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3.1随机事件的概率


3.1 随机事件的概率

主要内容
3.1.1 随机事件的概率 3.1.2 概率的含义 3.1.3 概率的基本性质

3.1.1

随机事件的概率

日常生活中,有些问题是能够准确回答的.例如, 室温低于-50C时,盆内的水能结成冰吗?明天太阳从 东边升起吗?等等,这些事情的发生都是必然的.同 时也有些问题是很难给予准确无误的回答的.例如, 你明天什么时间起床?12:10有多少人在学校食堂用 餐?你购买的本期福利彩票是否能中奖?等等,这些 问题的结果都具有偶然性和不确定性,很难给予准确 的回答. 有些事情的发生是偶然的,有些事情的发生是必然的.

但是偶然与必然之间往往有某种内在联系. 例如,北京地区一年四季的变化有着确定的、必 然的规律,但北京地区一年里哪一天最热,哪一天最 冷,哪一天降雨量最大,那一天降雪量最大等,又是 不确定的、偶然的.

基本概念
1、随机事件: 在条件S下可能发生也可能 不发生的事件,叫做相对于 条件S的随机事件,简称随 机事件. 2、必然事件: 在条件S下一定会发生的事 件,叫做相对于条件S的必 然事件,简称必然事件.

3、不可能事件: 在条件S下一定不会发生的事 件,叫做相对于条件S的不可 能事件,简称不可能事件. 4、确定事件: 必然事件与不可能事件统称为 相对于条件S的确定事件,简称 确定事件. 确定事件和随机事件统称为事件,一 般用大写字母A、B、C……表示.

考察下列事件: (1)上海夏天的平均气温比冬天高; (2)地面上向上抛出的石头会下落; (3)太阳明天从东方升起. 这些事件会发生吗? 他们是什么事件?

一定发生,必然事 件.

确定事件

考察下列事件: (1)标准大气压下50度的水会沸腾; (2)在常温常压下钢铁融化; (3)服用一种药物使人永远年轻. 这些事件会发生吗?是什么事件? 不可能发生,不可能事件 确定事件

考察下列事件: (1)某人射击一次命中目标; (2)任意选择一个电视频道,它正在播放 新闻; (3)抛掷一个骰子出现的点数为奇数. 这些事件一定会发生吗?他们是什么事件? 可能发生也可能不发生,随机事件.

对于随机事件,知道它发生的可能性大小是 非常重要的.

用概率度量随机事件发生的可能性大小能为 我们的决策提供关键性的依据.
如何才能获得随机事件发生的概率呢?最直 接的方法就是实验(观察).

设计抛掷一枚硬币的试验,观察它落地时哪一 个面朝上: 第一步,全班每人各取一枚同样的硬币,做十次 掷硬币的试验,每人记录试验结果,填在下表中:
姓名 试验次数 正面朝上的次数 正面朝上的比例

思考:你与同学的结果一样吗?为什么?

设计抛掷一枚硬币的试验,观察它落地时哪一 个面朝上: 第二步,每个小组把本组同学的试验结果统计 一下,填在下表中:
组次 试验次数 正面朝上的次数 正面朝上的比例

思考:与其他小组相比,结果一样吗?为什么?

设计抛掷一枚硬币的试验,观察它落地时哪一 个面朝上:

第三步,请一位同学把全班同学的试验结果统 计一下,填在下表中:
班级 试验次数 正面朝上的次数 正面朝上的比例

思考:与前面的结果一样吗?为什么?

设计抛掷一枚硬币的试验,观察它落地时哪一 个面朝上: 第四步,请把全班每个同学的试验结果中正面 朝上的次数收集起来,并用条形图表示.

观察:这个条形图有什么特点?
第五步,请同学们找出掷硬币时“正面朝上” 这个事件发生的规律性.

