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一元二次不等式的解法(第1课时)教学设计-定稿


2.3.4 一元二次不等式的解法( 第 1 课时)
衢州市衢江区职业中专 【教材分析】 1.教学内容:本课内容是浙教版中高职一体化人才培养模式改革试验新教材——数学 第一册第二章不等式 2.3.4 节第一课时,适合中职升学班高一年级学生。 2. 教材地位: 一元二次不等式解法是初中一元一次不等式解法在知识上的延伸和发展。 本章是集合知识的运用与巩固, 也为下一章函数的定

义域和值域教学作铺垫, 起着承上启下 的作用,也是近年来高考综合题的热点。这部分内容较好地反映了方程、不等式、函数知识 的内在联系和相互转化,蕴含着类比、归纳、转化、数形结合等丰富的数学思想方法,能较 好地培养学生的观察能力、概括能力、探究能力及创新意识。 【学情分析】 1.从知识储备来说,学生在初中已经学习了一元一次不等式组、一元二次方程和二次 函数,对不等式的性质有了初步了解,这为我们学习一元二次不等式打下了基础。 2.从心理特征来说,高中阶段的学生逻辑思维较初中学生来说更加严密,抽象思维能 力也有进一步提升。 在情感态度上学生对新内容的学习有一定的兴趣和积极性, 但在探究问 题的能力以及合作交流等方面的发展不够均衡。 3.学生基础参差不齐,个体差异比较明显,在教学中要关注不同层次的学生的学习和 发展。 【教法分析】 本节课设计的指导思想是: 现代认知心理学——建构主义学习理论。 建构主义学习理论 认为:应把学习看成是学生主动的建构活动,学生应与一定的知识背景即情景相联系,在实 际情景下进行学习, 可以使学生利用已有知识与经验同化和索引出当前要学习的新知识, 这 样获取的知识,不但便于保持,而且易于迁移到陌生的问题情景中。 本节课采用“诱思引探教学法”和“小导师制教学法”。把问题作为出发点,指导学生 “画、看、说、用”,让学生当小老师分析讲解练习题,并相互评价,提高学生学习体验和 自主性,较好地探求一元二次不等式的解法。 【学法分析】 教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心,会学是目的。因此在教学中要不断指导学 生学会学习。本节课主要是教给学生“动手画、动眼看、动脑想、动口说、善提炼、勤钻研” 的研讨式学习方法,让学生当“小老师”分析讲解练习题,这样做增加了学生自主参与,合
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邵志刚

作交流的机会, 教给了学生获取知识的途径、 思考问题的方法, 使学生真正成了教学的主体; 只有这样做,才能使学生“学”有新“思” , “思”有新“得” , “练”有新“获” ,学生也才 会逐步感受到数学的美, 会产生一种成功感, 从而提高学生学习数学的兴趣; 也只有这样做, 课堂教学才富有时代特色,才能适应素质教育下培养“创新型”人才的需要。 【教具准备】 PPT 课件、电子白板、幻灯机、答题纸、板书等。 【学具准备】 教科书、作业本、三角尺、水笔、铅笔、橡皮、笔记本、答题纸等。 【教学目标】 1. 知识与技能目标:理解一元二次不等式的概念;掌握一元二次不等式的解法,体会 一元二次方程与一元二次不等式的关系. 2. 过程与方法目标:体会类比、数形结合、转化、分类讨论等数学思想方法,提高运 算能力,逻辑思维能力;运用一题多解,训练发散思维;提倡自主学习,培养学生归纳整理 能力. 3. 情感、态度与价值观目标:激发学习数学的热情,培养勇于探索、勇于创新的精神, 同时体会事物之间普遍联系的辩证思想. 【教学重点】 一元二次不等式的解法. 【教学难点】 根据一元二次方程的解的情况写出相应的一元二次不等式的解集. 【教学过程】 教学 教学内容 环节 问题 1: (1)解方程 2x+2=0(2)画一次函 课 前 将学 生分 成 四 大 通 过 计 算、画图、观 师生互动 设计意图

