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2013届高三数学全程复习04 第四编 三角函数及三角恒等变换(共46页)教学案 新人教版


第四编 §4.1

三角函数及三角恒等变换

任意角和弧度制及任意角的三角函数

基础自测 1.A={小于 90°的角},B={第一象限的角},则 A∩B= ①{小于 90°的角} ③{第一象限的角} 答案 ④ . ②{0°~90°的角} ④以上都不对 (填序号).

2.将表的分针拨慢 10 分钟,则分针转过的角的弧度数是 答案

? 3
2

3.已知扇形的周长是 6 cm,面积是 2 cm ,则扇形的中心角的弧度数是 答案 1 或 4 4.已知角 ? 终边上一点 P 的坐标是(2sin2,-2cos2),则 sin ? = 答案 -cos2 5. ? 是第二象限角,P(x, 5 )为其终边上一点,且 cos ? = 答案 .

.

2 x ,则 sin ? = 4

.

10 4

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例1 解

若 ? 是第二象限的角,试分别确定 2 ? , ∵ ? 是第二象限的角,

? ? , 的终边所在位置. 2 2

∴k?360°+90°< ? <k?360°+180°(k∈Z). (1)∵2k?360°+180°<2 ? <2k?360°+360°(k∈Z) , ∴2 ? 是第三或第四象限的角,或角的终边在 y 轴的非正半轴上. (2)∵k?180°+45°< 当 k=2n(n∈Z)时, n?360°+45°<

? <k?180°+90°(k∈Z) , 2

? <n?360°+90°; 2

当 k=2n+1(n∈Z)时,

-1-

n?360°+225°< ∴

? <n?360°+270°. 2

? 是第一或第三象限的角. 2 ? <k?120°+60°(k∈Z) , 3

(3)∵k?120°+30°< 当 k=3n(n∈Z)时, n?360°+30°<

? <n?360°+60°; 3 ? <n?360°+180°; 3

当 k=3n+1(n∈Z)时, n?360°+150°<

当 k=3n+2(n∈Z)时, n?360°+270°< ∴ 例2

? <n?360°+300°. 3

? 是第一或第二或第四象限的角. 3
(1)一个半径为 r 的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的长,那么扇形的圆心角是多少弧度?是多

少度?扇 形的面积是多少? (2)一扇形的周长为 20 cm,当扇形的圆心角 ? 等于多少弧度时,这个扇形的面积最大? 解 (1)设扇形的圆心角是 ? rad,因为扇形的弧长是 r ? , 所以扇形的周长是 2r+r ? . 依题意,得 2r+r ? = ? r,
? 180 ? ∴ ? = ? -2=( ? -2)? ? ? ? ? ?
?

≈1.142?57.30°≈65.44°≈65°26′, ∴扇形的面积为 S=

1 2 1 2 r ? = ( ? -2)r . 2 2

(2)设扇形的半径为 r,弧长为 l,则 l+2r=20, 即 l=20-2r (0<r<10) 扇形的面积 S= S= ①

1 lr,将①代入,得 2

1 2 2 (20-2r)r=-r +10r=-(r-5) +25, 2

所以当且仅当 r=5 时,S 有最大值 25.此时 l=20-2?5=10, ? =

l =2. r

所以当 ? =2 rad 时,扇形的面积取最大值. 例3 解 (14 分)已知角 ? 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin ? ,cos ? ,tan ? 的值. ∵角 ? 的终边在直线 3x+4y=0 上, 2分 则 x=4t,y=-3t,

∴在角 ? 的终边上任取一点 P(4t,-3t) (t≠0),

-2-

r= x2 ? y 2 ? (4t )2 ? (?3t )2 ? 5 t , 4分 当 t>0 时,r=5t, sin ? = tan ? =
y ?3t 3 x 4t 4 ? ? ? ,cos ? = ? ? , r 5t 5 r 5t 5 y ?3t 3 ? ?? ; x 4t 4

8分 当 t<0 时,r=-5t,sin ? = cos ? = tan ? =
x 4t 4 ? ?? , r ? 5t 5 y ?3t 3 ? ?? . x 4t 4 y ?3t 3 ? ? , r ? 5t 5

12 分 综上可知,t>0 时,sin ? = ? t<0 时,sin ? = 14 分 例4 在单位圆中画出适合下列条件的角 ? 的终边的范围,并由此写出角 ? 的集合:
1 3 ;(2)cos ? ≤ ? . 2 2

4 3 3 ,cos ? = ,tan ? = ? ; 4 5 5

4 3 3 ,cos ? =- ,tan ? = ? . 5 4 5

(1)sin ? ≥ 解

(1)作直线 y=

3 交单位圆于 A、B 两点,连结 OA、OB,则 OA 与 OB 围成的区域即为角 ? 的 2

终边的范围,故满足条件的角 ? 的集合为

? |2k ? +

? 2 ≤ ? ≤2k ? + ? ,k∈Z . 3 3
1 交单位圆于 C、D 两点,连结 OC、OD,则 OC 与 OD 围成的区域(图中阴影部分) 2

(2)作直线 x= ?

即为角 ? 终边的范围.故满足条件的角 ? 的集合为

? |2k ? +

2 4 ? ≤ ? ≤2k ? + ? ,k∈Z 3 3

.

1.已知 ? 是第三象限角,问 解

? 是哪个象限的角? 3

∵ ? 是第三象限角,∴180°+k?360°< ? <270°+k?360°(k∈Z) ,

60°+k?120°<

? <90°+k?120°. 3

-3-

①当 k=3m(m∈Z)时,可得 60°+m?360°< 故

? <90°+m?360°(m∈Z). 3

? 的终边在第一象限. 3 ? <210°+m?360°(m∈Z). 3

②当 k=3m+1 (m∈Z)时,可得 180°+m?360°< 故

? 的终边在第三象限. 3 ? <330°+m?360°(m∈Z). 3

③当 k=3m+2 (m∈Z)时,可得 300°+m?360°< 故

? 的终边在第四象限. 3 ? 是第一、第三或第四象限的角. 3

综上可知,

2.已知扇形 OAB 的圆心角 ? 为 120°,半径长为 6, (1)求 的弧长;
2? rad,r=6, 3

(2)求弓形 OAB 的面积. 解 (1)∵ ? =120°= ∴ 的弧长为 l=

2? ?6=4 ? . 3

(2)∵S 扇形 OAB=

1 1 lr= ?4 ? ?6=12 ? , 2 2

S△ABO=

1 2 2? 1 3 2 r ?sin = ?6 ? =9 3 , 3 2 2 2

∴S 弓形 OAB=S 扇形 OAB-S△ABO=12 ? -9 3 . 3.已知角 ? 的终边在 y 轴上,求 sin ? 、cos ? 、tan ? 的值. 解 ∵角 ? 的终边在 y 轴上, ∴可在 ? 的终边上任取一点(0,t)(t≠0),即 x=0,y=t. ∴r= x 2 ? y 2 = 0 2 ? t 2 =|t|. 当 t>0 时,r=t, sin ? =
y t y x 0 = =1,cos ? = = =0,tan ? = 不存在; r t r t x y t = =-1, r ?t

当 t<0 时,r=-t,sin ? = cos ? =

0 y x = =0,tan ? = 不存在. r ?t x

综上可知:sin ? =±1,cos ? =0,tan ? 不存在. 4.求下列函数的定义域:

-4-

2 (1)y= 2 cos x ? 1 ; (2)y=lg(3-4sin x).



(1)∵2cosx-1≥0,∴cosx≥

1 . 2

由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影所示).

? ?? ? ∴x∈ ?2k? ? ,2k? ? ? (k∈Z). 3 3? ?
(2)∵3-4sin x>0,∴sin x<
2 2

3 , 4

∴-

3 3 <sinx< . 2 2

利用三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如右图阴影), ∴x∈(k ? -

? ? ,k ? + ) (k∈Z). 3 3

一、填空题 1.已知 cos ? ?tan ? <0,那么角 ? 是第 答案 三或四 象限角.

2.若 0<x< 答案 >

? ,则 sinx 2

4

?2

x (用“>”,“<”或“=”填空).

2

3.与 610°角终边相同的角表示为 答案 k?360°+250°(k∈Z) 4.已知( 答案 答案

.

1 sin2 ? ) <1,则 ? 所在象限为第 2
一或三

象限.

5.已知点 P(tan ? ,cos ? )在第三象限,则角 ? 的终边在第 二

象限.

? ? ?? 6.已知 ? ∈ ? ? , ? 且 sin ? +cos ? =a,其中 a∈(0,1) ,则关于 tan ? 的值,以下四个答案中,可能正确的 ? 2 2?
是 ①-3 答案 ③ (填序号). ②3 或

1 3

③-

1 3

④-3 或-

1 3

7.已知角 ? 的终边落在直线 y=-3x (x<0)上,则 答案 2

sin ? sin ?

?

cos? cos?

?

.

8.某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5 cm,秒针均匀地绕点 O 旋转,当时间 t=0 时,点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合.将 A、B 两点间的距离 d(cm)表示成 t(s)的函数,则 d= 答案 10sin ,其中 t∈[0,60].

?t 60

-5-

二、解答题 9.已知 sin ? = 解
3a ? 1 1? a ,cos ? = ,若 ? 是第二象限角,求实数 a 的值. 1? a 1? a

∵ ? 是第二象限角,∴sin ? >0,cos ? <0,

1? a ? ?0 ? sin ? ? 1 ? a ? 1 1 ? ∴? ,解得 0<a< . 3a ? 1 3 ?? 1 ? cos? ? ?0 ? 1? a ?
又∵sin ? +cos ? =1,
2 2

? 1 ? a ? ? 3a ? 1 ? ∴? ? ?? ? ?1 , ? 1? a ? ? 1? a ?

2

2

解得 a=

1 1 或 a=1(舍去) ,故实数 a 的值为 . 9 9

10.(1)已知扇形的周长为 10,面积为 4,求扇形中心角的弧度数; (2)已知扇形的周长为 40,当它的半径和中心角取何值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少? 解 设扇形半径为 R,中心角为 ? ,所对的弧长为 l.

?1 2 ? ?R ? 4, (1)依题意,得 ? 2 ??R ? 2 R ? 10, ?

∴2 ? -17 ? +8=0,∴ ? =8 或
2

1 . 2

∵8>2π ,舍去,∴ ? =

1 . 2

(2)扇形的周长为 40,∴ ? R+2R=40, S=
1 ? ?R ? 2 R ? 1 1 1 2 lR= ? R = ? R?2R≤ ? ? ? 100 . 2 2 2 4 4 ? ?
2

当且仅当 ? R =2R,即 R=10, ? =2 时面积取得最大值,最大值为 100. 11.设 ? 为第三象限角,试判断 解 ∵ ? 为第三象限角,
3? 2

sin cos

? ?
2 的符号. 2

∴2k ? + ? < ? <2k ? + k? +

(k∈Z),

?
2

?