探究:如果同学们再重复一次上面的试验, 全班的汇总结果还会和这次的汇总结果一致吗? 如果不一致,你能说出原因吗?
姓名 试验次数 正面朝上的次数 正面朝上的比例

组次 试验次数

正面朝上的次数

正面朝上的比例

班级 试验次数

正面朝上的次数 正面朝上的比例

在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A 是否出现,若某一事件A出现的次数为nA,则称nA为 事件A出现的频数,那么事件A出现的频率fn(A)等于 什么? A n

f

?A? ?

n

n

频率的取值范围是什么?

必然事件出现的频率为1,不可能事件出现的频率 为0.所以频率的取值范围是【0,1】

历史上一些掷硬币的试验结果 n 正面向上次数 抛掷次数(m ) (频数 n ) 频率( m ) 2048 1061 0.5181 4040 2048 0.5069 12000 6019 0.5016 24000 12012 0.5005 30000 14984 0.4996 72088 36124 0.5011 在上述抛掷硬币的试验中,正面向上发生的频率 的稳定值为多少?

历史上一些掷硬币的试验结果 m 正面向上次数 抛掷次数(m ) (频数 n ) 频率( n ) 2048 1061 0.5181 4040 2048 0.5069 12000 6019 0.5016 24000 12012 05005 30000 14984 0.4996 72088 36124 0.5011 我们看到,当试验次数很多时,出现正面的 频率值在0.5附近摆动.

上述试验表明,随机事件A在每次试验中是否 发生是不能预知的,但是在大量重复试验后,随 着试验次数的增加,事件A发生的频率呈现出一定 的规律性,这个规律性是如何体现出来的?

事件A发生的频率较稳定,在区间【0,1】中的 某个常数上.

这个常数越接近于1,表明事件A发生的频率 越大,频数就越多,所以它发生的可能性越大. 反过来,事件发生的可能性越小,频数就越 少,频率就越小,这个常数也就越小. 事件A发生的频率较稳定,在区间【0,1】中的 某个常数上. 因此,我们可以用这个常数来度量事件A发生 的可能性的大小..

对于给定的随机事件A,在大量重复试验中发生 的频率fn(A)趋于稳定,在某个常数附近摆动,因此 可以用这个常数来度量事件A发生的可能性的大小, 并把这个常数叫做事件A发生的概率,记作P(A). 那么在上述抛掷硬币的试验中,正面向上发生的 概率是多少? P(正面朝上)=0.5

对于给定的随机事件A,发生的频率fn(A)是不是 不变的?事件A发生的概率P(A)是不是不变的?它 们之间有什么区别与联系?.

频率具有随机性,做同样次数的重复试验,事 件A发生的频率可能不相同;概率是一个确定的数, 是客观存在的,与每次试验无关.

在实际问题中,随机事件A发生的概率往往是未 知的(如在一定条件下射击命中目标的概率),你如 何得到事件A发生的概率? 通过大量重复试验得到事件A发生的频率的稳定 值,即概率.
我们研究的是那些在相同条件下可以进行大量 重复试验的随机事件,它们都具有频率稳定性.

练习:一个地区从某年起几年之内的新生儿数及 其中男婴数如下:
1年内 时间范围 新生婴儿数 男婴数 男婴出生的 频率 5544 2883 2年内 9607 4970 3年内 13520 6994 4年内 17190 8892

(1)填写表中男婴出生的频率(结果保留到小数 点后第3位); (2)这一地区男婴出生的概率约是多少?

小结
1、必然事件、不可能事件、确定事件、 随机事件、频数、频率、概率的概念. 2、概率是频率的稳定值,根据随机事件 发生的频率只能得到概率的估计值.

3、随机事件A在每次试验中是否发生是 不能预知的,但是在大量重复试验后,随着 试验次数的增加,事件A发生的频率逐渐稳 定在区间[0,1]内的某个常数上(即事件A 的概率),概率就是用来度量某事件发生的 可能性大小的量.

4、任何事件的概率是0~1之间的一个确 定的数,小概率(接近0)事件很少发生,大 概率(接近1)事件则经常发生,知道随机事 件的概率的大小有利于我们作出正确的决策.