数 y=2x+2 的图像(3)解一元一次不等式 2x+2﹥ 组展开学习 竞赛,答 对加 导 0,2x+2<0

1~3 分,现场请一位同学统 察,分析“三 个 一 次 关 系” , 探究 “三 个 二 次 关 系” ,引出课 题. 三组关系的得出,实际 运用类比、 数形结合思

在解决上述三问题的基础上, 分析一次函数、 计个人得分,小组得分板书 入 一元一次方程、一元一次不等式之间的关系.能 否通过观察一次函数的图像求一元一次不等式的 解集? 统计,调动 学生学习 积极 性。

问题 2: (1)解方程 x2-x-6=0(2)画二次函 上让学生找到了利用“一次
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数 y=x2-x-6 的图像(3)观察二次函数图象如何解 函数的图象”来解一元一次 不等式 x2-x-6﹥0 ,x2-x-6<0 ? 并探究二次函数、一元二次方程、一元二次 不等式之间的关系? 方程和一元 一次不等 式的 方法,激发了学生解决新问 题的兴趣。

想,激发学生 解决新问题 的兴趣,培养 观察能力、推 理能力.

一元二次不等式的概念: 新 课 只含有一个未知数,未知数的最高次项的次 数是 2,且系数不为 0 的整式不等式叫做一元二 次不等式. 它的一般形式是: ax2 +bx+c>0(≥0) 或 ax2 +bx+c<0(≤0) (a≠0). 例 解下列不等式: (1) x ? x ? 6>0 (2) x ? x ? 6<0
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教 师 直接 给出 一 元 二 次不等式的概念,学生在教 师的引导下 ,小组合 作学 习,运用初中所学的因式分 解法、二次函数图像法、分 点区间法等方法,求出一元 二次不等式的解集,运用一 题多解,训练发散思维.

学 生 根 据已有的知 识,探索 ? > 0 时一元二次 不等式的解 法.



因为 ? =(-1)2 -4×1×(-6)=25>0,
2

学 生 仿 照例题求出 类似不等式

方程 x -x-6=0 的解是 x1 =-2,x2 =3, 则 x -x-6=(x-3)(x+2)>0. 同解于一元一次不等式组: (Ⅰ) 新 不等式组(Ⅰ)的解集是{x | x>3}; 不等式组(Ⅱ)的解集是{x | x<-2}. 故原不等式的解集为{ x | x<-2 或 x>3}. 课 同理 x ? x ? 6<0 的解集为{x |-2< x<3};
2
2

x - 3>0 x ? 2>0

或 (Ⅱ)

x - 3<0 x ? 2<0

教师提问、分析,师生 共同完成例题 师生合作归纳出, a > 0,? >0 时一元二次不等式 与一元二次 方程的根 的关 系。 列出表格,给出一元二 次不等式解集的口诀“大于 取两边,小于取中间”

的解集.

例 题 分 析后举了两 个不能用因 式分解法解 题的一元二 次不等式,说

解法二:分点区间法;解法三:二次函数图像法 (解题步骤略,见课件) 探究:一元二次方程 x ? x ? 6 ? 0(? >0)的根
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利 用 一元 二次 方 程 的 明 了 因 式 分 根与一元二 次不等式 的解 解的局限性 和求根公式 法的普遍性。

x ? x ? 6<0 与一元二次不等式 x ? x ? 6>0 ,
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的解集关系, 完成表格 (板书) , 并简化解题步骤。 集的关系,简化并规范解题 举例:解不等式(直接利用结论,填空题) 步骤。

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(1) x 2 ? x ? 1 >0 (2) x 2 ? x ? 1<0 解一元二次不等式的步骤(a>0) : S1 求出方程 ax2 +bx+c=0 的判别式 ? =b2 -4ac

师 生 结合 前面 学 过 的 例题和做过 的练习共 同总 结解题步骤,并强调不等式 解集的集合和区间表示法.

