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简单曲线的极坐标方程课件(选修4-4)


1.3简单曲线的极坐标方程

曲线的极坐标方程
一、定义:如果曲线C上的点与方程f(?,?)=0
有如下关系 (1)曲线C上任一点的坐标(所有坐标中至少 有一个)符合方程f(?,?)=0 ; (2)方程f(?,?)=0的所有解为坐标的点都在曲 线C上。 则曲线C的方程是f(?,?)=0 。

求曲线的极坐标方程的步骤


与直角坐标系里的情况一样

?

①建系 (适当的极坐标系)
②设点 (设M( ?,?)为要求方程的曲线上任意一点)

③列等式(构造⊿,利用三角形边角关系的定理列关于M的等式)
④化简 (此方程f(?,?)=0即为曲线的方程)

探 究
如图,半径为a的圆的圆心坐标为C (a, 0)(a ? 0) 你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标 ( ? ,? )满足的条件吗?
所以,? ? 2a cos ?就是 圆心在C (a,0)(a ? 0), 半径 为a的圆的极坐标方程。O
C(a,0)
A

M(?,?)

x

例1、已知圆O的半径为r,建立怎样的极坐 标系,可以使圆的极坐标方程简单?
M

?
O

?
r x

思考:已知一个圆的方程是?=5 3 cos ? ? 5sin ? 求圆心坐标和半径。 解:原式可化为
3 1 ? ?=10(cos ? ? ? sin ? ? ) ? 10 cos(? ? ) 2 2 6 所以圆心为(5, ? ), 半径为5 6

?

((圆心为(a, ? )(a ? 0)半径为a 圆的极坐标方程为?=2a cos(? ? ? ) 此圆过极点O))

练习
以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为 半径的圆的方程是 C

? ?? A.? ? 2cos ? ? ? ? 4? ? C.? ? 2cos ?? ? 1?

? ?? B.? ? 2sin ? ? ? ? 4? ? D.? ? 2sin ?? ? 1?

新知一: 圆的极坐标方程

( 1 ) 圆 心 在 极 点 , 半 径 为 a ;

( 2 ) 圆 心 在 C ( a , 0 ) , 半 径 为 a ;

?=a

( 3 ) 圆 心 在 ( a , ? / 2 ) , 半 径 为 a ;
(4)圆心在C(?0,?0),半径为r。极坐标系中的一般方程

?=2acos ? ?=2asin ?

?2+ ?0 2 -2 ? ?0 cos( ?- ?0)= r2

解:设P(ρ,θ)为圆周上任意一点,如下图所示,在 △OCP中,CP=r,OC=ρ1,OP=ρ. 根据余弦定理,得 CP2=OC2+OP2-2OC·OP·cos(θ-θ1), 即r2=ρ21+ρ2-2ρ1ρcos(θ-θ1). 也就是ρ2-2ρ1ρcos(θ-θ1)+(ρ21-r2)=0. 这就是圆在极坐标系中的一般方程.
变式1: 在极坐标平面上, 求圆心A(8, ), 半径为5的圆的方程. 3

?

1、极坐标方程? ? cos( ? ? )所表示的曲线是( D ) 4

?

A、双曲线

B、椭圆

C、抛物线

D、圆
?
2

2、曲线的极坐标方程?=4 sin ?表示的圆的 圆心坐标和半径是什么? 圆心坐标是(2,
), 半径是r=2

3、圆?=10 cos( ? ? )的圆心坐标是( C ) 3 ? 2? ? D、 , ) (5 (5 A、 ,0) B、 ,? ) (5 C、 , ) (5 3 3 3

?

新知二:
思考:已知一个圆的方程是?=5 3 cos ? ? 5sin ?
解:?=5 3 cos ? ? 5sin ? 两边同乘以? 得

如何转化成直角坐标的方程再求圆心坐标和半径。

? 2=5 3? cos ?-5? sin ?即化为直角坐标为
5 3 2 5 2 x ? y ? 5 3 x ? 5 y  即( x ? ) ? ( y ? ) ? 25 2 2 5 3 5 所以圆心为( , ? ), 半径是5 2 2
2 2

? 把极坐标方程? ? cos( ? ? )转化为直角坐标系下的方程 4 ? ?