3.1.2

概率的含义

思考:有人说,既然抛掷—枚质地均匀的硬币, 出现正、反面的概率都是0.5,那么连续两次抛掷一 枚硬币,一定是出现一次正面和一次反面,你认为这 种想法正确吗? 试验:全班同学各取一枚同样的硬币,连续抛 掷两次,观察它落地后的朝向.将全班同学的试验 结果汇总,有多少种可能发生的结果?你有什么发 现? 有三种可能的结果:“两次正面朝上”,“两 次反面朝上”,“一次正面朝上,一次反面朝上”.

这正体现了随机事件发生的随机性.

探究:全班同学各取一枚同样的硬币,连续抛 掷两次,观察它落地后的朝向,并记录结果.重复 上面的过程10次,将全班同学的试验结果汇总,计 算三种结果发生的频率,你有什么发现?

“两次正面朝上”的频率约为0.25,“两次反面 朝上” 的频率约为0.25,“一次正面朝上,一次反 面朝上” 的频率约为0.5.
随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但 随机性中含有规律性.

试验:把同样大小的9个白色乒乓球和1个黄色乒 乓球放在一个袋中,每次从中随机摸出1球后再放回, 一共摸10次,观察是否一定至少有1次摸到黄球,说 明你的理由.

不一定.摸10次球相当于做10次重复试验,因为 每次试验的结果都是随机的,所以摸10次球的结果也 是随机的.可能有两次或两次以上摸到黄球,也可能 没有一次摸到黄球,摸到黄球的概率为 1-0.910≈0.6513.

思考:如果某种彩票的中奖概率为0.1%,那么买 1000张这种彩票一定能中奖吗?为什么?(假设该彩 票有足够多的张数.)

不一定,摸1000次彩票相当于做1000次重复试验, 因为每次试验的结果都是随机的,所以摸1000次彩票 的结果也是随机的.可能有一次或两次以上摸到,也 可能没有一次摸到. 买1000张这种彩票的中奖概率约 为1-0.9991000≈0.632,即有63.2%的可能性中奖,但 不能肯定中奖.

探究:某中学高一年级有12个班,要从中选2个 班代表学校参加某项活动.由于某种原因,一班必须 参加,另外再从二至十二班中选1个班.有人提议用如 下的方法:掷两个骰子得到的点数和是几,就选几班, 你认为这种方法公平吗?哪个班被选中的概率最大?

1点 2点 3点 4点 5点 6点

1点 2 3 4 5 6 7

2点 3 4 5 6 7 8

3点 4 5 6 7 8 9

4点 5 6 7 8 9 10

5点 6 7 8 9 10 11

6点 7 8 9 10 11 12

不公平,因为各班被选中的概率不全相等,七 班被选中的概率最大.

思考:如果连续10次掷一枚骰子,结果都是出 现1点,你认为这枚骰子的质地是均匀的吗?为什么?
这枚骰子的质地不均匀,标有6点的那面比较重, 会使出现1点的概率最大,更有可能连续10次都出现 1点. 如果这枚骰子的质地均匀,那么抛掷一次出现 1点的概率为1/10,连续10次都出现1点的概率为 0.000000016538.这是一个小概率事件,几乎不可能 发生.

思考:如果连续10次掷一枚骰子,结果都是出 现1点,你认为这枚骰子的质地是均匀的吗?为什么?
现在我们面临两种可能的决策:一种是这枚骰 子的质地均匀,一种是不均匀.当连续10次投掷这枚 骰子,结果都是出现1点,这时我们更愿意接受第二 种情况:这枚骰子靠近6点的那面比较重.原因是在 第二种假设下,更有可能出现10个1点.

思考:如果连续10次掷一枚骰子,结果都是出 现1点,你认为这枚骰子的质地是均匀的吗?为什么? 如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答 案的决策任务,那么“使得样本出现的可能性最大” 可以作为决策的准则,这种判断问题的方法称为极大 似然法. 极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一.

思考:某地气象局预报说,明天本地降水概率 为70%.你认为下面两个解释中哪一个能代表气象局的 观点? ⑴明天本地有70%的区域下雨,30%的区域不下雨; ⑵明天本地下雨的机会是70%. 降水概率≠降水区域;明天本地下雨的可能性为70%.

