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2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题:第二章章末综合检测


(时间:100 分钟,满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的) 1.过两点 A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜角是 135° ,则 y 等于( ) A.1 B.-1 C.5 D.-5 解析:选 D.由斜率与倾斜角的关系知 kAB=tan 135° =-tan 45° =-1,再由斜率公式知 y-?-3? y

+3 y+3 kAB= = ,所以 =-1,解得 y=-5. 2 2 4-2 2.圆 x2+y2-4x+6y=0 的圆心坐标是( ) A.(2,3) B.(-2,3) C.(-2,-3) D.(2,-3) 解析:选 D.∵x2+y2-4x+6y=0 中 D=-4,E=6, D E ∴- =2,- =-3,∴圆心坐标为(2,-3),故选 D. 2 2 3.若三点 A(3,1),B(-2,b),C(8,11)在同一直线上,则实数 b 等于( ) A.2 B.3 C.9 D.-9 b-1 1-b 11-1 解析:选 D.kAB= = ,kAC= =2, 5 -2-3 8-3 1-b ∴ =2,解得 b=-9. 5 4.设点 P(a,b,c)关于原点的对称点为 P′,则|PP′|=( ) 2 2 2 A. a +b +c B.2 a2+b2+c2 C.|a+b+c| D.2|a+b+c| 解析:选 B.P(a,b,c)关于原点的对称点 P′(-a,-b,-c),则 |PP′|= ?2a?2+?2b?2+?2c?2=2 a2+b2+c2. 5.若点(2,k)到直线 5x-12y+6=0 的距离是 4,则 k 的值是( ) A.1 B.-3 5 17 C.1 或 D.-3 或 3 3 解析:选 D.由点到直线的距离公式,得 |10-12k+6| |16-12k| 4= 2 = , 13 5 +?-12?2 17 解得 k= 或 k=-3. 3 6.若直线(a+2)x+(1-a)y-3=0 与(a-1)x+(2a+3)y+2=0 互相垂直, 则实数 a 的值 为( ) A.1 B.± 1 C.-1 D.0 解析:选 B.当(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,即 a=± 1 时,这两条直线垂直,故选 B.

7.圆(x-4)2+(y-4)2=4 与直线 y=mx 的交点为 P,Q,原点为 O,则|OP|· |OQ|的值为 ( ) A.28 B.2 7 C.32 D.4 2m 答案:A 8.方程 x2+y2+2ax-2ay=0(a≠0)表示的圆( ) A.关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称 C.关于直线 x-y=0 对称 D.关于直线 x+y=0 对称 解析:选 D.把圆的方程化成标准形式,得(x+a)2+(y-a)2=2a2.圆心坐标是(-a,a), 由于圆心(-a,a)在直线 x+y=0 上, ∴方程 x2+y2+2ax-2ay=0(a≠0)表示的圆关于直线 x+y=0 对称.故选 D. 9.(2012· 高考安徽卷)若直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2=2 有公共点,则实数 a 的取 值范围是( ) A.[-3,-1] B.[-1,3] C.[-3,1] D.(-∞,-3]∪[1,+∞) 解析: 选 C.欲使直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2=2 有公共点, 只需使圆心到直线的距 |a-0+1| 离小于等于圆的半径 2即可,即 2 ≤ 2,化简得|a+1|≤2,解得-3≤a≤1. 1 +?-1?2 10.已知圆的方程为 x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为( ) A.10 6 B.20 6 C.30 6 D.40 6 解析:选 B.圆的方程为(x-3)2+(y-4)2=25,其圆心为(3,4),半径 R=5,该圆过点(3,5) 的最长弦为圆的直径,所以 AC=10,过点(3,5)的最短弦为垂直于该点与圆心连线的弦,所 1 以 BD=2 52-12=4 6,所以四边形 ABCD 的面积为 AC· BD=20 6. 2 二、填空题(本大题共 5 小题.把答案填在题中横线上) 11.若直线 l1:2x+my+1=0 与直线 l2:y=3x-1 平行,则 m=________. 解析:由题意得 2×(-1)-3m=0,且 2×(-1)-3×1=-5≠0, 2 则 m=- . 3 2 答案:- 3 12.已知点 A(2,1),B(-2,3),C(0,1),则△ABC 中,BC 边上的中线长为__________. -2+0 3+1? 解析: BC 中点为? 即(-1,2), 所以 BC 边上的中线长为 ?2+1?2+?1-2?2 ? 2 , 2 ?, = 10. 答案: 10 13.过点 A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程为__________. 解析:AB 的中点为(0,0),kAB=-1,则 AB 的垂直平分线为 y=x,则圆心为 x+y-2= 0 与 y=x 的交点(1,1),半径 r2=4,所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 答案:(x-1)2+(y-1)2=4 14.圆 x2+y2-4x-4y-10=0 上的点到直线 x+y-14=0 的最大距离与最小距离的差 是__________. 解析:已知圆化为(x-2)2+(y-2)2=18, 即得圆心 C(2,2)和半径 r=3 2. 设圆心 C 到直线 x+y-14=0 距离为 d,则圆上的点到直线 x+y-14=0 的最大距离为

