? f ( x) 的值域为(?1 , 1) .

例3.已知 M ? { x | 1 ? 4 ? 3 ? 2 ? 3 ? 7} ,
x x

x x 1 1 y ? ( ) ? ( ) ? 1 , x ? M 时值域及单调区间. 求 4 2 解: 1 ? 4x ? 3 ? 2x ? 3 ? 7 , x 2 x x x x ? (2 ) ? 1)(2 ? 3 ? 2? ? 2)2 ??00 ? 3?1 0 ? ?4 ? 3 ? 2 ? 2 ?? x 2 ?? x x x x ? 3 ? 2? ? 4)4??00 ?4 3? 0 7 ? ? ?(2 )? 1)(2 ?4 ? 3 ? 2 ? x x x x ? 0 ?? 21 或 ? 12或? 22 ? 2 ?2 x x ?? ? 0 ? 2 ? 1 或 2 ? 2 ?4 xx 01 ?? 22 ?? 44 ? ??

? x ? 0 或1? x ? 2
? M ? { x | x ? 0 或 1 ? x ? 2} .

1 ) x ? 1 ]2 ? 3 , x 2 x 1 1 x x 1 1 ? [( ? [( ) ] ? ( ) ? 1 又y ? ( ) ?( ) ?1 2 2 4 2 2 4 2 x ? M ? { x | x ? 0 或 1 ? x ? 2} ? ( 1 )x ? 1 或 1 ? ( 1 )x ? 1 . 4 2 2 2 2 3 1 1 1 x 1 令 ( ) ? t , 则 y ? (t ? ) ? , t ? [1 , ? ?) 或 t ? [ , ]. 2 4 4 2 2 3 ? y ? 13 }, x x 1 1 或 { y | y ? 1 ? y ? ( ) ? ( ) ? 1 值域是 4 16 4 2 减区间是 ( ?? , 0 ] , 增区间是 [ 1 , 2] .

x ?x a (a ? a ) (a ? 0且a ? 1) 例4.已知 f ( x) ? 2 a ?2 是实数集R上的增函数,求实数a的取值范围. 解:设 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x2 , 则 x1 ? x1 x2 ? x2 a a (a ? a ) ? 2 (a ? a ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 a ?2 a ?2 ? x1 ? x2 1 ? 2 a [(a x1 ? a x2 ) ? (a1 ? a )] ? )] x1 x2 a ?2 a a 1 ) ? 2 a (a x1 ? a x2 )(1 ? x1 a ?2 a ? x2 ∵ f(x)是实数集R上的增函数,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0.

a (a x1 ? a x2 )(1 ? 1 ) ? 0? a (a x1 ? a x2 ) ? 0 . 即 2 x1 ? x2 2 a ?2 a ?2 a

a (a x1 ? a x2 ) ? 0 2 a ?2 x1 x2 x1 x2 x ? x , a ? a , 由 1 a ? a ?0, 得 即 ①当 a>1时, 2 2 a ? a ?2?0 ?a? 2 .? a? 2 . ? 2 ?0. a ?2 x1 x2 x1 x2 x ? x , a ? a , 由 a ? a ?0, 得 即 ②当 0<a<1时, 1 2
2 a ? 2 ? 0 . ? a ? 2 ? 0 ? 0 ? a ? 2 .? 0 ? a ? 1 . a ?2 综上所述:实数a的取值范围为 (0 , 1) ? ( 2 , ? ?).

课后作业
1.教辅第41页~46页
2.教辅练习册第18页~20页 2.1.2(三)

3.教辅活页《第二章第一单元自主检测题》


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