的值. S2 (1)? >0,则二次方程 ax +bx+c=0(a>0)
2

教师强调对于 a<0 的 情况,通过在已知不等式两

总结解一 元二次不等

有两个不等的根 x1 ,x2 (设 x1 <x2 ) ,则 ax2 +bx+c=a(x-x1 )(x-x2 ) . 不等式 a(x-x1 )(x-x2)>0 的解集是 (-?,x1 )∪(x2 ,+?); 不等式 a(x-x1 )(x-x2)<0 的解集是(x1 ,x2 ) . 思考:1 若二次项系数 a<0 怎么办?. 2. 表格中若>、<改成≥、≤如何? 新 练习 1. 填空: (1)方程(x-4)(x+1)=0 的解 x1 =_____,x2 =_____ ∴不等式(x-4)(x+1) ≥0 的解集是____________ 课 不等式(x-4)(x+1)≤0 的解集是_____________ (2)方程(x-1)(2-x)=0 的解 x1 =_____,x2 =_____ ∴不等式(x-1)(2-x)>0 的解集是____________ 不等式(x-1)(2-x)<0 的解集是____________ 2. 解不等式-x?-2x+3≥0 3. 当 m 为何实数,方程(m+2)x?-2mx+1=0 有 两个不相等的实数根? 思考:如何用数轴或区间表示 m 的范围? 4. 已知不等式 ax?+5x+c >0 的解集是(-1,2) ,求 a,c 的值。

端乘上-1(“+”变“-” , “-” 式的步骤,给 变“+” , “>”变“<”), 可化为 a>0 的情况求解. 出口诀,培养 学生数形结

学生思考表格中若>、 合 的 思 想 和 <改成≥、≤如何?并补充 表格内容。 练习 1 (2) 二次项系数 为负, 要化为正, 容易出错。 练习 2 学生板练,让学 生当“小老师”分析讲解, 用幻灯机展 示其他同 学答 案,相互评价,并要求学生 学会写解题步骤。 通过练习使 学生进一步 归纳整理能 力.

练习 3 教师分析思路, 掌 握 一 元 二 请学生回答答案,并到黑板 上画数轴和写区间,联系旧 知,学生相互评价,教师点 评。 练习 4 逆向思维,若时 间不够,留课后合作学习。 综合练习,熟练运用, 巩固提升。 次不等式的 解法.



解一元二次不等式的步骤.

学生总结,教师补充。

归纳提升

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结 作 业 必做题:教材 P49 ,练习第 1 题; 练习册 p25,第 1,2,4,5,7 题。 选做题:练习册 p25,第 3,6,8 题。 【板书设计】 2.3.4 一元二次不等式的解法 1.一般形式是 ax + bx+ c> 0(≥ 0)
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分层布置,自愿选择。

检验、巩固



ax2+ bx+ c< 0(≤ 0)(a≠ 0).

2.解法步骤 1) 当二次项系数 a<0 时,先把 a 化为正数(不等式两边同乘-1) 。 2) 当二次项系数 a>0 时,根据对应方程 ax2 +bx+c= 0 的根的情况求不等式的解集。 判别式 ? =b2- 4ac 方程 ax +bx+c= 0 的根
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? >0
x

? =0
x

? <0
x
y

0

y

x1 =x2 0

x1 < x2 无解 不等式 ax2 +bx+c> 0 {x|x<x1 或 x>x2 } 的解集 ax2 +bx+c ≥ 0 不等式 ax2 +bx+c< 0 的解集 2 ax +bx+c ≤ 0 {x|x1 <x<x2 } {x|x1 ≤x≤x2 } ? {x|x=x1 } {x|x≤x1 或 x≥x2 } {x|x≠x1 } R

y 0

R

?