d+r,最小距离为 d-r, ∴(d+r)-(d-r)=2r=6 2. 答案:6 2 1 15.已知直线 l 的斜率为 ,且和坐标轴围成面积为 3 的三角形,则直线 l 的方程为 6 __________. 1 1 解析:设直线方程为 y= x+b,在坐标轴上的截距分别为-6b,b,所以 |-6b|· b=3, 6 2 解得 b=± 1,所以直线方程为 x-6y+6=0 或 x-6y-6=0. 答案:x-6y+6=0 或 x-6y-6=0 三、解答题(本大题共 5 小题.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.直线 l 过点(1,0)且被两条平行直线 l1:3x+y-6=0 和 l2:3x+y+3=0 所截得的线 9 段长为 10,求直线 l 的方程. 10 解:法一:当直线 l 与 x 轴垂直时,方程为 x=1, ? ?x=1, 由? 得 l 与 l1 的交点为(1,3), ?3x+y-6=0, ?
? ?x=1, 由? 得 l 与 l2 的交点为(1,-6), ?3x+y+3=0, ? 9 此时两交点间的距离 d=|-6-3|=9≠ 10. 10 ∴直线 l 与 x 轴不垂直. 设 l 的方程为 y=k(x-1)(k≠-3), ?y=k?x-1?, ? 由? ? ?3x+y-6=0, ?k+6, 3k ?, 得 l 与 l1 交点的坐标为? ? ?k+3 k+3? ? ?y=k?x-1?, 同理,由? ?3x+y+3=0, ? ?k-3,-6k?, 得 l 与 l2 交点的坐标为? ? ?k+3 k+3? 由题意及两点间距离公式得 9 ?k-3-k+6?2+?-6k- 3k ?2, 10= ?k+3 k+3? ?k+3 k+3? 10 ? ? ? ? 1 即 9k2-6k+1=0,∴k= , 3 1 ∴直线 l 的方程为 y= (x-1), 3 即 x-3y-1=0. 法二:由两平行线间的距离公式可得 |-6-3| 9 l1 与 l2 间的距离 d= 2 = 10, 3 +12 10 9 而 l 被 l1,l2 截得的线段长恰为 10, 10

1 ∴l 与 l1 垂直,由 l1 的斜率 k1=-3 知,l 的斜率 k= , 3 1 ∴l 的方程为 y= (x-1), 3 即 x-3y-1=0.

