课件1.2解析几何

§2 仿射坐标系和直角坐标系
定理2.1.1:
如 果 向 量 1 , e2 , e3不 共 面 ， 那 么 空 间 任 向 量 e 意 r可 以 由 向 量1 , e2 , e3线 性 表 示 ， 或 说 空 间 意 e 任 向 量r可 以 分 解 成 向 量 , e2 , e3的 线 性 组 合 ， 即 e1 r ? xe1 ? y e2 ? z e3 , 并 且 其 中 系 数, y, z被e1 , e2 , e3 , r唯 一 确 定 x .
这时e1 , e2 , e3叫做空间向量的基底或 空间中的一组 基

? ?? ?? ? ? ? 三元有序数组 ( x, y, z) 称为 r 在基 e1, e2 , e3 中的坐标

2.1 向量和点的仿射坐标、直角坐标
z

三个坐标轴的正方向 符合右手系.
当右手的四个 手指从正向 x 轴以 小于 ? 角度转向正 向 y 轴时，大拇指 的指向与 z 轴的正向 在同一侧.

? e3
定点 o ? e1
x

?

? e2
y

? ?? ?? ? ? e 仿射坐标系 [O；1, e2 , e3 ]

左手系和右手系
? e3

.o
? e1

? e2

.o
? e1

? e2
? e3

（右手系）

（左手系）

Ⅲ

z

zox 面
Ⅱ

yoz面
Ⅳ

xoy面
Ⅶ Ⅷ

o

y
Ⅵ Ⅴ

Ⅰ

x

坐标轴，坐标面，八个卦限

空间中任意一点

M ，若定位向量（向径）

? ?? ?? ? ? 则称 ( x, y, z ) 为点 M 在仿射标架[O； e1, e2 , e3 ]
中的坐标，记作M(x，y，z)；

? ? ? OM ? xe1 ? ye2 ? ze3

? ? ? ?? ?? ? ? 如 r ? xe1 ? ye2 ? ze3，则称 ( x, y, z ) 为 r ? ?? ?? ? ? 在仿射标架[O； e , e , e ]中的坐标，记作 1 2 3 ? ? r ? ( x, y, z ) 或 r ( x, y , z )
? ? ? ( e1 , e2 , e3的坐标分别为1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)

1? ? 空间的点、向量 ?? 1? 有序数组 ( x , y , z ) ?

特殊点的表示: 坐标轴上的点 P , Q , R, 坐标面上的点 A, B , C , O(0,0,0)
z

R(0,0, z )

B ( 0, y , z )
?

C ( x , o, z )

M ( x, y, z )

o x
P ( x ,0,0)

Q(0, y ,0)

y

A( x , y ,0)

z
R(0,0, z )

? r

?

M ( x, y, z )

o x
P ( x ,0,0)

y
Q(0, y ,0)

N

? r ? OM ? OP ? PN ? NM ? OP ? OQ ? OR ? ? ? 设 OP ? xe1 , OQ ? ye2 , OR ? ze3 . ? ? ? ? r ? xe1 ? ye2 ? ze3
? 称为向量 r 的仿射坐标分解式.

? ?? ?? ? ? 空间直角坐标系 [O； 1, e2 , e3 ] e

三个坐标轴的正方向 符合右手系.
即以右手握住 z 轴，当右手的四个

z 竖轴

? k
定点 o

? 手指从正向 x 轴以 2
角度转向正向 y 轴 时，大拇指的指向 就是 z 轴的正向.反 之就是左手系

? i

?

? j

y 纵轴

横轴 x

? ?? 右手直角坐标系[O; i j k ]

平面上的仿射坐标系和直角坐标系
? e1

.o
? e1
x

? e2

y

o.

900

? e2

? ? [O；e1 , e2 ]

练习:Page 21:ex 4

2.2 用坐标作向量的线性运算
向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式

? a ? (a1, a2 , a3 ),

? ? a ? b ? (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ? ? ? ? (a1 ? b1 )e1 ? (a2 ? b2 )e2 ? (a3 ? b3 )e3 ;
? ? a ? b ? (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 )
? ? ? ? (a1 ? b1 )e1 ? (a2 ? b2 )e2 ? (a3 ? b3 )e3 ;

? b ? (b1 , b2 , b3 ),

? ?a ? (?a1, ?a2 , ?a3 )

? ? ? ? (?a1 )e1 ? (?a2 )e2 ? (?a3 )e3.

? ? 向量 a， 平行（共线） b 的充分必要 ? ? ? ? 条件是：存在 ?或?，使b ? ?a或a ? ?b .
如:a1= ?b1,a2= ?b2,a3= ?b3,从中消去?得

两向量平行的充要条件：

a1 a2 a3 ? ? b1 b2 b3
即两向量(包含平面向量)平行的充要条件是 其坐标对应成比例， 说明: 其中若上式中某个分母为0，则其分子也为0.