思考:天气预报说昨天的降水概率为 90%,结 果昨天连一点雨也没下,能否认为这次天气预报不 准确?学了概率后,你能给出解释吗?

不能认为这次天气预报不准确,概率为90%的 事件指发生的可能性很大,但“明天下雨”是随机 事件,也有可能不发生.

试验与发现:奥地利遗传学家孟德尔从1856年 开始用豌豆作试验,他把黄色和绿色的豌豆杂交, 第一年收获的豌豆都是黄色的.第二年,他把第一年 收获的黄色豌豆再种下,收获的豌豆既有黄色的又 有绿色的.同样他把圆形和皱皮豌豆杂交,第一年收 获的豌豆都是圆形的.第二年,他把第一年收获的圆 形豌豆再种下,收获的豌豆却既有圆形豌豆,又有 皱皮豌豆.类似地,他把长茎的豌豆与短茎的豌豆杂 交,第一年长出来的都是长茎的豌豆. 第二年,他 把这种杂交长茎豌豆再种下,得到的却既有长茎豌 豆,又有短茎豌豆.试验的具体数据如下:

豌豆杂交试验的子二代结果 性状 显性 子叶的颜色 黄色 6022 种子的性状 圆形 茎的高度 长茎 5474 787 隐性 显性:隐性 绿色 2001 3.01:1 皱皮 短茎 1850 277 2.96:1 2.84:1

孟德尔的豌豆实验表明,外表完全相同的豌豆 会长出不同的后代,并且每次试验的结果比例都很 稳定,比例都接近3︰1,这种现象是偶然的,还是 必然的?我们希望用概率思想作出合理解释.

遗传机理中的统计规律: (1)纯黄色和纯绿色的豌豆均有两个特征, 用符号YY代表纯黄色豌豆的两个特征, 符号yy代表纯绿色豌豆的两个特征. (2)当杂交时,下一代是从父母辈中各随机地选 取一个特征组成自己的两个特征. 于是第一年收获的豌豆特征为:Yy.

(3)把第一代杂交豌豆再种下时,下一代同样是 从父母辈中各随机地选取一个特征组成自己的两个特 征,所以第二年收获的豌豆特征为: YY,Yy,yy.

(4)对于豌豆的颜色来说.Y是显性因子,y是 隐性因子.当显性因子与隐性因子组合时,表现显性 因子的特性,即YY,Yy都呈黄色;当两个隐性因子 组合时才表现隐性因子的特性,即yy呈绿色. 在第二代中YY,Yy,yy出现的概率分别是多少? 黄色豌豆与绿色豌豆的数量比约为多少? YY,yy都是

1 4

,Yy是

1 2

黄色豌豆(YY,Yy)︰绿色豌豆(yy)≈3︰1

小结 1、概率的正确理解. 2、游戏的公平性.

3、决策中的概率思想.
4、天气预报中的概率解释. 5、孟德尔的遗传试验与遗传机理中的统计规律.

3.1.3

概率的基本性质

探究:在掷骰子试验中,可以定义许多事件: C1={出现1点},C2={出现2点}, C3={出现3点},C4={出现4点}, C5={出现5点},C6={出现6点}, D1={出现的点数不大于1}, D2={出现的点数大于4}, D3={出现的点数小于6}, E={出现的点数小于7},F={出现的点数大于6}, G={出现的点数为偶数}, H={出现的点数为奇数},等等. 上述事件中哪些是必然事件?哪些是随机事件? 哪些是不可能事件?

探究:在掷骰子试验中,可以定义许多事件: C1={出现1点},C2={出现2点}, C3={出现3点},C4={出现4点}, C5={出现5点},C6={出现6点}, D1={出现的点数不大于1}, D2={出现的点数大于4}, D3={出现的点数小于6}, E={出现的点数小于7},F={出现的点数大于6}, G={出现的点数为偶数}, H={出现的点数为奇数},等等. 你能写出这个试验中出现的其他一些事件吗?类 比集合与集合的关系、运算,你能发现它们之间的关 系与运算吗?