?
2

? k? ?

3? (k∈Z). 4

当 k=2n (n∈Z)时,2n ? + 此时

?
2

?

?
2

3 ? 2n? ? ? , 4

? 在第二象限. 2

∴sin

? ? >0,cos <0. 2 2

sin
因此

? ?
2 <0. 2

cos

-6-

当 k=2n+1(n∈Z)时, 3? ? ? (2n+1) ? + < <(2n+1) ? + (n∈Z), 2 2 4 3? ? 7? 即 2n ? + < <2n ? + (n∈Z) 2 2 4 ? 此时 在第四象限. 2 ? sin ? ? 2 <0, ∴sin <0,cos >0,因此 ? 2 2 cos 2 ? sin 2 <0. 综上可知: ? cos 2 12.角 ? 终边上的点 P 与 A(a,2a)关于 x 轴对称(a≠0) ,角 ? 终边上的点 Q 与 A 关于直线 y=x 对称,求 sin ? ?cos ? +sin ? ?cos ? +tan ? ?tan ? 的值. 解 由题意得,点 P 的坐标为(a,-2a),
?2a a ? (?2a)
2 2

点 Q 的坐标为(2a,a). sin ? = cos ? = tan ? = sin ? = cos ? =
? ?
2

?2a 5a 2 a 5a 2

, ,

a a ? (?2a)
2

?2a ? ?2 , a
a ( 2a ) ? a
2 2

? ?

a 5a 2 2a 5a 2

, ,

2a ( 2a ) 2 ? a 2

tan ? =

a 1 ? , 2a 2

故有 sin ? ?cos ? +sin ? ?cos ? +tan ? ?tan ? =
?2a 5a
2

?

a 5a
2

?

a 5a
2

?

2a 5a
2

? (?2) ?

1 =-1. 2

-7-

§4.2

同角三角函数的基本关系与诱导公式

基础自测 1.(2008?常州模拟)sin ( ? + ? )-cos( ? + ? )?cos(- ? )+1 的值为
2

.

答案 2 2.sin210°= 答案 .

?

1 2 1 ? 3? ? ,且 ? ∈ ? ? , ? ,则 sin ? 的值是 2 2 ? ?
.

3.已知 tan ? =

答案 4.若

?

5 5
? 3? ? ?? ? = ? 2 ? ?
.

sin ? ? cos? =2,则 sin( ? -5 ? )?sin sin ? ? cos?

答案

3 10

5.已知 sin ? = 答案

5 4 4 ,则 sin ? -cos ? 的值为 5

.

?

3 5

-8-

例1

已知 f( ? )=

sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) tan(?? ? ? ) ; ? tan(?? ? ? ) sin(?? ? ? )

(1)化简 f( ? );

3? ? 1 ? (2)若 ? 是第三象限角,且 cos ?? ? ? ? ,求 f( ? )的值. 2 ? 5 ?
解 (1)f( ? )=
sin ? ? cos? ? (? tan ? ) =-cos ? . tan ? sin ?

3? ? ? (2)∵cos ?? ? ? =-sin ? , 2 ? ?
∴sin ? =∴f( ? )= 例2
5 2 ? 12 2 1 ?? 6 , ,cos ? =5 5 5

2 6. 5

(14 分)已知-

? 1 <x<0,sinx+cosx= . 2 5

(1)求 sinx-cosx 的值; (2)求 解

1 cos2 x ? sin 2 x

的值.

(1)方法一

联立方程:

1  ? ?sin x ? cos x ?   5 ? ?sin 2 x ? cos2 x ? 1  ?
2分 由①得 sinx=
2

① ②

1 -cosx,将其代入②,整理得 5

25cos x-5cosx-12=0. 4分 ∵? <x<0, 2

3 ? ?sin x ? ? 5 ? ∴? , ?cos x ? 4 ? 5 ?
所以 sinx-cosx=7分 方法二 ∵sinx+cosx=
2

7 . 5

1 , 5

2 ?1? ∴(sinx+cosx) = ? ? , ?5?

-9-

即 1+2sinxcosx= ∴2sinxcosx=2分

1 , 25

24 . 25
2 2

∵(sinx-cosx) =sin x-2sinxcosx+cos x =1-2sinxcosx=1+ 4分 又∵24 49 = 25 25

2



? <x<0,∴sinx<0,cosx>0, 2


∴sinx-cosx<0 由①②可知:sinx-cosx=7分 (2)由已知条件及(1)可知

7 . 5

1 3 ? ? ?sin x ? cos x ? 5 ?sin x ? ? 5 ? ? ,解得 ? , ? ?cos x ? 4 ?sin x ? cos x ? ? 7 ? ? 5 5 ? ?
9分 ∴tanx=11 分 又∵

3 . 4

1 cos2 x ? sin 2 x

?

sin 2 x ? cos2 x cos2 x ? sin 2 x

sin 2 x ? cos2 x

=

cos2 x cos x ? sin 2 x
2

cos2 x

=

tan2 x ? 1 1 ? tan2 x
13 分
2

? 3? ?? ? ?1 25 4? ? =? . 2 7 ? 3? 1? ?? ? ? 4?

14 分 例3 (1) 已知 tan ? =2,求下列各式的值:
2 sin ? ? 3 cos? ; 4 sin ? ? 9 cos?

(2)

2 sin 2 ? ? 3 cos2 ? 4 sin 2 ? ? 9 cos2 ?
2

;
2

(3)4sin ? -3sin ? cos ? -5cos ? .

- 10 -



(1)原式=

2 tan ? ? 3 2 ? 2 ? 3 ? ? ?1 . 4 tan ? ? 9 4 ? 2 ? 9

(2)

2 sin 2 ? ? 3 cos2 ? 4 sin ? ? 9 cos ?
2 2
2 2 2

?

2 tan2 ? ? 3 4 tan ? ? 9
2
2

?

2 ? 22 ? 3 4 ? 22 ? 9

?

5 . 7

(3)∵sin ? +cos ? =1, ∴4sin ? -3sin ? cos ? -5cos ? = =

4 sin 2 ? ? 3 sin ? cos? ? 5 cos2 ? sin 2 ? ? cos2 ? 4 tan2 ? ? 3 tan ? ? 5 tan ? ? 1
2

?

4 ? 4 ? 3? 2 ? 5 ?1. 4 ?1

3? ? ? tan(? ? ? ) cos(2? ? ? ) sin ? ? ? ? ? 2 ? ? 1.化简 . cos(?? ? ? ) sin( ?? ? ? )



? ? ? (? tan ? ) ? cos?? ? (? ? ? )? ? sin ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 原式= cos(? ? ? ) ? ?? sin(? ? ? )?

? ?? ?? (? tan ? ) ? ?? cos(? ? ? )? ? ?? sin ? ? ? ?? ?2 ?? ? = (? cos? ) ? sin ?
=
? tan ? ? cos? ? (? cos? ) ? tan ? ? cos? = ? cos? ? sin ? sin ? sin ? cos a ? =-1. cos a sin ?

=?

2.已知 sin ? +cos ? =

1 , ? ∈(0, ? 5

).求值:
3 3

(1)tan ? ;(2)sin ? -cos ? ;(3)sin ? +cos ? . 解 方法一 ∵sin ? +cos ? =
2

1 , ? ∈(0, ? ), 5

∴(sin ? +cos ? ) = ∴sin ? cos ? =-

1 =1+2sin ? cos ? , 25

12 <0. 25

由根与系数的关系知, sin ? ,cos ? 是方程 x 2

12 1 x=0 的两根, 5 25

解方程得 x1=

4 3 ,x2=- . 5 5

- 11 -

∵sin ? >0,cos ? >0,∴sin ? = ∴(1)tan ? =-

4 3 ,cosθ =- . 5 5

4 . 3 7 . 5
37 . 125
2

(2)sin ? -cos ? =
3 3

(3)sin ? +cos ? = 方法二

(1)同方法一.

(2) (sin ? -cos ? ) =1-2sin ? ?cos ?

? 12 ? 49 =1-2? ? ? ? = . ? 25 ? 25
∵sin ? >0,cos ? <0,∴sin ? -cos ? >0, ∴sin ? -cos ? =
3 3

7 . 5
2 2

(3)sin ? +cos ? =(sin ? +cos ? )(sin ? -sin ? cos ? +cos ? ) =

1 ? 12 ? 37 ? ?1 ? . ?= 5 25 ? 125 ?
4 sin ? ? 2 cos? ; 5 cos? ? 3 sin ?

3.已知 sin( ? +k ? )=-2cos( ? +k ? ) (k∈Z). 求:(1) (2) 解

1 2 2 2 sin ? + cos ? . 4 5
由已知得 cos( ? +k ? )≠0,
4 sin ? ? 2 cos? 4 tan ? ? 2 ? ? 10 . 5 cos? ? 3 sin ? 5 ? 3 tan ?

∴tan( ? +k ? )=-2(k∈Z),即 tan ? =-2. (1)

1 2 2 sin ? ? cos2 ? 1 2 2 2 5 (2) sin ? + cos ? = 4 4 5 sin 2 ? ? cos2 ? 1 2 tan 2 ? ? 4 5 ? 7 . = 25 tan 2 ? ? 1

一、填空题 1. ? 是第四象限角,tan ? = ? 答案
? 5 13
5 ,则 sin ? = 12

.

- 12 -

2.(2008?浙江理)若 cos ? +2sin ? =- 5 ,则 tan ? = 答案 2

.

3.(2008?四川理)设 0≤ ? <2 ? ,若 sin ? > 3 cos ? ,则 ? 的取值范围是 答案

.

? ? 4? ? ? , ? ?3 3 ?
12 ,则 sin ? = 13
. .

4. ? 是第四象限角,cos ? =
2

5.sin ( ? + ? )-cos( ? + ? )cos(- ? )+1 的值为 答案 2 6.若 sin ? +cos ? =tan ? 答案

?? ? ? 0 ? ? ? ? ,则 ? 的取值范围是 2? ?

.

?? ? ? ? , ? ?4 3?
1 ?? ? ,且 ? 是第四象限的角,那么 cos ?? ? ? = 5 2? ?
.

7.如果 cos ? =

答案

2 6 5
sin 2 (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos(?? ? 2? ) tan(? ? ? ) ? sin 3 (

8.化简:

?

=

.

