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2015-2016学年高中数学 2.3.1平面向量基本定理课件 新人教A版必修4


第二章
平面向量

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示

2.3.1 预习篇

平面向量基本定理 提高篇

课堂篇

巩固篇

课时作业

学习目标
1.了解平面向量基本定理产生的过程和基底的含义, 理解平面向量基

本定理. 2.理解两个向量夹角的定义,两向量垂直的定义. 3.掌握平面向量基本定理并能熟练应用.

重点难点

重点:平面向量基本定理与向量夹角; 难点:平面向量基本定理的应用.

预习篇01
新知导学

平面向量基本定理

(1)定理:如果e1,e2是同一平面内的两个 不共线 向 量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对 实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2. (2)我们把不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内 所有向量的一组 基底.

1.基底有什么特点?平面内基底唯一吗? 答:基底中的两向量e1,e2不共线,这是基底的最大特 点.平面内的基底并不是唯一的,任意不共线的两个向量 都可以作为基底. 2.平面向量基本定理能否进行推广呢? 答:可以推广.这个定理可推广为:平面内任意三个 不共线的向量,其中任何一个向量都可表示为其余两个向 量的线性组合且形式唯一.

3.如何判断两个向量能不能作为基底? 答:两个向量能不能作为基底,关键是看它们是否共 线.在同一平面内,如果两个向量不共线,就可以作为这 个平面内的一组基底.

夹角

→ → 非零 (1)已知两个 向量a和b,作 OA =a, OB =b, 则∠AOB=θ(0° ≤θ≤180° )叫做向量a与b的 夹角. (2)向量夹角θ的范围是0° ≤θ≤180° ;当a与b同向 时,夹角θ=0° ;当a与b反向时,夹角θ=180° . (3)如果向量a与b的夹角是90° ,我们说a与b垂直, 记作a⊥b.

4.零向量与向量a的夹角是多少呢? 答:向量的夹角是针对非零向量定义的,零向量与向 量a的夹角没有意义. → → 5.等边三角形ABC中,向量AB与BC的夹角是60° 吗? 答:不是,求两个向量的夹角时,两个向量的起点必 → → 须相同,所以等边三角形ABC中,向量 AB 与 BC 的夹角是 120° 而不是60° .

1.平面向量基本定理的作用 (1)平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基 础上的向量分解原理,同时又是下一节学习向量坐标表示 的理论依据,是一个承前启后的重要知识点.

(2)根据平面向量基本定理,任何一组基底都可以表示 任意向量.用基底表示向量,实质上主要是利用三角形法 则或平行四边形法则,进行向量的加减法运算.要注意适 当选择向量所在的三角形或平行四边形,利用已知向量表 示未知向量,或找到已知向量与未知向量的关系,用方程 的观点求出未知向量.

2.两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义,实质是从同一起点出发的 两个非零向量构成的不大于平角的角,结合平面几何知识 加以解决. (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向 量起点重合,作出两个向量的夹角,按照“一作二证三 算”的步骤求出.

课堂篇02
合作探究

判断向量的基底

【例1】

如果e1、e2是平面α内两个不共线的向 )

量,那么下列说法中不正确的是(

①λe1+μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向 量; ②对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对 (λ,μ)有无穷多个;

③若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有 一个实数λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2); ④若实数λ、μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=0. A.①② C.③④ 【分析】 念. B.②③ D.② 考查平面向量基本定理及基底等基本概

【解析】 的.

由平面向量基本定理可知,①④是正确

对于②,由平面向量基本定理可知,一旦一个平面的 基底确定,那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一 的. 对于③,当两向量的系数均为零,即λ1=λ2=μ1=μ2=0 时,这样的λ有无数个,故选B.
【答案】 B

通法提炼 考查两个向量是否能构成基底,主要看两向量是否不 共线.此外,一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一 个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.

设a、b不共线,c=2a-b,d=3a-2b,试判断c、d能 否作为基底.

解:要判断c、d能否作为基底,只需看c、d是否共 线,若共线,则不能作为基底,否则可以作为基底.设存 在实数λ使得c=λd,则2a-b=λ(3a-2b),即(2-3λ)a+(2λ -1)b=0,由于a、b不共线,从而2-3λ=2λ-1=0,这样 的λ是不存在的,从而c、d不共线,即c、d能作为基底.

平面向量基本定理的应用

→ → 【例2】 如图所示,在△OAB中, OA =a, OB = → 1 → 1 b,M、N分别是边OA、OB上的点,且 OM = 3 a, ON = 2 → → → b,设AN与BM交于点P,用向量a、b表示OP.

【分析】 而确定λ1,λ2.