探究:在掷骰子试验中,可以定义许多事件: C1={出现1点},C2={出现2点}, C3={出现3点},C4={出现4点}, C5={出现5点},C6={出现6点}, D1={出现的点数不大于1}, D2={出现的点数大于4}, D3={出现的点数小于6}, E={出现的点数小于7},F={出现的点数大于6}, G={出现的点数为偶数}, H={出现的点数为奇数},等等. 如果事件C1发生,则一定有哪些事件发生?在 集合中,集合C1与这些集合之间的关系怎样描述?

探究:在掷骰子试验中,可以定义许多事件: C1={出现1点},C2={出现2点}, C3={出现3点},C4={出现4点}, C5={出现5点},C6={出现6点}, D1={出现的点数不大于1}, D2={出现的点数大于4}, D3={出现的点数小于6}, E={出现的点数小于7},F={出现的点数大于6}, G={出现的点数为偶数}, H={出现的点数为奇数},等等. 如果事件C1发生,则事件H一定发生,类比集合 之间的关系,我们说事件H包含事件C1,记作H?C1.

两个集合之间存在着包含与相等的关系,集 合可以进行交、并、补运算,你还记得子集、等 集、交集、并集和补集的含义及其符号表示吗?

我们可以把一次试验可能出现的结果看成一个集 合(如连续抛掷两枚硬币),那么必然事件对应全集, 随机事件对应子集,不可能事件对应空集,
可以类比集合的关系与运算,分析事件之间的关 系与运算,使我们对概率有进一步的理解和认识.

一般地,对于事件A与事件B,如果事件A发生, 则事件B一定发生,

这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事 件B),记作 B ? A ( 或A ? B ).
不可能事件用Ф表示.
A B

任何事件都包含不可能事件.

探究:在掷骰子试验中,可以定义许多事件: C1={出现1点},C2={出现2点}, C3={出现3点},C4={出现4点}, C5={出现5点},C6={出现6点}, D1={出现的点数不大于1}, D2={出现的点数大于4}, D3={出现的点数小于6}, E={出现的点数小于7},F={出现的点数大于6}, G={出现的点数为偶数}, H={出现的点数为奇数},等等.
如果事件C1发生,则还有哪些事件发生?

探究:在掷骰子试验中,可以定义许多事件: C1={出现1点},C2={出现2点}, C3={出现3点},C4={出现4点}, C5={出现5点},C6={出现6点}, D1={出现的点数不大于1}, D2={出现的点数大于4}, D3={出现的点数小于6}, E={出现的点数小于7},F={出现的点数大于6}, G={出现的点数为偶数}, H={出现的点数为奇数},等等. 分析事件C1与事件D1之间的包含关系,按集合观点 这两个事件之间的关系应怎样描述?

如果事件C1发生,则事件D1一定发生,反过来也 对,这时我们说这两个事件相等,记作C1=D1

若B?A,且A?B,则称事件A与事件B相等, 记作A=B.

B(A)

探究:在掷骰子试验中,可以定义许多事件: C1={出现1点},C2={出现2点}, C3={出现3点},C4={出现4点}, C5={出现5点},C6={出现6点}, D1={出现的点数不大于1}, D2={出现的点数大于4}, D3={出现的点数小于6}, E={出现的点数小于7},F={出现的点数大于6}, G={出现的点数为偶数}, H={出现的点数为奇数},等等. 如果事件C5发生或C6发生,就意味着哪个事件发 生?反之成立吗?