2

? ? ) ? sin( ?? ? 2? )

答案 1 二、解答题 9.已知 cos( ? + ? )=(1)sin(2 ? - ? ); (2)

1 ,且 ? 是第四象限角,计算: 2

sin ?? ? (2n ? 1)? ? ? sin ?? ? (2n ? 1)? ? (n∈Z). sin(? ? 2n? ) ? cos(? ? 2n? )
∵cos( ? + ? )=-



1 1 1 ,∴-cos ? =- ,cos ? = , 2 2 2

又∵ ? 是第四象限角,∴sin ? =- 1 ? cos2 ? ? ? (1)sin(2 ? - ? )=sin[2 ? +(- ? )] =sin(- ? )=-sin ? = (2) =

3 . 2

3 . 2

sin ?? ? (2n ? 1)? ? ? sin ?? ? (2n ? 1)? ? sin(? ? 2n? ) ? cos(? ? 2n? )

sin( 2n? ? ? ? ? ) ? sin( ?2n? ? ? ? ? ) sin( 2n? ? ? ) ? cos(?2n? ? ? )
sin(? ? ? ) ? sin( ?? ? ? ) sin ? ? cos? ?2 sin ? 2 ? sin ? ? sin(? ? ? ) = =? =-4. sin ? ? cos? sin ? ? cos? cos?

= =

- 13 -

10.化简: 解 =

1 ? cos4 ? ? sin 4 ? 1 ? cos6 ? ? sin 6 ?
原式=

.

方法一

(cos2 ? ? sin 2 ? ) 2 ? cos4 ? ? sin 4 ? (cos2 ? ? sin 2 ? ) 3 ? cos6 ? ? sin 6 ?
2 2

2 cos2 ? ? sin 2 ? 3 cos ? sin ? (cos ? ? sin ? )
2 2

?

2 . 3

方法二

原式=

(1 ? cos2 ? )(1 ? cos2 ? ) ? sin 4 ? (1 ? cos2 ? )(1 ? cos2 ? ? cos4 ? ) ? sin 6 ?



方法一

当 k 为偶数时,设 k=2m (m∈Z),则

方法二

由(k ? + ? )+(k ? - ? )=2k ? ,

[(k-1) ? - ? ]+[(k+1) ? + ? ]=2k ? , 得 sin(k ? - ? )=-sin(k ? + ? ), cos[(k-1) ? - ? ]=cos[(k+1) ? + ? ] =-cos(k ? + ? ), sin[(k+1) ? + ? ]=-sin(k ? + ? ).

12.已知 sin( ? - ? )-cos( ? + ? )= (1)sin ? -cos ? ;

2 ?? ? ? ? ? ? ? ? .求下列各式的值: 3 ?2 ?

- 14 -

1. ①在(0,

? )上递减; 2
(写出一个你认为正确的即可).

②以 2 ? 为周期; ③是奇函数.写出一个同时满足上述条件的函数 答案 y=-sinx

?? ? ? 2.(2009?东海高级中学高三调研)将函数 y=sin ? 2 x ? ? 的图象先向左平移 ,然后将所得图象上所有的 3 3? ?
点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,则所得到的图象对应的函数解析式为 .

?? ? 答案 y=sin ? x ? ? 3? ?
3.设函数 y=acosx+b(a、b 为常数)的最大值是 1,最小值是-7,那么 acosx+bsinx 的最大值是 答案 5 4.函数 y=|sinx|的一个单调增区间是 (写出一个即可). .

- 15 -

答案

? 3? ? ?? , ? 2 ? ?
.
2

5.(2008?全国Ⅱ理)若动直线 x=a 与函数 f(x)=sinx 和 g(x)=cosx 的图象分别交于 M、N 两点,则|MN|的最 大值为 答案

例1

求下列函数的定义域:

(1)y=lgsin(cosx);(2)y= sin x ? cos x . 解 (1)要使函数有意义,必须使 sin(cosx)>0.

∵-1≤cosx≤1,∴0<cosx≤1. 方法一 方法二 利用余弦函数的简图得知定义域为{x|-

? ? +2k ? <x< +2k ? ,k∈Z}. 2 2

利用单位圆中的余弦线 OM,依题意知 0<OM≤1,

∴OM 只能在 x 轴的正半轴上, ∴其定义域为

? ? ? ? ?x | ? ? 2k? ? x ? ? 2k? , k ? ?? . 2 2 ? ?
(2)要使函数有意义,必须使 sinx-cosx≥0. 方法一 利用图象.在同一坐标系中画出[0,2 ? ]上 y=sinx 和 y=cosx 的图象,如图所示.

在[0,2 ? ]内,满足 sinx=cosx 的 x 为

? 5? , ,再结合正弦、余弦函数的周期是 2 ? , 4 4

5? ? ? ? 所以定义域为 ?x | ? 2k? ? x ? ? 2k? , k ? ?? . 4 ? 4 ?
方法二 利用三角函数线, 如图 MN 为正弦线,OM 为余弦线, 要使 sinx≥cosx,即 MN≥OM, 则

? 5? ≤x≤ (在[0,2 ? ]内). 4 4

∴定义域为

5? ? ? ? ? 2k? , k ?Ζ ? ?x | ? 2k? ? x ? 4 ? 4 ?
方法三

?? ? sinx-cosx= 2 sin ? x ? ? ≥0, 4? ?

- 16 -

将 x-

? 视为一个整体,由正弦函数 y=sinx 的图象和性质 4 ? ≤ ? +2k ? , 4

可知 2k ? ≤x解得 2k ? +

? 5? ≤x≤ +2k ? ,k∈Z. 4 4

? 5? ? ? 所以定义域为 ?x | 2kx ? ? x ? ? 2k? , k ?Ζ ? . 4 4 ? ?
例2 求下列函数的值域:
sin 2 x sin x ; 1 ? cos x

(1)y=

(2)y=sinx+cosx+sinxcosx;

?? ? (3)y=2cos ? ? ? ? +2cosx. ?3 ?
解 (1)y=
2 sin x cos x sin x 2 cos x(1 ? cos2 x) = 1 ? cos x 1 ? cos x
2

1? 1 ? 2 =2cos x+2cosx=2 ? cos? ? - . 2? 2 ?

于是当且仅当 cosx=1 时取得 ymax=4,但 cosx≠1, ∴y<4,且 ymin=-

1 1 ,当且仅当 cosx=- 时取得. 2 2

? 1 ? 故函数值域为 ?? ,4 ? . ? 2 ?
(2)令 t=sinx+cosx,则有 t =1+2sinxcosx, 即 sinxcosx= 有 y=f(t)=t+
2

t2 ?1 . 2 t2 ?1 1 = (t ? 1) 2 ? 1 . 2 2

?? ? 又 t=sinx+cosx= 2 sin ? x ? ? , 4? ?
∴- 2 ≤t≤ 2 . 故 y=f(t)=
1 (t ? 1) 2 ? 1 (- 2 ≤t≤ 2 ), 2

从而知:f(-1)≤y≤f(2),即-1≤y≤ 2 +

1 . 2

? 即函数的值域为 ?? 1, 2 ? ?

1? . 2? ?

?? ? (3)y=2cos ? ? x ? +2cosx ?3 ?
=2cos

? ? cosx-2sin sinx+2cosx 3 3

=3cosx- 3 sinx

- 17 -

? 3 ? 1 =2 3 ? cos x ? sin x ? ? 2 ? 2 ? ?

?? ? =2 3 cos ? x ? ? . 6? ?
?? ? ∵ cos? x ? ? ≤1 6? ?
∴该函数值域为[-2 3 ,2 3 ]. 例3 解

?? ? (14 分)求函数 y=2sin ? ? x ? 的单调区间. ?4 ?
方法一

?? ? y=2sin ? ? x ? 化成 ?4 ?
1分

?? ? y=-2sin ? x ? ? . 4? ?
∵y=sinu(u∈R)的递增、递减区间分别为

? ?? ? ?2k? ? 2 ,2k? ? 2 ? (k∈Z), ? ?

? 3? ? ? ?2k? ? 2 ,2k? ? 2 ? (k∈Z), ? ?


4

?? ? ∴函数 y=-2sin ? x ? ? 的递增、递减区间分别由下面的不等式确定 4? ?
2k ? +

? ? 3? ≤x- ≤2k ? + (k∈Z), 2 4 2
7? 3? ≤x≤2k ? + (k∈Z), 4 4

即 2k ? + 2k ? -

8分

? ? ? ≤x- ≤2k ? + (k∈Z), 2 4 2 ? 3? ≤x≤2k ? + (k∈Z). 4 4
12 分

即 2k ? -

? 3? ? ?? ? ? ∴函数 y=2sin ? ? x ? 的单调递减区间、单调递增区间分别为 ?2k? ? ,2k? ? (k∈Z), 4 4? ? ? ?4 ?
3? 7? ? ? ?2k? ? 4 ,2k? ? 4 ? (k∈Z). ? ?
方法二 14 分 2分

? ?? ? y=2sin ? ? x ? 可看作是由 y=2sinu 与 u= ? x 复合而成的. 4 4 ? ? ?
4 ? x 为减函数,

又∵u=

∴由 2k ? -2k ? -

? ? ≤u≤2k ? + (k∈Z), 2 2
(k∈Z).

? 3? ≤x≤-2k ? + 4 4

- 18 -

? 3? ? ? ?? ? 即 ?? 2k? ? ,?2k? ? ? (k∈Z)为 y=2sin ? 4 ? x ? 的递减区间. 4 4? ? ? ?
由 2k ? + 即 2k ? + -2k ? -

? 3? ≤u≤2k ? + 2 2

(k∈Z),

? ? 3? ≤ -x≤2k ? + (k∈Z)得 2 4 2

5? ? ≤x≤-2k ? (k∈Z), 4 4

5? ?? ? ?? ? 即 ?? 2k? ? ,?2k? ? ? (k∈Z)为 y=2sin ? ? x ? 的递增区间. 4 4? ?4 ? ? ?? ? 综上可知:y=2sin ? ? x ? 的递增区间为 ?4 ? 5? ?? ? ; ?? 2k? ? 4 ,?2k? ? 4 ? (k∈Z) ? ?

12 分

? 3? ? ? 递减区间为 ?? 2k? ? ,?2k? ? (k∈Z). 4 4? ? ?

14 分

1.求 f(x)= 1 ? 2 cos( ? x) 的定义域和值域. 2 解 是

?

2 ?? ? 由函数 1- 2 cos ? ? x ? ≥0,得 sinx≤ ,利用单位圆或三角函数的图象,易得所求函数的定义域 2 ?2 ?

5? ? ? ? ? x ? 2k? ? , k ? Z? . ?x | 2k? ? 4 4 ? ? 2 ?? ? 当 sinx=cos ? ? x ? = 时,ymin=0; 2 2 ? ? ?? ? 当 sinx=cos ? ? x ? =-1 时,ymax= 1? 2 . ?2 ?
所以函数的值域为[0, 1? 2 ]. 2.已知函数 f(x)= 解

2 cos4 x ? 3 cos2 x ? 1 ,求它的定义域和值域,并判断它的奇偶性. cos 2 x

由题意知 cos2x≠0,得 2x≠k ? +
k? ? ? (k∈Z). 2 4

? , 2

解得 x≠

所以 f(x)的定义域为

k? ? ? ? 且 ? , k ?Z ? . ?x x ?R , x ? 2 4 ? ?