【教学反思】 本节课立足课本,着力挖掘,设计合理,层次分明。以“三个一次关系→三个二次关系 →一元二次不等式解法”为主线,以“从形到数,从具体到抽象,从特殊到一般”为灵魂, 以“画、看、说、用”为特色,把握重点,突破难点。在教学思想上既注重知识形成过程的 教学,还特别突出学生学习方法的指导,探究能力的训练,创新精神的培养,引导学生发现 数学的美,体验求知的乐趣。 1.注重用新课程理念处理教材,做到因材施教。教师应认真钻研教材,充分了解和尊 重学生的知识和经验, 把握教材中知识点之间的本质联系, 对教材进行开发挖掘、 正确重组、 适时补充等创造性处理,使教材更符合学生的认知水平,并发挥最大功效。
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例如, (1)导课中复习学过的一次函数、一元一次方程和一元一次不等式组的关系,利 用数形结合思想方法,类比引出一元二次不等式的图象解法,紧密联系学生的认知水平,唤 醒对旧知识的记忆,培养学生观察、发现、探索、整理的能力。(2)例题教学中,利用因 式分解,结合两数相乘的符号法则、整体换元思想方法,得出解一元二次不等式的解不等式 组法,利用分类讨论、数形结合的思想方法,得出解一元二次不等式的区间分析法法,补充 了两种解法,用已有的知识解决一元二次不等式的解法,通过一题多解,培养学生逻辑思维 能力和数学思维的灵活性和创造性。(3)利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集 的关系,总结出一元二次不等式的解题步骤,口诀法是教材中没有提及的,这样可以简化一 元二次不等式的解题步骤,并且绕过因式分解法(十字相乘)、分点区间法、二次函数图象 法等难点问题, 解决了用分解因式解一元二次方程的局限性, 学生只要掌握求根公式法解一 元二次方程就可以啦,把解一元二次不等式转化为解一元二次方程。(4)设置了 4 组练习 题,层次分明,类型多样,开拓了学生的思维,巩固提高了所学知识。 2.提供学生充分思考和交流的空间,实现新课程的三维目标。学生的数学学习活动不 仅要接受、记忆、模仿和练习,而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学、师生互 动,教师发挥组织者、引领者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。 例如, (1)导课中宣布学习竞赛规则,激励学生积极发言,调动学生学习积极性,引导 学生小组交流,合作完成。 (2)讲解例题时,教师补充另外两种解法,开拓学生的视野,培 养学生逻辑思维能力和数学思维的发散性。 (3)练习 2 学生板练,并用幻灯片展示不同学生 的答案,学生自评、互评、教师点评。 (4)课堂小结时,学生阅读课本,畅谈本节课的收获, 教师针对学生薄弱或易错处进行强调和总结。(5)分层次布置作业,自愿选择作业,让学 生主动参与,提高学生做作业的主观能动性。 3.数学课堂应实施有效、有用、有价值的教学行为。数学来源于生活,应服务于生活, 学生在课堂中究竟学到了什么,课后又得到了什么,这永远都是教学所必须追问和思考的。 在新课程理念的指导下, 发挥学生主体作用, 改变数学课堂教学模式, 转变学生的学习方式, 提高数学课堂教学质量,力争“有效、有用、有价值的课堂教学”是我们数学老师永恒的追 求。 (1)从教学的有效性上来看,在一元二次不等式的解法教学中,教师以新课程理念为 指导,精心设计活动化的教学程序,以平等合作的身份参与学生的学习活动,认真指导学生 进行自主性、 探究式的学习, 使数学活动成为有利于促进学生主动构建新知、 提高学习能力、 激发和培养创新意识的有效活动,达到有效教学。 (2)从知识的应用价值上来看,一元二次不等式的解法是从大量数学问题和现实问题
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中抽象出来的一个数学模型,在解法推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、归纳推理、 转化、分类讨论等在各种数学问题研究中有着广泛的应用。另外,一元二次不等式与方程、 函数的综合运用、在实际问题中的计算也经常涉及到。 (3)从内容的人文价值上来看,一元二次不等式解法的探究与推导需要学生观察、分 析、类比、转化、归纳,通过运用多媒体的教学手段,引领学生主动探索一元二次不等式的 解法,体会学习数学的规律和方法,体验成功的乐趣,有助于培养学生的创新思维和探索精 神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。

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