例1

设 A( x1 , y1 , z1 ) 和 B( x2 , y2 , z2 )为两

已知点，求 AB 的坐标.

解 AB ? OB ? OA

? ( x 2 ? x1 , y2 ? y1 , z 2 ? z1 )

z
B A

o

y

说明：向量的坐标等于其终点的坐标减 去其起点的坐标。

x

例2：设平行四边形的三顶 ?0， 2，?、 ， 1?、 点为 ? 0 ?2 0，

?0， 2?，求第四顶点的坐标。 4，

?? 2， 答案： 2，1?或?2， 6， 1?或?2， 3?。 ? ? 6，

2.3 三点(或两向量)共线的条件
平面上两向量的共线 定理2.3.1:

? ? 取定一平面仿射标架；e1，e2 ]，则三点 ? x1，y1 ?， [O A B? x2，y2 ?，C ? x3，y3 ?共线的充分必要条件是 ：
x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 ? 0 1

空间中两向量的共线

? ? ? 取定一空间仿射标架[O；e1，e2，e3 ]，则两向量 ? ? a ?a1，a2，a3 ?，b ?b1，b2，b3 ?共线的充分必要条件是 ：
a1 a2 a1 ? b2 a3 b1 b1 a2 ? b3 a3 b2 ?0 b3

定理2.3.1:

或者

a1 a2 b1 b2

?

a1 a3 b1 b3

?

a2 b2

a3 b3

?0

思考题

?1?空间中三点A?x1，y1，z1 ?，B?x2，y2，z2 ?， C ?x3，y3，z3 ?共线的充分必要条件 ;
? ? ? ?2?取定一空间仿射标架[O；e1，e2，e3 ]，则三个非 ? ? ? 零向量a ?a1，a2，a3 ?，b ?b1，b2，b3 ?，c ?c1，c2，c3 ? 共面的充分必要条件。
练习:Page 21:ex 9

2.4 线段的定比分点 例 2 设 A( x1 , y1 , z1 ) 和 B( x2 , y2 , z2 )为两
已知点，而在 AB 直线上的点 B 分有向线段
AB 为 两 部 分 AC 、 CB ， 使 它 们 满 足
AC ? ? CB ， 则 称点 C 分 线段 AB 成定 比

? (? ? ?1) ，求分点坐标.

解 设 C ( x, y, z ) 为直线上的点，

z
B
C

AC ? OC ? OA ? ( x ? x1, y ? y1, z ? z1A )
x

o

y

CB ? OB ? OC ? ( x2 ? x, y2 ? y, z2 ? z)

由题意知：

AC ? ?CB

( x ? x1 , y ? y1 , z ? z1 ) ? ? ( x2 ? x, y2 ? y, z2 ? z ), x1 ? ? x2 x ? x1? ? ( x2 ? x ) ? x ? , 1? ? y1 ? ? y2 y ? y1? ? ( y2 ? y ) ? y ? , 1? ? z1 ? ? z2 z ? z1 ? ? ( z2 ? z ) ? z ? , 1? ?
C 为有向线段 AB 的定比分点. C 为中点时，

x1 ? x2 x? , 2

y1 ? y2 y? , 2

z1 ? z2 z? . 2

练习:Page 21:ex 10

例 证明四面体对边中点的连线交于一点，且 互相平分. D
证 设四面体ABCD一组 对边AB, CD的中点E , F的连 线为EF , 它的中点为P , 其余 1 两组对边中点连线的中 点分 别为P2 , P3 , 下只需证P , P2 , P3 1 三点重合就可以了取仿射标 . 架[ A； , AC， ]，则可证. AB AD
A E B
K.

G

.
P1.
L.

F

C .H

五、向量的模(长度)、方向角、投影
1. 向量的模与空间两点间距离公式

? r ? OM ? OP ? OQ ? OR
由勾股定理

z

R(0,0, z )

? r ? OM
?

? r

?

M ( x, y, z )

o
2 2 2

y
Q(0, y ,0)

? ? ? 由 OP ? xi , OQ ? yj , OR ? zk .

OP ? OQ ? OR x

P ( x ,0,0)

N

有 OP ? x , OQ ? y , OR ? z , ? ? r ? x 2 ? y 2 ? z 2 向量模的坐标表示式

? ? 例2 设 a =(1,2,3), b =(1,-1,1). ? ? 求 (1)2 a +3 b ; ? (2) a 的基本单位向量分解; ? ?? ? (3)求表达式 a ? a ea
解

? ? (1) 2a ? 3b ? (2,4,6) ? (3,?3,3) ? (5,1,9) ? ? ? ? (2) a ? i ? 2 j ? 3k ? ?? 1 2 3 ? , , ) (3) a ? a ea ? 14(
14 14 14

设 A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z2 )

z

A( x1 , y1 , z1 ) B( x2 , y2 , z2 )

为空间两点.

d ? AB ? ?
由 AB ? OB ? OA

o x

y

? ( x2 , y2 , z2 ) ? ( x1 , y1 , z1 ) ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ),

AB ?