- 19 -

又 f(x)=
2

2 cos4 x ? 3 cos2 x ? 1 (2 cos2 x ? 1) cos2 x ? 1 = cos 2 x cos 2 x
2

=cos x-1=-sin x. 又定义域关于原点对称,∴f(x)是偶函数. 显然-sin x∈[-1,0] ,但∵x≠ ∴-sin x≠2 2

k? ? ? ,k∈Z. 2 4

1 . 2

所以原函数的值域为

1 1 ? ? ? y | ?1 ? y ? ? 或? ? y ? 0? . 2 2 ? ? ?? ? 3.(1)求函数 y=sin ? ? 2x ? 的单调递减区间; ?3 ?

?? x? (2)求 y=3tan ? ? ? 的周期及单调区间. ? 6 4?
解 (1)方法一

?? ? 令 u= ? ? 2x ? ,y=sinu,利用复合函数单调性, 3 ? ?

由 2k ? 2k ? -k ? -

? ? ? ≤-2x+ ≤2k ? + (k∈Z),得 2 2 3

5? ? ≤-2x≤2k ? + (k∈Z), 6 6

? 5? ≤x≤-k ? + (k∈Z), 12 12

即 k? -

?
12

≤x≤k ? +

5? (k∈Z). 12

∴原函数的单调递减区间为

? 5? ? ? ?k? ? 12 , k? ? 12 ? (k∈Z). ? ?
方法二 由 2k ? -

?? ?? ? ? 由已知函数 y=-sin ? 2 x ? ? ,欲求函数的单调递减区间, 只需求 y=sin ? 2 x ? ? 的单调递增区间. 3? 3? ? ?
? ? ? ≤2x- ≤2k ? + (k∈Z), 2 2 3

解得 k ? -

?
12

≤x≤k ? +

5? (k∈Z). 12

? 5? ? ? ∴原函数的单调递减区间为 ?k? ? , k? ? (k∈Z). 12 12 ? ? ?
?? x? ?x ?? (2)y=3tan ? ? ? =-3tan ? ? ? , 6 4? ? ?4 6?
∴T=

? ?? x? =4 ? ,∴y=3tan ? ? ? 的周期为 4 ? . ? ? 6 4?
? ? x ? < ? <k ? + , 2 2 4 6
4? 8? <x<4k ? + 3 3

由 k? -

得 4k ? -

(k∈Z),

- 20 -

?x ?? y=3tan ? ? ? 的单调增区间是 ?4 6?
4? 8? ? ? ,4k? ? ? 4k? ? ? (k∈Z) 3 3 ? ?

?? x? ∴y=3tan ? ? ? 的单调递减区间是 ? 6 4?
4? 8? ? ? ,4k? ? ? 4k? ? ? (k∈Z). 3 3 ? ?

一、填空题

? ? ?? 1.已知函数 y=tan ? x 在 ? ? , ? 内是减函数,则 ? 的范围是 ? 2 2?
答案 -1≤ ? <0

.

2.(2009?徐州模拟)函数 f(x)=sinx- 3 cosx (x∈[- ? ,0])的单调递增区间是 答案

.

? ? ? ?? 6 ,0? ? ?

3.函数 f(x)=tan ? x ( ? >0)的图象的相邻的两支截直线 y= 答案 0 4.函数 y=2sin( 答案

? ? ? 所得线段长为 ,则 f ( ) 的值是 4 4 4

.

? -2x)(x∈[0, ? ])为增函数的区间是 6

.

? ? 5? ? ?3, 6 ? ? ?
.

5.函数 f(x)=lg(sin2x+ 3 cos2x-1)的定义域是 答案

? ? ? ? ?x | k? ? ? x ? k? ? , k ? ?? 12 4 ? ?

6.给出下列命题:

?? ?2 ①函数 y=cos ? x ? ? 是奇函数; 2? ?3
②存在实数 ? ,使得 sin ? +cos ? =

3 ; 2

③若 ? 、 ? 是第一象限角且 ? < ? ,则 tan ? <tan ? ; ④x=

? 5? ? ? 是函数 y=sin ? 2 x ? ? 的一条对称轴方程; 4 ? 8 ?

?? ? ?? ? ⑤函数 y=sin ? 2 x ? ? 的图象关于点 ? ,0 ? 成中心对称图形. 3? ? ? 12 ?
其中命题正确的是 答案 ①④ (填序号).

- 21 -

7.(2008?江苏,1)f(x)=cos( ? x答案 10

? ? )最小正周期为 ,其中 ? >0,则 ? = 6 5

.

8.(2009?东海高级中学高三调研)定义在 R 上的函数 f(x):当 sinx≤cosx 时,f(x)=cosx;当 sinx>cosx 时,f(x)=sinx.给出以下结论: ①f(x)是周期函数 ②f(x)的最小值为-1 ③当且仅当 x=2k ? (k∈Z)时,f(x)取最大值 ④当且仅当 2k ? -

? <x<(2k+1) ? (k∈Z)时,f(x)>0 2
.(把你认为正确命题的序号都填上)

⑤f(x)的图象上相邻最低点的距离是 2 ? . 其中正确命题的序号是 答案 ①④⑤

二、解答题

? ? ?? 9.已知 x∈ ?? , ? ,若方程 mcosx-1=cosx+m 有解,试求参数 m 的取值范围. ? 6 3?
解 由 mcosx-1=cosx+m 得
m ?1 ,作出函数 y=cosx 的图象(如图所示) , m ?1 m ?1 1 ≤ ≤1,解得 m≤-3. m ?1 2

cosx=

由图象可得

? ? 2x ? ? 10.设 a= ? sin 2 , cos x ? sin x ? ,b=(4sinx,cosx-sinx),f(x)=a?b. 4 ? ?
(1)求函数 f(x)的解析式;

? ? 2? ? (2)已知常数 ? >0,若 y=f( ? x)在区间 ?? , ? 上是增函数,求 ? 的取值范围; ? 2 3 ? 2 ? ? ? (3)设集合 A= ?x ? x ? ? ? ,B={x||f(x)-m|<2},若 A ? B,求实数 m 的取值范围. 3 ? ? 6 ? ? 2x 2 解 (1)f(x)=sin 4 ?4sinx+(cosx+sinx)?(cosx-sinx)
?? ? 1 ? cos? ? x ? ?2 ? =4sinx? +cos2x 2

=2sinx(1+sinx)+1-2sin x=2sinx+1, ∴f(x)=2sinx+1. (2)∵f( ? x)=2sin ? x+1, ? >0. 由 2k ? -

2

? ? ≤ ? x≤2k ? + , 2 2

? 2k? ? ? ? 2k? 得 f( ? x)的增区间是 ? ,k∈Z. ? , ? 2? ? 2? ? ? ? ?
? ? 2? ? ∵f( ? x)在 ?? , ? 上是增函数, ? 2 3 ?

- 22 -

? ? 2? ? ? ? ? ? ∴ ?? , ? ? ?? 2? , 2? ? . ? 2 3 ? ? ?
∴-

? 3? ? ? 2? ? ≥? 且 ≤ ,∴ ? ∈ ? 0, ? . ? 4 2 3 2? 2? ? ?

(3)由|f(x)-m|<2,得-2<f(x)-m<2, 即 f(x)-2<m<f(x)+2. ∵A ? B,∴当

? 2 ≤x≤ ? 时, 6 3

不等式 f(x)-2<m<f(x)+2 恒成立. ∴f(x)max-2<m<f(x)min+2, ∵f(x)max=f(

? ? )=3,f(x)min=f( )=2,∴m∈(1,4). 2 6

? ?? 11.定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周期是 ? ,且当 x∈ ?0, ? 时,f(x) ? 2?
=sinx. (1)求当 x∈[- ? ,0]时,f(x)的解析式; (2)画出函数 f(x)在[- ? , ? ]上的函数简图; (3)求当 f(x)≥ 解

1 时,x 的取值范围. 2

(1)∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x).

? ?? 而当 x∈ ?0, ? 时,f(x)=sinx. ? 2? ? ? ? ∴当 x∈ ?? ,0? 时, ? 2 ?
f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sinx.

?? ? ? ?? 又当 x∈ ?? ? ,? ? 时,x+ ? ∈ ?0, ? , 2? ? ? 2?
∵f(x)的周期为 ? , ∴f(x)=f( ? +x)=sin( ? +x)=-sinx. ∴当 x∈[- ? ,0]时,f(x)=-sinx. (2)如图:

(3)由于 f(x)的最小正周期为 ? , 因此先在[- ? ,0]上来研究 f(x)≥ 即-sinx≥

1 , 2

1 1 ,∴sinx≤- , 2 2

∴-

5? ? ≤x≤- . 6 6

- 23 -

由周期性知,

1 5 ?? ? 当 x∈ ?k? ? ? , k? ? ? ,k∈Z 时,f(x)≥ . 6 6? 2 ?
?? ? ? ?? 12.已知 a>0,函数 f(x)=-2asin ? 2 x ? ? +2a+b,当 x∈ ?0, ? 时,-5≤f(x)≤1. 6? ? ? 2?
(1)求常数 a,b 的值;

?? ? (2)设 g(x)=f ? x ? ? 且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间. 2? ?


? ? ?? ?? 7 ? (1)∵x∈ ?0, ? ,∴2x+ ∈ ? , ? ? . 6 ? 2? ?6 6 ?

?? ? 1 ? ? ∴sin ? 2 x ? ? ∈ ?? ,1? , 6? ? ? 2 ?
?? ? ∴-2asin ? 2 x ? ? ∈[-2a,a]. 6? ?
∴f(x)∈[b,3a+b], 又∵-5≤f(x)≤1,因此可得 b=-5,3a+b=1, 因此 a=2,b=-5. (2)由(1)知 a=2,b=-5,

?? ? ∴f(x)=-4sin ? 2 x ? ? -1, 6? ?
?? 7? ? ? ? g(x)=f ? x ? ? =-4sin ? 2 x ? ? -1 2? 6 ? ? ?

?? ? =4sin ? 2 x ? ? -1. 6? ? ?? ? 又由 lg g(x)>0 得 g(x)>1,∴4sin ? 2 x ? ? -1>1, 6? ?

?? 1 ? ∴sin ? 2x ? ? > , 6? 2 ?
∴2k ? + 由 2k ? + 由 2k ? +

? ? 5? <2x+ <2k ? + ,k∈Z. 6 6 6
? ? ? ?? ? <2x+ ≤2k ? + (k∈Z),得 g(x)的单调增区间为: ? k? , k? ? ? (k∈Z) 2 6 6 6? ?

? 5? ? ≤2x+ <2k ? + , 2 6 6

? ?? ? 得 g(x)的单调减区间为 ?k? ? , k? ? ? (k∈Z). 6 3? ?

- 24 -

§4.4

函数 y=Asin( ? x+ ? )的图象及三角函数 模型的简单应用

?? ? 1.(2008?天津理,3)设函数 f(x)=sin ? 2 x ? ? ,x∈R,则 f(x)是 2? ?
①最小正周期为 ? 的奇函数 ②最小正周期为 ? 的偶函数 ③最小正周期为 ④最小正周期为 答案 ②

(填序号).

