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2014高考数学一轮复习 圆的方程


第 60 课
2 2

圆的方程


1.已知圆 C : x ? y ? 4 x ? 5 ? 0 ,点 P(3,1) 为弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是( A. 2 x ? y ? 4 ? 0 C. x ? 2 y ? 4 ? 0 【答案】B 【解析】圆心 C (2,0) 与 P 的连线必垂直于 AB , ∵

k PC ? B. x ? y ? 4 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0

1? 0 ? 1 ,∴ k AB ? ?1 . 3? 2

∴ AB 的方程是 y ? 1 ? ?( x ? 3) ,即 x ? y ? 4 ? 0 . 2. (2012 深圳二模) 在平面直角坐标系中, 落在一个圆内的曲线可以是( A. xy ? 1 C. 3 x ? 2 y ? 1 【答案】D 【解析】∵ 3 ? x ? 0 ,∴ 0 ? x ? 9 ,∵ 0 ? 3 ? ∴ sin 3 ? B. y ? ? )

?1,??x??为有理数 ?0,??x??为无理数
x

D. 2 y ? sin 3 ?

x ? 3,

x ? [0,1] ,∴ 0 ? y ?

1 , 2

∴ 2 y ? sin 3 ?

x 可落在圆 x 2 ? y 2 ? 100 内.

3. (2012 海淀一模)以抛物线 y 2 ? 4 x 上的点 ( x0 , 4) 为圆心,并过此抛物线焦点的圆的方程 是
2


2

【答案】 ( x - 4) + ( y - 4) = 25 【解析】抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 (1, 0) , ∵点 ( x0 , 4) 在抛物线 y 2 ? 4 x 上, ∴ 42 ? 4x0 ,∴ x0 ? 4 , ∴r ?

(4 ? 1) 2 ? 42 ? 5 ,
2 2

∴所求的圆方程为 ( x - 4) + ( y - 4) = 25 .

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4. (2012 肇庆一模) 如果实数 x, y 满足等式 ( x ? 2) ? y ? 1 ,那么
2 2

y?3 的取值范围是 x ?1



【答案】 [ , ??) 【解析】设 k ?

4 3

y ?3 ,即 kx ? y ? (k ? 3) ? 0 , x ?1

∴圆心 C (2,0) 到直线 kx ? y ? (k ? 3) ? 0 的距离

| 2k ? (k ? 3) | k 2 ?1


? r ? 1 ,解得 k ?

4 , 3

4 y?3 的取值范围是 [ , ??) . 3 x ?1

5.已知圆 C 同时满足下列三个条件:①与 y 轴相切;②在直线 y ? x 上截得的弦长为 2 7 ; ③圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上,求圆 C 的方程. 【解析】∵ 圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上,∴ 设圆心 C (3a, a) , 又 ∵ 圆 C 与 y 轴相切,∴ 圆的半径 r ? 3 | a | , ∵ 圆心 C 到直线 y ? x 的距离 d ?

| 3a ? a | , 2

∴ d ? 7 ? r ,即 2a ? 7 ? 9a ,解得 a ? 1 或 a ? ?1 .
2 2 2 2

∴所求的圆的方程是 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9 或 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9 .
2 2 2 2

6.在平面直角坐标系 xOy 中,设二次函数 f ( x) ? x ? 2 x ? b ( x ? R) 的图象与两坐标轴有
2

三个交点,经过这三个交点的圆记为 C .求: (1)求实数 b 的取值范围; (2)求圆 C 的方程; (3)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论. 【解析】 (1)∵ f ( x) 与坐标轴有三个交点, ∴必是与 y 轴有一个、与 x 轴有二个. 令 x ? 0 ,得抛物线与 y 轴的交点 (0, b)(b ? 0) . 令 f ? x ? ? x ? 2 x ? b ? 0 ,则它有二个不同的解,
2

∴ ? ? 4 ? 4b ? 0 ,解得 b ? 1 .
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∴ b 的取值范围是 {b | b ? 1 且 b ? 0} . (2)设圆的方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,
2
2

令 y ? 0 得 x ? Dx ? F ? 0 ,其解是圆与 x 轴交点的横坐标.
2

∴ x ? Dx ? F ? x ? 2 x ? b ? 0 ,∴ D ? 2, F ? b .
2 2

令 x ? 0 得 y ? Ey ? F ? 0 ,∴ 此方程有一个根为 b ,∴ E ? ?1 ? b .
2

∴ 所求圆的方程是 x ? y ? 2 x ? (b ? 1) y ? b ? 0 .
2 2

(3)圆 C 必过定点 (0,1) 和 (?2,1) . 当 y ? 1时, x ? 2 x ? 0 ,解得 x ? 0, x ? ?2
2

∴ 圆 C 过定点 (0,1) 和 (?2,1) .

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