解:?=cos? cos
2

4

? sin ? sin

4

2 2 ? ? ? cos? ? ? sin ?即 2 2 2 2 2 2 x ?y ? x? y?0 2 2 2 2 2 2 1 (x ? ) ? (y ? ) ? 4 4 4

1、曲线的极坐标方程 =4 sin ?化为直角坐标 ? 方程是什么?

x ? ( y ? 2) ? 4
2 2

2、写出圆心在点A(2, )处且过极点的圆的 2 极坐标方程,并把它化成直角坐标方程。 ? 解:?=4 cos(? ? ) ? 4sin ? 2 化为直角坐标系为? 2=4 ? sin ?
即x ? y ? 4 y   x ? ( y ? 2) ? 4
2 2 2 2

?

3、已知圆C1 : ? ? 2 cos ? ,圆C2 : ? 2 ? 2 3? sin ? ? 2 ? 0, 试判断两圆的位置关系。
解:将两圆都化为直角 坐标方程为 C1 : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1,圆心O1 (1,0)半径为 1 C2 : x 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? 1,圆心O2 (0, 3 )半径为 1 O1O2 ? 2所以两圆相外切。

4 4、把极坐标方程?= 化为直角坐标方程。 2- cos ?

解:方程可化为 ?-? cos? ? 4 2 即2 ?=4+x 两边平方得: 2=( x ? 4) 2 4? 4 x ? 4 y ? x ? 8 x ? 16
2 2 2

3x ? 8 x ? 4 y ? 16
2 2

引例 ? 例题1:求过极点,倾角为 4 的射线 的极坐标方程。 M 分析: 如图,所求的射线 ? 上任一点的极角都 ﹚ 4 o x 是? /4 ,其 极径可以取任意的非负数。故所求 直线的极坐标方程为 ? ? ? ( ? ? 0)
4

5? 1、求过极点,倾角为 的射线的极 5 4

? 2、求过极点,倾角为 的直线的极 4 5 ? 坐标方程。? ? 或? ? ? ? ? 0
4

坐标方程。 ? ?

? ( ? ? 0)

新知三 过极点的直线极坐标方程 ? ? ? ( ? ? 0)表示极角为?的一条射线。 ?=? ( ? ? R)表示极角为?的一条直线。

5 ? ? ( ? ? R) 或 ? ? ? ( ? ? R) 4 4

?

4

4

例题2、求过点A(a,0)(a>0),且垂直 于极轴的直线L的极坐标方程。 解:如图,设点 M ( ? ,? ) M ? 为直线L上除点A外的任 意一点,连接OM ﹚? o A x 在 Rt ?MOA 中有

OM cos ?MOA ? OA 即 ? cos ? ? a 可以验证,点A的坐标也满足上式。

求直线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图; 2、设点 M ( ? ,? ) 是直线上任意一点; 3、连接MO; 4、根据几何条件建立关于 ? ,? 的方 程,并化简; 5、检验并确认所得的方程即为所求。

例3:求过点A (a,?/2)(a>0),且平行于 极轴的直线L的极坐标方程。 解:如图,建立极坐标系, 设点 M ( ? , ? ) 为直线L上除点

A
o

A外的任意一点,连接OM
在 Rt ?MOA 中有

? ﹚?

M x

IOMI sin∠AMO=IOAI 即 ? sin ? =a 可以验证,点A的坐标也满足上式。

( 例 4 : 设点A的极坐标为 a , 0) 直线 l 过点A且与极轴所成的角为 ? ,求直 线l 的极坐标方程。 M ? 解:如图,设点 M ( ? ,? ) ? ? ﹚ 为直线 l 上异于的点 o A x 连接OM, ?MOA 中有 在
? a ? sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) 即

? sin(? ? ? ) ? a sin ?