17.已知关于 x,y 的方程 C:x2+y2-2x-4y+m=0. (1)当 m 为何值时,方程 C 表示圆? 4 ,试求 m 的值. 5 解:(1)方程 C 可化为(x-1)2+(y-2)2=5-m,显然当 5-m>0,即 m<5 时,方程 C 表 示圆. (2)圆的方程可化为(x-1)2+(y-2)2=5-m,故可知圆心 C(1,2),半径 r= 5-m,则圆 |1+2×2-4| 1 4 1 心 C(1,2)到直线 l:x+2y-4=0 的距离 d= ,因为|MN|= ,所以 |MN| 2 2 = 2 5 5 1 +2 (2)若圆 C 与直线 l:x+2y-4=0 相交于 M,N 两点,且|MN|= 1 2 1 2 |MN|?2,所以 5-m=? ?2+? ?2,解得 m=4. .因为 r2=d2+? 2 ? ? 5 5? ? ? ? 5 18.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,1)和 B(1,0,-3). (1)在 y 轴上是否存在点 M,满足|MA|=|MB|? (2)在 y 轴上是否存在点 M,使△MAB 为等边三角形?若存在,求出点 M 的坐标;若不 存在,请说明理由. 解:(1)假设在 y 轴上存在点 M,满足|MA|=|MB|.因为 M 在 y 轴上,所以可设 M(0,y,0), 由|MA|=|MB|,可得 32+?-y?2+12= ?-1?2+y2+32,显然,此式对任意 y∈R 恒成立, 这就是说 y 轴上所有点都满足|MA|=|MB|. (2)假设在 y 轴上存在点 M, 使△MAB 为等边三角形. 由(1)可知, y 轴上任一点都有|MA| =|MB|,所以只要|MA|=|AB|就可以使得△MAB 是等边三角形. 因为|MA|= ?3-0?2+?0-y?2+?1-0?2= 10+y2, |AB|= ?1-3?2+?0-0?2+?-3-1?2= 20, 所以 10+y2= 20,解得 y=± 10. 故 y 轴上存在点 M 使△MAB 是等边三角形, 点 M 的坐标为(0, 10,0)或(0,- 10,0). 19.如图所示,一座圆拱桥,当水面在图示位置时,拱顶离水面 2 m,水面宽 12 m, 当水面下降 1 m 后,水面宽多少米? =

解:以圆拱桥顶为坐标原点,以过拱顶的竖直直线为 y 轴,建立直角 坐标系,设圆心为 C,水面所在弦的端点为 A,B,则由已知得 A(6,-2),B(-6,-2), 设 A、B 所在的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 因为原点在圆周上,所以 F=0, ?40+6D-2E=0 ? 另外点 A,点 B 在圆周上,所以? , ? ?40-6D-2E=0 ∴D=0,E=20,∴圆的方程为 x2+y2+20y=0. 当水面下降 1 m 后,可设点 A′的坐标为(x0,-3)(x0>0),如图所示,将 A′的坐标(x0, -3)代入圆的方程,求得 x0= 51,所以,水面下降 1 m 后,水面宽为 2x0=2 51(m). 20.已知圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0. (1)若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距的绝对值相等,求此切线的方程; (2)从圆 C 外一点 P(x1, y1)向圆引一条切线, 切点为 M, O 为坐标原点, 且有|PM|=|PO|, 求使|PM|最小的 P 点坐标. 解: (1)当切线不过原点时, ∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等, ∴切线的斜率是± 1. 设切线方程为 y=-x+b 或 y=x+c,分别代入圆 C 的方程得:

2x2-2(b-3)x+(b2-4b+3)=0 或 2x2+2(c-1)x+(c2-4c+3)=0.由于相切,方程有等 根, 由此可得 b=3 或 b=-1,c=5 或 c=1, ∴所求切线方程为 x+y-3=0,x+y+1=0,x-y+5=0,x-y+1=0. 当切线过原点时设为 y=kx,即 kx-y=0, |-k-2| 则 = 2?k=2± 6, 1+k2 ∴y=(2+ 6)x 或 y=(2- 6)x. 综上,所求切线方程为 x+y-3=0,或 x+y+1=0,或 x-y+5=0,或 x-y+1=0, 或 y=(2+ 6)x,或 y=(2- 6)x. (2)将圆 C 的方程变形为标准式得 (x+1)2+(y-2)2=2, ∴圆心 C(-1,2),半径 r= 2. ∵切线 PM 与半径 CM 垂直, ∴|PM|= |PC|2-|CM|2, 又∵|PM|=|PO|, 2 2 2 ∴ x1 +y2 1= ?x1+1? +?y1-2? -2, 化简整理得 2x1-4y1+3=0. 3 5 而|PO|的最小值为 O 点到直线 2x1-4y1+3=0 的距离,即 d= , 10 3 9 x1=- , 2 ? 10 ?x2 1+y1= , 20 从而解方程组? 得 3 ? ?2x1-4y1+3=0, y1= . 5 3 3? ∴满足条件的 P 点为? ?-10,5?.

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