? 的奇函数 2 ? 的偶函数 2

1 ? x 3? ? 2.(2008? 浙江理,5)在同一平面直角坐标系中,函数 y=cos ? ? ? (x∈[0,2 ? ])的图象和直线 y= 的 2 ?2 2 ?
交点个数是 答案 2 个.

?x ?? 3.为了得到函数 y=2sin ? ? ? ,x∈R 的图象,只需把函数 y=2sinx,x∈R 的图象上所有的点向 ?3 6?
单位,再把所有各点的横坐标变为原来的 答案 左 倍.

平移

? 6
4

3

4.下面有五个命题: ①函数 y=sin x-cos x 的最小正周期是 ? .
4

②终边在 y 轴上的角的集合是{ ? | ? =

k? ,k∈Z}. 2

③在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点. ④把函数 y=3sin(2x+

? ? )的图象向右平移 得到 y=3sin2x 的图象. 3 6

⑤函数 y=sin(x-

? )在[0, ? ]上是减函数. 2
.

其中,真命题的编号是 答案 ①④

? ? ?? 5.已知函数 f(x)=2sin ? x ( ? >0)在区间 ?? , ? 上的最小值是-2,则 ? 的最小值等于 ? 3 4?
答案

.

3 2

- 25 -

例1

?? ? 已知函数 y=2sin ? 2 x ? ? , 3? ?

(1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象;

?? ? (3)说明 y=2sin ? 2 x ? ? 的图象可由 y=sinx 的图象经过怎样的变换而得到. 3? ?

2? ?? ? (1)y=2sin ? 2 x ? ? 的振幅 A=2,周期 T= =? , 2 3? ?

初相 ? =

? . 3
? ?? ? ,则 y=2sin ? 2 x ? ? =2sinX. 3 3? ?

(2)令 X=2x+

列表,并描点画出图象:

(3)方法一

把 y=sinx 的图象上所有的点向左平移

? ?? ? 个单位,得到 y=sin ? x ? ? 的图象,再把 3 3? ?

1 ?? ?? ? ? y=sin ? x ? ? 的图象上的点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,得到 y=sin ? 2 x ? ? 的图象,最 3? 3? 2 ? ?
?? ?? ? ? 后把 y=sin ? 2 x ? ? 上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) ,即可得到 y=2sin ? 2 x ? ? 的图 3? 3? ? ?
象. 方法二 将 y=sinx 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的

1 倍,纵坐标不变,得到 y=sin2x 的图象; 2

再将 y=sin2x 的图象向左平移

? 个单位; 6

?? ?? ?? ? ? ? 得到 y=sin2 ? x ? ? =sin ? 2 x ? ? 的图象;再将 y=sin ? 2 x ? ? 的图象上每一点的横坐标保持不变,纵坐 6? 3? 3? ? ? ?

- 26 -

?? ? 标伸长为原来的 2 倍,得到 y=2sin ? 2 x ? ? 的图象. 3? ?
例2 解 如图为 y=Asin( ? x+ ? )的图象的一段,求其解析式. 方法一 以 N 为第一个零点,

? 5? ? ? 则 A=- 3 ,T=2 ? ? ? =? , ? 6 3?
∴ ? =2,此时解析式为 y=- 3 sin(2x+ ? ).

? ? ? ? ? ∵点 N ? ? ,0 ? ,∴- ?2+ ? =0,∴ ? = , 6 3 ? 6 ?

?? ? 所求解析式为 y=- 3 sin ? 2 x ? ? . 3? ?
方法二 由图象知 A= 3 ,



?? ? ? 5? ? 以 M ? ,0 ? 为第一个零点,P ? ,0 ? 为第二个零点. 3 ? ? ? 6 ?

? ? ?? ? 2 ?? ? 3 ? ? ? 0 ? ? 列方程组 ? 解之得 ? 2? . 5? ?? ? ? 3 ?? ? ?? ? ? ? ? 6 ?
2? ? ? ∴所求解析式为 y= 3 sin ? 2 x ? ?. 3 ? ?
例 3 (14 分)已知函数 f(x)= 其图象相邻 两对称轴间的距离为 2,并过点(1,2). (1)求 ? ; (2)计算 f(1)+f(2)+?+f(2 008). 解 (1)∵y=
A A cos(2 ? x+2 ? ), 2 2



A A ? cos(2 ? x+2 ? ) (A>0, ? >0,0< ? < ),且 y=f(x)的最大值为 2, 2 2 2

且 y=f(x)的最大值为 2,A>0, ∴

A A + =2,A=2. 2 2 1 ? 2? ? ? ? ? =2, ? = . 4 2? ? 2 ?
4分
2 2 ?? ? ?? ? - cos ? x ? 2? ? =1-cos ? x ? 2? ? . 2 2 ?2 ? ?2 ?

又∵其图象相邻两对称轴间的距离为 2, ? >0, ∴

∴f(x)=

?? ? ∵y=f(x)过(1,2)点,∴cos ? ? 2? ? =-1. ?2 ?
6分

?
2

? 2? =2k ? + ? ,k∈Z.∴ ? =k ? +

? ,k∈Z. 4

- 27 -

又∵0< ? < 8分 (2)∵ ? =

? ? ,∴ ? = . 2 4

? ? ?? ?? ,∴f(x)=1-cos ? x ? ? =1+sin x . 4 2 2? ?2
12 分

∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4. 又∵y=f(x)的周期为 4,2 008=4?502, ∴f(1)+f(2)+?+f(2 008)=4?502=2 008. 14 分

1.已知函数 y=3sin ?

?? ?1 x? ? 4? ?2

(1)用五点法作出函数的图象; (2)说明此图象是由 y=sinx 的图象经过怎么样的变化得到的; (3)求此函数的振幅、周期和初相; (4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心. 解 (1)列表:

描点、连线,如图所示:

(2)方法一

“先平移,后伸缩”.

先把 y=sinx 的图象上所有点向右平移

? ?? ?? ? ? 个单位, 得到 y=sin ? x ? ? 的图象; 再把 y=sin ? x ? ? 的图象上 4 4? 4? ? ?

所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到

?? ?? ?1 ?1 y=sin ? x ? ? 的图象, 最后将 y=sin ? x ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍 (横坐标不变) , 4? 4? ?2 ?2 ?? ?1 就得到 y=3sin ? x ? ? 的图象. 4? ?2
方法二 “先伸缩,后平移”

先把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到 y=sin

1 x 的图象;再把 2

- 28 -

y=sin

? 1 x 图象上所有的点向右平移 个单位, 2 2 ? 1 ?x ?? ?x ?? (x- )=sin ? ? ? 的图象, 最后将 y=sin ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 2 2 ?2 4? ?2 4?

得到 y=sin

?? ?1 倍(横坐标不变) ,就得到 y=3sin ? x ? ? 的图象. 2 4? ?
(3)周期 T=
2?

?

=

? 2? =4 ? ,振幅 A=3,初相是- . 1 4 2

(4)令

1 ? ? x ? = +k ? (k∈Z), 2 4 2

得 x=2k ? + 令

3 ? (k∈Z),此为对称轴方程. 2

1 ? ? x- =k ? (k∈Z)得 x= +2k ? (k∈Z). 2 4 2

? ? ? 对称中心为 ? 2k? ? ,0 ? (k∈Z). 2 ? ?
2.函数 y=Asin( ? x+ ? )( ? >0,| ? |< 式为 .

? ,x∈R)的部分图象如图所示,则函数表达 2

?? ?? 答案 y=-4sin ? x ? ? 4? ?8
3.已知函数 f(x)=Asin ? x+Bcos ? x (其中 A、B、 ? 是实常数,且 ? >0)的最小正周 期为 2,并当 x=

1 时,f(x)取得最大值 2. 3

(1)函数 f(x)的表达式;

? 21 23 ? (2)在闭区间 ? , ? 上是否存在 f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,说明理由. ?4 4?
解 (1)f(x)=Asin ? x+Bcos ? x= A2 ? B 2 sin(?x ? ? )
2?

由 T=

?

=2 知 ? = ? ,

又因为 f(x)最大值为 2,所以 f(x)=2sin( ? x+ ? ). 由 x=

1 ?? ? 时 f(x)max=2,得 sin ? ? ? ? =1, 3 ?3 ?
? ?? ? .∴f(x)=2sin ? ?x ? ? . 6 6? ?
? ? =k ? + (k∈Z)得对称轴方程为 2 6

∴? =

(2)令 ? x+ x=k+ 即

1 1 23 21 ,由对称轴满足 ≤k+ ≤ (k∈Z) 4 4 3 3

59 65 ≤k≤ 且 k∈Z,∴k=5. 12 12

- 29 -

? 21 23 ? 故在 ? , ? 上 f(x)只有一条对称轴. ?4 4?
x=5+

1 16 16 = ,即对称轴方程为 x= . 3 3 3

一、填空题 1.某三角函数图象的一部分如下图所示,则该三角函数为 .

?? ? 答案 y=cos ? 2 x ? ? 6? ? ?? ? 2.(2008?全国Ⅰ理,8)为得到函数 y=cos ? 2 x ? ? 的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象向 3? ?
个单位长度. 答案 左 平移

5 ? 12
.

?? ? ? 2 3.(2008?湖南理,6)函数 f(x)=sin x+ 3 sinxcosx 在区间 ? , ? 上的最大值是 ?4 2?
答案

3 2
.

4.(2008?四川理,10)设 f(x)=sin( ? x+ ? ) ,其中 ? >0,则 f(x)是偶函数的充要条件是 答案 f′(0)=0

?? ?1 5.函数 y=3sin ? x ? ? 的周期、振幅依次是 3? ?2
答案 4 ? 、3

?? ? ?? ? ?? ? 6.若函数 f(x)=2sin( ?x ? ? )对任意 x 都有 f ? ? x ? =f ? ? x ? ,则 f ? ? = ?6 ? ?6 ? ?6?
答案 -2 或 2 7.(2008?辽宁理,16)已知 f(x)=sin ? ?x ?

.

? ?

??

?? ? ?? ? ?? ? ? ? ( ? >0),f ? ? =f ? ? ,且 f(x)在区间 ? , ? 上有最小 3? ?6? ?3? ?6 3?

值,无最大值,则 ? = 答案

.

14 3
.

8.函数 y=|sinx|cosx-1 的最小正周期与最大值的和为 答案 2 ? -

1 2

- 30 -

二、解答题 9.是否存在实数 a,使得函数 y=sin x+acosx+ a 值;若不存在,说明理由. 解 y=1-cos x+acosx+
2
2 2

5 3 ? ?? a- 在闭区间 ?0, ? 上的最大值是 1?若存在,求出对应的 8 2 ? 2?

5 3 a8 2

= ? ? cos x ?

