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高二周测题(不等式和直线的方程)


港北区贵糖学校高二数学周测 2012.10.25
学号
命题人:蒋敏强 审题人:黄幼存 覃俊

姓名

得分

一.选择题。 (每题 5 分,共 60 分,每个小题只有一个正确的选项) 1. (2004 北京文、理)已知 a、b、c 满足 c b a c? ,那么下列选项中一定成立 ? ? ,且 a 0 的是( ) 2 2 A. a ? c B. cb a ? D. a a c ? c ?) 0 ( b a b a ( ? ) 0 C. c ? b 2.若 x ? 1 ,则 f ( x ) ? x ?
9x

x ?1 A. 9 B. 18 C. 16 D. 6 x?2 ≤ 0 的解集是( 3. (2007 湖南理)不等式 ) x ?1 A. ( ? ? , 1) ? ( ? 1,] B. [ ? 1, ] C. ( ? ? , 1) ? [2, ? ) 2 ? 2 ? ?

的最小值是(



D. ( ? 1,] 2

4.(2008 天津理)已知函数 f ? x ? ? ? 集是( (A) (C) )

?? x ? 1 ?x ?1

x ? 0 x ? 0

,则不等式 x ? ? x ? 1 ? f ? x ? 1 ? ? 1 的解

?x | ? 1 ? x ? 2 ? 1? ?x | x ? 2 ? 1?
2

(B) (D)

?x | x

? 1?
2 ?1 ? x ?
? ? 1? ?

?x | ?

2 ?1

?

5. (2006 江西文、理)若不等式 x ? a x ? 1 ≥ 0 对一切 x ? ? 0, ? 成立,则 a 的最小值为 2 ( ) A. 0 6.若不等式 B. ? 2
x ? 2 ? x ?1 ? a

C. ?

5 2

D. ? 3 ) )

对 x ? R 恒成立,则实数 a 的取值范围是(

A. (3, ? ? ) B. C. D. 7.直线过点 (-3,-2)且在两坐标轴上的截距相等,则这直线方程为( (A)2x-3y=0; (B)x+y+5=0; (C)2x-3y=0 或 x+y+5=0 (D)x+y+5 或 x-y+5=0

? 3, ? ? ?

? ?? , 3?

? ?? , 3?

8.(安徽高考)直线过点(-1,2) ,且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则直线的方程是( A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=0 9.设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 ? ,切 sin ? ? cos ? ? 0 则 a,b 满足 A. a+b=1 B. a-b=1 C. a+b=0 D. a-b=0 10.(上海文,15)已知直线 行,则 k 得值是( ) 1或3 B.1 或 5 ( )



l1 : ( k ? 3) x ? (4 ? k ) y ? 1 ? 0, 与 l 2 : 2( k ? 3) x ? 2 y ? 3 ? 0,



C.3 或 5

D.1 或 2

11.已知 A(1,2) 、B(-1,4) 、C(5,2) ,则Δ ABC 的边 AB 上的中线所在的直线方程为 ( ) (A)x+5y-15=0 (B)x=3 (C) x-y+1=0 (D)y-3=0

12. 如图 1,直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1、k2、k3,则必有( ) A. k1<k3<k2 B. k3<k1<k2 C. k1<k2<k3 D. k3<k2<k1

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

二.填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.(2008 江西文)不等式 2 14. (2004 重庆文)已知
5 x
x ?2 x?4
2

?

1 2

的解集为

_________



?

3 y

? 2, ( x ? 0, y ? 0 ) ,则 x y 的最小值是_____________

15.与两直线 3 x ? 2 y ? 6 ? 0 和 2 x ? 3 y ? 7 ? 0 夹角相等,且过点 ( 2, 0 ) 的直线方程为:___ 16.直线 ( m ? 3) x ? ( m ? 1) y ? 5 ? 0 和直线 ( m ? 1) x ? (3 m ? 9) y ? 1 ? 0 垂直,则 m ? ___ 三.解答题: (共 20 分)解答或证明过程应写出必要的文字说明。 17.(8 分)已知直线 l 经过点 (1, 2) ,并且到点 ( 2, 3) 和 (0, ? 5) 的距离相等,求此直线 l 的方 程。

18.(12 分)若 a、b、c 是不全相等的正数,求证:

19.(选做题) (12 分)过点 P (2,1) 的直线 l ,与 x 轴, y 轴正半轴分别相交于 A , B 两点。 (1)求三角形 ? A O B 面积的最小值及此时直线 l 的方程; (2)求 P A ? P B 的最小值及此时直线 l 的方程。 (解答题答案可写到背面)

高二数学周测 2012.10.25 答案:
一选择题: 题号 1 2 3 D 4 C 5 C 6 D 7 C 8 A 9 D 10 C 11 A 12 A

答案 A C 二.填空题: 13. ? ? 3,1 ? 14. 15

15. x ? y ? 2 ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 16.

? 3 或1

三.解答题 17. 解: 当直线 l 的斜率不存在时, 可得直线 l 方程为:x ? 1 此时直线 l 到点 ( 2, 3) 和 (0, ? 5) 的距离相等,符合题意; 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为: y ? 2 ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? 2 ? k ? 0 由直线 l 到点 ( 2, 3) 和 (0, ? 5) 的距离相等,得
2k ? 3 ? 2 ? k k ?1
2

k ?1 则有直线 l 的方程: 4 x ? y ? 2 ? 0
2

?

0?5?2?k

,解之得 k ? 4

综上所述直线 l 的方程为: x ? 1 或 4 x ? y ? 2 ? 0 18.

证明二:(综合法)∵a,b,c∈R+,

abc 成立.上式两边同取常用对数,得

18.解:法 一 (1)设直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) ,令 y ? 0 得 x ?
y ? 1 ? 2 k ,所以 A , B 两点的坐标分别为 (

2k ? 1 k

,令 x ? 0 得

2k ? 1 k

, 0 ) , (0,1 ? 2 k )

因为 A , B 两点是与 x 轴, y 轴正半轴的交点,所以
? k ?0 ? ? 2k ? 1 ?0 ? ? k ?1 ? 2k ? 0 ?
S ?AOB ? 1 2

所以 k ? 0

OA OB ?

1 2k ? 1 1 1 ? ? (1 ? 2 k ) ? ( 4 ? ? 4 k ) 2 k 2 k

由?

1 k

? 0 和 ?4k ? 0 得 ? 1 k

1 k

? 4k ? 2 (?
1 2

1 k

)( ? 4 k ) ? 4

当且仅当 ?

? ?4k 即 k ? ? 1 2

时?

1 k

? 4 k 取得最小值 4 ,

所以 S ? A O B 的最小值为

(4 ? 4) ? 4 1 2 ( x ? 2) 即 x ? 2 y ? 4 ? 0
2 2

此时直线 l 的方程为 y ? 1 ? ? (2)因为 P A ?
PB ?
( 2k ? 1 k

? 2 ) ? (0 ? 1) ?
2

1 k
2

?1

(0 ? 2 ) ? (1 ? 2 k ? 1) ?
2

4 ? 4k
2

2

所以 P A ? P B ?
? 2 2?2 k ?
2

1 k
1 k
2

2

? 1? 4 ? 4k

?

4 (1 ? k )(
2

1 k
2

? 1) ? 2 2 ? k ?
2

1 k
2

? 4

当且仅当 k ?
2

即 k ? ? 1 时 P A ? P B 取得最小值 4 ,此时直线 l 的方程为 2 k y ? 1 ? ? 1( x ? 2) 即 x ? y ? 3 ? 0

1

法二 提示可用三角函数来解决


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