利用“表示方法的唯一性”确定参数,进

【解】

→ → → → → → ∵OP=OM+MP,OP=ON+NP,

→ → → → 设MP=mMB,NP=nNA, 1 1 → → → 1 则 OP = OM +mMB = 3 a+m(b- 3 a)= 3 (1-m)a+mb, → → → 1 OP=ON+nNA=2(1-n)b+na. ?1 ?3?1-m?=n, ∵a与b不共线,∴? ?1?1-n?=m, ?2 1 ∴n=5.

2 → 1 ∴OP= a+ b. 5 5

通法提炼 将两个不共线的向量作为基底表示其他向量, 基本方法 有两种: 一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断转 化,直至用基底表示为止;另一种是列向量方程组,利用基 底表示向量的唯一性求解.

→ 1→ 设 M、N、P 是△ABC 三边上的点,它们使BM= BC, 3 → 1 → → 1→ → → → CN=3CA,AP=3AB,若AB=a,AC=b,试用 a、b 将MN、 → → NP、PM表示出来.

解:

如图, → → → MN=CN-CM 1→ 2→ =-3AC-3CB

1→ 2 → → =-3AC-3(AB-AC) 1→ 2→ 1 2 =3AC-3AB=3b-3a. 2 → 1 同理可得NP=3a-3b, 1 → → → → 1 PM=-MP=-(MN+NP)=3a+3b.

向量的夹角问题

【例 3】 已知|a|=|b|=2,且 a 与 b 的夹角为 60° , 设 a+b 与 a 的夹角为 α , a-b 与 a 的夹角是 β.求 α+β.

【解】

→ → 如图,作OA=a,OB=b, 且∠AOB=60° , 以OA、OB为邻边作?OACB, → → → → 则OC=a+b,BA=OA-OB

=a-b, → → BC=OA=a. 因为|a|=|b|=2, 所以△OAB为正三角形, 所以∠OAB=60° =∠ABC, 即a-b与a的夹角β=60° . 因为|a|=|b|,

所以平行四边形OACB为菱形, 所以OC⊥AB. 所以∠COA=90° -60° =30° , 即a+b与a的夹角α=30° , ∴α+β=90° .

通法提炼 求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合,作两个向量的夹角,按照“一作二证三算”的步 骤求出.

已知两非零向量a与b的夹角为80° ,试求下列向量的夹 角: (1)a与-b.(2)2a与3b.

解:(1)由向量夹角的定义,如图①,向量a与-b的夹 角为100° . (2)如图②,向量2a与3b的夹角为80° .

提高篇03
自我超越

——多维探究系列—— 平面向量基本定理的高考动向 高考对平面向量基本定理一般不单独考查,常将其作 为工具与后面所学的坐标表示、数量积的运算相结合命 题,题目难度不大,解题的关键是向量运算的平行四边形 法则和三角形法则.

【例1】

(2013· 江苏卷)设D,E分别是△ABC的边

1 2 → → → AB,BC上的点,AD= 2 AB,BE= 3 BC.若 DE =λ1 AB +λ2 AC (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.

【解析】

→ → → 1→ 2→ DE=DB+BE=2AB+3BC

1→ 2 → → =2AB+3(BA+AC) 1→ 2→ =- AB+ AC, 6 3 1 2 1 所以λ1=-6,λ2=3,故λ1+λ2=2.
【答案】 1 2

【例2】

如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一

→ → → 起.若AD=xAB+yAC,则x=________,y=________.

【思路分析】 可.

→ → → 结合图形特点用 AB , AC 表示出 AD 即

【解析】

如图,过点D作DF⊥AB,交AB的延长线于

点F,设AB=AC=1,则BC=DE= 2, 6 ∵∠DEB=60° ,∴BD= , 2 又∠DBF=180° -45° -90° =45° , 6 2 3 ∴DF=BF= 2 × 2 = 2 , 3 → 3→ → → → 故AD=AF+FD=(1+ 2 )AB+ 2 AC,

3 3 ∴x=1+ 2 ,y= 2 .
3 1+ 2 3 2

【答案】

→ → → → 已知| OA |=1,| OB |= 3 , OA ⊥ OB ,点C在线段AB → → → 上,且∠AOC=30° ,设 OC =mOA +nOB (m,n∈R),则 m 的值为( n 1 A. 3 3 C. 3 ) B.3 D. 3

→ → 解析:运用平面向量基本定理,如何用向量OA,OB表 → 示OC是解题的关键. → → → → ∵|OA|=1,|OB|= 3,OA⊥OB, 1 1 ∴△ABO为直角三角形,其中AC=4AB=2, → → → → 1→ ∴OC=OA+AC=OA+ AB 4 → 1 → → =OA+4(OB-OA)

3→ 1→ =4OA+4OB. 3 1 m ∴m=4,n=4,∴ n =3.故选B.
答案:B


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