? ?

a? a2 5 1 ? a? ? ? 2? 4 8 2

当 0≤x≤ 若

? 时,0≤cosx≤1, 2

a >1,即 a>2,则当 cosx=1 时 2

ymax=a+ 若 0≤

3 5 20 <2(舍去). a - =1,∴a= 2 8 13 a a ≤1,即 0≤a≤2,则当 cosx= 时, 2 2

ymax= 若

3 a2 5 1 ? a ? =1,∴a= 或 a=-4(舍去). 2 4 8 2

a <0,即 a<0 时,则当 cosx=0 时, 2 5 1 12 a ? =1,∴a= >0(舍去). 8 2 5 3 符合题设. 2

ymax=

综上所述,存在 a=

10.已知函数 f(x)=sin( ? x+ (1)求函数 f(x)的值域;

?x ? ? 2 )+sin( ? x- )-2cos 2 ,x∈R(其中 ? >0). 6 6

(2)若对任意的 a∈R,函数 y=f(x),x∈(a,a+ ? ]的图象与直线 y=-1 有且仅有两个不同的交点,试确定 ? 的值(不必证明) ,并求函数 y=f(x),x∈R 的单调增区间. 解 (1)f(x)=

3 1 3 1 sin?x ? cos?x ? sin?x ? cos?x ? (cos?x ? 1) 2 2 2 2

=2 ?

? 3 ? 1 sin?x ? cos?x ? -1 ? 2 ? 2 ? ?

=2sin ? ?x ?

? ?

??

? -1. 6?

由-1≤sin ? ?x ?

? ?

??

?? ? ? ≤1,得-3≤2sin ??x ? ? -1≤1. 6? 6? ?
2?
= ? ,即得 ? =2.

可知函数 f(x)的值域为[-3,1]. (2)由题设条件及三角函数图象和性质可知,y=f(x)的周期为 ? ,又由 ? >0,得 于是有 f(x)=2sin ? 2 x ?

?

? ?

??

? -1, 6?

- 31 -

再由 2k ? 解得 k ? -

? ? ? ≤2x- ≤2k ? + (k∈Z), 2 6 2

? ? ≤x≤k ? + (k∈Z). 6 3
? ?

所以 y=f(x)的单调增区间为 ?k? ?

?
6

, k? ?

??
3? ?

(k∈Z).

11.(2008?安徽理,17)已知函数 f(x)=cos ? 2 x ?

? ?

??

?? ?? ? ? ? +2sin ? x ? ? ?sin ? x ? ? . 4? 4? 3? ? ?

(1)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;

? ? ?? (2)求函数 f(x)在区间 ?? , ? 上的值域. ? 12 2 ?
解 (1)∵f(x)=cos ? 2 x ?

? ?

??

?? ?? ? ? ? +2sin ? x ? ? ?sin ? x ? ? 4? 4? 3? ? ?

= = =

1 3 cos2x+ sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx) 2 2 1 3 2 2 cos2x+ sin2x+sin x-cos x 2 2

1 3 ?? ? cos2x+ sin2x-cos2x=sin ? 2 x ? ? . 2 2 6? ? 2? ∴周期 T= =? . 2
由 2x ?

?
6

=k ? +

k? ? ? (k∈Z),得 x= ? (k∈Z). 2 3 2 k? ? ? (k∈Z). 2 3

∴函数图象的对称轴方程为 x=

? ? ? 5? ? ? ? ?? (2)∵x∈ ?? , ? ,∴ 2 x ? ∈ ?? , . 12 2 ? 6 ? 3 6? ? ?
? ? ?? ?? ? ? ?? ? ∵f(x)=sin ? 2 x ? ? 在区间 ?? 上单调递增,在区间 ? , ? 上单调递减, , 6? 12 3 ? ? ? ? ?3 2?
∴当 x=

? 时,f(x)取得最大值 1, 3

3 ?? ? 1 ? ? ? 又∵f ? ? ? =<f ? ? = , 2 ? 12 ? ?2? 2
∴当 x= ?

?
12

时,f(x)取得最小值-

3 . 2

? 3 ? ? ? ?? ∴函数 f(x)在 ?? , ? 上的值域为 ?? ,1? . ? 12 2 ? ? 2 ? ? ?
12.(2008?湖北理,16)已知函数 f(t)=

1? t ? 17? ? ,g(x)=cosx?f(sinx)+sinx?f(cosx),x∈ ? ? , ?. 1? t ? 12 ? (1)将函数 g(x)化简成 Asin( ? x+ ? )+B(A>0, ? >0, ? ∈[0,2 ? ))的形式;
(2)求函数 g(x)的值域. 解 (1)g(x)=cosx?

1 ? sin x 1 ? cos x ? sin x ? 1 ? sin x 1 ? cos x

- 32 -

=cosx?

?1 ? sin x ?2
cos2 x

? sin x ?

(1 ? cos x) 2 sin2 x

=cosx?

1 ? sin x 1 ? cos x +sinx? . cos x sin x

∵x∈ ? ? ,

? ?

17? ? ,∴|cosx|=-cosx,|sinx|=-sinx. 12 ? ?
1 ? sin x 1 ? cos x +sinx? ? cos x ? sin x

∴g(x)=cosx?

=sinx+cosx-2= 2 sin ? x ? (2)由 ? <x≤ ∵sint 在 ? sin

? ?

??

? -2. 4?

17? 5? ? 5? ,得 <x+ ≤ . 4 3 12 4

? 5? 3? ? ? 3? 5? ? , ? 上为减函数,在 ? , ? 上为增函数, ? 4 2? ? 2 3?

5? 5? <sin , 3 4 5? 3? ?? ? ≤sin ? x ? ? <sin 4 2 4? ?
? ? 17? ? ? ? x ? ?? , ?? ? ? ? 12 ? ? ?

∴sin

即-1≤sin ? x ?

? ?

??

2 , ? <2 4?
? ?

∴- 2 -2≤ 2 sin ? x ?

??

? -2<-3, 4?

故 g(x)的值域为[- 2 -2,-3).

§4.5 两角和与差的正弦、余弦和正切

- 33 基础自测

1.已知 sin ? = 答案

3 sin2a ?? ? ,且 ? ∈ ? , ? ? ,那么 的值等于 5 cos2 a ?2 ?

.

?

3 2
.

2.已知 tan( ? + ? )=3,tan( ? - ? )=5,则 tan2 ? = 答案 -

4 7
? 3 ? ) ,若 sin ? = ,则 2 cos( ? + )= 2 4 5
.

3. 设 ? ∈(0, 答案

1 5

4.(2008?山东理)已知 cos ?? ? 答案

? ?

??

4 7? ? ? 3 ,则 sin ?? ? ? +sin ? = ? 的值是 5 6? 6 ? ?

.

?

4 5
.

5.函数 y=cosx(sinx+cosx)的最小正周期为 答案

?

例1

求[2sin50°+sin10°(1+ 3 tan10°)] 2 sin2 80? 的值. ?

例2

已知 cos( ? ? 解

?
2

)=-

1 ? 2 ? ? ??? ,sin( - ? )= ,且 < ? , ? < ,求 cos 的值. 2 2 2 2 9 3

? ? ?? ? ? ? ?? , ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ?2 2 ? ?



? ? < ? <π ,0< ? < 2 2

- 34 -



? ? ? ? ? < ? - <π ,< -? < . 2 4 4 2 4
? ?

∴sin ?? ?

??

?? 4 5 2? , ? = 1 ? cos ? ? ? ? = 2? 9 2? ?

cos ?

5 ?? ? ?? ? ? ? ? = 1 ? sin2 ? ? ? ? = ?2 ? 3 ?2 ?

∴cos ? 例3 解

?? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? 7 5 . ? =cos ?? ? ? cos ? ? ? ? +sin ?? ? ? sin ? ? ? ? = 2? 2? ? 2 ? ? ?2 ? ? ?2 ? 27
5 10 ,sinB= ,且 A,B 均为钝角,求 A+B 的值. 5 10 5 10 ,sinB= , 5 10

(14 分)若 sinA=

∵A、B 均为钝角且 sinA=

∴cosA=- 1? sin2 A =-

2 5

=-

2 5 , 5

cosB=- 1? sin2 B =6分

3 10

=-

3 10 , 10

∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB = ??

? 2 5 ? ? 3 10 ? ? ? ?? ? - 5 ? 10 = 2 ? ? ? 10 ? 5 5 ? ? 2 10 ? ?
① 10 分

又∵

? ? <A< ? , <B< ? , 2 2

12 分 ∴ ? <A+B<2 ? ② 由①②知,A+B= 14 分 例4 解
2 2 2 2 化简 sin ? ?sin ? +cos ? cos ? -

7? . 4 1 cos2 ? ?cos2 ? . 2

方法一

(复角→单角,从“角”入手)

2 2 2 2 原式=sin ? ?sin ? +cos ? ?cos ? -

1 2 2 ?(2cos ? -1)?(2cos ? -1) 2

2 2 2 2 =sin ? ?sin ? +cos ? ?cos ? -

1 2 2 2 2 (4cos ? ?cos ? -2cos ? -2cos ? +1) 2 1 2

2 2 2 2 2 2 =sin ? ?sin ? -cos ? ?cos ? +cos ? +cos ? -

- 35 -

2 2 2 2 2 =sin ? ?sin ? +cos ? ?sin ? +cos ? -

1 2

2 2 =sin ? +cos ? -

1 1 1 =1- = . 2 2 2
1 cos2 ? ?cos2 ? 2

方法二

(从“名”入手,异名化同名)

2 2 2 2 原式=sin ? ?sin ? +(1-sin ? )?cos ? -

2 2 2 2 =cos ? -sin ? (cos ? -sin ? )-

1 cos2 ? ?cos2 ? 2

2 2 =cos ? -sin ? ?cos2 ? -

1 cos2 ? ?cos2 ? 2

1 ? ? 2 =cos ? -cos2 ? ? ? sin 2 ? ? cos 2? ) ? 2 ? ?
=

1 ? cos 2 ? 1 ? ? -cos2 ? ? ?sin2 ? ? (1 ? 2 sin2 ? )? 2 2 ? ?

=

1 ? cos 2 ? 1 1 - cos2 ? = . 2 2 2
(从“幂”入手,利用降幂公式先降次)

方法三 原式= =

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 1 ? + ? - cos2 ? ?cos2 ? 2 2 2 2 2
(1+cos2 ? ? cos2 ? +cos2 ? +cos2 ? )-

1 1 ( 1+cos2 ? ? cos2 ? -cos2 ? -cos2 ? ) + 4 4

1 1 ?cos2 ? ?cos2 ? = . 2 2
方法四 (从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方)
2

原式=(sin ? ?sin ? -cos ? ?cos ? ) +2sin ? ?sin ? ?cos ? ?cos ? =cos ( ? + ? )+
2

1 cos2 ? ?cos2 ? 2

1 1 sin2 ? ?sin2 ? - cos2 ? ?cos2 ? 2 2 1 ?cos(2 ? +2 ? ) 2 1 1 2 ? [2cos ( ? + ? )-1]= . 2 2

=cos ( ? + ? )2

=cos ( ? + ? )2

2 2 1.不查表求 sin 20°+cos 80°+ 3 sin20°cos80°的值.

