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24也习贝特朗概率悖论


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数学通报

2014年

第53卷

第9期

也习贝特朗概率悖论再研几何概率模型
黄字瀚
(浙江省杭州市人民职业学校310003)

褚人统
(浙江省天台中学317200)

贝特朗概率悖论在数学史上是一个享有盛名 的数学悖论.深入研究它,能使我们更好地认识、 把握、理解几何概率模型下基本事件、均匀分布、 等可能性等概念.


这条直径是随机取的,那当且仅当弦与直径的垂

足与圆心的距离小于i1时,其长才大于万,因

贝特朗概率悖论及流行的几种分析方法 贝特朗概率悖论:在半径为1的圆上随机地

此,所求概率为专.(见图2)




取一条弦,问所取的弦其长超过圆内接等边三角 形边长的概率是多少? 这是一个几何概率模型下的概率问题,基于 对术语“随机地”含义的不同理解,却存在多种不 同答案,主要流行有三种方法. 解法1 因每一弦交圆周于两点,不失一般

\,’

.9

『、、、

卜\


丁、、



C ≮……。 L..?:{

沁 2/
—/
图2

性,先固定一点于圆周上,以此点为顶点作一等 边三角形,显然只有落入此三角形内的弦才满足 要求,这种弦的另一端所过的弧长为整个圆周的



在这种解法中,随机的取弦被理解成了首先 随机的作直径MN,后作直径MN的垂线,相应 的会很自然的想到垂足在直径MN上随机的产 生(图形的测度是线段长).如果设垂足到圆心的 距离为d,则随机变量d肯定在0到1内均匀分

÷,故所求概率等于÷.(见图1)
0 0



布.也就是说在解法2中“随机的取弦”被理解成 了随机变量d的均匀分布. 解法3 每一弦都有唯一的中点,弦被其中



点唯一确定,当且仅当其中点位于半径为÷的与 原圆是同心圆上时,弦长才大于√3,此时小圆面
图1
1 1

这种解法实质上是将AB的弧长看作是在0 到2 7c内均匀分布的随机变量.而AB弧长的均匀 分布是由“在圆内随机的取弦”这一事件必然导致 的.也就是说AB弧长的均匀分布是解法一对“随 机的取弦”这句话的解释. 解法2弦长只跟它与圆心的距离有关,而 与方向无关,因此可以假定它垂直于某一直径,

积为大圆面积的÷,故所求概率等于÷.(见图3)


/7,,。
,,

r鬣 狲、 L:一一鬻 霞..』:j
< 7
图3

、、、

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在这种解法中,“随机地”取弦被理解成了随 机的在圆0内寻找弦AB的中点C.因为本质上 弦和弦在圆内的中点是构成一一对应的(圆心除 外),所以只要中点在圆内随机的生成,那么弦也 会在圆内随机的生成.这样可以理解成弦的中点 C(x,y)是在圆0内均匀分布的,也就是说C(x, y)形成了二维均匀(图形的测度是面积)分布的 随机变量. 2综合分析 从上面的解法我们可以看到贝特朗概率悖论 的“悖”主要“悖”在“在圆内随机的取一弦”这个条 件上.“在圆内随机的取一弦”和“在盒子里随机的 取一个球”是不一样的,原因在于后者的样本空间 是确定的,而前者的样本空间取决于取弦的方式, 而不一样的随机事件和样本空间自然会得到不同 的结果. 这个问题与蒲丰投针问题也不同,蒲丰问题 由于所有平行线的间隔都相等,所以实际上针与 平行线的相对位置所构成的样本空间也是唯一确 定的,故答案也是唯一的.而以上谈到的三种方 法,单就各自的角度来看,各自的样本空间都是不 一样的,所以在每一种假设之下推导出的结果也 都是正确的.但是如果从其中的一种解法的视角 来看其他的解法,那么肯定会认为其他的解法是 不对的. 我们可以假设三种解法中出现的均匀分布的 随机变量分别为U、V、W,这个“均匀分布”都是 基于各自对“随机的取一弦”的不同理解得到.可 是这三个随机变量之间却并不孤立,任何两个随 机变量之间都存在着确定的函数关系,并且如果 把其中的一个随机变量假设成为均匀分布,另外 的两个就不是均匀分布了.这就是争议的根源.在 下文中将对这一问题展开讨论. 如果将悖论的原题稍作修改:在半径为1的 圆周上随机的任取两点作一条弦,问:其长超过