?x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ?z2 ? z1 ?
2 2

2

空间两点间距离公式

例 3 求证以 M1 (4,3,1) 、 2 (7,1,2)、 3 (5,2,3) M M 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.

解 M1 M 2 ? (7 ? 4)2 ? (1 ? 3)2 ? (2 ? 1)2 ? 14,
2

M 2 M 3 ? (5 ? 7)2 ? (2 ? 1)2 ? (3 ? 2)2 ? 6,
2

M 3 M1 ? (4 ? 5) ? (3 ? 2) ? (1 ? 3) ? 6,
2
2 2 2

? M 2 M 3 ? M 3 M1 ,

原结论成立.

例 4 设 P 在 x 轴上，它到 P1 (0, 2,3) 的距离为 到点 P2 (0,1,?1)的距离的两倍，求点 P 的坐标.
解 因为 P 在x 轴上， 设P点坐标为 ( x ,0,0),

PP1 ? x 2 ? ? 2 ?2 ? 32 ? x 2 ? 11,

?? 1?2 ? 12 ? PP2 ? x ?
2

x 2 ? 2,

? PP1 ? 2 PP2 , ? x 2 ? 11 ? 2 x 2 ? 2
? x ? ?1,
所求点为 (1,0,0), ( ?1,0,0).

2.方向角与方向余弦的坐标表示式 空间两向量的夹角的概念：

? ? 向量a 与向量b 的夹角
? ? ? ? ? ? (a, b )? (b , a)

? ? ? ? a ? 0, b ? 0,

? b

?

? a

(0 ? ? ? ? )

类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 特殊地，当两个向量中有一个零向量时， 规定它们的夹角可在0与? 之间任意取值.

? 非零向量 r 的方向角：? 、? 、 ?
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.

z

0 ? ? ? ?,

0 ? ? ? ?,
?M ? ? o?

0 ? ? ? ?.

y

x

z

? 设 r ? OM ? ( x, y, z)
由图分析可知

x

? M ( x, y, z ) ? ? x ?| r | cos? ? y ? o? y ?| r | cos? ? z ?| r | cos ?

向 量 的 方 向 余 弦

方向余弦通常用来表示向量的方向.

向量方向余弦的坐标表示式

当

x 2 ? y 2 ? z 2 ? 0 时，

cos? ?
cos ? ?

x x2 ? y2 ? z2
y x ? y ?z
2 2 2

,
,

cos? ?

z x ? y ?z
2 2 2

.

方向余弦的特征

cos ? ? cos ? ? cos ? ? 1
2 2 2

? ?x ? r er? ? ? ? ? ? , |r | ? r ?

y ?, r

z ? r

? ? ? ?

? (cos? , cos ? , cos? ). ? 上式表明，以向量 r 的方向余弦为坐标的向 ? ? 量就是与 r 同方向的单位向量 e r .

? ? ? ? 例 5 求平行于向量 a ? 6i ? 7 j ? 6k 的单位向
量的分解式.

? 解 所求向量有两个，一个与 a 同向，一个反向 ? ?| a |? 62 ? 7 2 ? ( ?6)2 ? 11, ? ? a 6? 7 ? 6 ? ? ? ea ? ? ? i ? j ? k , | a | 11 11 11 ? ? a 6? 7 ? 6 ? ? 或 ? ea ? ? ? ? ? i ? j ? k. |a | 11 11 11

例 6 设有向量 P1 P2， 已知 P1 P2 ? 2， 它与

x轴

? ? 和 y 轴的夹角分别为 和 ，如果 P1 的坐标为 3 4 (1,0,3) ，求 P2 的坐标.

解

? 设向量P1 P2 的方向角为 ? 、 ? 、

? ?? , 3

1 cos ? ? , 2

? ?? , 4

? cos 2 ? ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? 1,

2 cos? ? , 2 1 ? cos ? ? ? . 2

? 2? ??? , ?? . 3 3

设P2 的坐标为( x , y , z ) ,

P1 P2 ? ( x ? 1, y ? 0, z ? 3) x ?1 x ?1 1 cos? ? ? x ? 2, ? ? P1 P2 2 2
y?0 y?0 2 cos ? ? ? ? y ? 2, ? P1 P2 2 2 z?3 z?3 1 ? z ? 4, z ? 2, ? cos ? ? ?? 2 P1 P2 2

P2 的坐标为 (2, 2,4), (2, 2,2).