解 =

2 2 sin 20°+cos 80°+ 3 sin20°cos80°

1 1 (1-cos40°)+ (1+cos160°)+ 2 2

3 sin20°cos80°

- 36 -

=1=1-

1 1 cos40°+ cos160°+ 3 sin20°cos(60°+20°) 2 2 1 1 cos40°+ (cos120°cos40°-sin120°sin40°)+ 3 sin20°(cos60°cos20°-sin60°sin20°) 2 2 1 1 3 3 3 2 cos40°- cos40°sin40°+ sin40°- sin 20° 2 4 4 4 2 3 3 1 cos40°(1-cos40°)= . 4 4 4

=1=1-

2.求值: (1)已知 cos ?? ?

? ?

??

4 ? ? ??? ?? 5 ? 的值; ? =- ,sin ? ? ? ? = ,且 < ? <π ,0< ? < ,求 cos 5 2 2 2 2? 2 ? 13 ?
11 , ? 、 ? 均为锐角,求 cos ? 的值. 14

(2)已知 tan ? =4 3 ,cos( ? + ? )=解 (1) ?? ?

? ?

?? ?

?? ? ?? , ? + ?? ? ? = 2 2? ? 2?



? ? < ? < ? ,0< ? < . 2 2

∴? ?

?
2

∈?

? ? ? ?? ?? ? ,? ? , ? ? ∈ ? ? , ? 2 ? 2 4? ?4 ?

∴sin ?? ?

? ?

??

? 3 2 ? = 1 ? cos (? ? ) = , 2 5 2?

?? ? 12 ? cos ? ? ? ? = 1 ? sin 2 (? ? ) ? , 2? 2 13 ?
∴cos

???
2

? ? ? ? =cos ?(? ? ) ? (? ? )? 2 2 ? ?

=cos ?? ?

? ?

??

?? ? ?? ?? ? ? ? cos ? ? ? ? -sin ?? ? ? sin ? ? ? ? 2? 2? 2? 2? ? ? ?

4 12 5 3 63 = (? ) ? ? =. 5 65 13 13 5

(2)∵tan ? =4 3 ,且 ? 为锐角, ∴
sin ? ? 4 3 ,即 sin ? =4 3 cos ? , cos?
2 2

又∵sin ? +cos ? =1, ∴sin ? =
1 4 3 ,cos ? = . 7 7

∵0< ? , ? <

? ,∴0< ? + ? < ? , 2
5 3 . 14

∴sin( ? + ? )= 1 ? cos2 (? ? ? ) = 而 ? =( ? + ? )- ? , ∴cos ? =cos[ ? + ? )- ? ] (

=cos( ? + ? )cos ? +sin( ? + ? )sin ?

4 3 1 ? 11 ? 1 5 3 = ?? ? ? + ? = . 2 7 ? 14 ? 7 14

- 37 -

3.在△ABC 中,角 A、B 、C 满足 4sin 解 在△ABC 中,A+B+C=180°,
2

2

7 A?C -cos2B= ,求角 B 的度数. 2 2

由 4sin 得 4?

7 A?C -cos2B= , 2 2

1 ? cos(A ? C ) 7 2 -2cos B+1= , 2 2
2

所以 4cos B-4cosB+1=0. 于是 cosB=

1 ,B=60°. 2

?? ? ?? ? 4.化简: (1) 2 sin ? ? x ? + 6 cos ? ? x ? ; ?4 ? ?4 ?
(2)

2 cos2 ? ? 1 . ?? ? 2?? ? 2 tan? ? ? ? sin ? ? ? ? ?4 ? ?4 ?
?1 ? ? 3 ? ?? ?? ? cos? ? x ?? (1)原式=2 2 ? sin ? ? x ? ? 2 ?4 2 4 ? ? ?? ? ? ?



? ? ? ?? ? ?? ?? =2 2 ?sin sin ? ? x ? ? cos cos? ? x ? ? 6 6 ?4 ? ?4 ?? ?

? ?? ? ? =2 2 cos ? ? ? x ? =2 2 cos(x). 12 ?6 4 ?
(2)原式=
cos 2? 1 ? tan ? 1 ? tan ? ? ?? ?? ?1 ? cos? ? 2? ?? ?2 ?? ?

=

cos 2? =1. cos 2? (1 ? sin 2? ) 1 ? sin 2?

一、填空题 1.已知 tan( ? + ? )= 答案
3 22

2 ?? ?? 1 ? ? ,tan ? ? ? ? = ,那么 tan ? ? ? ? = 5 4? 4 4? ? ?

.

2.sin163°?sin223°+sin253°?sin313°= 答案

.

1 2
.

4 ? ? ? 3.已知 x∈ ? ? ,0 ? ,cosx= ,则 tan2x= 5 ? 2 ?

- 38 -

答案 -

24 7

4.已知 cos2 ? = 答案 5.(cos

1 ? ? ? (其中 ? ∈ ? ? ,0 ? ) ,则 sin ? 的值为 2 ? 4 ?

.

1 2
? sin

?
12

?
12

)(cos

?
12

? sin

?
12

)=

.

答案

3 2
2 sin 2

x ?1 ?? ? 2 6.若 f(x)=2tanx,则 f ? ? 的值为 x x ? 12 ? sin cos 2 2

.

答案 8

?? ? 7.(2008?上海理,6)函数 f(x)= 3 sinx+sin ? ? x ? 的最大值是 2 ? ?
答案 2 8.求值:cos 答案
4

.

? 4 3? 4 5? 4 7? +cos +cos +cos = 8 8 8 8

.

3 2

二、解答题 9.已知 tan ? = 解

1 1 ,tan ? = ,并且 ? , ? 均为锐角,求 ? +2 ? 的值. 7 3 1 1 <1,tan ? = <1, 7 3

∵tan ? =

且 ? 、 ? 均为锐角, ∴0< ? <

? ? ,0< ? < . 4 4
3? . 4
2

∴0< ? +2 ? < 又 tan2 ? =

2 tan ? 1 ? tan ?

=

3 , 4

1 3 ? tan? ? tan 2? ∴tan( ? +2 ? )= = 7 4 =1. 1 ? tan ? ? tan 2? 1 ? 1 ? 3 7 4

∴ ? +2 ? =

? . 4
1 ? cos 2 x 4 sin(

10.若函数 f(x)=

?

-asin

2

? x)

x ?? ? ?cos ? ? ? ? 的最大值为 2,试确定常数 a 的值. 2 2? ?

- 39 -



f(x)=

x x 2 cos2 x +asin cos 2 2 4 cos x

=

1 a2 1 a ? cosx+ sinx= sin(x+ ? ) , 4 4 2 2
1 1? a2

其中角 ? 满足 sin ? =
1 a2 + =4. 4 4

.

由已知,有

解之得 a=± 15 .
1 ?? ? ?? ? 1 ?? ? ? 2 11.已知 sin ? ? 2? ? ?sin ? ? 2? ? = , ? ∈ ? , ? ,求 2sin ? +tan ? -1 的值. tan ? ?4 ? ?4 ? 4 ?4 2?



?? ? ?? ? 1 ∵sin ? ? 2? ? sin ? ? 2? ? = , ?4 ? ?4 ? 4

?? ? ? ?? 1 ?? ? ∴sin ? ? 2? ? cos ? ? ? ? 2? ?? = , 2 ?4 4 ?? 4 ? ? ?



1 ?? ? 1 ?? ? 1 sin ? ? 4? ? = ,sin ? ? 4? ? = , 2 ?2 ? 4 ?2 ? 2 1 5? 5? ?? ? ? ,又∵ ? ∈ ? , ? ,∴4 ? = ,? = , 3 12 2 ?4 2?
1 -1 tan ?

∴cos4 ? =
2

∴2sin ? +tan ? =2sin ? +
2

sin ? cos? sin 2 ? ? cos2 ? 2 -1=2sin ? -1+ cos? sin ? sin ? cos?

5? 2 cos 5? ? cos 2? 6 =-cos2 ? + =-cos 5? 1 6 sin sin 2? 6 2

? 3? ? 2??? ? 2 ? 5 3 ? ? = 3. = 1 2 2 2
12.已知 tan( ? + ? )=1 sin(? ? 2? ) ? 4 cos2 ? ,tan( ? + ? )= . 3 10 cos2 ? ? sin 2?

(1)求 tan( ? + ? )的值; (2)求 tan ? 的值. 解 (1)∵tan( ? + ? )=-

1 1 ,∴tan ? =- , 3 3
=

∵tan( ? + ? )= = =

sin(? ? 2? ) ? 4 cos2 ? 10 cos2 ? ? sin 2?

sin 2? ? 4 cos2 ? 10 cos2 ? ? sin 2?

2 sin ? cos? ? 4 cos2 ? 10 cos2 ? ? 2 sin ? cos?
2 cos? (sin ? ? 2 cos? ) 2 cos? (5 cos? ? sin ? )

- 40 -

=

sin ? ? 2 cos? tan ? ? 2 , ? 5 cos? ? sin ? 5 ? tan ?
?

1 ?2 5 ∴tan( ? + ? )= 3 = . 1 16 5? 3

(2)∵tan ? =tan[( ? + ? )- ? ]=

tan(? ? ? ) ? tan ? , 1 ? tan(? ? ? ) tan ?

5 1 ? 16 3 = 31 . ∴tan ? = 5 1 43 1? ? 16 3

单元检测四
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分)

? ?? 1.定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数.若 f(x)的最小正周期是 ? ,且当 x∈ ?0, ? 时,f(x) ? 2? ? 5? ? =sinx,则 f ? ? 的值为 ? 3 ?
答案 .

3 2

2.设点 P 是函数 f(x)=29sin ? x 的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称轴的距离的最小值是 则 f(x)的最小正周期是 答案
2

? , 8

.

? 2
2

3.y=sin x+2sinxcosx+3cos x 的最小正周期和最小值分别为 答案

.

? ,2- 2
3 ? 1 ( < ? < ? ),tan( ? - ? )= ,则 tan( ? - ? )的值等 5 2 2

4.(2009 ?徐州六县一区联考) 设 sin ? = 于 答案 .

2 11

5.将函数 f(x)= 3 sin2x-cos2x 的图象向右平移 ? ( ? >0)个单位,所得函数是奇函数,则实数 ? 的最小值 为 答案
5? 12

.

?a ? b, ab ? 0 ? 6.定义运算 a*b= ? a ,则函数 f(x)=(sinx)*(cosx)的最小值为 ? b , ab ? 0 ?

.

答案 -1

- 41 -

7.cos( ? + ? )= 答案
56 65

3 ?? 5 ?? ? ? ? ?? ,sin ? ? ? ? = , ? , ? ∈ ? 0, ? ,那么 cos ? ? ? ? 的值为 5 4 ? 13 4? ? ? ? 2?