事件D2发生当且仅当事件C5或事件C6发生,C5和C6 的并事件就是事件D2. 若某事件发生,当且仅当事件A发生或事件B发 生,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事 件),记作 A∪B(或A+B). A B

类似地,若某事件发生当且仅当事件A发生且事 件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或 积事件),记作A∩B(或AB),在上述事件中能找 出这样的例子吗? A

B

探究:在掷骰子试验中,可以定义许多事件: C1={出现1点},C2={出现2点}, C3={出现3点},C4={出现4点}, C5={出现5点},C6={出现6点}, D1={出现的点数不大于1}, D2={出现的点数大于4}, D3={出现的点数小于6}, E={出现的点数小于7},F={出现的点数大于6}, G={出现的点数为偶数}, H={出现的点数为奇数},等等. 有没有某事件发生当且仅当事件A发生且事件B 发生的情况? D2∩D3=C5

探究:在掷骰子试验中,可以定义许多事件: C1={出现1点},C2={出现2点}, C3={出现3点},C4={出现4点}, C5={出现5点},C6={出现6点}, D1={出现的点数不大于1}, D2={出现的点数大于4}, D3={出现的点数小于6}, E={出现的点数小于7},F={出现的点数大于6}, G={出现的点数为偶数}, H={出现的点数为奇数},等等. 两个事件的交事件也可能为不可能事件,在上 述事件中能找出这样的例子吗?

两个集合的交可能为空集,两个事件的交事件 也可能为不可能事件,即A∩B=Ф,此时,称事件 A与事件B互斥. A B

事件A与事件B互斥的含义怎样理解?

事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生.

若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么 称事件A与事件B互为对立事件.

事件A与事件B互为对立事件的含义怎样理解?

事件A与事件B在任何一次试验中有且只有一个发 生.

探究:在掷骰子试验中,可以定义许多事件: C1={出现1点},C2={出现2点}, C3={出现3点},C4={出现4点}, C5={出现5点},C6={出现6点}, D1={出现的点数不大于1}, D2={出现的点数大于4}, D3={出现的点数小于6}, E={出现的点数小于7},F={出现的点数大于6}, G={出现的点数为偶数}, H={出现的点数为奇数},等等. 在上述事件中能找出互为对立事件吗?

互斥事件与对立事件的区别与联系

互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不 会同时发生,其具体包括三种不同的情形:
(1)事件A发生且事件B不发生; (2)事件A不发生且事件B发生; (3)事件A与事件B同时不发生.

对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发 生,其包括两种情形;
(1)事件A发生事件B不发生; (2)事件B发生事件A不发生. 对立事件是互斥事件的特殊情形.

探究:事件的关系、运算与集合的关系、运算 十分类似,在它们之间可以建立一个对应关系.如 事件A与B之并对应于两个集合的并A∪B,事件A与B 之交对应于两个集合的交A∩B……因此,可以从集 合的观点来看待事件.请同学们找出事件与集合之 间的其它对应关系.

概率的几个基本性质

1.概率P(A)的取值范围
(1)0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率是1. (3)不可能事件的概率是0.

2.概率的加法公式:
如果事件A与事件B互斥,则

P(A ? B)= P(A) + P(B)

3.对立事件的概率公式
若事件A,B为对立事件,则

P(B)=1-P(A)

例:某射手射击一次,射中10环、9环、8环、7环 的概率分别是0.24、0.28、0.19、0.16,计算这名射 手射击一次 (1)射中10环或9环的概率; (2)至多射中7环的概率. 解:(1)设事件A为“射中10环”, 事件B为“射中9环”,

则A和B是互斥事件. 所以射中10环或9环的概率
P=P(A)+P(B)=0.52

例:某射手射击一次,射中10环、9环、8环、7环 的概率分别是0.24、0.28、0.19、0.16,计算这名射 手射击一次 (1)射中10环或9环的概率; (2)至多射中7环的概率. 解:(2)设事件C为“至多射中7环”, 事件D为“射中8环或8环以上”, 则C和D是对立事件.

所以P(C)=1-P(D)=1-(0.19+0.52)=0.29
即至多射中7环的概率是0.29.

练习:如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽 取一张,那么取到红心(事件A)的概率是 到方片(事件B)的概率是

1 4

,取

1 4

,问:

(l)取到红色牌(事件C)的概率是多少? (2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少? P(C)=P(A∪B)= P(A)+P(B)=0.5,

P(D)=1- P(C)=0.5.

小结
1、事件的各种关系与运算,如事件的包含关系, 事件的交、并,互斥事件和互为对立事件,可以类比 集合的关系与运算. 2、概率的几个基本性质


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