显然A点也满 足上方程。

例5:设点P的极坐标为( ?1 ,?1 ) ,直线 l 过点P且 ? 与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方程。 l 解:如图,设点 M ( ? ,? )为直线上除点P外 的任意一点,连接OM,则 OM ? ? , ?xOM ? ? 由点P的极坐标知 OP ? ?1 ?xOP ? ?1 设直线L与极轴交于点A。则在?MOP 中 ?OMP ? ? ? ? , ?OPM ? ? ? (? ? ?1 ) M ? 由正弦定理得 OM ? OP ?1 P sin ?OPM sin ?OMP ?1 ? ? ? 即 ﹚?1 ﹚ sin[? ? (? ? ?1 )] sin(? ? ? ) o x A ? sin(? ? ? ) ? ?1 sin(? ? ?1 ) 显然点P的坐标也是上式的解。

小结:直线的几种极坐标方程 1、过极点 ?=? ( ? ? R) 2、过轴上某定点,且垂直于极轴 ? cos ? ? a
3、过A (a,?/2)(a>0),且平行于极轴 ? sin ? =a

4、过轴上某定点,且与极轴成一定的角度

? sin(? ? ? ) ? a sin ?
5、过轴外某定点,且与极轴成一定的角度

? sin(? ? ? ) ? ?1 sin(? ? ?1 )

解:在直线l上任意取点M ( ? , ? ) ? A(2, ) 4 ? MH ? 2 ? sin

练习1、求过点 A(2, )平行于极轴的直线。 4 ?
A

?

?

(2, ) 4

M

?
?
? 2
?

4 O 在Rt ?OMH中, = OM sin ? , MH

H

即? sin ? ? 2 所以,过点A(2, )平行于极轴的直线方程 4 为? sin ? ? 2

?

2、求过A(?2,3)且斜率为 的直线的极坐标方程。 2
解:由题意可知,在直 角坐标系内直线方程为 2x ? y ? 7 ? 0 设M ( ? ,? )为直线上的任意一点, 将x ? ? cos? , y ? ? sin ?代入直线方程 2 x ? y ? 7 ? 0得 2 ? cos? ? ? sin ? ? 7 ? 0这就是所求的极坐标方 程

1 3、极坐标方程 sin ? ? ( ? ? R)表示的曲线是 3 A、两条相交的直线 B、两条射线

C、一条直线

D、一条射线

1 2 2 解:由已知sin ? ? 可得 cos? ? ? 3 3 2 y 2 所以得 tan? ? ? 即 ?? 4 x 4 两条直线l1 : 2 x ? 4 y ? 0, l2 : 2 x ? 4 y ? 0 所以是两条相交直线

4、直线? cos ? ? 2关于直线?= 对称的直线 4 方程为 ( B ) A、? cos ? ? ?2, B、? sin ? ? 2 C、? sin ? ? ?2, D、?=2sin ?
解:此题可以变成求直 x ? 2关于y ? x 线 的对称直线的问题 即y ? 2化为极坐标方程为 ? sin ? ? 2

?

5、在极坐标系中,已知 一个圆的方程为 6 直线的极坐标方程是( C

?=12 ? sin(? ? ),则过圆心与极轴垂直 的
)

?

A、? sin ? ? 3 3B、? sin ? ? ?3 3 C、? cos? ? ?3D、? cos? ? 3

6、在极坐标系中,与圆 =4 sin ?相切的一条 ? 直线的方程是 ( B ) A、? sin ? ? 2, B、? cos? ? 2 C、? cos? ? 4, D、? cos? ? ?4

解:圆?=4 sin ?的化为直角坐标方程是 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0即x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 那么一条与此圆相切的 圆的方程为 x ? 2化为极坐标方程为 cos? ? 2 ?


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