.

8.已知函数 f(x)=asinx-bcosx(a、b 为常数,a≠0,x∈R)在 x= 函数.(用“奇”“偶”“非奇非偶”填空) , , 答案 奇

? ? 3? ? 处取得最小值,则函数 y=f ? ? x? 是 4 4 ? ?

9.(2008?重庆理,10)函数 f(x)= 答案 [-1,0]

sin x ? 1 3 ? 2 cos x ? 2 sin x

(0≤x≤2 ? )的值域是

.

? 1? ?? ? 10.设 a=(a1,a2),b= 1,b2) 定义一种向量积: ? b= 1,a2)? (b1,b2)=(a1b1,a2b2).已知 m= ? 2, ? ,n= ? ,0 ? , (b , a (a ?3 ? ? 2?
点 P(x,y)在 y=sinx 的图象上运动,点 Q 在 y=f(x)的图象上运动,且满足 OQ =m ? OP +n(其中 O 为坐标原 点),则 y=f(x)的最大值 A 及最小正周期 T 分别为 答案 .

1 ,4 ? 2 1 3 ,cos( ? - ? )= ,则 tan ? ?tan ? = 5 5
.

11.若 cos( ? + ? )= 答案

1 2

12.函数 f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[0,2 ? ]的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点,则 k 的取值范 围是 . 答案 1<k<3

?? ?? ? ? 13.若 f(x)=asin ? x ? ? +bsin ? x ? ? (ab≠0)是偶函数,则有序实数对(a,b)可以是 4? 4? ? ?
(注:只要填满足 a+b=0 的一组数字即可) 答案 (1,-1)

.

3 ? ? 14.关于函数 f(x)=2sin ? 3x ? ? ? ,有下列命题: 4 ? ?
①其最小正周期为

2 ?; 3 3 个单位而得到; 4
(写出你认为正确答案的序号).

②其图象由 y=2sin3x 向左平移

? ? 5? ? ③在 ? , ? 上为单调递增函数,则其中真命题为 ?12 12 ?
答案 ①③ 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分)

33 5 ?? ? ? ?? 15.(14 分)已知 ? ∈ ? 0, ? , ? ∈ ? , ? ? 且 sin( ? + ? )= ,cos ? =.求 sin ? . 65 13 ?2 ? ? 2?



5 12 ?? ? ∵ ? ∈ ? , ? ? ,cos ? =,∴sin ? = . 13 13 ?2 ?

- 42 -

又∵0< ? <

? ? ? 3? , < ? < ? ,∴ < ? + ? < , 2 2 2 2
33 , 65

又 sin( ? + ? )= ∴

? < ? + ? < ? ,cos( ? + ? )=- 1 ? sin 2 (? ? ? ) 2
2

56 ? 33 ? =- 1 ? ? ? =, 65 ? 65 ?

∴sin ? =sin[( ? + ? )- ? ] =sin( ? + ? )cos ? -cos( ? + ? )sin ? =
33 ? 5 ? ? 56 ? 12 3 ? ? ? ? - ?? ? ? = . 65 ? 13 ? ? 65 ? 13 5

16.(14 分)已知函数 f(x)=Asin( ? x+ ? )(A>0, ? >0,| ? |<

? ) (x∈R)的部分图象如图所 2
示.

(1)求 f(x)的表达式;

?? ? (2)设 g(x)=f(x)- 3 f ? x ? ? ,求函数 g(x)的最小值及相应的 x 的取值集合. 4? ?
解 (1)由图象可知:A=1,
T ? ? ? = = ,T= ? , 4 3 12 4

函数 f(x)的周期 T 满足: ∴T=
2?

?

= ? .∴ ? =2.∴f(x)=sin(2x+ ? ).

?? ? 又 f(x)图象过点 ? ,1? , ? 12 ?

? ? ?? ? ?? ? ∴f ? ? =sin ? ? ? ? =1, ? ? =2kπ + (k∈Z). 6 2 ? 12 ? ?6 ?
又| ? |<

? ? ?? ? ,故 ? = .∴f(x)=sin ? 2 x ? ? . 2 3 3? ?

(2)方法一

?? ? g(x)=f(x)- 3 f ? x ? ? 4? ?

?? ? ?? ? ? =sin ? 2 x ? ? - 3 sin ? 2 x ? ? ? 3? 2 3? ? ? ?? 5? ? ? ? =sin ? 2 x ? ? - 3 sin ? 2 x ? ? 3? 6 ? ? ?
=
1 3 3 3 sin2x+ cos2x+ sin2xcos2x 2 2 2 2

=2sin2x, 由 2x=2k ? -

? ? (k∈Z),得 x=k ? - (k∈Z), 2 4

? ? ? ∴g(x)的最小值为-2,相应的 x 的取值集合为 ? x | x ? k? ? , k ?Z ? . 4 ? ?

- 43 -

方法二

?? ? g(x)=f(x)- 3 f ? x ? ? 4? ?

?? ? ?? ? ? =sin ? 2 x ? ? - 3 sin ? 2 x ? ? ? 3? 2 3? ? ? ?? ?? ? ? =sin ? 2 x ? ? - 3 cos ? 2 x ? ? 3? 3? ? ?
?? ?? ?? =2sin ?? 2 x ? ? ? ? =2sin2x, 3? 3? ? ?

由 2x=2k ? -

? ? (k∈Z),得 x=k ? - (k∈Z), 2 4 ? ,k∈Z}. 4

∴g(x)的最小值为-2,相应的 x 的取值集合为{x|x=k ? -

17.(2008?江苏,15)(14 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角 ? ,

? ,它们的终边分别与单位圆相交于 A,B 两点,已知 A,B 的横坐标分别为
(1)求 tan( ? + ? )的值; (2)求 ? +2 ? 的值. 解 由条件得 cos ? =

2 2 5 , . 5 10

2 2 5 ,cos ? = . 5 10

∵ ? , ? 为锐角, ∴sin ? = 1? cos2 ? = sin ? = 1? cos2 ? = 因此 tan ? =

7 2 , 10

5 . 5

sin ? sin ? 1 =7,tan ? = = . cos? cos ? 2

1 7? tan ? ? tan ? 2 =-3. (1)tan( ? + ? )= = 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? 7 ? 1 2 1 2 =4, (2)∵tan2 ? = = 1 ? tan 2 ? 1 ? ( 1 ) 2 3 2 2?

2 tan ?

4 7? tan? ? tan 2? 3 =-1. ∴tan( ? +2 ? )= = 1 ? tan? ? tan 2? 1 ? 7 ? 4 3

∵ ? , ? 为锐角,∴0< ? +2 ? < 18. ( 16
2

3? 3? ,∴ ? +2 ? = . 2 4

分 ) 已 知

tan ?

、 tan
2

?

是 方 程

x -4x-2=0

2

的 两 个 实 根 ,

求:cos ( ? + ? )+2sin( ? + ? )cos( ? + ? )-3sin ( ? + ? )的值. 解 由已知有 tan ? +tan ? =4,tan ? ?tan ? =-2,

- 44 -

∴tan( ? + ? )=
2

tan? ? tan ? 4 = , 1 ? tan? tan ? 3
2

cos ( ? + ? )+2sin( ? + ? )cos( ? + ? )-3sin ( ? + ? ) = =
cos2 (? ? ? ) ? 2 sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? 3 sin 2 (? ? ? ) cos2 (? ? ? ) ? sin 2 (? ? ? )

1 ? 2 tan(? ? ? ) ? 3 tan 2 (? ? ? ) 1 ? tan 2 (? ? ? )

1? 2?

=

4 16 ? 3? 3 9 =- 3 . 16 5 1? 9

? ?? ? 7? ? ? 19. (16 分) 把曲线 C: y=sin ? cos 得到的曲线 C′关于直线 x= ? x ? ? ? x ? ? 向右平移 a (a>0)个单位, 4 8? ? 8 ? ?
对称. (1)求 a 的最小值;

? 8? 9? (2)就 a 的最小值证明:当 x∈ ? ? ,? 8 ? 7
(1)解

? ? 时,曲线 C′上的任意两点的直线斜率恒大于零. ?

?? ? 7? ? ? ∵y=sin ? ? x ? ? cos? x ? ? 8? ? 8 ? ?

?? ? ?? ? =sin ? x ? ? cos? x ? ? 8? ? 8? ?
=

1 ?? ? sin ? 2 x ? ? , 2 4? ? 1 ?? ? sin ?2( x ? a) ? ? , 2 4? ?

∴曲线 C′方程为 y=

它关于直线 x= ∴

? 对称, 4

1 1 ?? ? ? sin ?2( ? a) ? ? =± , 2 2 4? ? 4

? ?? ? ? 即 2 ? ? a ? + =k ? + (k∈Z), 2 ?4 ? 4
解得 a=

? k? (k∈Z), 8 2 ? . 8

∵a>0,∴a 的最小值是 (2)证明 由函数 y= 当 a=

? 1 时,曲线 C′的方程为 y= sin2x. 8 2

1 sin2x 的图象可知: 2

1 ? 8? 9? ? 当 x∈ ? ? ,? ? 时,函数 y= sin2x 是增函数, 2 8 ? ? 7
所以当 x1<x2 时,有 y1<y2, 所以

y 2 ? y1 >0,即斜率恒大于零. x2 ? x1

- 45 -

20.(16 分)设函数 f(x)=sin(2x+ ? ) ? < ? <0) (,y=f(x)图象的一条对称轴是直线 x= (1)求 ? ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间; (3)证明:直线 5x-2y+c=0 与函数 y=f(x)的图象不相切. (1)解 ∵x=

? . 8

? 是函数 y=f(x)的图象的对称轴, 8

? ? ? ∴sin ? 2 ? ? ? ? =±1, 8 ? ?


? ? + ? =k ? + ,k∈Z. 4 2
3? . 4 3? 3? ? ? ,因此 y=sin ? 2 x ? ?. 4 4 ? ?

∵- ? < ? <0,∴ ? =(2)解

由(1)知 ? =-

由题意得 2k ? 则 k? +

? 3? ? ≤2x≤2k ? + ,k∈Z. 2 4 2

? 5 ≤x≤k ? + ? ,k∈Z 8 8

3? ? ? 所以函数 y=sin ? 2 x ? ? 的单调增区间为 4 ? ?

? 5? ? ? ?k? ? 8 , k? ? 8 ? ,k∈Z. ? ?
(3)证明 ∵|y′|=|(sin( 2 x ?
3? )|≤2, 4 3? ) )′| 4

=|2cos( 2 x ?

∴曲线 y=f (x) 的切线斜率的取值范围是 [-2, , 2] 而直线 5x-2y+c=0 的斜率为 与函数 y=sin( 2 x ?
3? )的图象不相切. 4

5 >2, 所以直线 5x-2y+c=0 2

- 46 -


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