者是等价的.这一命题是否正确,请看下面的 分析. 3几何概率模型和随机变量均匀分布 首先,来谈谈几何概型和均匀分布的概念.若 将随机试验解释成向一区域Q随机投点,则点M 落人Q的某一部分A的概率可用公式表示成:

P(A)一舍篙裂薏.在这个公式里,向Q“随机的”
投点M,意指点M落入Q内任一处都是“等可能
的”.从这个角度来说,几何概率模型,仅仅是将古 典概率模型(有限样本空间)的“等可能性”推广到 了无限样本空间的场合.从一维随机变量的角度 来讲,如果随机变量满足均匀分布,即X的分布 函数可以写成F(z)一P(x<z)一}_兰,x的概

率密度函数为fx(z)一F7(z)一产L_,为常数,那
么随机变量X必然可以用几何概率模型来解释. 反过来,如果随机变量能够用几何概率模型来解 释,那么它是不是一定是均匀分布呢?让我们从 对悖论的分析中来寻找答案. 如图4所示:在半 径为1的单位圆上, M、N是圆周上任意两 点.设oM和z轴正 方向所成的正角为口。, 0N和z轴正方向所 成的正角为口。.因为 M和N都是在圆周上 随机等可能选取的,故
图4
J,

K砩
\刀 /

口。和口:都属于[o,2 7c],且0,和口。相互独立,概率

密度都为丁1,所以二维随机变量(臼。,口:)的联合分
布是边长为2丌的正方形上的二维均匀分布,概率

密度为去.再设二维随机变量(口。,岛)的函数口一
0:一口。I,显然0也属于[o,27c].则弦长MN一

圆内接等边三角形的边长√3的概率等于多少?这
样的话,问题的答案就唯一了.由于此时问题涉及 到的随机变量本质上与解法一一样,所以答案也

2sin导,而根据题意MN>万,所以,sin导>譬,

是告.
但是还有一个问题需要提出来,似乎随机变 量满足几何概率模型,和随机变量均匀分布这两

再结合导∈(o,托]得号<号<擎.如果认为口是
符合几何概率模型的,则马上可以求出

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由圆周上随机取定的两点确定的前提之下,解法








2n)3

1一.

2中涉及到的随机变量一定不是均匀分布.如图 5,再设弦MN的中点为Q,QO的长度为d,则随 机变量d为口的函数:
。1

这样似乎问题已经非常简单地解决了.但我 们来看一下随机变量0究竟是不是均匀分布.设 随机变量目的分布函数为F(z),z∈Eo,27c],如果 口满足均匀分布则F(z)必为一次函数,目的概率 密度必为常数.根据分布函数的定义,F(z)一 P(口<z)一P(I臼2一目1 l<z)一P(一z<02—01< z).由于二维随机变量(口,,0。)的联合分布是边长 为2兀的正方形上的二维均匀分布.如图5所示,

f。。。要,(o<疗≤丌)


d一√

I—c。s导,(丌<口≤27c)
2丁c

可由线性规划计算面积比求得:F(z)一兰一—乏,
很显然0不是Eo,27c]上的均匀分布. 既然如此,那么刚才将0看作均匀分布时得 到的结果应该是错误的.但是现在我们利用伊的 分布函数来求概率:





磊’I-
/2∥
图5

P(号<导<擎)一P(孚<口<警) 一F(警)一F(孚)一号一可5一了1.
这显然不是一个巧合,实际上相互独立均匀 分布的二维随机变量(0,,0。)的函数0一

再设G(y),Y∈Eo,1]为随机变量d的分布函 数,则:




/y








G(y)一P(d<y)一P



l易一巩I的分布是辛普森分布(也叫三角分布)的
一个特例,这个分布本身不是均匀分布,但由于在 这个实际问题当中0的取值范围一定是关于兀对 称的,所以导致其区间长度在Eo,27r]的区间长度 中占的比例正好与多边形的面积在正方形面积中 所占的比例保持一致,所以在这个实际问题当中 口虽然不是均匀分布,但却仍然可以用几何概率 模型来解释. 证明如下:设OE(n,b)∈[,2 7c].由于a、b的 中点必为7r,故a+6—2n, P(口<口<6)一F(b)一F(口)
—P(2arccos


/\

口一2臼一2

/r

旦2

旦2

一。<八一r朋一1>≮。

,,,

y<口<丌)+P(7【<口<2arccos(--y)).

由于0的分布函数满足F(z)一言一杀,则:
P(2arccos了<口<7c)一F(7()--F(2arccos
y)

一一3一_arccosZy一;皇!!!Q!型 4
丁c2 丁c



P(n(0(2arccos(一y))
一F(2arccos(--y))一F(7c)

一!垒鉴!旦!!二型!一璺!!!竺!!!二型!一旦
7c 丌2

4’

考虑到arccos(--y)一7r—arccos G(y)一P(2arccosy<口<丁c)

Y,

一鱼一旦一/旦一尘\ 4丁c2 \7c 4丁c2/
7c

一—b--—a b一生丝\一—b--—a
0的测度 样本空间的测度‘ 从上面的分析可以看出,在实际问题中,“随 机变量满足均匀分布”一定可以做到“随机变量可 以用几何概率模型来解释”. 接下来利用0的分布函数来说明,在假设弦

:1———2arcc—os


+P(7[<口<2arccos(--y))



再设^(y)一G7(y)为随机变量d的概率密 度,则:

讹,一(?一华)7一要。万1予.
\ 7【



7c

/1~2

这样很明显可以看到d不是一个均匀分布,

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d在靠近0的位置概率密度趋于兰,而到了靠近1


解了均匀分布和等可能性,均匀分布是一个区域 内的性质,并不是一个点上的性质. 总结一下本文观点.贝特朗概率悖论的“悖” 是悖在“在圆内随机地取一条弦”这个表述的不确 定性.而悖论的产生是与当时概率论公理化体系 尚未成熟紧密相关的.

的位置,概率密度趋于无穷大. 对于解法三中所涉及到的弦中点所对应的随 机变量,可以利用极坐标来讨论.当然,情况会比 较复杂.但是肯定也可以证明,在假设弦是由圆周 上随机生成的两点确定的前提之下,弦的中点所 对应的随机变量的分布也不是均匀的. 有文章认为,“以圆心为中点的弦有无数条” 就足以否定解法三中认为的均匀分布.其实不然. 实际上如果中点在圆内随机生成的话,则取到圆 心的概率为0.持此种观点的人实际上错误地理

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当时参与教科书编写的很多学者学贯中西, 因此大多教科书中的分支概述写得很精彩,就像 上面列举的代数学概述,角度多样、观点丰富.如 今读来,仍十分有益. 从直观、趣味到高度的严谨、深刻,从鲜明的 时代性到传承百年的经典选材,或许从民国数学 教科书的这些特点中,我们能对为何那个时代的 数学教育培养出许多具有世界影响力的杰出数学 人才有所了解.而这些,或许也对我们现今的数学 教科书编写,乃至数学教育研究有一定的启发和 借鉴作用.

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12.张鹏飞.新中学教科书初级混合法混合算学六册[M].上海:
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14.魏庚人.中国数学教育史[M].北京:人民教育出版社,1987


5.课程教材研究所.20世纪中国中小学课程标准教学大纲汇编

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